dynamical systems

上篇：Spectra of Modular Surfaces I

考虑紧致无边Riemann流形 $M$ 上的自由粒子运动，
(经典模型)作为等能面的单位切丛 $S(M)\to M$ ，以及作为Hamilton流的测地流 $\mathcal{G}_t:S(M) \to S(M)$
负曲率流形上的Hamilton流是经典混沌系统的典型例子(Hopf, Moser, Sinai, etc.)。
(量子模型)视 $\Delta$ 为Schrödinger算子，我们得到一个量子混沌系统。
在量子混沌的领域中有大量基于数值实验的猜想有待解决，主要的技术手段是准经典分析(semi-classical analysis)。另一方面，由于 $\triangle$ 和Hecke算子交换，算术流形上的量子混沌系统通常有强得多的代数刚性，在许多方面表现得更像是量子可积系统，因而得到了更多成果。
以下讨论将遵循soft vs. hard的二分(dichotomy)：先对一般的Riemann流形 $(M,\triangle)$ 做出陈述，之后承袭对模曲面 $(X,\triangle)$ 的讨论，将其作为算术模型的特例加以比较。

Distribution of the Eigenvalues
定义 $N(\lambda)=\{j:\lambda_j\leq \lambda\}$ ，研究 $N(\lambda)$ 的渐进行为是谱几何中的重要论题。
对于紧流形 $M^n$ ，我们有经典的Weyl密度估计 $\displaystyle \frac{1}{\lambda}N(\lambda) \to \frac{V(B^n)}{(2\pi)^n}V(M,g)$ ， $\lambda \to \infty$ 。 $X$ 的算术性在一定程度上“补偿”了非紧性，这使得Selberg能够利用Selberg迹公式证明同样类型的密度估计 $\displaystyle \frac{1}{\lambda}N(\lambda) \to \frac{1}{4\pi}V(X)$ ， $\lambda \to \infty$ 。
另一个常见的考察对象是相邻特征值间距的分布。对于量子混沌系统，通常我们期望其相邻特征值的间距分布得足够随机，即满足某个Gauss系综(Gaussian ensemble)，但算术量子混沌系统的情况有所不同。
具体地说，对于 $X(1)=\Gamma(1)\backslash \Bbb H$ ，基于数值实验，我们有
(Cartier猜想) $\triangle$ 的所有大于0的(尖点)特征值都是单重的。
$V(X(1))=\pi/3$ ，故此时 $(\lambda_{i+1}-\lambda_i)/12$ 的期望值为1. 在此归一化下，数值实验显示 $\triangle$ 的相邻特征值间距满足指数分布：
(Steil猜想) $\displaystyle \frac{\#\{i\leq N:(\lambda_{i+1}-\lambda_i)/12 \in[\alpha,\beta]\}}{N} \to \int_\alpha^\beta e^{-x}dx$ ， $N \to \infty$
最后是一点题外话。“算术对象服从量子统计”，此类规律通常有大量数值证据支持，却难以从理论上加以证明。很多时候我们甚至无法像上述例子一样，找到一个将物理与数论自然结合的理论框架。以下是2个例子：关于Riemann zeta函数的Montgomery-Odlyzko猜想，以及新近提出的关于椭圆曲线的BKLPR猜想。

Quamtum Ergodicity
遍历性(ergodicity)是混沌系统的本质特征之一。量子系统的高能极限对应于 $h\to 0$ 的准经典近似，我们有理由期待 $i \to \infty$ 时特征函数 $f_i$ 趋于 $X$ 上的一致分布¹。我们有2种方式将这一命题精确化：
考虑概率测度 $\mu_\psi=|\psi|^2dg$ 在 $S(M)$ 上的微局部提升(microlocal lift) $\nu_\psi$ ，已知
(SCZ量子遍历定理²)若测地流 $\mathcal{G}_t:S(M) \to S(M)$ 是遍历的，则 $\forall \psi\in C_0^\infty(S(M))$ ， $\displaystyle \frac{1}{N(\lambda)}\sum_{\lambda_i \leq \lambda}|\nu_{f_i}(\psi)-\bar{\psi}|^2=o(1)$ ， $\lambda \to \infty$
Zelditch Quantum ergodicity of $C^{*}$ dynamical systems
我们称 $\nu_{f_i}$ 的弱极限为量子极限。由Egorov定理，它是一个 $\mathcal{G}_t$ 不变的概率测度。比SCZ量子遍历定理更强的，我们有
(量子唯一遍历性猜想，QUE) $\nu_{f_i}$ 有唯一的量子极限： $S(M)$ 上的Haar测度 $\nu$ 。
Rudnick, Sarnak The behavior of eigenstates of arithmetic hyperbolic manifolds
已获证明的结果全部来自算术曲面：由于在算术动力系统方面的一系列工作，包括证明了紧算术曲面上的QUE，Lindenstrauss获得2010年的Fields奖。在此基础上，Soundararajan证明了非紧算术曲面上的QUE.
Lindenstrauss Invariant measures and arithmetic quantum unique ergodicity
Soundararajan Quantum Unique ergodicity for $SL_2(\Bbb Z)\backslash \Bbb H$
作为Maass形式理论的一部分，算术量子唯一遍历性猜想在全纯形式理论中有一个完全类似的陈述。此猜想已由Soundararajan和Holowinsky证明，相关消息可以参见AIM的专题报道。
作为QUE的提出人之一，Sarnak简要总结了相关论题截止到09年9月的进展。