On the Maslov index

Maslov指标最迷人的特征是它以不同的形式出现于现代数学的各个领域。有鉴于辛几何在统一不同数学分支中的作用,Weinstein提出了所谓的“辛哲学”,这或许可以作为其中一个例证。
从“量子数学”的角度看,可以用一句话概括Maslov指标的作用:它在不同极化模型之间扮演了相因子(phase factor)的角色。

From Manifolds to Grassmannians
给定辛空间(V^{2n},\omega),其Lagrange子空间模空间称为Lagrage Grassman流形。遵从Arnold,我们将其记为\Lambda(V)\Lambda(n)。必要时,也可以考虑作为正向极限的稳定LG流形\Lambda(\infty)
在几何中,Grassman流形几乎是“万有对象”的同义词。具体地说,以P\Lambda(n)上的重言丛(tautological bundle),我们有如下保持向量丛结构的自然映射:
(1)TN \to NP \to \Lambda(n)N是辛流形(M^{2n},\omega)的Lagrange子流形;
(2)\mathfrak{P} \to MP \to \Lambda(n)\mathfrak{P}TM的可积Lagrange子丛,又称为极化(polarization);
因而,在LG流形上定义的Maslov指数可以作为某种“万有示性类”理解。

The Ambient Space
LG流形是齐性空间\Lambda(n)=U(n)/O(n)\mathrm{dim}(\Lambda(n))=n(n+1)/2。辛群Sp(2n)可迁地作用于\Lambda(n)
从Lie代数的角度看,视\mathfrak{u}(n)斜Hermite形式斜对称形式\mathfrak{o}(n)为其实部,则LG流形在l处的切空间与斜Hermite形式的虚部,即l上的对称形式,有一个自然同构(\gamma(t), \dot{\gamma}(t)) \mapsto B[\gamma(t),\dot{\gamma}(t)]\gamma:[a,b] \to \Lambda
给定l后,我们可以将\Lambda(n)分解为\Sigma_k的不交并,\Sigma_k中的l'满足\mathrm{dim}(l' \cap l)=k。连通开流形\Sigma_k的余维数为k(k+1)/2l' \in \Sigma_k处的切向量v满足B[l',v]|_{l \cap l'}=0.
l' \in \Sigma_0,则称l'l横截相交(intersect transversally)。这是微分拓扑意义上的一般位置(generic position)。奇点集\Sigma=\overline{\Sigma_1}=\cup_{k \geq 1}\Sigma_k\Lambda(n)的代数子流形,称为Maslov闭链(Maslov cycle)。
标准的同伦序列计算指出\Lambda(n)的基本群为\Bbb Z,故H_1(\Lambda(n);\Bbb Z)=H^1(\Lambda(n);\Bbb Z)=\Bbb Z\Sigma所在的同调类与l的选取无关:其Poincaré 对偶\alphaH^1(\Lambda(n);\Bbb Z)的生成元。

The Index for a Loop
(Maslov指标\mu,定义1) 对于闭曲线\gamma:[a,b] \to \Lambda\gamma(a)=\gamma(b)=l,扰动\gamma使其横截于\Sigma_1(作为Maslov闭链\Sigma的稠密子集)。定义\mu(\gamma)\gamma\Sigma_1相交数
由同伦不变性知此定义与基点l的选取无关。
Arnold  Characteristic class entering in quantization conditions
曲线闭合的假定允许我们将此定义同调化:对于\gamma:S^1 \hookrightarrow \Lambda,定义\mu(\gamma)=\alpha[f(S^1)]
Arnold提供了一个计算\mu(f)的方法:对于任意l',均存在g \in U(n)满足g(l)=l',其判别式精确到\pm 1。这在整个LG流形上定义了映射\mathrm{det}^2: \Lambda(n) \to S^1\mu(f)\mathrm{det}^2 \circ f:S^1 \to S^1卷绕数(winding number)。

The Index for a Path
Arnold仅对闭曲线\gamma定义了Maslov指标,因为他需要一般位置的论证来保证\gamma\Sigma_1横截相交。
若我们允许更一般的相交方式,则可以对任意\gamma定义Maslov指标。具体地说,称I[l,\gamma,t]=B[\gamma(t),\dot{\gamma}(t)]|_{l \cup \gamma(t)}\gamma(t)处的相交形式,B有非平凡的定义当且仅当\gamma(t) \in \Sigma。我们记I[l,\gamma,t]的号差为\sigma[l,\gamma,t]
(Maslov指标\mu,定义2) 对于\gamma:[a,b] \to \LambdaI[l,\gamma,t]保持非奇异(几何上这意味着\gamma和所有\Sigma_k横截相交), 定义
\mu(\gamma)=\frac{1}{2}\sigma[l,\gamma,a]+\frac{1}{2}\sigma[l,\gamma,b]+\sum_{a<t<b}\sigma[l,\gamma,t]
Robbin, Salamon  The Maslov index for paths

The Index for Two Paths
Arnold指出闭曲线的Maslov指标可以理解为卷绕数。熟知卷绕数有一个相对形式的版本(relative version)——2条闭曲线的环绕数(linking number)——这促使我们寻找相对Maslov指标的定义。
给定\gamma_1,\gamma_2:[a,b] \to \Lambda,定义相对相交形式
I[\gamma_1,\gamma_2,t]=I[\gamma_1,\gamma_2(t),t]-I[\gamma_2,\gamma_1(t),t]
其号差记为\sigma[\gamma_1,\gamma_2,t]
(Maslov指标\mu,定义3)对于\gamma_1,\gamma_2:[a,b] \to \LambdaI[\gamma_1,\gamma_2,t]保持非奇异, 定义
\mu(\gamma_1,\gamma_2)=\frac{1}{2}\sigma[\gamma_1,\gamma_2,a]+\frac{1}{2}\sigma[\gamma_1,\gamma_2,b]+\sum_{a<t<b}\sigma[\gamma_1,\gamma_2,t]
定义2是\gamma_1(t) \equiv l的情况。
Cappell, Lee, Miller指出可以用以下6条公理刻画Maslov指标\mu(\gamma_1,\gamma_2)
(1)底空间VV=\Bbb R^2时满足归一化条件;
(2)底空间V:辛可加性;
(3)时间参数t:仿射不变性;
(4)道路\gamma:可加性;
(5)道路\gamma:同伦不变性;
(6)道路\gamma:辛不变性;
Cappell, Lee, Miller  On the Maslov index

The Index for a Triple of Points
对于Lagrange子流形的三元组(l_1,l_2,l_3),定义Kashiwara指标1\tau(l_1,l_2,l_3)为实二次型Q(x_1,x_2,x_3)=\omega(x_1,x_2)+\omega(x_2,x_3)+\omega(x_3,x_1)的号差。这个定义属于柏原正树(Masaki Kashiwara)。
Lion, Vergne  The Weil representation, Maslov index and Theta series
\tau是辛不变的,我们可以认为这个整值函数是\Lambda(V)上2维单形的“有向面积”(2-上闭链),它决定了2维单形的辛等价类。
通过单形分解,我们可以对任意2维单纯复形定义Kashiwara指标。
考虑\gamma_i:[a,b] \to \Lambdai=1,2,3h_{jk}(t)\gamma_j(t) \cap \gamma_k(t)的维数。\tau\mu有一个形如Newton-Leibniz公式的关系:
\tau(\gamma_1(b),\gamma_2(b),\gamma_3(b))-\tau(\gamma_1(a),\gamma_2(a),\gamma_3(a))=2[\mu(\gamma_1,\gamma_2)+\mu(\gamma_2,\gamma_3)+\mu(\gamma_3,\gamma_1)]+\sum[h_{jk}(b)-h_{jk}(a)]

Indices on the Total Spaces
给定纤维丛E \to \Lambda,上面讨论过的所有指标均在E上有自然的定义:投影映射的“拉回”。E的常见例子包括万有覆叠\tilde{\Lambda}和辛群Sp(2n)

Other facets
A.Ranicki建立了一个关于Maslov指标的主题站,搜罗了大量有价值的原始资料。
下面是一张(并不完备的)清单。

(1) 在研究WKB近似时,Maslov考虑了相空间V的Lagrange子流形M到构型空间p=0的投影问题。为了研究投影的奇点集,他取M中横截奇点集的曲线,并定义其与奇点集的相交数为Maslov指标。在他之前,Keller在研究Bohr-Sommerfeld量子条件时也定义过类似的概念。

(2) Weil 表示是辛群的“典范”射影酉表示,Kashiwara指标在其中扮演着Schur乘子的角色——辛不变量籍由表示论深入到了数论的领域。

(3) Hörmander在研究Fourier算子理论时定义了Hörmander指标s(l_1,l_3;l_2,l_4)。可以证明Hörmander指标恰为4边形(l_1,l_2,l_3,l_4)的Kashiwara指标的一半。
Hörmander  Fourier Integral Operators I

(4) 在经典力学/几何光学中,Hamilton-Jacobi力学和Lagrange力学是一体两面的存在,因而辛几何和Riemann几何中的变分问题也有着天然的联系。Duistermaat试图将Maslov指标与Morse指标联系起来,因而考虑了Morse指标在Legendre变换下的对应概念:Duistermaat指标。Duistermaat指标不满足道路可加性,其补正项恰恰是Hörmander指标s(l_1,l_3;l_2,l_4)
Duistermaat  On the Morse index in variational calculus

(5)我们转向拓扑。将可定向流形L^{4k}沿闭流形M^{4k-1}切成2片,Novikov证明了号差的可加性:\sigma(L)=\sigma(L_1)+\sigma(L_2)。当\partial M非空时,Wall指出上述公式需要一项补正:\partial M作为3个流形边缘的嵌入映射给出辛空间H_{2k-1}(N;\Bbb R)的3个Lagrange子空间,补正项是它们的Kashiwara指标。
Wall  Non-additivity of the signature

(6)对于(5)中的现象,我们有另一种理解方式。Atiyah, Patodi和Singer试图将Hirzebruch号差定理推广到带边的紧4k维流形,在此过程中他们发现补正项是边缘上某个Dirac算子的“指标”(对无穷和取zeta函数正则化)。这个补正项在数学上称为eta不变量,对应物理中的谱不对称性(spectral asymmetry)。
Atiyah, Patodi, Singer  Spectral asymmetry and Riemannian Geometry. I
就我们的目的而言,重要的是如下事实:给定2组Lagrange子空间,我们可以定义某个Dirac算子D。相对Maslov指标是D\epsilon-谱流(spectral flow),从而可以由D的eta不变量表出,详见Cappell, Lee, Miller。用这一事实重新证明(5)将是有趣的。

(7)Floer同调论在某种意义上是(4)(6)的综合。Maslov指标以Conley-Zehnder指标的形式出现在某些Cauchy-Riemann型算子的谱流计算中。


  1. 最早提出这个概念的人可能是Jean Leray:
    Leray  Lagrangian Analysis and Quantum Mechanics 

奇点与怪球

对我来说,上世纪60年代具有某种梦幻意味——the golden old days。因此Hirzebruch的去世才特别令我感慨:你刚兴冲冲地拿到入场的门票,一代名角却开始纷纷敛容退场,隐没于大幕之后。Atiyah终究见过Weyl一面。我希望——但愿不是奢望——我也有这样的机会。

众所周知,首度发现怪球面的是Milnor(1956),1962年他与Kervaire合作决定了S^7上所有的28种微分结构。1966年,Brieskorn将这一问题与某类代数簇的奇点联系起来,极大地简化了怪球面的构造。原始论文是

Brieskorn  Beispiele zur Differentialtopologie von Singularitäten

对这一问题最详尽权威的讨论应属Milnor的专著

Milnor  Singular Points of Complex Hypersurfaces

Hirzebruch亦有和Brieskorn相似的观察。本文的标题取自1966年Hirzebruch在Bourbaki讨论班上的同名报告Singularities and exotic spheres:当然,sphere应该翻译为“球面”,它与ball的区别是明显的。思量过后,我仍决定取中文的对偶并仰仗某种心照不宣的“默契”。

生刍一束,献给Hirzebruch。

奇点

代数函数f:\Bbb C^{n+1} \to \Bbb C给出超曲面V=f^{-1}(0)。为考察x \in V附近的拓扑,取以x为中心的小球面S_\epsilon^{2n-1}并考虑K^{2n-1}=S_\epsilon \cap Vx为正则点的情况是平凡的:K微分同胚于S^{2n-1}并“不打结地”嵌入S_\epsilon。“不打结”的确切含义可通过如下相反的例子来说明:取f(z_0,z_1)=z_0^p+z_1^q(p,q)=1并取x为唯一的奇点:原点。此时K^1虽然微分同胚于S^1,却在同痕意义下给出S^3中的(p,q)环面结

众所周知,代数簇奇点附近的拓扑性状通常很恶劣,往往无法赋予流形结构。但不难证明奇点的充分小邻域同胚于K上的锥面,因而当K的拓扑性质足够好时(例如同胚于球面),我们可以赋予代数簇以拓扑流形结构。

我们将注意力集中到某个孤立奇点附近。定义\phi=f/|f|,利用Morse理论,Milnor证明了(1)\phi:S_\epsilon-K \to e^{it}S^1上的光滑纤维丛,其纤维F^{2n}是以K为边界的可平行化流形:事实上,(2)F有同伦型S^n \vee \cdots \vee S^n,从而是(n-1)连通的,(3)其边界Kn-2连通的。

(3)结合高维Poincaré猜想推出:n \neq 2时,K同胚于球面当且仅当K为同调球 (n=2时,Mumford证明K^3不可能是单连通的,因而上述论断不再成立,参见下面“Beyond”(1)中的讨论)。

转到F:由(2)知“中间同调群”H_n(F)\Bbb Z上的自由模,K为同调球当且仅当相交形式Q(F)为幺模二次型。取\pi_1(S^1)的生成元\alpha\alpha在纤维上的作用h诱导线性映射h_*:H_n(F) \to H_n(F),其特征多项式\Delta(t)=\det(tI-h_*)是更精细的不变量:\Delta(1)=\det Qn=2时,\Delta(t)给出扭结K^1Alexander多项式

下面研究Pham多项式f(z_0,\cdots,z_{n})=(z_0)^{a_0}+\cdots+(z_n)^{a_n}的奇点(原点)。通过调整参数\epsilon\phi可延拓为局部平凡的纤维化\psi:\Bbb C^{n+1}-V\to S^1。以\omega_ia_i次单位根,以J记所有形如(\omega_0^{p_o},\omega_1^{p_1},\cdots,\omega_n^{p_n})(1 \leq p_i \leq a_i-1)的顶点的凸包。Pham证明了J是纤维\psi^{-1}(pt)的收缩核,故可以将F的同调群拉回到J上研究。

\Bbb C^{n+1}-V上有S^1作用h_th_t(z_0,\cdots,z_n)=(e^{it/a_0}z_0,\cdots,e^{it/a_n}z_n)h_{2\pi}显然是h的延拓,它以顶点置换的方式作用于J,由此不难证明:H_n(F)有阶数\prod (a_i-1)h_*的特征根形如\prod \omega_i^{p_i}

Pham  Formules de Picard-Lefschetz généralisées et ramification des intégrales

对我们来说,这一研究的意义在于给出了\Delta(t)分圆多项式分解,使其变得非常容易计算:

(Brieskorn-Pham)\Delta(t)=\prod_p (t-\prod_i \omega_i^{p_i})

怪球

 如上所述,\Delta(1)=\pm 1K同胚于S^{2n-1},我们希望研究K的微分结构。

以下结果是经典的:k \geq 5时,S^k的微分同胚类在连通和运算下构成有限Abel群\Theta_k。若进一步要求S^k界定某个可平行化流形M,则得到子群bP_{k+1}bP_{2m+1}是平凡的。此外,(1)bP_{4m+2}至多有2个元素,S^k的微分结构由Kervaire不变量c(F) \in \Bbb Z_2决定;(2)m\geq 2时,bP_{4m}是有限循环群,其阶数为2^{2m-2}(2^{2m-1}-1)乘以4B_{m}/m的分子部分,B_mBernoulli数(我们遵从Milnor的记号。数论中由于要考虑B_1故常用B_{2m}表示我们的B_m)。以abP_{4m}的生成元,号差\sigma(M)决定了S^k的微分结构为(\sigma(M)/8)a(熟知\det Q(M)=\pm 1\sigma(M)被8整除)。特别地,\Theta_7=bP_8=\Bbb Z_{28}

Kervaire, Milnor  Groups of homotopy spheres: I

上述(1)(2)结合Brieskorn-Pham定理允许我们“批量生产”怪球面:

(1)取f(z_0,\cdots,z_{2m+1})=z_0^3+z_1^2+\cdots+z_{2m+1}^2,此时\Delta(t)=t^2-t+1满足\Delta(1)=1,故K同胚于S^{4m+1}bP_2bP_6是平凡的,但bP_{10}=\Bbb Z_2,此时Kervaire不变量显示K微分同胚于9维的Kervaire怪球面。

(2)取Brieskorn多项式f(z_0,\cdots,z_{2m})=z_0^3+z_1^{6d-1}+z_2^2+\cdots+z_{2m}^2m \geq 2。这是Brieskorn与Hirzebruch考虑的情况。此时K同胚于S^{4m-1},号差\sigma(M)=(-1)^m 8d。最简单的例子是m=2d=1,2,\cdots,28给出S^7的所有28种微分结构。

Beyond

(1)我们可以考虑比Pham多项式更一般的加权齐次多项式:对每个变量z_i赋予权重1/w_i,要求所有单项式\prod z_i^{a_i}满足\sum a_i/w_i=1。研究S^1作用的不动点将使我们得到同调群的信息(Lefschetz定理),从而最终得到\Delta(t)的显式表示。

一个有趣的例子是考虑SU(2)的离散子群GG-不变的2元多项式的3个生成元由多项式关系f(p_0,p_1,p_2)=0相联系,此处f是一个加权齐次多项式。仍以Vf^{-1}(0)\subset \Bbb C^3,易见p:\Bbb C^2/G \to V是一个同胚,而K同胚于S^3/G。例如,Hirzebruch指出多项式p_0^2+p_1^3+p_2^5=0对应的KPoincaré同调球

上述加权条件以及来自Lie群理论的结果自然使人联想到Coxeter群与奇点分类的神秘关系。迄今为止,关于ADE分类出现在奇点理论中的机制似乎尚未有令人满意的“解释”,对这个“Arnold问题”的进一步探究是有趣的。

(2)\Delta(t)囊括了同调群的信息,事实上,它与Weil\zeta函数紧密相关。我们有如下“类Weil猜想”:对于一般的f\Delta(t)总有一个分圆多项式分解。

和Weil猜想一样,代数曲线的情形是较易处理的。Zariski等人仔细地研究了n=2时相应的扭结理论。特别的,他们证明了此时Alexander多项式\Delta(t)总有一个分圆多项式分解。这部分经典理论的讨论参见Milnor Chap 10.

一般情形的证明由Grothendieck给出,相关讨论参见SGA 7。

椭圆复形与Atiyah-Bott不动点定理

我们多次讨论过与外微分形式相关的系列结果:(1)de Rham-Hodge理论;(2)Lefschetz不动点定理;(3)Poincaré–Hopf定理以及(4)Gauss-Bonnet-Chern定理。从Dirac丛和Dirac算子的观点考虑,我们要问这些结果的相应推广是什么?对于一般的椭圆算子,情况又如何?

作为模本,首先回顾(2):光滑映射f:M \to M下的不动点x \in M称为非退化的,若\mathrm{det}(I-df(x)) \neq 0,其指数l_f(x)定义为\mathrm{sgn}\mathrm{det}(I-df(x))。另一方面,f诱导H^i_{dR}(M)的自同态f^i_*,定义f的Lefschetz数L(f)=\sum (-1)^i \mathrm{tr} f^i_*

(Lefschetz不动点定理)\displaystyle L(f)=\sum_x l_f(x)

横截向量场在M上定义了相流f^t\displaystyle \mathrm{lim}_{t \to 0} f^t=I。公式左端,L(I)=\chi(M),而右端,相流的不动点恰是向量场的奇点:我们得到(3)的特例。这显示Lefschetz不动点定理不能描述“多重横截相交”,在这个方向上推广的结果往往冠以Lefschetz-Hopf之名

回到最初的问题。在知道答案(4)Atiyah-Singer指标定理的情况下,Atiyah和Bott考虑了余下的推广:(1)在椭圆复形的概念下得到统一,而(2)给出著名的Atiyah-Bott不动点定理。

Atiyah, Bott  A Lefschetz Fixed Point Formula for Elliptic Complexes: Ⅰ

椭圆复形指的是上链复形(\Gamma(E_i),D_i),要求D_i是向量丛E_iE_{i+1}的椭圆算子。满足T_{i+1}D_i=D_iT_i的自同态T_i:\Gamma(E_i) \to \Gamma(E_i)诱导H^i(\Gamma(E))的自同态T_i^*。由椭圆算子理论\mathrm{dim}H^i(\Gamma(E))<\infty,于是我们可以定义T的Lefschetz数L(T)=\sum (-1)^i \mathrm{tr} T_i^*

我们最感兴趣的仍是光滑映射f:M \to M。给定丛同态\phi_i:f^*E_i \to E_i,可取T_i\Gamma(\phi_i) \circ f_i^*。注意在不动点x \in M处,\phi_i(x)是一个线性映射。

(Atiyah-Bott不动点定理)\displaystyle L(T)=\sum_x \frac{\sum_i (-1)^i\mathrm{tr}\phi_i(x)}{|\mathrm{det}(I-df(x))|}

对于de Rham复形,\phi_i有自然选取\Lambda^i df\mathrm{det}(I-df)=\sum_i (-1)^i \mathrm{tr} (\Lambda^i df)给出经典的Lefschetz公式。

另一个经典例子是Dolbeault复形(\Gamma(A^{p,q}),\bar{\partial}_q)。给定全纯映射f:M \to M

(1)\sum_i (-1)^i \mathrm{tr}_\mathbb{R} (\Lambda^i df)=\mathrm{tr}_\mathbb{C}(\Lambda^p \partial f)\mathrm{det}_\mathbb{C}(I-\bar{\partial}f)

(2)|\mathrm{det}_\mathbb{R}(I-df)|=\mathrm{det}_\mathbb{C}(I-\partial f)\mathrm{det}_\mathbb{C}(I-\bar{\partial} f)

(全纯Lefschetz不动点定理)\displaystyle L(f,A^{p,*})=\sum_x \frac{\mathrm{tr}_\mathbb{C}(\Lambda^p \partial f)(x)}{\mathrm{det}_\mathbb{C}(I-\partial f(x))}

p=0的情况特别简单:\displaystyle L(f,A^{0,*})=\sum_x \frac{1}{\mathrm{det}_\mathbb{C}(I-\partial f(x))}

上述结果不难推广到全纯向量丛E \otimes A^{p,q}上。

Atiyah, Bott  A Lefschetz Fixed Point Formula for Elliptic Complexes: Ⅱ. Applications

全纯Lefschetz不动点定理牵涉到一桩“公案”:1964年,志村五郎在Woods Hole会议上向Atiyah和Bott提及这个猜想,成为2人发展椭圆型不动点定理的最初推动力。志村的原意是推广Eichler对(一般域上的)代数曲线的自同态所做的工作,为此他甚至考虑了远为一般的代数簇间的对应。可以说,他与Atiyah-Bott各逞擅场。可惜,交流思想的结果并不愉快:事后志村对Bott不太提及他的贡献非常不满1

围绕Woods Hole不动点定理的历史与争议,Tu试图给出一个来自中方第三方的总结。三位当事人中,Bott去世已久,Atiyah用”very fair”评价Tu的文章,与之相对的,志村则拒绝为该文背书。


  1. 志村的心态很可玩味:一方面自甘淡泊,另一方面又非常在意主流数学界的“歧视”(例如与Serre关系恶劣)。Wiles证明了谷山-志村猜想后,他的评论极其简单却意味深长:“I told you so.” 

从Bott周期性谈起 Ⅰ

本系列拟以Bott周期性定理为切入点讨论几个紧密相关的话题。

\mathrm{C}(n)n典型群。定义稳定典型群\mathrm{C}为如下包含序列的直接极限

\displaystyle \mathrm{C}:=\mathrm{colim}\ \mathrm{C}(n)=\bigcup_{n=1}^{\infty}\mathrm{C}(n) \leftarrow \cdots \leftarrow \mathrm{C}(2) \leftarrow \mathrm{C}(1)

C是无限CW复形。但对于给定k,同伦正合列的计算显示当n充分大时,\mathrm{C}(n)k维同伦群彼此同构,故\pi_k(\mathrm{C})总是有限定义的对象。所谓Bott周期性指的是:

\pi_k(\mathrm{U})=\pi_{k+2}(\mathrm{U})                                                       (1)

\pi_k(\mathrm{O})=\pi_{k+4}(\mathrm{Sp})\pi_k(\mathrm{Sp})=\pi_{k+4}(\mathrm{O})                (2)

Bott利用Morse理论给出的原始证明参见

Bott  The stable homotopy of the classical groups

Milnor  Morse theory

暂时先处理较简单的(1)。由于参考文献中的叙述已极为清晰,我们仅勾勒证明的大意。

首先是同伦论中的标准结果:

纤维化S\mathrm{U}(n) \to \mathrm{U}(n) \to S^1给出\pi_i(S\mathrm{U}(n))=\pi_i(\mathrm{U}(n))i>1

纤维化\mathrm{U}(n) \to V_n(\mathbb{C}^{2n}) \to G_n(\mathbb{C}^{2n})给出\pi_i(G_n(\mathbb{C}^{2n}))=\pi_{i-1}(\mathrm{U}(n))i \leq 2n,此处V_n(\mathbb{C}^{2n})为复Stiefel流形

考虑完备Riemann流形Mp,q \in M沿任何测地线不共轭,距离\rho(p,q)=\sqrt{d}。以\Omega记从pq的全道路空间,\Omega^d \subset \Omega记所有从pq的极小测地线。Morse理论中有如下定理:若\Omega^d是拓扑流形,从pq的非极小测地线的指数\geq \lambda,则相对同伦群\pi_i(\Omega,\Omega^d)=00 \leq i <\lambda。于是有同构\pi_i(\Omega^d)=\pi_i(\Omega)=\pi_{i-1}(M)i \leq \lambda-2

\Omega^{d}(S\mathrm{U}(2n);I,-I)=G_n(\mathbb{C}^{2n})。此时\lambda=2n+2,应用上述结果,得到\pi_i(G_n(\mathbb{C}^{2n}))=\pi_{i+1}(S\mathrm{U}(n))i \leq 2n。于是(1)得证,且不难确定\pi_0(\mathrm{U})=0\pi_1(\mathrm{U})=\mathbb{Z}

上述分析可以精细化。事实上,以B\mathrm{U}\mathrm{U}的分类空间,我们有:

\Omega^2 \mathrm{U} \simeq \mathrm{U},或等价地,\Omega^2 B\mathrm{U} \simeq \mathbb{Z} \times B\mathrm{U},此处\simeq表示同伦等价。

这个结果参见

Bott  The space of loops on a Lie group

Bott从工程师转行研究数学,是大器晚成,老而弥坚的典范。我们推荐下面这篇回忆性的短文

Atiyah  Working with Raoul Bott: From Geometry to Physics

R.Bott (1923-2005)

Milnor怪球面与拓扑流形的微分结构

拓扑流形和可微流形之间有多少差距?这个大问题迄今尚未完全解决(尤其是在4维)。

问题1:是否每个拓扑流形上都有相容的微分结构

问题2:如果有,那么微分结构是否是唯一的(微分同胚意义下)?

问题3:如果不唯一,那么有多少等价类(微分同胚意义下)?

截至50年代中期,已知的结果是:

C^k-流形上有唯一相容的C^\infty-结构(Whitney),故“可微”等同于“光滑”;

1维、2维(Radon)以及3维(Moise)拓扑流形上有且仅有一个相容的PL结构/微分结构;

1956年发现的怪S^7是问题2的第一个反例。原始的构造和论证见

Milnor  On manifolds homeomorphic to the 7-sphere

Thom给出的优化将一箭双雕地得到问题1的反例。我们简介其想法,细节参见

Milnor,Stasheff  Characteristic classes   Chapter 20

号差定理给出\{L_k\}的如下刻画:若i<(n-1)/8f:M^n \to S^{n-4i}光滑,y为正则值,则借助\tau(f^{-1}(y))=\langle L_k(TM) \cup f^{*}([S^{n-4i}]),[M]\rangle可以完全确定L_k(TM),而有理Pontryagin类又可由\{L_k\}反解而得。在PL范畴中模仿上述步骤,Thom成功地将有理Pontryagin类推广为PL流形上的组合不变量。

注记

Novikov证明了更强的:有理Pontryagin类是拓扑不变量。这是他获70年Fields奖的主要原因,我们不打算在这里讨论。

通过分析万有丛ESO(4)的结构可知:对任意k \equiv 2(\mathrm{mod}4)S^4上存在4阶向量丛Ee(E)=[S^4]p_1(E)=k[S^4]。以E^{'}E诱导的单位圆盘丛。用Gysin序列计算\partial E^{'}的同调群,知\partial E^{'}具有S^7的同伦型,进而同胚于S^7(Smale对高维Poincaré猜想的证明)。稍细致的分析指出这还是一个组合等价。

现在考虑Thom空间T=T(E)\partial E^{'}的组合结构可以延拓到E^{'}乃至T上。有理Pontryagin类的组合定义允许我们应用号差定理\displaystyle \tau(T)=\frac{7}{45}p_2[T]-\frac{1}{45}p_1^2[T],得到p_2[T]=(45+k^2)/7。我们有选择k \equiv 2(\mathrm{mod}4)的自由:例如令k=6p_2[T]将不是整数,因此T没有与三角剖分相容的光滑结构,进一步推出\partial E^{'}同胚却不微分同胚于标准S^7

Milnor之后,进展如雨后春笋般涌现。

关于问题1:找到了不允许任何光滑结构的10维PL流形(Kervaire);找到了不允许任何光滑结构的4维闭拓扑流形(Freedman);证明了开拓扑流形总允许至少一个光滑结构(Quinn);

关于问题2:n \neq 4\mathbb{R}^n上仅有唯一的光滑结构(Stalling);证明了\mathbb{R}^4的存在(Donaldson, Freedman, etc.);

关于问题3:证明了n \neq 4S^n的不同微分结构在连通和下构成有限群,并利用换球术确定了n \leq 18时各群的阶(Milnor, Kervaire);证明了\mathbb{R}^4有不可数多个微分结构(Gompf, Taubes, etc.);

现阶段最重要的开问题或许是确定S^4上有多少个微分结构。

J.Milnor(1931-)

Milnor凭借怪球面的发现摘得62年的Fields奖章。然而他对拓扑学的贡献远不止于此。可以毫不夸张地说,他是上世纪中叶最重要的拓扑学家,影响力遍及拓扑学的每一个角落。

通往指标定理之路 Ⅲ

Hirzebruch最著名的成就无疑是Hirzebruch-Riemann-Roch定理的证明。这使得他时常被当作代数几何学家,而忘记了他有很强的拓扑学背景:博士论文的导师是Hopf,对HRR定理的证明用到了大量协边理论,等等。

下面介绍Hirzebruch在微分拓扑学中的得意之作:号差定理。原始证明可以在下面这本经典著作中找到

Hirzebruch  Topological methods of algebraic geometry  §8

我们将追随Milnor,Stasheff  Characteristic classes   Chapter 19的叙述。

给定有向紧流形M^{4k}杯积诱导H^{2k}(M;\mathbb{Q})上的对称二次型Q。Poincaré对偶保证Q是非退化的,定义流形M号差\tau为二次型Q号差。Thom证明了\tau是无挠有向协边环\Omega_{*}^{\mathrm{SO}}\otimes \mathbb{Q}到整数环\mathbb{Z}的同态:

(1)\tau(M_1 \coprod M_2)=\tau(M_1)+\tau(M_2)\tau(M_1 \times M_2)=\tau(M_1)\tau(M_2)

(2)若M是某流形的有向边界,则\tau(M)=0

(2)与之前介绍的Pontryagin定理相关。吴文俊猜测\tau(M^4)=p_1[M^4]/3,Rokhlin首先证明了这一点(并决定了\Omega_4^{\mathrm{SO}}=\mathbb{Z})。一般的公式由Hirzebruch给出。

介绍Chern类时,我们初步接触过乘法序列。下面拟详细介绍之。

考虑分级\mathbb{Q}-交换代数A^{*}=(A^0,A^1,\cdots),形式和a=1+a_1+a_2+\cdotsa_i \in A^i在形式乘法下成群。定义K(a)=1+K_1(a_1)+K_2(a_1,a_2)+\cdotsK_n \in \mathbb{Q}(x_1,x_2,\cdots,x_n)n次齐次多项式(x_i赋予次数i)。

\{K_n\}为乘法序列,若K(a_1)K(a_2)=K(a_1 a_2)。这个定义是自然的:

给定形式幂级数f(t)=1+\lambda_1 t+\lambda_2 t^2+\cdots \in \mathbb{Q}(t)A^{*}=\mathbb{Q}[t],有且仅有一个乘法序列\{K_n\}使得K(1+t)=f(t);换言之,使x_1^nK_n中的系数为\lambda_1

给定流形M^n,记其基本类[M],切丛的Pontryagin类为p_i。K-亏格K[M^n]定义为K_k[M^n]=\langle K_k(p_1,\cdots,p_k),[M]\rangle,若n=4k;否则为0。K-亏格是Pontryagin类的线性组合,结合Pontryagin定理不难证明它是\Omega_{*}^{\mathrm{SO}}\otimes \mathbb{Q}\mathbb{Q}的同态。

我们有了2个\Omega_{*}^{\mathrm{SO}}\otimes \mathbb{Q}\mathbb{Q}的同态:号差和K-亏格。下面的定理说明号差实际上是一类特殊的K-亏格:

(Hirzebruch号差定理)若\{L_{k}(p_1,\cdots,p_k)\}是如下级数的乘法序列多项式

\displaystyle \frac{\sqrt{t}}{\mathrm{tanh}({\sqrt{t}})}=1+\frac{1}{3}t-\frac{1}{45}t^2+\cdots+\frac{2^{2k}B_{2k} t^k}{(2k)!}+\cdots

则号差\tau(M^{4k})等于L-亏格L[M^{4k}]

B_k代表Bernoulli数。对符号和下标的约定从未统一,注意我们的记号与Milnor不同。

L-亏格的自然性(naturalness)是一个很有趣的问题。80年代的研究表明,L-亏格是所谓椭圆亏格在尖点处的退化。详见
Hirzebruch  Manifolds and Modular Forms

最简单的例子:L_1=p_1/3L_2=(7p_2-p_1^2)/45,等等。

证明:已知\Omega_{*}^{\mathrm{SO}}\otimes \mathbb{Q}=\mathbb{Q}[P\mathbb{C}^2,P\mathbb{C}^4,\cdots],故只需对生成元P\mathbb{C}^{2k}验证号差定理。

易知\tau(P\mathbb{C}^{2k})=1。为计算L_k[P\mathbb{C}^{2k}],注意到P\mathbb{C}^{2k}的切丛的全Pontryagin类p=(1+c^2)^{2k+1}c是复化丛的第一Chern类,故L(p)=(c/\mathrm{tanh}\ c)^{2k+1}L_k[P\mathbb{C}^{2k}]c^{2k}项的系数,标准的留数计算显示这个系数等于1。号差定理得证。

一些(绝非显然的)算术上的推论:L-亏格总是整数,p_1[M^4]总能被3整除,等等。

协边理论管窥

协边理论的标准参考文献是

Stong   Notes on Cobordism Theory

协边理论作为广义上同调论

边理论(bordism theory)源于Poincaré建立同调论的一个失败尝试:定义n维奇异流形f:M^n \to X,边缘算子\partial(M,f)=(\partial M,f|_{\partial M})n维奇异流形的\mathbb{Z}-形式和在\partial作用下成为链复形,对应的同调群\Omega_{*}(X)称为边群(bordism group)。对偶地,得到协边群(cobordism group)\Omega^{*}(X)

现在我们知道,限制M^nn维单形将给出奇异同调论,满足所有Eilenberg-Steenrod公理。而边群不满足维数公理\Omega_{*}(pt)并不是平凡的。这样的理论称为广义(上)同调论。

一个基本的问题是决定\Omega_{*}(pt)。我们稍作推广:在M^n上附加一个群作用G,得到G-边群\Omega_{*}^G(X)。下面来计算\Omega_{*}^{\mathrm{SO}}=\Omega_{*}^{\mathrm{SO}}(pt)

术语的澄清

遗憾的是,在文献中“协边”(cobordism)一词有2种容易引起混淆的含义:一指与边理论对偶的“上”边理论,一指2个(上)闭链属于同一个(上)边类。为尊重传统起见,我们依然不加区别地混用“协边”,请读者留意。

有向协边理论

原始论文是

Thom  Quelques propriétés globales des variétés differentiables

本节的主要内容摘自Milnor,Stasheff  Characteristic classes   Chapter 17,18。

我们将在光滑范畴中考虑流形。约定若M为有向流形,则-M表示反向定向的同一流形。

称2个有向闭流形MN属于同一个有向协边类,若存在某个有向紧流形X使得\partial X(带有诱导定向)保持定向地微分同胚于M \coprod (-N)。这是一个等价关系,\coprodn维流形的有向协边类\Omega_{n}^{\mathrm{SO}}上诱导一个自然的群结构。拓扑积M^m, N^n \mapsto M^m \times N^n赋予\Omega_{*}^{\mathrm{SO}}=\{\Omega_0^{\mathrm{SO}},\Omega_1^{\mathrm{SO}},\cdots\}一个分次反交换环结构。

为决定\Omega_{*}^{\mathrm{SO}},Thom构造了Thom空间T:对k阶向量丛E \to B,在每根纤维上施行单点紧化并将所有无穷远点粘合为一点\infty。若B是CW-复形,则T也是CW-复形,Bn-胞腔与T(n+k)-胞腔一一对应,故T(k-1)-连通的

Thom空间的引入被形容为deus ex machina(文末另有小注)。下面来看看这个概念的威力。

应用Thom横截定理,得到:任何连续映射f:S^m \to T的同伦类中可找到ggg^{-1}(T-\infty)外光滑且横截于Bg^{-1}(B)的有向协边类仅依赖于g的同伦类,从而诱导同态\pi_m(T,\infty) \to \Omega_{m-k}^{\mathrm{SO}}。特别地,取万有Thom空间T\mathrm{SO}(k)k充分大时,\pi_{n+k}(T\mathrm{SO}(k),\infty) \to \Omega_n^{\mathrm{SO}}是同构。

万有Thom空间的同伦群不容易计算,Thom转而计算其同调群。我们有著名的

(Thom同构) H_{k+n}(T,\infty;\mathbb{Z})\cong H_n(B;\mathbb{Z})

H_n(B\mathrm{SO}(k);\mathbb{Z})是容易计算的:在n \neq 4k时有限,在n=4k时有限生成,且阶等于分拆数p(k)

最后,50年代初同伦论的重大突破使Thom能够将T\mathrm{SO}(k)的同伦群与同调群联系起来:

(Serre)若X(k-1)-连通的有限复形,n<2k-1,则Hurewicz同态h_{*}:\pi_{n}(X) \to H_{n}(X;\mathbb{Z})是“忽略有限群”同构。

此处只需将Serre定理依次应用于T\mathrm{SO}(k)n-骨架上,n=0,1,\cdots,2k-2

下面这个早期结果是吴文俊告知Thom的:

(Pontryagin)若M^{4k}是某个有向紧4k+1维流形的边界,则M的所有Pontryagin数p_I[M]=0I=(i_1,\cdots,i_r)k的一个分拆。这给出同态\Omega_{4k}^{\mathrm{SO}} \to \mathbb{Z},故\mathrm{rank}(\Omega_{4k}^{\mathrm{SO}}) \geq p(k)

将上面所有讨论综合在一起,得到

(Thom)\Omega_n^{\mathrm{SO}}n \neq 4k时有限,在n=4k时有限生成,且阶等于分拆数p(k)

\Omega_{*}^{\mathrm{SO}}\otimes \mathbb{Q}是无挠的。上述定理说明\Omega_{*}^{\mathrm{SO}}\otimes \mathbb{Q}=\mathbb{Q}[P\mathbb{C}^2,P\mathbb{C}^4,\cdots]

后继的工作完全确定了\Omega_n^{\mathrm{SO}}的结构:

(Wall)\Omega_n^{\mathrm{SO}}=\oplus(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^{r(n)},若n \neq 4k\Omega_n^{\mathrm{SO}}=\oplus \mathbb{Z}^{p(k)},若n=4k

由此也得到M^n为某流形的有向边界的充分必要条件:M^n的所有Pontryagin数和Stiefel-Whitney数为0。

其他典型群的协边群

在同一篇文章中,Thom用完全类似的方法决定了无向协边群\Omega_n^{\mathrm{O}}=\oplus(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^{d(n)}。1960年,Milnor和Novikov决定了\Omega_{*}^{\mathrm{U}}。相关的发展详见Strong。

历史注记

Pontryagin无疑是正式考察协边理论的第一人,然而将整个理论打造为强有力工具并启发了50年代/60年代一系列进展的却是Thom。特别是,Pontryagin研究协边理论的主要目的是计算球面同伦群,而在Serre利用谱序列取得突破后,Thom转而利用同伦论来研究协边理论,导致了此后蔚为壮观的发展。这是Thom获得58年Fields奖的主要原因。

R.Thom(1923-2002)

小注:借deus ex machina(God from the machine)形容Thom空间的引入,见Hirsch Differential topology, Chapter 7。中文维基将其译为“天外救星”,取衍生意。《管锥编》中论神道设教,译为“情事危险,神道出现”(史记会注考证·田单列传),重在训deus一字。笔者酷爱Sid Meier’s Civilization IV这款游戏,其中每项科技研发成功后,均有一句引言,机械学之引言即A god from the machine,重在训machine一字。游戏显示此句为希腊诗人Menander语,按Wikiquote的说法,this is one of the earliest occurrences of the phrase which became famous in its Latin form as “Deus ex machina.”