dynamical systems

Spectra of Modular Surfaces II

上篇：Spectra of Modular Surfaces I

考虑紧致无边Riemann流形M上的自由粒子运动，
(经典模型)作为等能面的单位切丛S(M)\to M，以及作为Hamilton流的测地流\mathcal{G}_t:S(M) \to S(M)
负曲率流形上的Hamilton流是经典混沌系统的典型例子(Hopf, Moser, Sinai, etc.)。
(量子模型)视\Delta为Schrödinger算子，我们得到一个量子混沌系统。
在量子混沌的领域中有大量基于数值实验的猜想有待解决，主要的技术手段是准经典分析(semi-classical analysis)。另一方面，由于\triangle和Hecke算子交换，算术流形上的量子混沌系统通常有强得多的代数刚性，在许多方面表现得更像是量子可积系统，因而得到了更多成果。
以下讨论将遵循soft vs. hard的二分(dichotomy)：先对一般的Riemann流形(M,\triangle)做出陈述，之后承袭对模曲面(X,\triangle)的讨论，将其作为算术模型的特例加以比较。

Distribution of the Eigenvalues
定义N(\lambda)=\{j:\lambda_j\leq \lambda\}，研究N(\lambda)的渐进行为是谱几何中的重要论题。
对于紧流形M^n，我们有经典的Weyl密度估计\displaystyle \frac{1}{\lambda}N(\lambda) \to \frac{V(B^n)}{(2\pi)^n}V(M,g)，\lambda \to \infty。X的算术性在一定程度上“补偿”了非紧性，这使得Selberg能够利用Selberg迹公式证明同样类型的密度估计\displaystyle \frac{1}{\lambda}N(\lambda) \to \frac{1}{4\pi}V(X)，\lambda \to \infty。
另一个常见的考察对象是相邻特征值间距的分布。对于量子混沌系统，通常我们期望其相邻特征值的间距分布得足够随机，即满足某个Gauss系综(Gaussian ensemble)，但算术量子混沌系统的情况有所不同。
具体地说，对于X(1)=\Gamma(1)\backslash \Bbb H，基于数值实验，我们有
(Cartier猜想) \triangle的所有大于0的(尖点)特征值都是单重的。
V(X(1))=\pi/3，故此时(\lambda_{i+1}-\lambda_i)/12的期望值为1. 在此归一化下，数值实验显示\triangle的相邻特征值间距满足指数分布：
(Steil猜想)\displaystyle \frac{\#\{i\leq N:(\lambda_{i+1}-\lambda_i)/12 \in[\alpha,\beta]\}}{N} \to \int_\alpha^\beta e^{-x}dx，N \to \infty
最后是一点题外话。“算术对象服从量子统计”，此类规律通常有大量数值证据支持，却难以从理论上加以证明。很多时候我们甚至无法像上述例子一样，找到一个将物理与数论自然结合的理论框架。以下是2个例子：关于Riemann zeta函数的Montgomery-Odlyzko猜想，以及新近提出的关于椭圆曲线的BKLPR猜想。

Quamtum Ergodicity
遍历性(ergodicity)是混沌系统的本质特征之一。量子系统的高能极限对应于h\to 0的准经典近似，我们有理由期待i \to \infty时特征函数f_i趋于X上的一致分布1。我们有2种方式将这一命题精确化：
考虑概率测度\mu_\psi=|\psi|^2dg在S(M)上的微局部提升(microlocal lift)\nu_\psi，已知
(SCZ量子遍历定理2)若测地流\mathcal{G}_t:S(M) \to S(M)是遍历的，则\forall \psi\in C_0^\infty(S(M))，\displaystyle \frac{1}{N(\lambda)}\sum_{\lambda_i \leq \lambda}|\nu_{f_i}(\psi)-\bar{\psi}|^2=o(1)，\lambda \to \infty
Zelditch  Quantum ergodicity of C^{*} dynamical systems
我们称\nu_{f_i}的弱极限为量子极限。由Egorov定理，它是一个\mathcal{G}_t不变的概率测度。比SCZ量子遍历定理更强的，我们有
(量子唯一遍历性猜想，QUE)\nu_{f_i}有唯一的量子极限：S(M)上的Haar测度\nu。
Rudnick, Sarnak  The behavior of eigenstates of arithmetic hyperbolic manifolds
已获证明的结果全部来自算术曲面：由于在算术动力系统方面的一系列工作，包括证明了紧算术曲面上的QUE，Lindenstrauss获得2010年的Fields奖。在此基础上，Soundararajan证明了非紧算术曲面上的QUE.
Lindenstrauss  Invariant measures and arithmetic quantum unique ergodicity
Soundararajan  Quantum Unique ergodicity for SL_2(\Bbb Z)\backslash \Bbb H
作为Maass形式理论的一部分，算术量子唯一遍历性猜想在全纯形式理论中有一个完全类似的陈述。此猜想已由Soundararajan和Holowinsky证明，相关消息可以参见AIM的专题报道。
作为QUE的提出人之一，Sarnak简要总结了相关论题截止到09年9月的进展。

  1. 反之，对于可积系统，我们则期待i \to \infty时，f_i发生局域化(localization)。 ↩
  2. SCZ指的是Shnirelman, Yves Colin de Verdière和Zelditch. ↩

2个概率问题

Questions

下面2个小问题取自

Stein, Shakarchi  Functional analysis: introduction to further topics in analysis

Q1：除去一个可数集(所谓的二进分数)，所有落在[0,1]中的实数都有唯一的二进制表示：\displaystyle \alpha=\sum_{n=1}^\infty \frac{a_n}{2^n}，a_n等于0或1。随机选取一个\alpha，0和1在其二进制表示中密度相当的概率有多大？

Q2：\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}发散而\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n}收敛到\log 2。如果考虑\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{a_n}{n}并随机选择a_n=\pm 1，则级数收敛的概率有多大？

Discussions

回忆概率论的基础：定义概率空间(\Omega,m)(概率测度m定义在“事件”的\sigma代数上，满足m(\Omega)=1)。以下仅考虑\Omega上的实值可测函数f:(\Omega,m) \to (\Bbb R,\mu_f)，例如随机变量X的概率密度函数f_X:\Omega \to \Bbb R_{\ge 0}。在实际应用中f:\Omega \to \Bbb C(量子统计)和f:\Omega \to \Bbb R^d(随机漫步，Brown运动)同样常见。

X的平均值(期望)E(X)=\int_\Omega f dm=\int_\Bbb R td\mu(t)

X的方差\sigma^2(X)=\int_\Omega (f-E(X))^2 dm

(1)\{f_n\}^\infty_{n=1}称为同一分布的，若\mu_n与n无关。

(2)\{f_n\}^\infty_{n=1}称为互相独立的，若对于任意Borel集\{B_n\}_{n=1}^\infty \in \Bbb R，

\displaystyle m(\bigcap_{n=1}^\infty\{x:f_n(x)\in B_n\})=\prod_{n=1}^\infty m(\{x:f_n(x)\in B_n\})

描述Q1和Q2的模型是(无限)Bernoulli过程，此时\Omega=\Bbb Z_2^\infty。各自除去一个(可忽略的)可数集后，我们可以(利用二进制表示)将\Bbb Z_2^\infty等同于[0,1)(赋予Lebesgue测度)。

考虑定义在\Bbb Z_2^\infty上的2人零和博弈：若a_n=0则玩家A得1分，否则失1分，其收益函数记为r_n。通过上述等同，我们同时也定义了r_n:[0,1) \to \pm 1，\{r_n\}_{n=1}^\infty称为Rademacher函数(或方波函数)。它们是一族同一分布且互相独立的函数。

Q1的答案是1：只需将大数定律(若同一分布且互相独立的函数族\{f_n\}^\infty_{n=1}有相同的平均值E，则\displaystyle \frac{1}{N}\sum_{n=1}^N f_n(x) \to E几乎处处成立)应用于(稍加修饰的)Rademacher函数。

一个理应众所周知但实际上并非如此的事实是大数定律可以由Birkhoff点态遍历定理推出：等式左端可理解为某个强混合系统的空间平均，从而等于右端的时间平均。一个更一般的结果是Birkhoff-Khinchin定理(推广到条件期望)。

点态遍历定理可以追溯到Lagrange，Laplace和Gauss对天体力学的研究。在数论中，它以一致分布定理的面貌出现(Bohr, Sierpinski, Weyl)。下面这个问题来自Arnold：\{2^n\}_{n \ge 0}的首位数依次为1, 2, 4, 8, 1, 3, 6, … 求此序列中7出现的概率与8出现的概率之比。

答案是(\log 8-\log 7)/(\log 9-\log 8)：n \log_{10} 2 \mod 10是一致分布的。

Arnold  Mathematical methods of classical mechanics

Q2的答案也是1。如果说Q1是利用L^1收敛推出(采样意义上的)点态收敛，那么Q2则是利用L^2收敛推出点态收敛，关键是注意到(1)\{r_n\}是L^2[0,1]中的正交序列(虽然并不完备：考虑它们的Fourier级数可知)；(2)若将[0,1)等分为N个子区间，则对于每个子区间I，r_n等于r_n在I上的平均对于n \le N成立。从而

(1)由于(1,\frac{1}{2},\cdots) \in l^2，\displaystyle P_N=\sum_{n=1}^N \frac{r_n}{n}L^2收敛于某个P。(2)对上述的I，P_N等于P在I上的平均。接下来只需令N \to \infty并应用Lebesgue微分定理即可推出P_N几乎处处收敛于P。