Hodge理论 Ⅲ


本章讨论复流形上的Hodge定理。这与第1章完全平行,对比阅读将是有趣的。另一方面,第1章的结果可以用更加几何化的方法(例如Morse理论)得到,而已知的拓扑手段对复流形尚无能为力,此时Hodge定理“不可代替”。

关于Hermite流形上的Hodge定理,经典的参考书是

Griffiths, Harris    Principles of algebraic geometry

Serre对偶在代数几何中的应用,参看

Serre    Un Théorème de duality    Comm.Math.Helv.29(1955)

考虑带有Hermite度量的复维数为n的紧复流形M。记\Omega的复化为A,在坐标变换(x_i,y_i) \to (z_i,\bar{z_i})下,每个1-形式可分解为a_{i,0}dz^i+a_{0,i}d\bar{z_i}。以A^{p,0}dz_i在外积下生成的p次外代数,A^{0,q}d\bar{z_i}在外积下生成的q次外代数。Cauchy-Riemann方程保证A^{p,0}A^{0,q}的定义不依赖于坐标的选取,故有自然投影映射\pi_{p,q}:A^r \to A^{p,q}p+q=r

我们考察4个算子:

1.星算子\star:A^{p,q} \to A^{n-p,n-q}将微分形式映到其Hodge对偶。\star\star=(-1)^{p+q}\star允许我们在A^{p,q}上定义Hermite内积(\alpha,\beta)=\int_{M}\alpha \wedge \star \overline{\beta}

A=\oplus_{p,q=0}^{n}A^{p,q}\oplus为正交直和,则A成为内积空间。\star可扩充为A上的酉算子:(\star \alpha,\star \beta)=(\alpha,\beta)

2.微分算子\overline{\partial}:A^{p,q} \to A^{p,q+1}\overline{\partial}=\pi_{p,q+1} \circ d\overline{\partial}^{2}=0

3.上微分算子\overline{\partial}^*:A^{p,q} \to A^{p,q-1}\overline{\partial}^*=-\star \overline{\partial} \star。不难验证(\overline{\partial}^*)^{2}=0(\overline{\partial}\alpha,\beta)=(\alpha,\overline{\partial}^*\beta),即\overline{\partial}^*\overline{\partial}互为伴随算子。

\overline{\partial}^*\overline{\partial}又称Dolbeault算子。

4.Laplace-Beltrami算子\triangle:A^{p,q} \to A^{p,q}\triangle=(\overline{\partial}+\overline{\partial}^*)^{2}=\overline{\partial}\overline{\partial}^*+\overline{\partial}^*\overline{\partial}\triangle\star\overline{\partial}\overline{\partial}^*交换,它是Hermite算子:(\triangle\alpha,\beta)=(\alpha,\triangle \beta)\triangle \alpha=0当且仅当\overline{\partial}\alpha=0\overline{\partial}^*\alpha=0

\mathcal{H}^{p,q}=\{\omega \in A^{p,q}: \triangle \omega=0\}\omega称为调和(p,q)形式。

(Hodge定理Ⅱ)存在如下正交分解式:

A^{p,q}=\triangle G(A^{p,q})\oplus \mathcal{H}^{p,q}=\overline{\partial}\overline{\partial}^{*}G(A^{p,q}) \oplus\overline{\partial}^*\overline{\partial} G(A^{p,q}) \oplus \mathcal{H}^{p,q},其中dim\mathcal{H}^{p,q}<\infty

此处Green算子G:A^{p,q} \to A^{p,q}是紧算子。Ker(G)=\mathcal{H}^{p,q}G限制在(\mathcal{H}^{p,q})^{\perp}上是\triangle的逆,从而与\star\overline{\partial}\overline{\partial}^*交换。

Hodge定理Ⅱ的证明与第2章中给出的Hodge定理Ⅰ的证明完全类似。我们直接转向其在层上同调理论中的应用。

由Dolbeault定理,全纯p形式层\Omega^{p}对于M的第q个层上同调群H^{q}(M,\Omega^{p})\cong \{\overline{\partial}闭的(p,q)形式\}/\{\overline{\partial}恰当的(p,q)形式\},从而有

(Hodge定理Ⅱ’)存在同构H^{q}(M,\Omega^{p}) \cong \mathcal{H}^{p,q}

类比de Rham上同调的情形,得到如下推论

有限性定理:对紧复流形Mdim H^{q}(M,\Omega^{p})<\infty

Serre对偶:\star\triangle=\triangle\star,故有同构\star:\mathcal{H}^{p,q} \to \mathcal{H}^{n-p,n-q}。非退化的Hermite内积(,)给出对偶H^{q}(M,\Omega^{p}) \cong (H^{n-q}(M,\Omega^{n-p}))^{*}

注记

Hodge定理可以无困难地从M的切丛推广到一般的全纯向量丛E上,得到Serre对偶:

H^{q}(M,\Omega^{p}(E)) \cong (H^{n-q}(M,\Omega^{n-p})(E))^{*}

Serre本人的证明基于解析层的消解,推广后可以应用于抽象代数几何。利用Hodge定理在复流形上证明Serre对偶则是小平邦彦的想法。

M为紧Riemann面的情形,可以用Serre对偶来证明Riemann-Roch定理。这里我们仅证明Riemann-Roch定理的一个特例:紧Riemann面M上的全纯微分构成g维复线性空间,gM的亏格。代数几何学家通常称这个结果为:算术亏格等于几何亏格。

Poincaré引理给出层的短正合列:0 \to \mathbb{C} \to \Omega^{0} \to \Omega^{1} \to 0,从而诱导层上同调群的长正合列

0 \to H^{0}(\mathbb{C}) \to H^{0}(\Omega^{0}) \to H^{0}(\Omega^{1}) \to H^{1}(\mathbb{C}) \to

H^{1}(\Omega^{0}) \to H^{1}(\Omega^{1}) \to H^{2}(\mathbb{C}) \to H^{2}(\Omega^{0})=0

流形上同调理论给出dim H^{0}(\mathbb{C})=dim H^{2}(\mathbb{C})=1dim H^{1}(\mathbb{C})=2g。利用Serre对偶不难算得dim \mathcal{H}^{1,0}=dim H^{0}(\Omega^{1})=g

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