自旋流形和旋子丛的基本性质


GP \to M的等价类同构于Čech上同调群H^1(M,G)

(1)0 \to \mathrm{SO}(m) \to \mathrm{O}(m) \to \mathbb{Z}_2 \to 0。主\mathrm{O}(m)P可定向,等价于P的结构群可约化为\mathrm{SO}(m),等价于Stiefel-Whitney类w_1(P) \in H^1(M,\mathbb{Z}_2)的消没。

(2)n \geq 3时,0 \to \mathbb{Z}_2 \to \mathrm{Spin}(m) \to \mathrm{SO}(m) \to 0。主\mathrm{SO}(m)P是某个\mathrm{Spin}(m)丛的约化,等价于Stiefel-Whitney类w_2(P) \in H^2(M,\mathbb{Z}_2)的消没。

m阶Riemann向量丛E可定向当且仅当其正交标架丛P_\mathrm{O}(E)满足消没条件(1)。此时称E有一个自旋结构,若定向正交标架丛P_\mathrm{SO}(E)进一步满足消没条件(2)。

我们感兴趣的是Riemann流形(M^n,g)。称M是自旋流形,若切丛TM有自旋结构:w_1(M)=0w_2(M)=0。一些常见的例子:

(1)所有维数不大于3的可定向紧流形。2维的情况等价于Euler示性数为偶数。3维的情况则可由可定向3-流形的切丛平凡(Stiefel)这一事实推出;(2)S^n\mathbb{R}P^{4n+3};(3)复流形M是自旋流形等价于c_1[M]是偶数。这包括\mathbb{C}P^{2n+1}Calabi-Yau流形

对于复自旋流形,许多讨论是平行的。参见Lawson, Michelsohn  APPENDIX D.

由复自旋表示\Delta_m:\mathrm{Spin}(m) \to \mathrm{U}(V)给出的伴随丛S(E)=P_\mathrm{Spin}(E) \times_{\Delta_m} V称为旋子丛。特别地,自旋流形上有典范旋子丛S(M)=S(TM)

内积空间V是一个Clifford模。遵从Lawson, Michelsohn,我们称S(M)上的Dirac算子D为Atiyah-Singer算子。这是二人发展指标定理的最初例子。

自旋流形的示性类有一些重要的性质:

(1)对于2n维可定向向量丛E \to ME \otimes \mathbb{C} \sim \oplus (l_k \oplus \bar{l}_k)x_k=c_1(l_k),其全\hat{A}类由乘法序列\displaystyle \prod \frac{x_k/2}{\mathrm{sinh}(x_k/2)}定义。假定M^{4k}紧致且可定向,M\hat{A}亏格定义为示性数\hat{A}_k[M]\hat{A}亏格通常不是整数,不过自旋流形的\hat{A}亏格却是整数。这是Borel和Hirzebruch的结果,而Atiyah和Singer发现可以将\hat{A}亏格解释为Dirac算子的指标:

(Atiyah-Singer)\mathrm{ind}(D)=\hat{A}_k[M]

更进一步,若k为奇数,\hat{A}亏格将为偶数:此时复自旋表示\Delta_{4k}是四元数表示,故D的核与余核均为四元数向量空间,其复维数均为偶数。

(2)

(Rokhlin)闭自旋流形的号差\tau(M)是16的倍数。

Rokhlin本人的证明基于同伦论的考虑。这也可以由Atiyah-Singer指标定理推出:\tau(M^4)等于L亏格L_1[M]L_1[M]=-8\hat{A}_1[M],而此时\hat{A}亏格是偶数。

Rokhlin定理提供了一个检测4维拓扑流形是否有光滑结构的工具,这在Freedman的工作中得到应用。

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