自旋流形和旋子丛的基本性质

主 $G$ 丛 $P \to M$ 的等价类同构于Čech上同调群 $H^1(M,G)$ 。

(1) $0 \to \mathrm{SO}(m) \to \mathrm{O}(m) \to \mathbb{Z}_2 \to 0$ 。主 $\mathrm{O}(m)$ 丛 $P$ 可定向，等价于 $P$ 的结构群可约化为 $\mathrm{SO}(m)$ ，等价于Stiefel-Whitney类 $w_1(P) \in H^1(M,\mathbb{Z}_2)$ 的消没。

(2) $n \geq 3$ 时， $0 \to \mathbb{Z}_2 \to \mathrm{Spin}(m) \to \mathrm{SO}(m) \to 0$ 。主 $\mathrm{SO}(m)$ 丛 $P$ 是某个 $\mathrm{Spin}(m)$ 丛的约化，等价于Stiefel-Whitney类 $w_2(P) \in H^2(M,\mathbb{Z}_2)$ 的消没。

$m$ 阶Riemann向量丛 $E$ 可定向当且仅当其正交标架丛 $P_\mathrm{O}(E)$ 满足消没条件(1)。此时称 $E$ 有一个自旋结构，若定向正交标架丛 $P_\mathrm{SO}(E)$ 进一步满足消没条件(2)。

我们感兴趣的是Riemann流形 $(M^n,g)$ 。称 $M$ 是自旋流形，若切丛 $TM$ 有自旋结构： $w_1(M)=0$ ， $w_2(M)=0$ 。一些常见的例子：

(1)所有维数不大于3的可定向紧流形。2维的情况等价于Euler示性数为偶数。3维的情况则可由可定向3-流形的切丛平凡(Stiefel)这一事实推出；(2) $S^n$ ， $\mathbb{R}P^{4n+3}$ ；(3)复流形 $M$ 是自旋流形等价于 $c_1[M]$ 是偶数。这包括 $\mathbb{C}P^{2n+1}$ 和Calabi-Yau流形。

对于复自旋流形，许多讨论是平行的。参见Lawson, Michelsohn APPENDIX D.

由复自旋表示 $\Delta_m:\mathrm{Spin}(m) \to \mathrm{U}(V)$ 给出的伴随丛 $S(E)=P_\mathrm{Spin}(E) \times_{\Delta_m} V$ 称为旋子丛。特别地，自旋流形上有典范旋子丛 $S(M)=S(TM)$ 。

内积空间 $V$ 是一个Clifford模。遵从Lawson, Michelsohn，我们称 $S(M)$ 上的Dirac算子 $D$ 为Atiyah-Singer算子。这是二人发展指标定理的最初例子。

自旋流形的示性类有一些重要的性质：

(1)对于 $2n$ 维可定向向量丛 $E \to M$ ， $E \otimes \mathbb{C} \sim \oplus (l_k \oplus \bar{l}_k)$ ， $x_k=c_1(l_k)$ ，其全 $\hat{A}$ 类由乘法序列 $\displaystyle \prod \frac{x_k/2}{\mathrm{sinh}(x_k/2)}$ 定义。假定 $M^{4k}$ 紧致且可定向， $M$ 的 $\hat{A}$ 亏格定义为示性数 $\hat{A}_k[M]$ 。 $\hat{A}$ 亏格通常不是整数，不过自旋流形的 $\hat{A}$ 亏格却是整数。这是Borel和Hirzebruch的结果，而Atiyah和Singer发现可以将 $\hat{A}$ 亏格解释为Dirac算子的指标：

(Atiyah-Singer) $\mathrm{ind}(D)=\hat{A}_k[M]$

更进一步，若 $k$ 为奇数， $\hat{A}$ 亏格将为偶数：此时复自旋表示 $\Delta_{4k}$ 是四元数表示，故 $D$ 的核与余核均为四元数向量空间，其复维数均为偶数。

(2)

(Rokhlin)闭自旋流形的号差 $\tau(M)$ 是16的倍数。

Rokhlin本人的证明基于同伦论的考虑。这也可以由Atiyah-Singer指标定理推出： $\tau(M^4)$ 等于L亏格 $L_1[M]$ ， $L_1[M]=-8\hat{A}_1[M]$ ，而此时 $\hat{A}$ 亏格是偶数。

Rokhlin定理提供了一个检测4维拓扑流形是否有光滑结构的工具，这在Freedman的工作中得到应用。

椭圆复形与Atiyah-Bott不动点定理

我们多次讨论过与外微分形式相关的系列结果：(1)de Rham-Hodge理论；(2)Lefschetz不动点定理；(3)Poincaré–Hopf定理以及(4)Gauss-Bonnet-Chern定理。从Dirac丛和Dirac算子的观点考虑，我们要问这些结果的相应推广是什么？对于一般的椭圆算子，情况又如何？

作为模本，首先回顾(2)：光滑映射 $f:M \to M$ 下的不动点 $x \in M$ 称为非退化的，若 $\mathrm{det}(I-df(x)) \neq 0$ ，其指数 $l_f(x)$ 定义为 $\mathrm{sgn}\mathrm{det}(I-df(x))$ 。另一方面， $f$ 诱导 $H^i_{dR}(M)$ 的自同态 $f^i_*$ ，定义 $f$ 的Lefschetz数 $L(f)=\sum (-1)^i \mathrm{tr} f^i_*$

(Lefschetz不动点定理) $\displaystyle L(f)=\sum_x l_f(x)$

横截向量场在 $M$ 上定义了相流 $f^t$ ， $\displaystyle \mathrm{lim}_{t \to 0} f^t=I$ 。公式左端， $L(I)=\chi(M)$ ，而右端，相流的不动点恰是向量场的奇点：我们得到(3)的特例。这显示Lefschetz不动点定理不能描述“多重横截相交”，在这个方向上推广的结果往往冠以Lefschetz-Hopf之名。

回到最初的问题。在知道答案(4)Atiyah-Singer指标定理的情况下，Atiyah和Bott考虑了余下的推广：(1)在椭圆复形的概念下得到统一，而(2)给出著名的Atiyah-Bott不动点定理。

Atiyah, Bott A Lefschetz Fixed Point Formula for Elliptic Complexes： Ⅰ

椭圆复形指的是上链复形 $(\Gamma(E_i),D_i)$ ，要求 $D_i$ 是向量丛 $E_i$ 到 $E_{i+1}$ 的椭圆算子。满足 $T_{i+1}D_i=D_iT_i$ 的自同态 $T_i:\Gamma(E_i) \to \Gamma(E_i)$ 诱导 $H^i(\Gamma(E))$ 的自同态 $T_i^*$ 。由椭圆算子理论， $\mathrm{dim}H^i(\Gamma(E))<\infty$ ，于是我们可以定义 $T$ 的Lefschetz数 $L(T)=\sum (-1)^i \mathrm{tr} T_i^*$ 。

我们最感兴趣的仍是光滑映射 $f:M \to M$ 。给定丛同态 $\phi_i:f^*E_i \to E_i$ ，可取 $T_i$ 为 $\Gamma(\phi_i) \circ f_i^*$ 。注意在不动点 $x \in M$ 处， $\phi_i(x)$ 是一个线性映射。

(Atiyah-Bott不动点定理) $\displaystyle L(T)=\sum_x \frac{\sum_i (-1)^i\mathrm{tr}\phi_i(x)}{|\mathrm{det}(I-df(x))|}$

对于de Rham复形， $\phi_i$ 有自然选取 $\Lambda^i df$ ， $\mathrm{det}(I-df)=\sum_i (-1)^i \mathrm{tr} (\Lambda^i df)$ 给出经典的Lefschetz公式。

另一个经典例子是Dolbeault复形 $(\Gamma(A^{p,q}),\bar{\partial}_q)$ 。给定全纯映射 $f:M \to M$ ：

(1) $\sum_i (-1)^i \mathrm{tr}_\mathbb{R} (\Lambda^i df)=\mathrm{tr}_\mathbb{C}(\Lambda^p \partial f)\mathrm{det}_\mathbb{C}(I-\bar{\partial}f)$ ；

(2) $|\mathrm{det}_\mathbb{R}(I-df)|=\mathrm{det}_\mathbb{C}(I-\partial f)\mathrm{det}_\mathbb{C}(I-\bar{\partial} f)$ ；

(全纯Lefschetz不动点定理) $\displaystyle L(f,A^{p,*})=\sum_x \frac{\mathrm{tr}_\mathbb{C}(\Lambda^p \partial f)(x)}{\mathrm{det}_\mathbb{C}(I-\partial f(x))}$

$p=0$ 的情况特别简单： $\displaystyle L(f,A^{0,*})=\sum_x \frac{1}{\mathrm{det}_\mathbb{C}(I-\partial f(x))}$

上述结果不难推广到全纯向量丛 $E \otimes A^{p,q}$ 上。

Atiyah, Bott A Lefschetz Fixed Point Formula for Elliptic Complexes： Ⅱ. Applications

全纯Lefschetz不动点定理牵涉到一桩“公案”：1964年，志村五郎在Woods Hole会议上向Atiyah和Bott提及这个猜想，成为2人发展椭圆型不动点定理的最初推动力。志村的原意是推广Eichler对（一般域上的）代数曲线的自同态所做的工作，为此他甚至考虑了远为一般的代数簇间的对应。可以说，他与Atiyah-Bott各逞擅场。可惜，交流思想的结果并不愉快：事后志村对Bott不太提及他的贡献非常不满¹。

围绕Woods Hole不动点定理的历史与争议，Tu试图给出一个来自中方第三方的总结。三位当事人中，Bott去世已久，Atiyah用”very fair”评价Tu的文章，与之相对的，志村则拒绝为该文背书。

志村的心态很可玩味：一方面自甘淡泊，另一方面又非常在意主流数学界的“歧视”(例如与Serre关系恶劣)。Wiles证明了谷山-志村猜想后，他的评论极其简单却意味深长：“I told you so.” ↩

通往指标定理之路 Ⅳ

在开始讨论Hirzebruch-Riemann-Roch定理之前，我们列出标准的参考著作：

Hirzebruch Topological Methods in Algebraic Geometry

我们假定讨论的所有复代数簇都是非奇异的( $P^N$ 的子流形，代数流形)。

经典代数几何中有一个著名的结论：代数曲线 $X$ 的算术亏格等于几何亏格。稍加修饰，就得到Riemann-Roch定理：它是一个关于全纯线丛 $L \to X$ 的Euler示性数的公式。“算术亏格等于几何亏格”对应 $L$ 为平凡线丛的情形。

一般地，考虑代数流形 $X$ 及全纯向量丛 $E \to X$ ，我们有

(Hirzebruch-Riemann-Roch 定理) $\displaystyle \chi(E)=(\rm{ch}(E) \smallsmile \rm{td}(X))[X]$

F.Hirzebruch (1927- )

首先解释相关记号：

等式左边，Euler示性数 $\displaystyle \chi(E)=\sum (-1)^i H^i(X,E)$ 由 $E$ 系数的层上同调定义。从Atiyah-Singer指标定理的角度看，它是Dirac算子 $D=\sqrt{2}(\bar{\partial}+\bar{\partial}^*)$ 的指标。

等式右端，Chern类函子 $c_i$ 是形式函子 $x_i$ 的初等对称函数。利用乘法序列，我们可以进一步构造其他示性类。例如，完全Chern特征函子 $\mathrm{ch}=\sum \mathrm{ch}_i$ 由 $\sum e^{x_i}$ 给出，完全Todd类函子 $\mathrm{td}=\sum \mathrm{td}_i$ 由 $\prod x_i/(1-e^{-x_i})$ 给出。 $\mathrm{td}(TX)$ 通常缩略为 $\mathrm{td}(X)$ 。 $\mathrm{ch}(E)$ 与 $\mathrm{td}(X)$ 的杯积给出一个新的示性类，等式右端是它的示性数。

2个特例：(1)取 $E$ 为平凡线丛。公式左端给出Hirzebruch意义下的算术亏格，而右端退化为Todd示性数 $\mathrm{td}_n[M]$ ：这是高维的“算术亏格等于几何亏格”。

(2)代数曲线 $X$ 上的除子 $D$ 给出全纯线丛 $L(D) \to X$ 。此时公式的右端化为 $c_1[M]/2+c_1[L(D)]$ 。 $c_1[M]=2-2g$ ， $c_1[L(D)]=\mathrm{deg}(D)$ ：我们重新得到经典Riemann-Roch定理。

Hirzebruch本人的原始证明分成3步，利用了许多在当时非常“前卫”的结果。(1) $E$ 为平凡线丛：他自己的号差定理(基于Thom的协边理论)以及A. Borel关于复Lie群同调论的工作；(2) $E$ 为一般线丛：用小平邦彦和Spencer的结果“代数流形的Picard群同构于主除子群”来分析线丛的结构；(3) $E$ 为一般向量丛：他再次利用了A. Borel关于复Lie群同调论的工作。当然，他还受益于Serre：Riemann-Roch定理可以从层上同调和示性类的角度来理解和推广源于Serre的洞见。他在Topological Methods in Algebraic Geometry的前言里表达了对这些人的谢意：这是“孤木不成林”的最好说明。

20世纪中叶，数学见证了拓扑方法在几何中的全面渗透。在这一大潮中，煊赫一时的Hirzebruch-Riemann-Roch定理很快在2个方向上得到了深远推广：Grothendieck-Riemann-Roch定理和Atiyah-Singer指标定理。

Dirac算子简介

设 $\pi:E \to M$ 是Riemann流形上的向量丛，以下讨论Dirac算子的数学理论。

主符号为 $\xi^2$ 的椭圆算子 $\triangle:\Gamma(M,E) \to \Gamma(M, (T^*M)^2 \otimes E)$ 称为广义Laplace算子。能量算子 $H=p^2/2m+V(x)$ 是一个最简单的例子。假定 $E$ 有一个 $\mathbb{Z}_2$ 分次结构，满足 $D^2=\triangle$ 的算子 $D:\Gamma(M,E^\pm) \to \Gamma(M,E^\mp)$ 称为Dirac算子。

下面这个例子是最基本的： $E$ 称为Clifford丛/Dirac丛，若 $\forall x \in M$ ，纤维 $E_x$ 有一个Clifford代数/左Clifford模的结构，前者记为 $Cl_n(X)$ 。此时 $E$ 是一个伴随 $O(n)$ 丛，从而继承了与Clifford乘法相容的Levi-Civita联络： $\nabla(ab)=(\nabla a)b+a(\nabla b)$ 。定义Dirac算子 $D=e_k\nabla_k$ 。显然它与Clifford代数的自然 $\mathbb{Z}_2$ 分次结构相一致。

若 $M$ 是无边紧流形，则上述Dirac算子是一个自共轭椭圆算子。由椭圆算子的一般理论知 $\mathrm{ind}(D)=\mathrm{ind}(\triangle)$ 有限。特别重要的是 $\mathrm{ind}(D)$ 还有一个超对称解释：基于 $E$ 的 $\mathbb{Z}_2$ 分次结构， $D=\begin{pmatrix} 0&D^- \\ D^+&0 \end{pmatrix}$ ， $D^-=(D^+)^*$ ，从而 $\mathrm{ind}(D)$ 等于超核 $\mathrm{dim}(\mathrm{ker}(D^+))-\mathrm{dim}(\mathrm{ker}(D^-))$ 。

Dirac算子的数学重要性在于它是一系列经典算子的推广：

(1)“量子代数” $Cl(V)$ 同构于“经典代数” $\Lambda(V)=Cl(V,0)$ 。 $\mathbb{Z}_2$ 分次丛 $\Omega^{*}(M)$ 上有“经典”Dirac算子 $D=d+d^*$ ，对应的广义Laplace算子为Laplace-Beltrami算子。由de Rham-Hodge理论， $\mathrm{ind}(D)$ 将给出流形的Euler示性数 $\chi(M)$ 。

(2)现在假定 $M$ 是 $4k$ 维定向紧流形。定义复化丛 $\Omega^p(M) \otimes \mathbb{C}$ 上的复化Hodge星算子为 $(-1)^{k+p(p-1)/2}*$ 。这个算子的 $\pm 1$ 特征空间给出 $\Omega^{*}(M)$ 的另一个 $\mathbb{Z}_2$ 分次。基于复化Hodge星算子诱导的内积，定义 $D=d+d^*$ 。若 $p<2k$ ，Poincaré对偶保证 $D$ 的超核限制在 $H^p$ 和 $H^{4k-p}$ 上可成对消去，因而 $\mathrm{ind}(D)$ 将给出流形的号差。

(3)对Kähler流形 $M$ 上的全纯向量丛 $E$ ，构造Clifford模 $\Lambda(T^{0,1}M)^*\otimes E$ ，对应的Dirac算子为 $D=\sqrt{2}(\bar{\partial}+\bar{\partial}^*)$ 。由Hodge –Kodaira理论， $\mathrm{ind}(D)$ 将给出流形的全纯Euler示性数 $\chi(M,E)$ 。特别地，复射影簇是Kähler流形，上述讨论可应用于代数几何。

Atiyah-Singer证明了Dirac算子的指标定理，这是椭圆算子指标定理的最基本例子。在上述3种情况下，Dirac算子的指标定理将退化为(1)Gauss-Bonnet-Chern定理；(2)Hirzebruch号差定理；(3)(Kähler流形上的)Riemann-Roch-Hirzebruch定理。

此外一个很重要的例子是自旋流形上的Dirac算子(Atiyah-Singer算子)及其指标定理( $\hat{A}$ 亏格公式)。我们接下来将分别沿着Kähler几何和自旋几何这两个方向讨论Riemann-Roch-Hirzebruch定理和 $\hat{A}$ 亏格公式。

研究Dirac算子的数学分支又被称为Clifford分析。它当然推广了复分析，也推广了(从未成功过的)四元数分析。从这个意义上说，它完成了Atiyah的Jugendtraum。

附注：量子场论中常用Feynman斜杠记号 ${\not}\partial$ 来表示Dirac算子。Lawson和Michelsohn在Spin geometry一书中用类似符号表示Atiyah-Singer算子。我们认为这个记号在美学上不可忍受。今后将避免这个记号的使用。

自旋，Pauli矩阵和Dirac方程

Schrödinger方程有2个先天“缺憾”：第一，非Lorentz不变；第二，不能描述自旋。

推广非相对论性的Schrödinger方程只能得到一个描述磁场的“半场论”。手法仍是量子化：利用Legendre变换将Maxwell理论的Lagrange描述切换到Hamilton描述后，形式地将Hamilton函数替换为能量算子。Uhlenbeck和Goudsmit发现这个“半场论”加上一个额外假设后可以很好地解释反常Zeeman效应：电子在3个正交的方向上各有一个“内蕴”的角动量，各对应2个特征态：“向上”或“向下”。令人印象深刻的是与(轨道)角动量不同，这个称为自旋的可观测量完全是量子的，它在经典理论中没有任何对应。

电子自旋的数学理论由Pauli完成。3个自旋算子 $S_k=\sigma_k/2$ ， $\sigma_k$ 称为Pauli矩阵：

$\sigma_1=\begin{pmatrix} 0&1 \\ 1&0 \end{pmatrix}$ ， $\sigma_2=\begin{pmatrix} 0&-i \\ i&0 \end{pmatrix}$ ， $\sigma_3=\begin{pmatrix} 1&0 \\ 0&-1 \end{pmatrix}$

Pauli矩阵与四元数紧密相关： $i\sigma_k$ 是张成 $\mathfrak{su}(2)$ 的一组基。这是Heisenberg图像的一个推论，事实上可以由这点反推出Pauli矩阵的形式。

总自旋算子 $S^2=\sum S_k^2$ 对应量子数 $\frac{1}{2}$ ，故电子有自旋 $\frac{1}{2}$ 。Pauli证明了自旋-统计定理：有半整数自旋的粒子满足Fermi-Dirac统计，有整数自旋的粒子则满足Bose-Einstein统计，由此直接推出电子满足Pauli不相容原理。他因为这一系列工作获得1945年的Nobel物理学奖。

W.Pauli (1900-1958)

“Das ist nicht nur nicht richtig, es ist nicht einmal falsch! ”

下一个伟大发现由Dirac做出。Schrödinger方程的2个缺陷是相关的：电子的自旋并非先验性质，它可以由相对论性的Schrödinger方程推出。这也是通往量子电动力学的第一步。

考虑最简单的自由粒子。直接对相对论关系 $E^2=p^2+m^2$ 进行量子化，得到：

(Klein-Gordon方程) $(\square+m^2)\psi=0$ ，d’Alembert算子 $\displaystyle \square=\frac{\partial^2}{\partial t^2}-\triangle$

给定波函数的初始条件即可确定其演化，这与Schrödinger方程是时间的一阶方程一致。然而Klein-Gordon方程却是时间的二阶方程，说明这个尝试不够成功。从场论的观点看，Klein-Gordon方程应该解释为某个标量场而非粒子的波函数，否则其概率流密度不能保持为正。

Dirac试图将d’Alembert算子表成某个算子的平方，从而将方程分解为一阶的：

(Dirac方程) $(D\pm im)\psi=0$ ，Dirac算子 $\displaystyle D=\gamma^k \frac{\partial}{\partial x_k}$ ， $D^2=\square$ 。

$\gamma_k$ 没有复数解。Dirac提出的矩阵解是 $\gamma_0=\begin{pmatrix} 0&I \\ I&0 \end{pmatrix}$ ， $\gamma_k=\begin{pmatrix} 0&\sigma_k \\ -\sigma_k&0 \end{pmatrix}$ ：描述自旋的Pauli矩阵自然而然地出现在Dirac方程中。

Dirac方程的另一深远推论是：由于正负Dirac算子均是 $\square$ 的平方根，作为特征值的能量将允许取负值。Dirac设想电子浸没在(满足共轭方程的)正电子的Dirac海中，这预言了反粒子的存在。

因为对量子理论的决定性贡献，Dirac和Schrödinger分享了1933年的Nobel物理学奖。

P.Dirac (1902-1984)

Atiyah和Singer在研究指标定理时“重新发现”了Dirac算子。事实上 $\{i\gamma_0,\gamma_k\}$ 是Clifford代数 $Cl_4=\mathbb{H}(2)$ 的一组生成元。至此进一步推广Dirac算子的可能性已十分清楚。

附注：我在Dirac接受Oppenheim纪念奖的演说中读到，Schrödinger才是最早考虑Klein-Gordon方程的人，然而他也最先注意到这个方程与物理原理不相协调。经过几个月徒劳的努力，他才意识到非相对论性方程已对当时的实验数据有极强的解释力，从而(不情愿地)发表了后来大名鼎鼎的Schrödinger方程。

Spin群与自旋表示

研究3维空间中的旋转是一个历史久远的问题。经典的方法是借助Euler角坐标。然而依此设计的系统在实际应用中会遭遇严重的困难，例如发生万向节死锁。

另一种得到广泛采用的表示基于事实： $\mathrm{SU}(2)$ 是 $\mathrm{SO}(3)$ 的双叶覆叠。由于 $\mathrm{SU}(2)$ 同构于单位四元数群，也有人认为做出此发现却未发表的Gauss才是四元数之父。上述覆叠事实上是万有的。一般地， $\pi_1(\mathrm{SO}(n))=\mathbb{Z}_2$ 对 $n \geq 3$ 成立，其万有覆叠称为Spin群。另一方面， $\mathbb{H}=Cl_3^0$ 。这并非偶然。我们将说明Spin群与Clifford代数有天然的联系。

假定 $V$ 为有限维空间， $q$ 非退化，考虑扭伴随表示(twisted adjoint representation)：

$\widetilde{\mathrm{Ad}}:Cl^{*}(V,q) \to \mathrm{Aut}(Cl(V,q))$ ， $\widetilde{\mathrm{Ad}}_x(y)=\alpha(x)yx^{-1}$

我们感兴趣的是 $\tilde{P}(V,q)=\{x:\widetilde{\mathrm{Ad}}_x (V)\subset V\}$ ： $\widetilde{\mathrm{Ad}}_x$ 给出到 $\mathrm{ISO}(V)$ 的表示。

引入范数 $N(x)=x\bar{x}$ 。 $N$ 限制在 $\tilde{P}(V,q)$ 上时是到 $K^*$ 的同态。我们定义Pin群 $\mathrm{Pin}(V,q)=\mathrm{ker} N \cap \tilde{P}(V,q)$ 。作为 $Cl(V,q)$ 的子群，Pin群可分为奇部分和偶部分(子群)，我们称偶部分为Spin群： $\mathrm{Spin}(V,q)=\mathrm{Pin}^0(V,q)$ 。

回到实向量空间的情形。 $\mathrm{Pin}(n)$ 由 $\mathbb{R}^n$ 中的所有单位向量生成，而Cartan-Dieudonné定理指出 $\mathrm{O}(n)$ 由 $\mathbb{R}^n$ 中的反射生成。生成元的对应关系 $\pm v \to \{$ 与 $v$ 正交的空间上的反射 $\}$ 给出 $1 \to \mathbb{Z}_2 \to \mathrm{Pin}(n) \to \mathrm{O}(n) \to 1$ 。

类似的， $1 \to \mathbb{Z}_2 \to \mathrm{Spin}(n) \to \mathrm{SO}(n) \to 1$ 。

通过Clifford代数的复化，不难定义 $\mathrm{Pin}^\mathbb{C}$ 和 $\mathrm{Spin}^\mathbb{C}$ 。

注记1

“Pin群”这个名词是Serre的发明。诚然，Pin群之于Spin群正如 $\mathrm{O}(n)$ 之于 $\mathrm{SO}(n)$ ，但更精微的理由是Pine在法国俚语中意为Penis，从而“Pin群可分为奇部分和偶部分”便有了隐喻色彩。既然“Pin群”无法中译而不失“精髓”，我们索性也不翻译本可译为“自旋群”的“Spin群”。

注记2

Gauss的发现是低维Lie群之间例外同构的一例。利用Spin群可以给出简单的“解释”，参见Lawson, Michelsohn Chapter Ⅰ §8。

如上所述， $Cl_{r,s}$ 在 $\mathbb{R}^{r,s}$ 上有自然的表示 $\mathrm{\widetilde{Ad}}$ 。更一般的，由Clifford代数的结构定理可完整描述所有不可约表示。例如，对 $Cl_n$ 的不可约表示， $v_n$ 记其个数， $d_n$ 记其维数， $K_n$ 记其极大基域， $\mathfrak{M}_n$ 记其Grothendieck群，复的情况类推，得到：

点击放大

我们记 $\mathfrak{M}_n$ 的偶子群为 $\widetilde{\mathfrak{M}}_n$ 。 $Cl_n \cong Cl_{n+1}^0$ 给出 $\mathfrak{M}_n \cong \widetilde{\mathfrak{M}}_{n+1}$ 。

以下同构在讨论K理论时非常有用：

$\widetilde{\mathfrak{M}}_m \widetilde{\otimes}_\mathbb{Z} \widetilde{\mathfrak{M}}_n \cong \widetilde{\mathfrak{M}}_{m+n}$ ， $\widetilde{\mathfrak{M}}_m^\mathbb{C} \widetilde{\otimes}_\mathbb{Z} \widetilde{\mathfrak{M}}_n^\mathbb{C} \cong \widetilde{\mathfrak{M}}_{m+n}^\mathbb{C}$

Clifford代数的表示诱导Spin群的自旋表示 $\triangle_n$ ，每个表示称为一个旋子。这个命名来自Ehrenfest在量子力学方面的工作。我们将专文讨论旋子与量子力学及量子场论的联系。

Clifford代数简介

200年来，许多人从不同方面研究过Clifford代数和自旋表示，但认识到它们处在整个数学/数学物理的核心则是晚近得多的事。下面是一份(不完备的)历史回顾。

超复数系：Hamilton, Grassmann, Clifford

表示论，Lie群，Bott周期性：E.Cartan, Weyl, Chevalley, Bott

Riemann几何：E. Cartan, Berger

Dirac算子，量子场论，超对称：Dirac, Atiyah, Singer, Witten

接下来我们希望从容地讨论每一个方面。

本文的主要参考文献是专著

Lawson, Michelsohn Spin Geometry

以及一篇非常重要的论文

Atiyah, Bott, Shapiro Clifford Modules

给定 $K$ -向量空间 $V$ ，张量代数 $T(V)$ 是由 $V$ 生成的自由结合代数。在 $V$ 上选取二次型 $q$ ，Clifford代数 $Cl(V,q)$ 定义为 $T(V)$ 模去 $v^2+q(v)1=0$ ， $v \in V$ 。由于线性空间之间保持二次型的线性映射可唯一扩张为相应Clifford代数之间的同态，上述定义给出 $(V,q)$ 到结合代数的Clifford函子。

以下假定 $\mathrm{char}(K) \neq 2$ 。此时有等价刻画 $uw+wu=-2q(v,w)$ ， $v,w \in V$ ，其中 $2q(v,w)=q(v+w)-q(v)-q(w)$ 为极化恒等式。

Clifford代数附带有(1)反射自同构 $\alpha$ ：线性映射 $\alpha(v)=-v$ 的扩张；(2)转置反自同构： $x \mapsto x^t$ ， $x_1 \otimes \cdots \otimes x_k \mapsto x_k \otimes \cdots \otimes x_1$ ；(3)共轭反自同构： $\bar{x}=\alpha(x^t)$ 。

下面是2个有深刻物理背景的性质：

(1)Clifford代数推广了外代数：后者对应 $q \equiv 0$ 。更一般的， $T(V)$ 在 $Cl(V,q)$ 上诱导一个滤过代数结构，外代数 $\Lambda(V)$ 作为其伴随分次代数同构于 $Cl(V,q)$ 。

Clifford代数是描述Fermi子的合适代数结构，就这个意义上来说它是外代数的“量子化”。Bose子由Weyl代数描述，它是对称代数的“量子化”。

(2)除滤过代数结构外， $T(V)$ 还在 $Cl(V,q)$ 上诱导一个 $\mathbb{Z}_2$ 分次代数结构。偶部分记为 $Cl^0(V,q)$ (它是一个Clifford子代数)，奇部分记为 $Cl^1(V,q)$ ，它们分别对应 $\alpha$ 的正负特征子空间。

Atiyah等人引入分次结构的初衷之一是观察到如下优美性质：设 $V=V_1 \oplus V_2$ 是基于 $q$ 的正交分解， $q_i=q|_{V_i}$ ，则有同构 $Cl(V,q) \cong Cl(V_1,q_1) \widehat{\otimes} Cl(V_2,q_2)$ ， $\widehat{\otimes}$ 为 $\mathbb{Z}_2$ 分次张量积。基于Witten等人的工作，现在熟知这个分次结构对应超对称。

接下来转向具体例子的考察。取 $n$ 维Minkowski空间 $\mathbb{R}^{r,s}$ ，相应的Clifford代数记为 $Cl_{r,s}$ 。记 $Cl_{n,0}=Cl_n$ ， $Cl_{0,n}=Cl_n^*$ ，不难决定 $Cl_1=\mathbb{C}$ ， $Cl_2=\mathbb{H}$ ， $Cl_1^*=\mathbb{R}\oplus \mathbb{R}$ ， $Cl_2^*=\mathbb{R}(2)$ (所有 $2\times 2$ 实矩阵)。

为完全决定 $Cl_n$ 和 $Cl_n^*$ ，考虑 $Cl_n \otimes Cl_2^*\cong Cl_{n+2}^*$ ， $Cl_n^* \otimes Cl_2 \cong Cl_{n+2}$ 。由此推出Bott同构 $Cl_{n+8} \cong Cl_n \otimes Cl_8$ ， $Cl_{n+8}^* \cong Cl_n^* \otimes Cl_8^*$ 。

Bott同构最早是由E.Cartan发现的，它与正交群的Bott周期性紧密相关。

以 $\mathbb{C}l_n$ 记 $Cl_{r,s}$ 的复化， $q_\mathbb{C}(z)=\sum_1^n z_i^2$ ，复Clifford代数可以简单地通过作张量积 $\otimes_\mathbb{R} \mathbb{C}$ 得到。此时有Bott同构 $\mathbb{C}l_{n+2} \cong \mathbb{C}l_n \otimes \mathbb{C}l_2$ ，对应酉群的Bott周期性。

下面是一张分类表，由分解 $Cl_{r,s} \cong (Cl_1)^r \widehat{\otimes} (Cl_1^*)^s$ 不难确定所有 $Cl_{r,s}$ 及 $\mathbb{C}l_n$ ：

点击放大

通往指标定理之路 Ⅲ

Hirzebruch最著名的成就无疑是Hirzebruch-Riemann-Roch定理的证明。这使得他时常被当作代数几何学家，而忘记了他有很强的拓扑学背景：博士论文的导师是Hopf，对HRR定理的证明用到了大量协边理论，等等。

下面介绍Hirzebruch在微分拓扑学中的得意之作：号差定理。原始证明可以在下面这本经典著作中找到

Hirzebruch Topological methods of algebraic geometry §8

我们将追随Milnor,Stasheff Characteristic classes Chapter 19的叙述。

给定有向紧流形 $M^{4k}$ ，杯积诱导 $H^{2k}(M;\mathbb{Q})$ 上的对称二次型 $Q$ 。Poincaré对偶保证 $Q$ 是非退化的，定义流形 $M$ 的号差 $\tau$ 为二次型 $Q$ 的号差。Thom证明了 $\tau$ 是无挠有向协边环 $\Omega_{*}^{\mathrm{SO}}\otimes \mathbb{Q}$ 到整数环 $\mathbb{Z}$ 的同态：

(1) $\tau(M_1 \coprod M_2)=\tau(M_1)+\tau(M_2)$ ， $\tau(M_1 \times M_2)=\tau(M_1)\tau(M_2)$ ；

(2)若 $M$ 是某流形的有向边界，则 $\tau(M)=0$ ；

(2)与之前介绍的Pontryagin定理相关。吴文俊猜测 $\tau(M^4)=p_1[M^4]/3$ ，Rokhlin首先证明了这一点(并决定了 $\Omega_4^{\mathrm{SO}}=\mathbb{Z}$ )。一般的公式由Hirzebruch给出。

在介绍Chern类时，我们初步接触过乘法序列。下面拟详细介绍之。

考虑分级 $\mathbb{Q}$ -交换代数 $A^{*}=(A^0,A^1,\cdots)$ ，形式和 $a=1+a_1+a_2+\cdots$ ， $a_i \in A^i$ 在形式乘法下成群。定义 $K(a)=1+K_1(a_1)+K_2(a_1,a_2)+\cdots$ ， $K_n \in \mathbb{Q}(x_1,x_2,\cdots,x_n)$ 是 $n$ 次齐次多项式( $x_i$ 赋予次数 $i$ )。

称 $\{K_n\}$ 为乘法序列，若 $K(a_1)K(a_2)=K(a_1 a_2)$ 。这个定义是自然的：

给定形式幂级数 $f(t)=1+\lambda_1 t+\lambda_2 t^2+\cdots \in \mathbb{Q}(t)$ ， $A^{*}=\mathbb{Q}[t]$ ，有且仅有一个乘法序列 $\{K_n\}$ 使得 $K(1+t)=f(t)$ ；换言之，使 $x_1^n$ 在 $K_n$ 中的系数为 $\lambda_1$ 。

给定流形 $M^n$ ，记其基本类为 $[M]$ ，切丛的Pontryagin类为 $p_i$ 。K-亏格 $K[M^n]$ 定义为 $K_k[M^n]=\langle K_k(p_1,\cdots,p_k),[M]\rangle$ ，若 $n=4k$ ；否则为0。K-亏格是Pontryagin类的线性组合，结合Pontryagin定理不难证明它是 $\Omega_{*}^{\mathrm{SO}}\otimes \mathbb{Q}$ 到 $\mathbb{Q}$ 的同态。

我们有了2个 $\Omega_{*}^{\mathrm{SO}}\otimes \mathbb{Q}$ 到 $\mathbb{Q}$ 的同态：号差和K-亏格。下面的定理说明号差实际上是一类特殊的K-亏格：

(Hirzebruch号差定理)若 $\{L_{k}(p_1,\cdots,p_k)\}$ 是如下级数的乘法序列多项式

$\displaystyle \frac{\sqrt{t}}{\mathrm{tanh}({\sqrt{t}})}=1+\frac{1}{3}t-\frac{1}{45}t^2+\cdots+\frac{2^{2k}B_{2k} t^k}{(2k)!}+\cdots$

则号差 $\tau(M^{4k})$ 等于L-亏格 $L[M^{4k}]$ 。

$B_k$ 代表Bernoulli数。对符号和下标的约定从未统一，注意我们的记号与Milnor不同。

L-亏格的自然性（naturalness）是一个很有趣的问题。80年代的研究表明，L-亏格是所谓椭圆亏格在尖点处的退化。详见
Hirzebruch Manifolds and Modular Forms

最简单的例子： $L_1=p_1/3$ ， $L_2=(7p_2-p_1^2)/45$ ，等等。

证明：已知 $\Omega_{*}^{\mathrm{SO}}\otimes \mathbb{Q}=\mathbb{Q}[P\mathbb{C}^2,P\mathbb{C}^4,\cdots]$ ，故只需对生成元 $P\mathbb{C}^{2k}$ 验证号差定理。

易知 $\tau(P\mathbb{C}^{2k})=1$ 。为计算 $L_k[P\mathbb{C}^{2k}]$ ，注意到 $P\mathbb{C}^{2k}$ 的切丛的全Pontryagin类 $p=(1+c^2)^{2k+1}$ ， $c$ 是复化丛的第一Chern类，故 $L(p)=(c/\mathrm{tanh}\ c)^{2k+1}$ 。 $L_k[P\mathbb{C}^{2k}]$ 是 $c^{2k}$ 项的系数，标准的留数计算显示这个系数等于1。号差定理得证。

一些(绝非显然的)算术上的推论：L-亏格总是整数， $p_1[M^4]$ 总能被3整除，等等。

通往指标定理之路 Ⅱ

高维Gauss-Bonnet公式的内蕴证明是陈省身的得意之作。它在微分几何中的意义相当于代数几何中Hirzebruch对Riemann-Roch定理的高维推广。微分几何较代数几何容易，故我们先来考察高维Gauss-Bonnet公式。我们将介绍陈先生的原始证明。

Chern A simple intrinsic proof of the Gauss-Bonnet formula for closed Riemannian manifolds

Chern On the curvatura integra in a Riemannian manifold

S.S Chern (1911-2004)

证明

在Hopf的Gauss-Bonnet定理中，拓扑项是“大理石”(借助于Poincaré-Hopf定理可将其写成内蕴形式)，几何项则是“木头”(Gauss-Kronecker曲率必须借助超曲面在欧式空间的局部嵌入定义)。因而首先要做的是将Gauss-Kronecker曲率内蕴地表示出来。代数计算显示，给定Riemann流形 $(M^{2n},g)$ ，Gauss-Kronecker曲率是Riemann曲率的Pfaff形式：

$\displaystyle \mathrm{Pf}(\Omega)=\frac{1}{2^n n!}\sum_{\sigma \in S_{2n}} \mathrm{sgn}(\sigma)\Omega^{\sigma(1)}_{\sigma(2)} \wedge \cdots \wedge \Omega^{\sigma(2n-1)}_{\sigma(2n)}$

接下来寻找Gauss映射 $f:M \to S^{2n}$ 的替代。利用内蕴定义的球丛 $S(M)$ 恢复拓扑信息是合理的尝试：令 $\Pi$ 为 $S(M)$ 上的 $(2n-1)$ -形式，限制在每个纤维上给出 $S^{2n-1}$ 的标准体积形式。在 $M$ 上取有离散奇点 $\{x_i\}$ 的向量场 $X$ ， $S_{\epsilon,i}$ 记包围 $x_i$ 的半径为 $\epsilon$ 的球面， $X$ 的单位化诱导映射 $l:M\backslash\{x_i\} \to S(M)$ 。Poincaré-Hopf定理给出 $\displaystyle \chi(M)=\sum_i \mathrm{ind}(x_i)=-\frac{1}{(2\pi)^n}\sum_i\lim_{\epsilon \to 0}\int_{l(S_{\epsilon,i})}\Pi$ 。(依赖于 $M$ 的紧性)

最后要厘清 $\mathrm{Pf}(\Omega)$ 与 $\Pi$ 的关系。此处的困难在 $S(M)$ 并非主丛，故没有“好”的联络理论。陈省身采用的手法在50年代后成为处理纤维丛几何的标准程序：将球丛进一步提升为正交标架丛 $F(M)$ 。作为 $\mathrm{SO}(n)$ -主丛， $F(M)$ 上有一整套联络理论可以应用。陈先生以善于计算著称，接下来他展开了一系列计算，得到非常整饬的结论：(1) $\mathrm{Pf}(\Omega)$ 在 $F(M)$ 上的拉回是恰当形式 $d\Pi^{'}$ ；(2) $\Pi^{'}$ 投射到 $S(M)$ 上给出 $\Pi$ 。

必须指出，省略了的计算(尤其是(1)(2))才是“陈证明”的精髓。限于Wordpress的排版，我们只能割爱。请读者参考上面引述的2篇原始论文，或者

伍鸿熙黎曼几何选讲

结合(1)(2)得到超渡公式 $\pi^{*}\mathrm{Pf}(\Omega)=d\Pi$ ， $\pi:S(M) \to M$ 。

注记1

超渡(transgression)指的是这样的现象：度量(联络)的改变对 $\Pi^{'}$ 的扰动是一个恰当形式，因而不改变其同调类。 $\mathrm{Pf}(\Omega)/(2\pi)^n$ 的同调类也是度量不变的：Gauss-Bonnet公式显示它恰落在 $M$ 的Euler类中。这些观察成为Chern类和Chern-Weil理论的先声。

超渡的概念是有影响力的。Hirsch将这一概念推广到一般纤维丛后，被Serre应用到谱序列中。在Lie代数的上同调论中，首先尝试引入超渡的是Koszul，系统的探索则归功于Borel。

最后的计算： $\displaystyle \int_M \mathrm{Pf}(\Omega)=\sum_i\lim_{\epsilon \to 0}\int_{M\backslash B_{\epsilon,i}}d(l^{*}\Pi)=-\sum_i\lim_{\epsilon \to 0}\int_{l(S_{\epsilon,i})}\Pi$

(高维Gauss-Bonnet公式) $\displaystyle \int_M \mathrm{Pf}(\Omega)=(2\pi)^n\chi(M)$

高维Gauss-Bonnet公式已有很多不同的证明。特别是指标定理的系列证明都自动适用于这个特例：拓扑(K理论)，分析(热方程)，几何(自旋几何)。

注记2

度量对于Gauss-Bonnet公式是必须的：对于一般的联络而言，此定理不成立。反例可以在Milnor,Stasheff Characteristic classes Appendix C中找到。

应用举隅

4维以上的Gauss-Bonnet公式太过复杂，几乎没有有趣的应用。下面是2个4维的例子。

若可定向紧4维Riemann流形 $M$ 的截面曲率恒正或恒负，计算显示此时 $\Omega$ 是体积元素的正数倍，推出 $\chi(M)>0$ 。这是Milnor未发表的结果。参见

Chern On curvature and characteristic classes of a Riemann manifold

另一例是之前提到过的Hitchin-Thorpe不等式。证明留待讨论过Hirzebruch号差定理之后。

结语

如果说E.Cartan是微分几何中的Grothendieck，那么陈省身可与Deligne类比：用一般性的语言讨论精细的结构，用一般性的工具解决具体的问题。

向量丛的微分几何学，与规范理论的联系，在低维拓扑中的应用，纤维丛的微分几何学，超渡和高维Gauss-Bonnet公式的证明，Chern类和Chern-Weil理论，这构成对陈省身主要工作的一个概述。这方面最具历史意义的文献无疑是1950年陈省身在ICM上所做的大会报告

Chern Differential geometry of fiber bundles

2011年是陈先生诞辰100周年。12月3日是先生的忌日。

生刍一束，短文一篇，谨此纪念第一位具有广泛国际影响力的华人数学家。

通往指标定理之路 Ⅰ

Atiyah-Singer指标定理是20世纪中叶数学的主要成就之一。通往指标定理之路的开辟是许多数学家共同努力的结果，借介绍指标定理的机会，我们也希望用历史的观点考察观念的演化，数学的进步。研究这些局部结果如何发展成一个总结性的定理，并非全然出于借古鉴今的目的。另一个重要的原因，请看Atiyah的夫子自道：“The most useful piece of advice I would give to a mathematics student is always to suspect an impressive sounding Theorem if it does not have a special case which is both simple and non-trivial.”

下面介绍第1个简单而不平凡的特例：Riemann-Roch定理。它是后续发展的源头之一。

紧Riemann面 $S$ 的除子群 $\mathrm{Div}(S)$ 是 $S$ 上的点生成的自由Abel群。亚纯函数 $f$ 给出除子 $(f)=\sum v_x(f)x$ ， $v_x$ 为 $x$ 处的离散赋值。这定义了同态 $K(x) \to \mathrm{Div}(S)$ ，同态像称为主除子群，余核 $\mathrm{Cl}(S)$ 称为除子类群。

在 $\mathrm{Cl}(S)$ 上，定义 $\ell(D)$ 为满足 $(f)+D \geq 0$ 的线性无关的亚纯函数 $f$ 的个数， $i(D)$ 为满足 $(\omega) \geq D$ 的线性无关的亚纯微分 $\omega$ 的个数， $\mathrm{deg}(\sum a_i x_i)=\sum a_i$ 。不难验证这3个函数不依赖于等价类中代表元的选取。

对于亏格为 $g$ 的Riemann面，Riemann-Roch定理可以叙述为：

$\ell(D)-i(D)=\mathrm{deg}(D)-g+1$

易见 $i(D)=\ell(K-D)$ ，此处典范除子 $K=(\omega)$ 同样不依赖于亚纯微分 $\omega$ 的选取。

Riemann于1857年证明了Riemann不等式 $l(D) \geq \mathrm{deg}(D)-g+1$ 。1865年，他的学生Roch将其精细化为Riemann-Roch定理。代数曲面上的Riemann-Roch定理早在19世纪末已经得到，然而当时的推广方法远不系统，在高维难以为继。直至层论的观点成熟后，情况才发生了根本性的变化。这里的关键人物是Serre。

J.P.Serre (1926- )

首先将除子的概念与代数簇 $V$ 上的层联系起来。以 $\mathscr{K}^*_V$ 记 $V$ 上亚纯函数层的可逆元， $\mathscr{O}^*_V$ 记 $V$ 上全纯函数层的可逆元，定义 $V$ 的Cartier除子群为 $\Gamma(V,\mathscr{K}^*_V/\mathscr{O}^*_V)$ 。同态 $\Gamma(V,\mathscr{K}^*_V)\to \Gamma(V,\mathscr{K}^*_V/\mathscr{O}^*_V)$ 的像称为Cartier主除子群，余核 $\mathrm{Cl}(V)$ 称为Cartier除子类群。若 $V$ 非奇异，则余维数为1的子簇 $V_i$ 与局部环 $\mathscr{R}_{i} \cong \mathbb{Z}$ 一一对应， $\mathscr{K}^*_V/\mathscr{O}^*_V \cong \prod\mathscr{R}_{i}$ ，Cartier除子群同构于余维数为1的子簇的形式群(Weil除子群)。

我们今后考虑的代数簇都是非奇异的，Cartier除子/Weil除子仍简称为除子。

除子 $D$ 可用开覆盖 $\{U_i\}$ 和局部有理函数 $\{f_i\}$ 给出，这也在 $V$ 上定义了一个可逆层/全纯线丛 $\mathscr{L}(D)$ (事实上除子类群 $\mathrm{Cl}(V)$ 同构于Picard群 $\mathrm{Pic}(V)$ )。

下面回到Riemann面 $S$ 上，介绍Serre对Riemann-Roch定理的证明。原始论文是

Serre Un Théorème de duality

Serre注意到 $\ell(D)-i(D)$ 可以解释为 $\mathscr{L}(D)$ 的Euler示性数：

$\chi(\mathscr{L}(D))=\dim H^0(S,\Omega^0(\mathscr{L}(D)))-\dim H^1(S,\Omega^0(\mathscr{L}(D)))$ 。

此处关键性的 $i(D) \cong H^1(X,\Omega^0(\mathscr{L}(D)))$ 可由Serre对偶得到。

$1-g$ 可解释为全纯Euler示性数 $\chi(\mathscr{O}_S)=\dim H^0(S,\mathscr{O}_S)-\dim H^1(S,\mathscr{O}_S)$ ；对 $D \geq 0$ ， $\mathrm{deg}(D)$ 可解释为摩天大厦层 $\mathscr{S}_D$ 的Euler示性数 $\chi(\mathscr{S}_D)$ 。

于是将 $D$ 写成 $D_1-D_2$ ， $D_1,D_2 \geq 0$ ，只需证明存在短正合列

$0\to \Omega^0(\mathscr{L}(D))\to\Omega^0(\mathscr{L}(D_1))\to\mathscr{S}_{D_2} \to 0$

$0\to \mathscr{O}_S \to\Omega^0(\mathscr{L}(D_1))\to\mathscr{S}_{D_1} \to 0$

并注意到 $\chi$ 是可加函数即可。

$\chi(\mathscr{L}(D))$ 依赖于全纯结构，而Riemann-Roch定理将其用拓扑不变量表出。Noether公式指出代数曲面的全纯Euler示性类可以写成陈类的多项式。此外，Weil于1938年对Riemann面上的全纯向量丛 $E$ 算出了 $\chi(E)$ 的公式。有鉴于此，Serre猜想若 $E$ 是代数簇 $V$ 上的全纯向量丛，则 $\chi(E)$ 可以表为Chern数的多项式。这一猜想被Hirzebruch证明，即著名的Hirzebruch-Riemann-Roch定理。

	zx31415 on About Me
	Anonymous on About Me
	Rowling Luo on To my Readers
	Benjamin Chen on 素数定理的Newman式证明
	Magness on About Me

Fight with Infinity

Wir müssen wissen, wir werden wissen

指标定理