Weil猜想漫谈 IX:转铅笔

我们开始讨论著名的[Deligne, 1974]:
Deligne La conjecture de Weil: I
这可以视为漫谈的分水岭。之前的章节所涉及的数学或多或少是经典的。从本章开始,我们将自由地引用各种现代的观点和结果。

标准猜想太难了。毕竟,即使限制到\Bbb C上,由于存在Hodge猜想这个巨大的阻碍,我们同样无法得到一般性的结果。Deligne的目标要现实得多:继续Grothendieck未竟的工作,将\Bbb C上已成熟的理论——即Lefschetz理论和Hodge理论——「移植」到一般域上。在Hodge理论方面,他的贡献是Hodge结构的一般理论1,以及混合Hodge结构的概念。另一方面,Lefschetz的所有拓扑结果几乎都源于对「铅笔」的研究,在证明强Lefschetz定理之前,似乎更应该将「铅笔」理论代数化:这是Deligne,Katz等人在SGA 7中处理的课题。

本章将处理复射影簇上的经典Picard-Lefschetz理论。请读者始终牢记:应该将这个理论视为Morse理论的全纯类比2

(A)
给定复代数流形X和全纯线丛L(等价的,除子类[D]\in Z^1_r(X)),以|L|L的截面空间的射影化P(H^0(X,L))|L|称为D的完整线性系统。1维子系统P^1 \subset |L|称为铅笔。
我们感兴趣的是射影簇X^d \subset P^NL是某丰富线丛(等价的,超平面除子类[W])。此时P^1 \subset (P^N)^{*}t\in P^1对应某个有理等价于W的有效除子X_t=H_t \cap X(作为L的某个截面的零点集),H_t=\alpha H_0+\beta H_\inftyt=\alpha/\beta.
假定以下「一般性」(generic) 条件成立:铅笔的轴A=\bigcap H_tX横截相交,或者等价的,铅笔的底零点集 (base locus)B=\bigcap X_t=A \cap XX中余维数2的光滑子簇。此时沿着B爆破射影簇X,我们得到双有理等价于X\tilde{X},容许纤维化\phi: \tilde{X} \to P^1\phi^{-1}(t)=X_tt \in P^1.
P^1 \subset |L|为Lefschetz铅笔,如果几乎所有X_t都是光滑的,奇异的X_t仅包含一个普通双重点作为奇点。对应的纤维化\phi称为Lefschetz纤维化:这就是我们要寻找的「全纯Morse函数」,是「一般性」的纤维化。

(B)
假定Lefschetz纤维化\phi有临界值集S=\{s_1,\cdots,s_M\}\infty \notin S. 在每个临界点附近使用全纯Morse引理将奇点标准化,不难证明:
t \in U=P^1/S\tilde{X}-X_\infty同伦等价于X_t粘贴上MB^d,粘贴的边界S^{d-1}称为消没球面,其在H^{d-1}(X_t,\Bbb Z)中的上同调类称为消没闭链。
过渡到上同调,嵌入j:X_t \to \tilde{X}-X_\infty诱导的同态j^{*}:H^i(\tilde{X}-X_\infty,\Bbb Z) \to H^i(X_t,\Bbb Z)i \leq d-2时是同构,在i=d-1时是单同态,余核由消没闭链生成。

(C)
让我们考虑这种情况下的单值群表示问题。可以从3个不同的角度理解这个对象3
(1) 拓扑:局部系统,即U上的局部常数束\mathcal{E}
(2) 表示论:\pi_1(U,t)-模\mathcal{E}_tt\in U
(3) 微分几何:装备有平坦联络的向量丛E
观点(2)和(3)的等价即著名的Riemann-Hilbert对应
例如,给定Lefschetz纤维化\phi高阶直接象R^i\phi_{*}\Bbb Q在局部是\Bbb Q-向量空间的常数束,\mathcal{E}_t=(R^i\phi_{*}\Bbb Q)_t=H^i(X_t,\Bbb Q)\pi_1(U,t)仅在H^{d-1}(X_t,\Bbb Q)上有非平凡的表示。取\alpha \in H^{d-1}(X_t,\Bbb Q),这个单值群表示可以写成:
(Picard-Lefschetz公式) T_k(\alpha)=\alpha + \epsilon_d (\alpha,\beta_k)\beta_k,生成元T_k \in \pi_1(U,t)对应临界点s_k \in S\beta_ks_k对应的消没闭链,\epsilon_d=\pm 1取决于d.
由此可以证明非常重要的:
(不可约定理) \pi_1(U,t)在消没闭链生成的子空间上的表示作用是不可约的。
d-1为奇数时,相交形式(\cdot,\cdot)是斜对称形式。由Picard-Lefschetz公式,\pi_1(U,t)的作用保持相交形式不变,因而是辛表示。
(Kazhdan-Margulis) \pi_1(U,t)的象在辛群Sp(H^{d-1}(X_t,\Bbb Q))中Zariski-稠密4
上述两条定理对单值群表示施加了很强的限制。

(D)
最后,Lefschetz纤维化\phi: \tilde{X} \to P^1允许我们用Leray谱序列计算H^i(\tilde{X},\Bbb Q)5:此时谱序列在E_2^{p,q}=H^p(P^1,R^q\phi_{*}\Bbb Q)处退化,且当q>2时,E_2^{p,q}=0,因而只需考虑H^2(P^1,R^{i-2}\phi_{*}\Bbb Q)H^1(P^1,R^{i-1}\phi_{*}\Bbb Q)H^0(P^1,R^i\phi_{*}\Bbb Q)这三项就可以了。

接下来,我们将考虑Deligne, etc.对Picard-Lefschetz理论的代数化。


  1. 我们仅提及最初的一步:Hodge滤过似乎是比Hodge分解更「基本」的概念。前者不但在Griffiths的形变理论中表现得更好,也和谱序列的语言(具体地说,Frölicher谱序列)结合得更好,从而允许到一般域的推广。这是代数Hodge理论的起点。
  2. Donaldson提出可以在辛几何中考虑Picard-Lefschetz理论的类比,这个思路允许Paul Seidel具体计算许多Fukaya范畴的例子——在某种程度上,这不并让人意外,因为Floer同调本就应该理解为圈空间上的Morse同调。我喜欢用这样的图景来叙述:复几何和辛几何是同一棵树上(镜像对称)的不同分支,伪全纯曲线和Picard-Lefschetz理论生长在比Floer同调和Fukaya范畴更加靠近根部的地方。
  3. 当前,这是一个炙手可热的领域。关键词包括但不限于:几何Langlands纲领,Higgs丛,Hitchin纤维化,基本引理,等等。跟Weil猜想联系更紧密的是特征p的情况,即Drinfeld和L.Lafforgue的工作。
  4. 在单值/Galois表示中,这是一个常见现象:几何起源的单值群/Galois群通常会有「最大可能」(as large as possible) 的表示。
  5. 事实上,这是Leray发明谱序列的初衷。

Weil猜想漫谈 V:碧海潮生

构造Weil上同调并不容易。我们来看Serre的一个例子:
考虑椭圆曲线C的自同态环\mathrm{End}(C)\mathrm{End}(C) \times \Bbb Q在2维线性空间H^1(C)上有自然的表示作用。对于定义在\Bbb F_{p^2}上的超奇异椭圆曲线C\mathrm{End}(C) \times \Bbb Q\Bbb Q上的可除四元数代数,因而在\Bbb R上和\Bbb Q_p上(从而在\Bbb Q上)不存在2维表示。也即是说,Weil上同调论的系数必须要在\Bbb Q_ll \neq p中寻找。
另一方面,Grothendieck等人确实成功构造了所谓的l-进上同调论:对于定义在特征p的有限域\Bbb F_q上的光滑射影簇,和任意素数l \neq p,存在一个以\Bbb Q_l为系数的Weil上同调论,满足上一章定义的「公理」(1)-(8). 对于定义在\Bbb Q上的射影簇V,经「好的」模p约化所得的射影簇V_pl-进上同调群与作为复代数簇的V的de Rham上同调群有相同的秩1

我们承诺过我们的漫谈将会是几何式的。对于「抽象代数几何」苦手——例如,对于束论和同调代数毫无认识的人——上述定义,加上对上同调论的几何想象,已足以支撑他们完成这次「漫步」——尽管会丢失许多细处的风景。这些人可以就此止步了。当然,为了形成正确的「比例感」,我们还必须提醒:l-进上同调论的构造,以及「公理」(1)-(7)的验证绝不是轻易的,(8)则尤其困难。不要被简单的叙述所蒙蔽,而小看了Grothendieck, M.Artin, Verdier等人的工作!
剩下的人,让我们继续前进。

应用代数拓扑于代数几何的早期尝试一直为如下难题所困扰:代数簇上的「天然」拓扑——Zariski拓扑——太过「粗糙」(开集/闭集太少)2。Grothendieck试图绕开这个难题:毕竟,对于上同调论的应用而言,束才是更基本的对象。而束的定义不一定要依赖于底空间上的开集。更进一步,我们可以问一个「天真」的问题:什么是「开集」?Grothendieck以相对性观点 (relative viewpoint) 知名,在他看来,「开集」同样是对象间的态射:在复拓扑的情况,我们可以取万有对象为\Bbb C^n,态射为局部解析同构,从而将复拓扑「传递」到一般解析簇上。在Zariski拓扑的情况,Serre提出可以用平展态射 (étale morphism)来替代局部解析同构。对于局部Noetherian概型,可以将平展态射粗略地理解为「非分歧覆迭」,我们请读者记住这个几何图像3
对于簇/概型X,用所有对象到X的平展态射的范畴取代(过小的)Zariski开集的范畴,我们得到所谓的平展拓扑 ( étale topology) 。当然是上述范畴到Abel群范畴的反变函子,满足熟知的一系列公理。特别的,应用著名的[Grothendieck, 1957] (「东北论文」)的观点:截影函子作为左正合函子,定义其右导出函子为束的上同调群,由此得到的束上同调论称为平展上同调 (étale cohomology)。
在法语中,“étale”可以与「潮平两岸阔」的意向相联系,这是Grothendieck作为诗人的一面4

回到有限域\Bbb F_q上的射影簇X。有鉴于开篇提到的例子,自然会考虑H^i(X_{et},\Bbb Q_l)能否提供一个Weil上同调论——这被证明是一个失败的尝试。l-进上同调群的「正确」定义是H^i(X_{et},\Bbb Z/l^k \Bbb Z)逆向极限(与\Bbb Q_l作张量积以抹去所有挠元)。很遗憾,通常人们依然用H^i(X_{et},\Bbb Q_l)来表示这个上同调群,这引发了大量混淆。
通过上述方式定义的l-进上同调论是一个Weil上同调论。从定义的复杂度可以想见,「公理」(1)-(7)的验证全都是不平凡的定理,读者必须到SGA(或者更现代的,我们推荐Milne的讲义)中寻找细节。作为算术几何和表示论的基础工具,平展上同调是任何严肃的代数/数论研究者都无法逃避的一课。

我们用两段相关的讨论来收尾。首先是关于Tate模
考虑定义在\Bbb F_q上的Abel簇X\bar{X}=X \times \bar{\Bbb F}_q. \bar{X}上的l^k-挠元构成一个逆向系统,其逆向极限T_l(X)称为X的Tate模。
这个定义与l-进上同调的定义存在明显的类似性。事实是,作为自由\Bbb Z_l-模,T_l(X)H^1(\bar{X}_{et},\Bbb Z_l)对偶,从而可以「代替」H^1(\bar{X}_{et},\Bbb Z_l).
这个对象有表示论上的兴趣:\Bbb F_q绝对Galois群自然地作用于T_l(X),前者的生成元不是别的,正是Frobenius元素\pi。特别的,对于椭圆曲线,(A3)和它的种种变体都等价于:\pi在2阶自由模T_l(X)上作用的2个特征值(作为代数数)均有绝对值q^{1/2}.
正如我们之前所说的,(A3)的表示论证明对椭圆曲线和高亏格曲线的Jacobi簇考虑了作为Frobenius元素表示的Tate模,作为「第一同调群」,它包含了曲线的所有同调论信息5
对任意光滑射影簇XH^i(\bar{X}_{et},\Bbb Q_l)上同样有自然的Galois表示。如果我们对Langlands对应作最粗略的解读:「Galois表示-自守表示」,「Frobenius特征值-Hecke特征值」,那么这个对应会将我们自然地导向Ramanujan-Petersson猜想。
迟一些时候,我们会再次回到这个话题。

最后,我们还想总结一下已知的4种经典「Weil上同调论」:
(1) Betti上同调:由注2中提及的“GAGA”,我们可以将其等同于复代数簇上的复系数奇异上同调。
(2) l-进上同调:和Betti上同调构成了「提升/约化」的关系。
(3) 代数de Rham上同调:利用Kähler微分的概念,将复代数簇上的de Rham上同调推广到任意特征0的代数簇上。
(4) p-进上同调( 晶状上同调刚性上同调 ):可以认为是代数de Rham上同调的「模p约化」,以Witt向量为系数。这是一种比l-进上同调更「透彻」的上同调论:可以侦测到挠元,避开了l \neq p的限制,等等。特别的,可以用它来证明(W3)。我们将在漫谈的最后回到这一点上来。
(2)(3)(4)的构造都与Grothendieck密切相关,这构成了他工作的一大主题。如同注1所提及的,它们可以视为母题上同调的不同「实现」。


  1. 这个性质启发了Grothendieck提出动机理论:代数几何对象实际上仅有一个「上同调论」和这个「上同调论」在不同位(place)上的「实现」,或者说种种上同调论均可factor through这个假想中的「万有上同调论」——称为母题/动机(motivic)上同调。 
  2. 因此,和复拓扑的正面类比结果就显得尤为难得,最著名的例子可能是Serre的“GAGA”:对于复代数簇上的凝聚束 (coherent sheaf) ,Zariski拓扑给出和复拓扑相同的束上同调论。 
  3. 这个观点通过基本群导向Grothendieck的Galois理论。 
  4. 在《播种与收获》(Recoltes et Semailles) 中,Grothendieck曾将自己做数学的方式形容为「潮水渐涨」。 
  5. 事实上,作为Galois表示,Tate模决定了椭圆曲线的同源类。Tate证明了有限域的情况。对于代数数域上的Abel簇,类似陈述称为Tate同源猜想,Faltings在证明Mordell猜想的过程中证明了这个猜想。

Weil猜想漫谈 IV:拓扑征服

「拓扑征服」不是地道的汉语。然而Norman conquest确乎是地道的英语——我们取这个意思。

让我们回到代数几何。迄今为止我们还未给出(A1)(A2),特别是(A3)的证明。我们希望在(W1)(W2)(W3)的框架下统一考虑在几何方面所需的准备工作。约定如下记号:X为定义在\Bbb F_q上的d维光滑射影簇,\bar{X}=X \times \bar{\Bbb F}_q.

Hasse找到了这样一条几何线索:在射影簇\bar{X}上,我们可以定义Frobenius自同态\pi,\pi^2,\pi^3,\cdots(请读者考虑具体的定义方法并证明\bar{X}的不变性。)特别的,X上的\Bbb F_{q^n}-点集X(\Bbb F_{q^n})正是自同态\pi^n:\bar{X} \to \bar{X}的不动点集,估计N_n的大小转化成了不动点计数的问题。关于后者,我们有经典的:
(Lefschetz不动点定理) 对于复代数簇X,态射f:X \to XH^i(X,\Bbb Q)上诱导线性表示f^{*}。假定f\Gamma_f和恒同映射的图\Delta(均为X \times X的子集,我们将其视为代数几何意义上的对应)横截相交,我们定义f的不动点为这些交点在X上的投影。不动点的个数\displaystyle N=\sum_i(-1)^i \mathrm{tr}(f^{*}|H^i(X),\Bbb Q).

当然,我们面临的问题依旧是对于有限域上的X定义「合适」的上同调论,使得Lefschetz不动点定理的类比成立。假设我们已做到这一点,(W1)的证明是轻易的:\displaystyle \sum_{n \geq 1}\frac{N_n}{n}T^n=\sum_i\sum_{n\geq 1}(-1)^i \mathrm{tr}((\pi^{*})^n|H^i(X))\frac{T^n}{n},也即
\displaystyle Z_X(T)=\prod_i \det(1-\pi^{*}T|H^i(X))^{(-1)^{i+1}}
此时P_i(T)=\det(1-\pi^{*}T|H^i(X)),如果我们能证明\dim H^i(X)=\dim H^i(X(\Bbb C),\Bbb Q),自然也就得到\deg(P_i)=b_i(X).
\pi^{*}H^{2d}(X)上的作用是乘以q^d. 不难发现(W2)相当于Poincaré对偶:若\alpha_1,\cdots,\alpha_s\pi^{*}H^i(X)上的特征值,则q^{2d}/\alpha_1,\cdots,q^{2d}/\alpha_s\pi^{*}H^{2d-i}(X)上的特征值。

将上述讨论一般化:
给定域k(任意特征)和K(特征0),记k上光滑射影簇的范畴为P,分次K代数的范畴为R_K。定义Weil上同调函子为反变函子H^*:P \to R_K,对所有d维射影簇X,满足以下公理:
(1,有限公理) H^i(X)是有限维K-线性空间;
(2,消没公理) H^i(X)=0,除非0\leq i\leq 2d
(3,定向公理) H^{2d}(X)=K
(4,Poincaré对偶) 存在非退化配对H^i(X) \otimes H^{2d-i}(X) \to H^{2d}(X)=K
(5,Künneth公式) 投影映射X \times Y \to X,Y诱导典范同构H^{*}(X) \otimes H^{*}(Y) \to H^{*}(X \times Y)
上述5条公理是一般上同调论的共性。我们希望Weil上同调还能给出代数几何特有的
(6,闭链映射) 记A^i_r(X)X中余维数为i的代数闭链的有理等价类所张成的\Bbb Q-线性空间。要求存在\mathrm{cl}_X:A^i_r(X) \to H^{2i}(X)满足函子性,与Künneth公式相容,并在X退化为单点时给出嵌入\Bbb Q \subset K.
Lefschetz不动点定理的成立仅依赖于上述6条公理。也就是说,只要我们能构造出满足条件的Weil上同调理论,并证明与K \to \Bbb Q相应的基域变换定理,就能给出(W1)(W2)的证明1

对于\Bbb C(乃至一般的特征0的代数闭域),Kähler流形上的de Rham上同调给出Weil上同调的范例。假定H是背景射影空间中的超平面,j:W=H \cap X \to X是光滑嵌入,我们有额外的:
(7,弱Lefschetz定理) j^{*}:H^i(X) \to H^i(W)i \leq d-2时是同构,在i=d-1时是单同态。
\omega=\mathrm{cl}_X(W)\in H^2(X),并定义Lefschetz算子L:H^i(X)\to H^{i+2}(X)x \mapsto x \cdot \omega. 此时可以用Hodge理论证明
(8,强Lefschetz定理)L^i:H^{d-i}(X) \to H^{d+i}(X)是同构。
我们当然希望我们构造的Weil上同调和Kähler流形上的de Rham上同调有最大程度的平行性:满足(7)(8)两条「公理」。这原本是一个有独立意义的课题,但最终也被证明和(W3)相关:(8)在某种意义上「等价」于(W3). 我们将这个话题留待后叙。

暂且放下(8)不论,至少这一点是清楚的:仅仅对(1)-(6)作形式推理并不足以证明(W3),我们仍需要额外的「材料」。
让我们先考虑(A3):对代数曲线C和Frobenius自同态\pi^n应用不动点定理,\displaystyle N_n=\mathrm{tr}((\pi^{*})^n|H^0(X))-\mathrm{tr}((\pi^{*})^n|H^1(X))+\mathrm{tr}((\pi^{*})^n|H^2(X))
注意到\mathrm{tr}((\pi^{*})^n|H^0(X))=1\mathrm{tr}((\pi^{*})^n|H^2(X))=q^n,Hasse-Weil上界等价于估计\displaystyle |\mathrm{tr}((\pi^{*})^n|H^1(X))| \leq 2gq^{n/2}
Hasse (g=1) 和Weil (g>1) 对这个估计给出了多种多样的证明。从现代观点看,这些证明大致可以分成2类2。其一是考虑椭圆曲线和高亏格曲线的Jacobi簇作为交换代数群的l-进表示。这类证明可以推广到Abel簇上 (Weil). 第二类证明更加几何化:早在Lefschetz之前,Hurwitz就对复代数曲线C建立了不动点定理的一个变体。特别的,如果将定理右端上同调群的特征全部改写成特定曲线的相交数,就可以避开上同调论。将这个相交理论平行迁移到非特征0的代数闭域上,则上述估计是C\times C上的Castelnuovo-Severi不等式的推论。此即所谓的(A3)的「正性」(positivity) 证明。
为了完成这两个证明,Weil一手发展了现代意义上的抽象Abel簇理论,并为一般域上的相交理论建立了严格的代数基础3
在今后的漫谈中,我们会在更大的框架下回顾这两类证明。

总结一下。现在我们手头有两个任务:一是在特征p的域上构建一个Weil上同调理论,要求满足(1)-(6)(这允许我们证明(W1)(W2)),最好还能满足(7)(8). 二是在这个Weil上同调论的基础上,寻找更深入的理论,以求证明(W3).

终于,轮到Grothendieck登场了。


  1. 这一点是Serre告知Grothendieck的。 
  2. 事实上在椭圆曲线的情况,Hasse的第一个证明是复乘理论的应用。我们不会讨论这个证明,仅仅指出它也应该被纳入到Eichler-Shimura-Langlands的大图景中。
  3. 对这段历史感兴趣的读者可以参阅 Milne The Riemann Hypothesis over Finite Fields: From Weil to the Present Day. 几年前我们在《Weil的广博》一文中用粗线条勾勒过Weil在这几个方面的工作。 

On the Maslov index

Maslov指标最迷人的特征是它以不同的形式出现于现代数学的各个领域。有鉴于辛几何在统一不同数学分支中的作用,Weinstein提出了所谓的“辛哲学”,这或许可以作为其中一个例证。
从“量子数学”的角度看,可以用一句话概括Maslov指标的作用:它在不同极化模型之间扮演了相因子(phase factor)的角色。

From Manifolds to Grassmannians
给定辛空间(V^{2n},\omega),其Lagrange子空间模空间称为Lagrage Grassman流形。遵从Arnold,我们将其记为\Lambda(V)\Lambda(n)。必要时,也可以考虑作为正向极限的稳定LG流形\Lambda(\infty)
在几何中,Grassman流形几乎是“万有对象”的同义词。具体地说,以P\Lambda(n)上的重言丛(tautological bundle),我们有如下保持向量丛结构的自然映射:
(1)TN \to NP \to \Lambda(n)N是辛流形(M^{2n},\omega)的Lagrange子流形;
(2)\mathfrak{P} \to MP \to \Lambda(n)\mathfrak{P}TM的可积Lagrange子丛,又称为极化(polarization);
因而,在LG流形上定义的Maslov指数可以作为某种“万有示性类”理解。

The Ambient Space
LG流形是齐性空间\Lambda(n)=U(n)/O(n)\mathrm{dim}(\Lambda(n))=n(n+1)/2。辛群Sp(2n)可迁地作用于\Lambda(n)
从Lie代数的角度看,视\mathfrak{u}(n)斜Hermite形式斜对称形式\mathfrak{o}(n)为其实部,则LG流形在l处的切空间与斜Hermite形式的虚部,即l上的对称形式,有一个自然同构(\gamma(t), \dot{\gamma}(t)) \mapsto B[\gamma(t),\dot{\gamma}(t)]\gamma:[a,b] \to \Lambda
给定l后,我们可以将\Lambda(n)分解为\Sigma_k的不交并,\Sigma_k中的l'满足\mathrm{dim}(l' \cap l)=k。连通开流形\Sigma_k的余维数为k(k+1)/2l' \in \Sigma_k处的切向量v满足B[l',v]|_{l \cap l'}=0.
l' \in \Sigma_0,则称l'l横截相交(intersect transversally)。这是微分拓扑意义上的一般位置(generic position)。奇点集\Sigma=\overline{\Sigma_1}=\cup_{k \geq 1}\Sigma_k\Lambda(n)的代数子流形,称为Maslov闭链(Maslov cycle)。
标准的同伦序列计算指出\Lambda(n)的基本群为\Bbb Z,故H_1(\Lambda(n);\Bbb Z)=H^1(\Lambda(n);\Bbb Z)=\Bbb Z\Sigma所在的同调类与l的选取无关:其Poincaré 对偶\alphaH^1(\Lambda(n);\Bbb Z)的生成元。

The Index for a Loop
(Maslov指标\mu,定义1) 对于闭曲线\gamma:[a,b] \to \Lambda\gamma(a)=\gamma(b)=l,扰动\gamma使其横截于\Sigma_1(作为Maslov闭链\Sigma的稠密子集)。定义\mu(\gamma)\gamma\Sigma_1相交数
由同伦不变性知此定义与基点l的选取无关。
Arnold  Characteristic class entering in quantization conditions
曲线闭合的假定允许我们将此定义同调化:对于\gamma:S^1 \hookrightarrow \Lambda,定义\mu(\gamma)=\alpha[f(S^1)]
Arnold提供了一个计算\mu(f)的方法:对于任意l',均存在g \in U(n)满足g(l)=l',其判别式精确到\pm 1。这在整个LG流形上定义了映射\mathrm{det}^2: \Lambda(n) \to S^1\mu(f)\mathrm{det}^2 \circ f:S^1 \to S^1卷绕数(winding number)。

The Index for a Path
Arnold仅对闭曲线\gamma定义了Maslov指标,因为他需要一般位置的论证来保证\gamma\Sigma_1横截相交。
若我们允许更一般的相交方式,则可以对任意\gamma定义Maslov指标。具体地说,称I[l,\gamma,t]=B[\gamma(t),\dot{\gamma}(t)]|_{l \cup \gamma(t)}\gamma(t)处的相交形式,B有非平凡的定义当且仅当\gamma(t) \in \Sigma。我们记I[l,\gamma,t]的号差为\sigma[l,\gamma,t]
(Maslov指标\mu,定义2) 对于\gamma:[a,b] \to \LambdaI[l,\gamma,t]保持非奇异(几何上这意味着\gamma和所有\Sigma_k横截相交), 定义
\mu(\gamma)=\frac{1}{2}\sigma[l,\gamma,a]+\frac{1}{2}\sigma[l,\gamma,b]+\sum_{a<t<b}\sigma[l,\gamma,t]
Robbin, Salamon  The Maslov index for paths

The Index for Two Paths
Arnold指出闭曲线的Maslov指标可以理解为卷绕数。熟知卷绕数有一个相对形式的版本(relative version)——2条闭曲线的环绕数(linking number)——这促使我们寻找相对Maslov指标的定义。
给定\gamma_1,\gamma_2:[a,b] \to \Lambda,定义相对相交形式
I[\gamma_1,\gamma_2,t]=I[\gamma_1,\gamma_2(t),t]-I[\gamma_2,\gamma_1(t),t]
其号差记为\sigma[\gamma_1,\gamma_2,t]
(Maslov指标\mu,定义3)对于\gamma_1,\gamma_2:[a,b] \to \LambdaI[\gamma_1,\gamma_2,t]保持非奇异, 定义
\mu(\gamma_1,\gamma_2)=\frac{1}{2}\sigma[\gamma_1,\gamma_2,a]+\frac{1}{2}\sigma[\gamma_1,\gamma_2,b]+\sum_{a<t<b}\sigma[\gamma_1,\gamma_2,t]
定义2是\gamma_1(t) \equiv l的情况。
Cappell, Lee, Miller指出可以用以下6条公理刻画Maslov指标\mu(\gamma_1,\gamma_2)
(1)底空间VV=\Bbb R^2时满足归一化条件;
(2)底空间V:辛可加性;
(3)时间参数t:仿射不变性;
(4)道路\gamma:可加性;
(5)道路\gamma:同伦不变性;
(6)道路\gamma:辛不变性;
Cappell, Lee, Miller  On the Maslov index

The Index for a Triple of Points
对于Lagrange子流形的三元组(l_1,l_2,l_3),定义Kashiwara指标1\tau(l_1,l_2,l_3)为实二次型Q(x_1,x_2,x_3)=\omega(x_1,x_2)+\omega(x_2,x_3)+\omega(x_3,x_1)的号差。这个定义属于柏原正树(Masaki Kashiwara)。
Lion, Vergne  The Weil representation, Maslov index and Theta series
\tau是辛不变的,我们可以认为这个整值函数是\Lambda(V)上2维单形的“有向面积”(2-上闭链),它决定了2维单形的辛等价类。
通过单形分解,我们可以对任意2维单纯复形定义Kashiwara指标。
考虑\gamma_i:[a,b] \to \Lambdai=1,2,3h_{jk}(t)\gamma_j(t) \cap \gamma_k(t)的维数。\tau\mu有一个形如Newton-Leibniz公式的关系:
\tau(\gamma_1(b),\gamma_2(b),\gamma_3(b))-\tau(\gamma_1(a),\gamma_2(a),\gamma_3(a))=2[\mu(\gamma_1,\gamma_2)+\mu(\gamma_2,\gamma_3)+\mu(\gamma_3,\gamma_1)]+\sum[h_{jk}(b)-h_{jk}(a)]

Indices on the Total Spaces
给定纤维丛E \to \Lambda,上面讨论过的所有指标均在E上有自然的定义:投影映射的“拉回”。E的常见例子包括万有覆叠\tilde{\Lambda}和辛群Sp(2n)

Other facets
A.Ranicki建立了一个关于Maslov指标的主题站,搜罗了大量有价值的原始资料。
下面是一张(并不完备的)清单。

(1) 在研究WKB近似时,Maslov考虑了相空间V的Lagrange子流形M到构型空间p=0的投影问题。为了研究投影的奇点集,他取M中横截奇点集的曲线,并定义其与奇点集的相交数为Maslov指标。在他之前,Keller在研究Bohr-Sommerfeld量子条件时也定义过类似的概念。

(2) Weil 表示是辛群的“典范”射影酉表示,Kashiwara指标在其中扮演着Schur乘子的角色——辛不变量籍由表示论深入到了数论的领域。

(3) Hörmander在研究Fourier算子理论时定义了Hörmander指标s(l_1,l_3;l_2,l_4)。可以证明Hörmander指标恰为4边形(l_1,l_2,l_3,l_4)的Kashiwara指标的一半。
Hörmander  Fourier Integral Operators I

(4) 在经典力学/几何光学中,Hamilton-Jacobi力学和Lagrange力学是一体两面的存在,因而辛几何和Riemann几何中的变分问题也有着天然的联系。Duistermaat试图将Maslov指标与Morse指标联系起来,因而考虑了Morse指标在Legendre变换下的对应概念:Duistermaat指标。Duistermaat指标不满足道路可加性,其补正项恰恰是Hörmander指标s(l_1,l_3;l_2,l_4)
Duistermaat  On the Morse index in variational calculus

(5)我们转向拓扑。将可定向流形L^{4k}沿闭流形M^{4k-1}切成2片,Novikov证明了号差的可加性:\sigma(L)=\sigma(L_1)+\sigma(L_2)。当\partial M非空时,Wall指出上述公式需要一项补正:\partial M作为3个流形边缘的嵌入映射给出辛空间H_{2k-1}(N;\Bbb R)的3个Lagrange子空间,补正项是它们的Kashiwara指标。
Wall  Non-additivity of the signature

(6)对于(5)中的现象,我们有另一种理解方式。Atiyah, Patodi和Singer试图将Hirzebruch号差定理推广到带边的紧4k维流形,在此过程中他们发现补正项是边缘上某个Dirac算子的“指标”(对无穷和取zeta函数正则化)。这个补正项在数学上称为eta不变量,对应物理中的谱不对称性(spectral asymmetry)。
Atiyah, Patodi, Singer  Spectral asymmetry and Riemannian Geometry. I
就我们的目的而言,重要的是如下事实:给定2组Lagrange子空间,我们可以定义某个Dirac算子D。相对Maslov指标是D\epsilon-谱流(spectral flow),从而可以由D的eta不变量表出,详见Cappell, Lee, Miller。用这一事实重新证明(5)将是有趣的。

(7)Floer同调论在某种意义上是(4)(6)的综合。Maslov指标以Conley-Zehnder指标的形式出现在某些Cauchy-Riemann型算子的谱流计算中。


  1. 最早提出这个概念的人可能是Jean Leray:
    Leray  Lagrangian Analysis and Quantum Mechanics 

自旋流形和旋子丛的基本性质

GP \to M的等价类同构于Čech上同调群H^1(M,G)

(1)0 \to \mathrm{SO}(m) \to \mathrm{O}(m) \to \mathbb{Z}_2 \to 0。主\mathrm{O}(m)P可定向,等价于P的结构群可约化为\mathrm{SO}(m),等价于Stiefel-Whitney类w_1(P) \in H^1(M,\mathbb{Z}_2)的消没。

(2)n \geq 3时,0 \to \mathbb{Z}_2 \to \mathrm{Spin}(m) \to \mathrm{SO}(m) \to 0。主\mathrm{SO}(m)P是某个\mathrm{Spin}(m)丛的约化,等价于Stiefel-Whitney类w_2(P) \in H^2(M,\mathbb{Z}_2)的消没。

m阶Riemann向量丛E可定向当且仅当其正交标架丛P_\mathrm{O}(E)满足消没条件(1)。此时称E有一个自旋结构,若定向正交标架丛P_\mathrm{SO}(E)进一步满足消没条件(2)。

我们感兴趣的是Riemann流形(M^n,g)。称M是自旋流形,若切丛TM有自旋结构:w_1(M)=0w_2(M)=0。一些常见的例子:

(1)所有维数不大于3的可定向紧流形。2维的情况等价于Euler示性数为偶数。3维的情况则可由可定向3-流形的切丛平凡(Stiefel)这一事实推出;(2)S^n\mathbb{R}P^{4n+3};(3)复流形M是自旋流形等价于c_1[M]是偶数。这包括\mathbb{C}P^{2n+1}Calabi-Yau流形

对于复自旋流形,许多讨论是平行的。参见Lawson, Michelsohn  APPENDIX D.

由复自旋表示\Delta_m:\mathrm{Spin}(m) \to \mathrm{U}(V)给出的伴随丛S(E)=P_\mathrm{Spin}(E) \times_{\Delta_m} V称为旋子丛。特别地,自旋流形上有典范旋子丛S(M)=S(TM)

内积空间V是一个Clifford模。遵从Lawson, Michelsohn,我们称S(M)上的Dirac算子D为Atiyah-Singer算子。这是二人发展指标定理的最初例子。

自旋流形的示性类有一些重要的性质:

(1)对于2n维可定向向量丛E \to ME \otimes \mathbb{C} \sim \oplus (l_k \oplus \bar{l}_k)x_k=c_1(l_k),其全\hat{A}类由乘法序列\displaystyle \prod \frac{x_k/2}{\mathrm{sinh}(x_k/2)}定义。假定M^{4k}紧致且可定向,M\hat{A}亏格定义为示性数\hat{A}_k[M]\hat{A}亏格通常不是整数,不过自旋流形的\hat{A}亏格却是整数。这是Borel和Hirzebruch的结果,而Atiyah和Singer发现可以将\hat{A}亏格解释为Dirac算子的指标:

(Atiyah-Singer)\mathrm{ind}(D)=\hat{A}_k[M]

更进一步,若k为奇数,\hat{A}亏格将为偶数:此时复自旋表示\Delta_{4k}是四元数表示,故D的核与余核均为四元数向量空间,其复维数均为偶数。

(2)

(Rokhlin)闭自旋流形的号差\tau(M)是16的倍数。

Rokhlin本人的证明基于同伦论的考虑。这也可以由Atiyah-Singer指标定理推出:\tau(M^4)等于L亏格L_1[M]L_1[M]=-8\hat{A}_1[M],而此时\hat{A}亏格是偶数。

Rokhlin定理提供了一个检测4维拓扑流形是否有光滑结构的工具,这在Freedman的工作中得到应用。

椭圆复形与Atiyah-Bott不动点定理

我们多次讨论过与外微分形式相关的系列结果:(1)de Rham-Hodge理论;(2)Lefschetz不动点定理;(3)Poincaré–Hopf定理以及(4)Gauss-Bonnet-Chern定理。从Dirac丛和Dirac算子的观点考虑,我们要问这些结果的相应推广是什么?对于一般的椭圆算子,情况又如何?

作为模本,首先回顾(2):光滑映射f:M \to M下的不动点x \in M称为非退化的,若\mathrm{det}(I-df(x)) \neq 0,其指数l_f(x)定义为\mathrm{sgn}\mathrm{det}(I-df(x))。另一方面,f诱导H^i_{dR}(M)的自同态f^i_*,定义f的Lefschetz数L(f)=\sum (-1)^i \mathrm{tr} f^i_*

(Lefschetz不动点定理)\displaystyle L(f)=\sum_x l_f(x)

横截向量场在M上定义了相流f^t\displaystyle \mathrm{lim}_{t \to 0} f^t=I。公式左端,L(I)=\chi(M),而右端,相流的不动点恰是向量场的奇点:我们得到(3)的特例。这显示Lefschetz不动点定理不能描述“多重横截相交”,在这个方向上推广的结果往往冠以Lefschetz-Hopf之名

回到最初的问题。在知道答案(4)Atiyah-Singer指标定理的情况下,Atiyah和Bott考虑了余下的推广:(1)在椭圆复形的概念下得到统一,而(2)给出著名的Atiyah-Bott不动点定理。

Atiyah, Bott  A Lefschetz Fixed Point Formula for Elliptic Complexes: Ⅰ

椭圆复形指的是上链复形(\Gamma(E_i),D_i),要求D_i是向量丛E_iE_{i+1}的椭圆算子。满足T_{i+1}D_i=D_iT_i的自同态T_i:\Gamma(E_i) \to \Gamma(E_i)诱导H^i(\Gamma(E))的自同态T_i^*。由椭圆算子理论\mathrm{dim}H^i(\Gamma(E))<\infty,于是我们可以定义T的Lefschetz数L(T)=\sum (-1)^i \mathrm{tr} T_i^*

我们最感兴趣的仍是光滑映射f:M \to M。给定丛同态\phi_i:f^*E_i \to E_i,可取T_i\Gamma(\phi_i) \circ f_i^*。注意在不动点x \in M处,\phi_i(x)是一个线性映射。

(Atiyah-Bott不动点定理)\displaystyle L(T)=\sum_x \frac{\sum_i (-1)^i\mathrm{tr}\phi_i(x)}{|\mathrm{det}(I-df(x))|}

对于de Rham复形,\phi_i有自然选取\Lambda^i df\mathrm{det}(I-df)=\sum_i (-1)^i \mathrm{tr} (\Lambda^i df)给出经典的Lefschetz公式。

另一个经典例子是Dolbeault复形(\Gamma(A^{p,q}),\bar{\partial}_q)。给定全纯映射f:M \to M

(1)\sum_i (-1)^i \mathrm{tr}_\mathbb{R} (\Lambda^i df)=\mathrm{tr}_\mathbb{C}(\Lambda^p \partial f)\mathrm{det}_\mathbb{C}(I-\bar{\partial}f)

(2)|\mathrm{det}_\mathbb{R}(I-df)|=\mathrm{det}_\mathbb{C}(I-\partial f)\mathrm{det}_\mathbb{C}(I-\bar{\partial} f)

(全纯Lefschetz不动点定理)\displaystyle L(f,A^{p,*})=\sum_x \frac{\mathrm{tr}_\mathbb{C}(\Lambda^p \partial f)(x)}{\mathrm{det}_\mathbb{C}(I-\partial f(x))}

p=0的情况特别简单:\displaystyle L(f,A^{0,*})=\sum_x \frac{1}{\mathrm{det}_\mathbb{C}(I-\partial f(x))}

上述结果不难推广到全纯向量丛E \otimes A^{p,q}上。

Atiyah, Bott  A Lefschetz Fixed Point Formula for Elliptic Complexes: Ⅱ. Applications

全纯Lefschetz不动点定理牵涉到一桩“公案”:1964年,志村五郎在Woods Hole会议上向Atiyah和Bott提及这个猜想,成为2人发展椭圆型不动点定理的最初推动力。志村的原意是推广Eichler对(一般域上的)代数曲线的自同态所做的工作,为此他甚至考虑了远为一般的代数簇间的对应。可以说,他与Atiyah-Bott各逞擅场。可惜,交流思想的结果并不愉快:事后志村对Bott不太提及他的贡献非常不满1

围绕Woods Hole不动点定理的历史与争议,Tu试图给出一个来自中方第三方的总结。三位当事人中,Bott去世已久,Atiyah用”very fair”评价Tu的文章,与之相对的,志村则拒绝为该文背书。


  1. 志村的心态很可玩味:一方面自甘淡泊,另一方面又非常在意主流数学界的“歧视”(例如与Serre关系恶劣)。Wiles证明了谷山-志村猜想后,他的评论极其简单却意味深长:“I told you so.” 

通往指标定理之路 Ⅳ

在开始讨论Hirzebruch-Riemann-Roch定理之前,我们列出标准的参考著作:

Hirzebruch  Topological Methods in Algebraic Geometry

我们假定讨论的所有复代数簇都是非奇异的(P^N的子流形,代数流形)。

经典代数几何中有一个著名的结论:代数曲线X的算术亏格等于几何亏格。稍加修饰,就得到Riemann-Roch定理:它是一个关于全纯线丛L \to X的Euler示性数的公式。“算术亏格等于几何亏格”对应L为平凡线丛的情形。

一般地,考虑代数流形X及全纯向量丛E \to X,我们有

(Hirzebruch-Riemann-Roch定理)\displaystyle \chi(E)=(\rm{ch}(E) \smallsmile \rm{td}(X))[X]

F.Hirzebruch (1927-  )

首先解释相关记号:

等式左边,Euler示性数\displaystyle \chi(E)=\sum (-1)^i H^i(X,E)E系数的层上同调定义。从Atiyah-Singer指标定理的角度看,它是Dirac算子D=\sqrt{2}(\bar{\partial}+\bar{\partial}^*)的指标。

等式右端,Chern类函子c_i是形式函子x_i的初等对称函数。利用乘法序列,我们可以进一步构造其他示性类。例如,完全Chern特征函子\mathrm{ch}=\sum \mathrm{ch}_i\sum e^{x_i}给出,完全Todd类函子\mathrm{td}=\sum \mathrm{td}_i\prod x_i/(1-e^{-x_i})给出。\mathrm{td}(TX)通常缩略为\mathrm{td}(X)\mathrm{ch}(E)\mathrm{td}(X)杯积给出一个新的示性类,等式右端是它的示性数。

2个特例:(1)取E为平凡线丛。公式左端给出Hirzebruch意义下的算术亏格,而右端退化为Todd示性数\mathrm{td}_n[M]:这是高维的“算术亏格等于几何亏格”。

(2)代数曲线X上的除子D给出全纯线丛L(D) \to X。此时公式的右端化为c_1[M]/2+c_1[L(D)]c_1[M]=2-2gc_1[L(D)]=\mathrm{deg}(D):我们重新得到经典Riemann-Roch定理。

Hirzebruch本人的原始证明分成3步,利用了许多在当时非常“前卫”的结果。(1)E为平凡线丛:他自己的号差定理(基于Thom的协边理论)以及A. Borel关于复Lie群同调论的工作;(2)E为一般线丛:用小平邦彦和Spencer的结果“代数流形的Picard群同构于主除子群”来分析线丛的结构;(3)E为一般向量丛:他再次利用了A. Borel关于复Lie群同调论的工作。当然,他还受益于Serre:Riemann-Roch定理可以从层上同调和示性类的角度来理解和推广源于Serre的洞见。他在Topological Methods in Algebraic Geometry的前言里表达了对这些人的谢意:这是“孤木不成林”的最好说明。

20世纪中叶,数学见证了拓扑方法在几何中的全面渗透。在这一大潮中,煊赫一时的Hirzebruch-Riemann-Roch定理很快在2个方向上得到了深远推广:Grothendieck-Riemann-Roch定理Atiyah-Singer指标定理