自旋流形和旋子丛的基本性质

GP \to M的等价类同构于Čech上同调群H^1(M,G)

(1)0 \to \mathrm{SO}(m) \to \mathrm{O}(m) \to \mathbb{Z}_2 \to 0。主\mathrm{O}(m)P可定向,等价于P的结构群可约化为\mathrm{SO}(m),等价于Stiefel-Whitney类w_1(P) \in H^1(M,\mathbb{Z}_2)的消没。

(2)n \geq 3时,0 \to \mathbb{Z}_2 \to \mathrm{Spin}(m) \to \mathrm{SO}(m) \to 0。主\mathrm{SO}(m)P是某个\mathrm{Spin}(m)丛的约化,等价于Stiefel-Whitney类w_2(P) \in H^2(M,\mathbb{Z}_2)的消没。

m阶Riemann向量丛E可定向当且仅当其正交标架丛P_\mathrm{O}(E)满足消没条件(1)。此时称E有一个自旋结构,若定向正交标架丛P_\mathrm{SO}(E)进一步满足消没条件(2)。

我们感兴趣的是Riemann流形(M^n,g)。称M是自旋流形,若切丛TM有自旋结构:w_1(M)=0w_2(M)=0。一些常见的例子:

(1)所有维数不大于3的可定向紧流形。2维的情况等价于Euler示性数为偶数。3维的情况则可由可定向3-流形的切丛平凡(Stiefel)这一事实推出;(2)S^n\mathbb{R}P^{4n+3};(3)复流形M是自旋流形等价于c_1[M]是偶数。这包括\mathbb{C}P^{2n+1}Calabi-Yau流形

对于复自旋流形,许多讨论是平行的。参见Lawson, Michelsohn  APPENDIX D.

由复自旋表示\Delta_m:\mathrm{Spin}(m) \to \mathrm{U}(V)给出的伴随丛S(E)=P_\mathrm{Spin}(E) \times_{\Delta_m} V称为旋子丛。特别地,自旋流形上有典范旋子丛S(M)=S(TM)

内积空间V是一个Clifford模。遵从Lawson, Michelsohn,我们称S(M)上的Dirac算子D为Atiyah-Singer算子。这是二人发展指标定理的最初例子。

自旋流形的示性类有一些重要的性质:

(1)对于2n维可定向向量丛E \to ME \otimes \mathbb{C} \sim \oplus (l_k \oplus \bar{l}_k)x_k=c_1(l_k),其全\hat{A}类由乘法序列\displaystyle \prod \frac{x_k/2}{\mathrm{sinh}(x_k/2)}定义。假定M^{4k}紧致且可定向,M\hat{A}亏格定义为示性数\hat{A}_k[M]\hat{A}亏格通常不是整数,不过自旋流形的\hat{A}亏格却是整数。这是Borel和Hirzebruch的结果,而Atiyah和Singer发现可以将\hat{A}亏格解释为Dirac算子的指标:

(Atiyah-Singer)\mathrm{ind}(D)=\hat{A}_k[M]

更进一步,若k为奇数,\hat{A}亏格将为偶数:此时复自旋表示\Delta_{4k}是四元数表示,故D的核与余核均为四元数向量空间,其复维数均为偶数。

(2)

(Rokhlin)闭自旋流形的号差\tau(M)是16的倍数。

Rokhlin本人的证明基于同伦论的考虑。这也可以由Atiyah-Singer指标定理推出:\tau(M^4)等于L亏格L_1[M]L_1[M]=-8\hat{A}_1[M],而此时\hat{A}亏格是偶数。

Rokhlin定理提供了一个检测4维拓扑流形是否有光滑结构的工具,这在Freedman的工作中得到应用。

椭圆复形与Atiyah-Bott不动点定理

我们多次讨论过与外微分形式相关的系列结果:(1)de Rham-Hodge理论;(2)Lefschetz不动点定理;(3)Poincaré–Hopf定理以及(4)Gauss-Bonnet-Chern定理。从Dirac丛和Dirac算子的观点考虑,我们要问这些结果的相应推广是什么?对于一般的椭圆算子,情况又如何?

作为模本,首先回顾(2):光滑映射f:M \to M下的不动点x \in M称为非退化的,若\mathrm{det}(I-df(x)) \neq 0,其指数l_f(x)定义为\mathrm{sgn}\mathrm{det}(I-df(x))。另一方面,f诱导H^i_{dR}(M)的自同态f^i_*,定义f的Lefschetz数L(f)=\sum (-1)^i \mathrm{tr} f^i_*

(Lefschetz不动点定理)\displaystyle L(f)=\sum_x l_f(x)

横截向量场在M上定义了相流f^t\displaystyle \mathrm{lim}_{t \to 0} f^t=I。公式左端,L(I)=\chi(M),而右端,相流的不动点恰是向量场的奇点:我们得到(3)的特例。这显示Lefschetz不动点定理不能描述“多重横截相交”,在这个方向上推广的结果往往冠以Lefschetz-Hopf之名

回到最初的问题。在知道答案(4)Atiyah-Singer指标定理的情况下,Atiyah和Bott考虑了余下的推广:(1)在椭圆复形的概念下得到统一,而(2)给出著名的Atiyah-Bott不动点定理。

Atiyah, Bott  A Lefschetz Fixed Point Formula for Elliptic Complexes: Ⅰ

椭圆复形指的是上链复形(\Gamma(E_i),D_i),要求D_i是向量丛E_iE_{i+1}的椭圆算子。满足T_{i+1}D_i=D_iT_i的自同态T_i:\Gamma(E_i) \to \Gamma(E_i)诱导H^i(\Gamma(E))的自同态T_i^*。由椭圆算子理论\mathrm{dim}H^i(\Gamma(E))<\infty,于是我们可以定义T的Lefschetz数L(T)=\sum (-1)^i \mathrm{tr} T_i^*

我们最感兴趣的仍是光滑映射f:M \to M。给定丛同态\phi_i:f^*E_i \to E_i,可取T_i\Gamma(\phi_i) \circ f_i^*。注意在不动点x \in M处,\phi_i(x)是一个线性映射。

(Atiyah-Bott不动点定理)\displaystyle L(T)=\sum_x \frac{\sum_i (-1)^i\mathrm{tr}\phi_i(x)}{|\mathrm{det}(I-df(x))|}

对于de Rham复形,\phi_i有自然选取\Lambda^i df\mathrm{det}(I-df)=\sum_i (-1)^i \mathrm{tr} (\Lambda^i df)给出经典的Lefschetz公式。

另一个经典例子是Dolbeault复形(\Gamma(A^{p,q}),\bar{\partial}_q)。给定全纯映射f:M \to M

(1)\sum_i (-1)^i \mathrm{tr}_\mathbb{R} (\Lambda^i df)=\mathrm{tr}_\mathbb{C}(\Lambda^p \partial f)\mathrm{det}_\mathbb{C}(I-\bar{\partial}f)

(2)|\mathrm{det}_\mathbb{R}(I-df)|=\mathrm{det}_\mathbb{C}(I-\partial f)\mathrm{det}_\mathbb{C}(I-\bar{\partial} f)

(全纯Lefschetz不动点定理)\displaystyle L(f,A^{p,*})=\sum_x \frac{\mathrm{tr}_\mathbb{C}(\Lambda^p \partial f)(x)}{\mathrm{det}_\mathbb{C}(I-\partial f(x))}

p=0的情况特别简单:\displaystyle L(f,A^{0,*})=\sum_x \frac{1}{\mathrm{det}_\mathbb{C}(I-\partial f(x))}

上述结果不难推广到全纯向量丛E \otimes A^{p,q}上。

Atiyah, Bott  A Lefschetz Fixed Point Formula for Elliptic Complexes: Ⅱ. Applications

全纯Lefschetz不动点定理牵涉到一桩“公案”:1964年,志村五郎在Woods Hole会议上向Atiyah和Bott提及这个猜想,成为2人发展椭圆型不动点定理的最初推动力。志村的原意是推广Eichler对(一般域上的)代数曲线的自同态所做的工作,为此他甚至考虑了远为一般的代数簇间的对应。可以说,他与Atiyah-Bott各逞擅场。可惜,交流思想的结果并不愉快:事后志村对Bott不太提及他的贡献非常不满1

围绕Woods Hole不动点定理的历史与争议,Tu试图给出一个来自中方第三方的总结。三位当事人中,Bott去世已久,Atiyah用”very fair”评价Tu的文章,与之相对的,志村则拒绝为该文背书。


  1. 志村的心态很可玩味:一方面自甘淡泊,另一方面又非常在意主流数学界的“歧视”(例如与Serre关系恶劣)。Wiles证明了谷山-志村猜想后,他的评论极其简单却意味深长:“I told you so.” 

通往指标定理之路 Ⅳ

在开始讨论Hirzebruch-Riemann-Roch定理之前,我们列出标准的参考著作:

Hirzebruch  Topological Methods in Algebraic Geometry

我们假定讨论的所有复代数簇都是非奇异的(P^N的子流形,代数流形)。

经典代数几何中有一个著名的结论:代数曲线X的算术亏格等于几何亏格。稍加修饰,就得到Riemann-Roch定理:它是一个关于全纯线丛L \to X的Euler示性数的公式。“算术亏格等于几何亏格”对应L为平凡线丛的情形。

一般地,考虑代数流形X及全纯向量丛E \to X,我们有

(Hirzebruch-Riemann-Roch定理)\displaystyle \chi(E)=(\rm{ch}(E) \smallsmile \rm{td}(X))[X]

F.Hirzebruch (1927-  )

首先解释相关记号:

等式左边,Euler示性数\displaystyle \chi(E)=\sum (-1)^i H^i(X,E)E系数的层上同调定义。从Atiyah-Singer指标定理的角度看,它是Dirac算子D=\sqrt{2}(\bar{\partial}+\bar{\partial}^*)的指标。

等式右端,Chern类函子c_i是形式函子x_i的初等对称函数。利用乘法序列,我们可以进一步构造其他示性类。例如,完全Chern特征函子\mathrm{ch}=\sum \mathrm{ch}_i\sum e^{x_i}给出,完全Todd类函子\mathrm{td}=\sum \mathrm{td}_i\prod x_i/(1-e^{-x_i})给出。\mathrm{td}(TX)通常缩略为\mathrm{td}(X)\mathrm{ch}(E)\mathrm{td}(X)杯积给出一个新的示性类,等式右端是它的示性数。

2个特例:(1)取E为平凡线丛。公式左端给出Hirzebruch意义下的算术亏格,而右端退化为Todd示性数\mathrm{td}_n[M]:这是高维的“算术亏格等于几何亏格”。

(2)代数曲线X上的除子D给出全纯线丛L(D) \to X。此时公式的右端化为c_1[M]/2+c_1[L(D)]c_1[M]=2-2gc_1[L(D)]=\mathrm{deg}(D):我们重新得到经典Riemann-Roch定理。

Hirzebruch本人的原始证明分成3步,利用了许多在当时非常“前卫”的结果。(1)E为平凡线丛:他自己的号差定理(基于Thom的协边理论)以及A. Borel关于复Lie群同调论的工作;(2)E为一般线丛:用小平邦彦和Spencer的结果“代数流形的Picard群同构于主除子群”来分析线丛的结构;(3)E为一般向量丛:他再次利用了A. Borel关于复Lie群同调论的工作。当然,他还受益于Serre:Riemann-Roch定理可以从层上同调和示性类的角度来理解和推广源于Serre的洞见。他在Topological Methods in Algebraic Geometry的前言里表达了对这些人的谢意:这是“孤木不成林”的最好说明。

20世纪中叶,数学见证了拓扑方法在几何中的全面渗透。在这一大潮中,煊赫一时的Hirzebruch-Riemann-Roch定理很快在2个方向上得到了深远推广:Grothendieck-Riemann-Roch定理Atiyah-Singer指标定理

Dirac算子简介

\pi:E \to M是Riemann流形上的向量丛,以下讨论Dirac算子的数学理论。

主符号为\xi^2的椭圆算子\triangle:\Gamma(M,E) \to \Gamma(M, (T^*M)^2 \otimes E)称为广义Laplace算子。能量算子H=p^2/2m+V(x)是一个最简单的例子。假定E有一个\mathbb{Z}_2分次结构,满足D^2=\triangle的算子D:\Gamma(M,E^\pm) \to \Gamma(M,E^\mp)称为Dirac算子

下面这个例子是最基本的:E称为Clifford丛/Dirac丛,若\forall x \in M,纤维E_x有一个Clifford代数/左Clifford模的结构,前者记为Cl_n(X)。此时E是一个伴随O(n)丛,从而继承了与Clifford乘法相容的Levi-Civita联络:\nabla(ab)=(\nabla a)b+a(\nabla b)。定义Dirac算子D=e_k\nabla_k 。显然它与Clifford代数的自然\mathbb{Z}_2分次结构相一致。

M是无边紧流形,则上述Dirac算子是一个自共轭椭圆算子。由椭圆算子的一般理论\mathrm{ind}(D)=\mathrm{ind}(\triangle)有限。特别重要的是\mathrm{ind}(D)还有一个超对称解释:基于E\mathbb{Z}_2分次结构,D=\begin{pmatrix} 0&D^- \\ D^+&0 \end{pmatrix}D^-=(D^+)^*,从而\mathrm{ind}(D)等于超核\mathrm{dim}(\mathrm{ker}(D^+))-\mathrm{dim}(\mathrm{ker}(D^-))

Dirac算子的数学重要性在于它是一系列经典算子的推广:

(1)“量子代数”Cl(V)同构于“经典代数”\Lambda(V)=Cl(V,0)\mathbb{Z}_2分次丛\Omega^{*}(M)上有“经典”Dirac算子D=d+d^*,对应的广义Laplace算子为Laplace-Beltrami算子。由de Rham-Hodge理论\mathrm{ind}(D)将给出流形的Euler示性数\chi(M)

(2)现在假定M4k维定向紧流形。定义复化丛\Omega^p(M) \otimes \mathbb{C}上的复化Hodge星算子为(-1)^{k+p(p-1)/2}*。这个算子的\pm 1特征空间给出\Omega^{*}(M)的另一个\mathbb{Z}_2分次。基于复化Hodge星算子诱导的内积,定义D=d+d^*。若p<2k,Poincaré对偶保证D的超核限制在H^pH^{4k-p}上可成对消去,因而\mathrm{ind}(D)将给出流形的号差。

(3)对Kähler流形M上的全纯向量丛E,构造Clifford模\Lambda(T^{0,1}M)^*\otimes E,对应的Dirac算子为D=\sqrt{2}(\bar{\partial}+\bar{\partial}^*)。由HodgeKodaira理论\mathrm{ind}(D)将给出流形的全纯Euler示性数\chi(M,E)。特别地,复射影簇是Kähler流形,上述讨论可应用于代数几何。

Atiyah-Singer证明了Dirac算子的指标定理,这是椭圆算子指标定理的最基本例子。在上述3种情况下,Dirac算子的指标定理将退化为(1)Gauss-Bonnet-Chern定理;(2)Hirzebruch号差定理;(3)(Kähler流形上的)Riemann-Roch-Hirzebruch定理。

此外一个很重要的例子是自旋流形上的Dirac算子(Atiyah-Singer算子)及其指标定理(\hat{A}亏格公式)。我们接下来将分别沿着Kähler几何和自旋几何这两个方向讨论Riemann-Roch-Hirzebruch定理和\hat{A}亏格公式。

研究Dirac算子的数学分支又被称为Clifford分析。它当然推广了复分析,也推广了(从未成功过的)四元数分析。从这个意义上说,它完成了Atiyah的Jugendtraum。

附注:量子场论中常用Feynman斜杠记号{\not}\partial来表示Dirac算子。Lawson和Michelsohn在Spin geometry一书中用类似符号表示Atiyah-Singer算子。我们认为这个记号在美学上不可忍受。今后将避免这个记号的使用。

自旋,Pauli矩阵和Dirac方程

Schrödinger方程有2个先天“缺憾”:第一,非Lorentz不变;第二,不能描述自旋。

推广非相对论性的Schrödinger方程只能得到一个描述磁场的“半场论”。手法仍是量子化:利用Legendre变换将Maxwell理论的Lagrange描述切换到Hamilton描述后,形式地将Hamilton函数替换为能量算子。Uhlenbeck和Goudsmit发现这个“半场论”加上一个额外假设后可以很好地解释反常Zeeman效应:电子在3个正交的方向上各有一个“内蕴”的角动量,各对应2个特征态:“向上”或“向下”。令人印象深刻的是与(轨道)角动量不同,这个称为自旋的可观测量完全是量子的,它在经典理论中没有任何对应。

电子自旋的数学理论由Pauli完成。3个自旋算子S_k=\sigma_k/2\sigma_k称为Pauli矩阵

\sigma_1=\begin{pmatrix} 0&1 \\ 1&0 \end{pmatrix}\sigma_2=\begin{pmatrix} 0&-i \\ i&0 \end{pmatrix}\sigma_3=\begin{pmatrix} 1&0 \\ 0&-1 \end{pmatrix}

Pauli矩阵与四元数紧密相关:i\sigma_k是张成\mathfrak{su}(2)的一组基。这是Heisenberg图像的一个推论,事实上可以由这点反推出Pauli矩阵的形式。

总自旋算子S^2=\sum S_k^2对应量子数\frac{1}{2},故电子有自旋\frac{1}{2}。Pauli证明了自旋-统计定理:有半整数自旋的粒子满足Fermi-Dirac统计,有整数自旋的粒子则满足Bose-Einstein统计,由此直接推出电子满足Pauli不相容原理。他因为这一系列工作获得1945年的Nobel物理学奖。

W.Pauli (1900-1958)

 “Das ist nicht nur nicht richtig, es ist nicht einmal falsch! ”

下一个伟大发现由Dirac做出。Schrödinger方程的2个缺陷是相关的:电子的自旋并非先验性质,它可以由相对论性的Schrödinger方程推出。这也是通往量子电动力学的第一步。

考虑最简单的自由粒子。直接对相对论关系E^2=p^2+m^2进行量子化,得到:

(Klein-Gordon方程)(\square+m^2)\psi=0d’Alembert算子\displaystyle \square=\frac{\partial^2}{\partial t^2}-\triangle

给定波函数的初始条件即可确定其演化,这与Schrödinger方程是时间的一阶方程一致。然而Klein-Gordon方程却是时间的二阶方程,说明这个尝试不够成功。从场论的观点看,Klein-Gordon方程应该解释为某个标量场而非粒子的波函数,否则其概率流密度不能保持为正。

Dirac试图将d’Alembert算子表成某个算子的平方,从而将方程分解为一阶的:

(Dirac方程)(D\pm im)\psi=0Dirac算子\displaystyle D=\gamma^k \frac{\partial}{\partial x_k}D^2=\square

\gamma_k没有复数解。Dirac提出的矩阵解是\gamma_0=\begin{pmatrix} 0&I \\ I&0 \end{pmatrix}\gamma_k=\begin{pmatrix} 0&\sigma_k \\ -\sigma_k&0 \end{pmatrix}:描述自旋的Pauli矩阵自然而然地出现在Dirac方程中。

Dirac方程的另一深远推论是:由于正负Dirac算子均是\square的平方根,作为特征值的能量将允许取负值。Dirac设想电子浸没在(满足共轭方程的)正电子Dirac海中,这预言了反粒子的存在。

因为对量子理论的决定性贡献,Dirac和Schrödinger分享了1933年的Nobel物理学奖。

P.Dirac (1902-1984)

Atiyah和Singer在研究指标定理时“重新发现”了Dirac算子。事实上\{i\gamma_0,\gamma_k\}Clifford代数Cl_4=\mathbb{H}(2)的一组生成元。至此进一步推广Dirac算子的可能性已十分清楚。

附注:我在Dirac接受Oppenheim纪念奖的演说中读到,Schrödinger才是最早考虑Klein-Gordon方程的人,然而他也最先注意到这个方程与物理原理不相协调。经过几个月徒劳的努力,他才意识到非相对论性方程已对当时的实验数据有极强的解释力,从而(不情愿地)发表了后来大名鼎鼎的Schrödinger方程。

Spin群与自旋表示

研究3维空间中的旋转是一个历史久远的问题。经典的方法是借助Euler角坐标。然而依此设计的系统在实际应用中会遭遇严重的困难,例如发生万向节死锁

另一种得到广泛采用的表示基于事实:\mathrm{SU}(2)\mathrm{SO}(3)的双叶覆叠。由于\mathrm{SU}(2)同构于单位四元数群,也有人认为做出此发现却未发表的Gauss才是四元数之父。上述覆叠事实上是万有的。一般地,\pi_1(\mathrm{SO}(n))=\mathbb{Z}_2n \geq 3成立,其万有覆叠称为Spin群。另一方面,\mathbb{H}=Cl_3^0。这并非偶然。我们将说明Spin群与Clifford代数有天然的联系。

假定V为有限维空间,q非退化,考虑扭伴随表示(twisted adjoint representation):

\widetilde{\mathrm{Ad}}:Cl^{*}(V,q) \to \mathrm{Aut}(Cl(V,q))\widetilde{\mathrm{Ad}}_x(y)=\alpha(x)yx^{-1}

我们感兴趣的是\tilde{P}(V,q)=\{x:\widetilde{\mathrm{Ad}}_x (V)\subset V\}\widetilde{\mathrm{Ad}}_x给出到\mathrm{ISO}(V)的表示。

引入范数N(x)=x\bar{x}N限制在\tilde{P}(V,q)上时是到K^*的同态。我们定义Pin群\mathrm{Pin}(V,q)=\mathrm{ker} N \cap \tilde{P}(V,q)。作为Cl(V,q)的子群,Pin群可分为奇部分和偶部分(子群),我们称偶部分为Spin群:\mathrm{Spin}(V,q)=\mathrm{Pin}^0(V,q)

回到实向量空间的情形。\mathrm{Pin}(n)\mathbb{R}^n中的所有单位向量生成,而Cartan-Dieudonné定理指出\mathrm{O}(n)\mathbb{R}^n中的反射生成。生成元的对应关系\pm v \to \{v正交的空间上的反射\}给出1 \to \mathbb{Z}_2 \to \mathrm{Pin}(n) \to \mathrm{O}(n) \to 1

类似的,1 \to \mathbb{Z}_2 \to \mathrm{Spin}(n) \to \mathrm{SO}(n) \to 1

通过Clifford代数的复化,不难定义\mathrm{Pin}^\mathbb{C}\mathrm{Spin}^\mathbb{C}

注记1

“Pin群”这个名词是Serre的发明。诚然,Pin群之于Spin群正如\mathrm{O}(n)之于\mathrm{SO}(n),但更精微的理由是Pine在法国俚语中意为Penis,从而“Pin群可分为奇部分和偶部分”便有了隐喻色彩。既然“Pin群”无法中译而不失“精髓”,我们索性也不翻译本可译为“自旋群”的“Spin群”。

注记2

Gauss的发现是低维Lie群之间例外同构的一例。利用Spin群可以给出简单的“解释”,参见Lawson, Michelsohn Chapter Ⅰ §8。

如上所述,Cl_{r,s}\mathbb{R}^{r,s}上有自然的表示\mathrm{\widetilde{Ad}}。更一般的,由Clifford代数的结构定理可完整描述所有不可约表示。例如,对Cl_n的不可约表示,v_n记其个数,d_n记其维数,K_n记其极大基域,\mathfrak{M}_n记其Grothendieck群,复的情况类推,得到:

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我们记\mathfrak{M}_n的偶子群为\widetilde{\mathfrak{M}}_nCl_n \cong Cl_{n+1}^0给出\mathfrak{M}_n \cong \widetilde{\mathfrak{M}}_{n+1}

以下同构在讨论K理论时非常有用:

\widetilde{\mathfrak{M}}_m \widetilde{\otimes}_\mathbb{Z} \widetilde{\mathfrak{M}}_n \cong \widetilde{\mathfrak{M}}_{m+n}\widetilde{\mathfrak{M}}_m^\mathbb{C} \widetilde{\otimes}_\mathbb{Z} \widetilde{\mathfrak{M}}_n^\mathbb{C} \cong \widetilde{\mathfrak{M}}_{m+n}^\mathbb{C}

Clifford代数的表示诱导Spin群的自旋表示\triangle_n,每个表示称为一个旋子。这个命名来自Ehrenfest在量子力学方面的工作。我们将专文讨论旋子与量子力学及量子场论的联系。

Clifford代数简介

200年来,许多人从不同方面研究过Clifford代数和自旋表示,但认识到它们处在整个数学/数学物理的核心则是晚近得多的事。下面是一份(不完备的)历史回顾。

超复数系:Hamilton, Grassmann, Clifford

表示论,Lie群,Bott周期性:E.Cartan, Weyl, Chevalley, Bott

Riemann几何:E. Cartan, Berger

Dirac算子,量子场论,超对称:Dirac, Atiyah, Singer, Witten

接下来我们希望从容地讨论每一个方面。

本文的主要参考文献是专著

Lawson, Michelsohn  Spin Geometry

以及一篇非常重要的论文

Atiyah, Bott, Shapiro  Clifford Modules

给定K-向量空间V,张量代数T(V)是由V生成的自由结合代数。在V上选取二次型qClifford代数Cl(V,q)定义为T(V)模去v^2+q(v)1=0v \in V。由于线性空间之间保持二次型的线性映射可唯一扩张为相应Clifford代数之间的同态,上述定义给出(V,q)到结合代数的Clifford函子。

以下假定\mathrm{char}(K) \neq 2。此时有等价刻画uw+wu=-2q(v,w)v,w \in V,其中2q(v,w)=q(v+w)-q(v)-q(w)极化恒等式

Clifford代数附带有(1)反射自同构\alpha:线性映射\alpha(v)=-v的扩张;(2)转置反自同构:x \mapsto x^tx_1 \otimes \cdots \otimes x_k \mapsto x_k \otimes \cdots \otimes x_1;(3)共轭反自同构:\bar{x}=\alpha(x^t)

下面是2个有深刻物理背景的性质:

(1)Clifford代数推广了外代数:后者对应q \equiv 0。更一般的,T(V)Cl(V,q)上诱导一个滤过代数结构,外代数\Lambda(V)作为其伴随分次代数同构于Cl(V,q)

Clifford代数是描述Fermi子的合适代数结构,就这个意义上来说它是外代数的“量子化”。Bose子由Weyl代数描述,它是对称代数的“量子化”。

(2)除滤过代数结构外,T(V)还在Cl(V,q)上诱导一个\mathbb{Z}_2分次代数结构。偶部分记为Cl^0(V,q)(它是一个Clifford子代数),奇部分记为Cl^1(V,q),它们分别对应\alpha的正负特征子空间。

Atiyah等人引入分次结构的初衷之一是观察到如下优美性质:设V=V_1 \oplus V_2是基于q的正交分解,q_i=q|_{V_i},则有同构Cl(V,q) \cong Cl(V_1,q_1) \widehat{\otimes} Cl(V_2,q_2)\widehat{\otimes}\mathbb{Z}_2分次张量积。基于Witten等人的工作,现在熟知这个分次结构对应超对称

接下来转向具体例子的考察。取n维Minkowski空间\mathbb{R}^{r,s},相应的Clifford代数记为Cl_{r,s}。记Cl_{n,0}=Cl_nCl_{0,n}=Cl_n^*,不难决定Cl_1=\mathbb{C}Cl_2=\mathbb{H}Cl_1^*=\mathbb{R}\oplus \mathbb{R}Cl_2^*=\mathbb{R}(2)(所有2\times 2实矩阵)。

为完全决定Cl_nCl_n^*,考虑Cl_n \otimes Cl_2^*\cong Cl_{n+2}^*Cl_n^* \otimes Cl_2 \cong Cl_{n+2}。由此推出Bott同构Cl_{n+8} \cong Cl_n \otimes Cl_8, Cl_{n+8}^* \cong Cl_n^* \otimes Cl_8^*

Bott同构最早是由E.Cartan发现的,它与正交群的Bott周期性紧密相关。

\mathbb{C}l_nCl_{r,s}的复化,q_\mathbb{C}(z)=\sum_1^n z_i^2,复Clifford代数可以简单地通过作张量积\otimes_\mathbb{R} \mathbb{C}得到。此时有Bott同构\mathbb{C}l_{n+2} \cong \mathbb{C}l_n \otimes \mathbb{C}l_2,对应酉群的Bott周期性。

下面是一张分类表,由分解Cl_{r,s} \cong (Cl_1)^r \widehat{\otimes} (Cl_1^*)^s不难确定所有Cl_{r,s}\mathbb{C}l_n

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