上篇:Spectra of Modular Surfaces I
考虑紧致无边Riemann流形上的自由粒子运动,
(经典模型)作为等能面的单位切丛,以及作为Hamilton流的测地流
负曲率流形上的Hamilton流是经典混沌系统的典型例子(Hopf, Moser, Sinai, etc.)。
(量子模型)视为Schrödinger算子,我们得到一个量子混沌系统。
在量子混沌的领域中有大量基于数值实验的猜想有待解决,主要的技术手段是准经典分析(semi-classical analysis)。另一方面,由于和Hecke算子交换,算术流形上的量子混沌系统通常有强得多的代数刚性,在许多方面表现得更像是量子可积系统,因而得到了更多成果。
以下讨论将遵循soft vs. hard的二分(dichotomy):先对一般的Riemann流形做出陈述,之后承袭对模曲面
的讨论,将其作为算术模型的特例加以比较。
Distribution of the Eigenvalues
定义,研究
的渐进行为是谱几何中的重要论题。
对于紧流形,我们有经典的Weyl密度估计
,
。
的算术性在一定程度上“补偿”了非紧性,这使得Selberg能够利用Selberg迹公式证明同样类型的密度估计
,
。
另一个常见的考察对象是相邻特征值间距的分布。对于量子混沌系统,通常我们期望其相邻特征值的间距分布得足够随机,即满足某个Gauss系综(Gaussian ensemble),但算术量子混沌系统的情况有所不同。
具体地说,对于,基于数值实验,我们有
(Cartier猜想) 的所有大于0的(尖点)特征值都是单重的。
,故此时
的期望值为1. 在此归一化下,数值实验显示
的相邻特征值间距满足指数分布:
(Steil猜想),
最后是一点题外话。“算术对象服从量子统计”,此类规律通常有大量数值证据支持,却难以从理论上加以证明。很多时候我们甚至无法像上述例子一样,找到一个将物理与数论自然结合的理论框架。以下是2个例子:关于Riemann zeta函数的Montgomery-Odlyzko猜想,以及新近提出的关于椭圆曲线的BKLPR猜想。
Quamtum Ergodicity
遍历性(ergodicity)是混沌系统的本质特征之一。量子系统的高能极限对应于的准经典近似,我们有理由期待
时特征函数
趋于
上的一致分布1。我们有2种方式将这一命题精确化:
考虑概率测度在
上的微局部提升(microlocal lift)
,已知
(SCZ量子遍历定理2)若测地流是遍历的,则
,
,
Zelditch Quantum ergodicity of dynamical systems
我们称的弱极限为量子极限。由Egorov定理,它是一个
不变的概率测度。比SCZ量子遍历定理更强的,我们有
(量子唯一遍历性猜想,QUE)有唯一的量子极限:
上的Haar测度
。
Rudnick, Sarnak The behavior of eigenstates of arithmetic hyperbolic manifolds
已获证明的结果全部来自算术曲面:由于在算术动力系统方面的一系列工作,包括证明了紧算术曲面上的QUE,Lindenstrauss获得2010年的Fields奖。在此基础上,Soundararajan证明了非紧算术曲面上的QUE.
Lindenstrauss Invariant measures and arithmetic quantum unique ergodicity
Soundararajan Quantum Unique ergodicity for
作为Maass形式理论的一部分,算术量子唯一遍历性猜想在全纯形式理论中有一个完全类似的陈述。此猜想已由Soundararajan和Holowinsky证明,相关消息可以参见AIM的专题报道。
作为QUE的提出人之一,Sarnak简要总结了相关论题截止到09年9月的进展。