Spectra of Modular Surfaces I

下篇:Spectra of Modular Surfaces II

几天前,某篇宣称证明了Pólya猜想论文(基本可以确定是一记“乌龙”)在我的朋友圈里引发了一些讨论。一种观点是:与20年来复几何、辛几何方面的新思想(例如Donaldson学派为解决同调镜对称猜想而发展的一系列工作)相比,诸如Pólya猜想一类的几何分析问题已经过时了。
必须承认,Pólya猜想在理论上并没有太多有趣的推论。就方法论而言,它固然是特征值估计技术的试金石,但迄今为止,在Li-Yau方法的基础上并没有本质的进步,何况几何分析学家真正感兴趣的也仅仅是第一特征值,整个higher theory还有待发展。
然而,冒着“越俎代庖”的风险,我还是想为谱几何的整体价值稍作辩护。
Laplace算子的谱理论不仅是几何的一部分,也是无穷维表示论的样本。我手头恰好有一个相对晚近的例子,涉及特征值估计技术在模形式理论中的应用,兼有数论和量子物理两方面的重要性。就精神而言,这是Langlands纲领(数论的,几何的,物理的)一部分,是镜对称的“远亲”。
我第一次了解到这方面的数学,是在阅读了P.Sarnak的Baltimore讲稿之后:
Sarnak  Spectra of Hyperbolic Surfaces

经典Maass形式理论的研究对象包括
(1)上半平面\Bbb H在赋予Poincaré度量后成为常曲率双曲Riemann面,面积测度\displaystyle dA=\frac{dx \wedge dy}{y^2},Laplace算子\Delta=-y^2(\partial_x^2+\partial_y^2)
(2)模群PSL(2,\Bbb Z)通过Möbius变换\displaystyle z\mapsto \frac{az+b}{cz+d}作用于\Bbb H,我们感兴趣的子群包括:
(2.1)N阶主同余子群\Gamma(N)=\{\gamma\in PSL(2,\Bbb Z):\gamma \equiv I \pmod{N}\}.模群本身记为\Gamma(1)
(2.2)同余子群\Gamma:对某个N\Gamma(N) \subset \Gamma. 满足上述条件的最小的N称为\Gamma的阶;
(2.3)N阶Hecke同余子群\Gamma_0(N)=\{\gamma\in PSL(2,\Bbb Z):c\equiv 0 \pmod{N}\}
(3)模曲面X=\Gamma\backslash \Bbb H是有限面积的非紧双曲Riemann面。可以通过加入若干个尖点(cusp)使其紧化。X是满足特定算术性质的椭圆曲线的模空间(moduli space),这是经典模曲线理论的一部分;
(4)Maass形式:满足\Delta f_\lambda=\lambda f_\lambda的光滑函数f_\lambda:X \to \Bbb C
Selberg细致地研究了(\Delta,X)的谱:
Selberg   On the estimation of Fourier coefficients of modular forms
具体地说,有界复函数\displaystyle \mathcal{B}(X) \subset \mathcal{L}(X)=L^2(X,dA)\Delta作用下分裂为2个正交不变子空间:\mathcal{B}(X)=\mathcal{C}(X)\oplus \mathcal{E}(X)
\mathcal{C}(X)由尖点型(cuspidal)函数f构成:f在尖点处的Fourier展开无常数项,或者等价的,在环绕尖点的极限圆(horocycle)上有周期(period)0。
自共轭紧算子\Delta|_{\mathcal{C}(X)}有离散谱0=\lambda_0<\lambda_1\leq\lambda_2\leq \cdots\lambda_i \to \infty
由谱定理,\mathcal{C}(X)\mathcal{L}(X)中的完备化\tilde{\mathcal{C}}(X)拥有一组完备正交基对应\Delta的谱分解。
f \in \mathcal{E}(X)是一类Eisenstein级数\Delta|_{\mathcal{E}(X)}仅在\lambda=0处有点态谱,此外有连续谱[\displaystyle \frac{1}{4},\infty). 因而,对于特征值\lambda>0,相应的特征函数f_{\lambda}将自动成为Maass尖点形式1
\lambda=\nu(1-\nu)f_\lambda有Fourier-Whittaker展开:
\displaystyle f_{\lambda}(z)=\sum_{n \neq 0}a(n)\sqrt{2\pi y}K_{\nu-\frac{1}{2}}(2\pi|n|y)e(nx)Bessel函数\displaystyle K_\nu(y)=\int_0^{+\infty}e^{-y \cosh t}\cosh(\nu t)dt
Iwaniec  Introduction to the Spectral Theory of Automorphic Forms

X的算术性体现在Hecke算子作用于\mathcal{L}(X):对于N阶同余子群\Gamma(n,N)=1,定义
\displaystyle (T_nf)(z)=\frac{1}{\sqrt{n}}\sum_{ad=n}\sum_{b=0}^{d-1}f(\frac{az+b}{d})
(1)T_n正规算子\Gamma=\Gamma(1)\Gamma_0(N)时是自共轭算子;
(2)\displaystyle T_mT_n=T_nT_m=\sum_{d|(m,n)}T_{mn/d^2}T_n\Delta=\Delta T_n
(3)\mathcal{C}(X)T_n的不变子空间;
若尖点形式f_\lambda同时是所有T_n的特征函数,则称其为Maass-Hecke特征形式2,在标准化a(1)=1下,我们有T_nf_\lambda=a(n)f_\lambda,\forall n. 考虑Hecke L-函数
\displaystyle L(s,f_\lambda)=\sum_{n=1}^{\infty}a(n)n^{-s}=\prod_p(1-a(p)p^{-s}+p^{-2s})^{-1}
(Ramanujan-Petersson猜想)|a(p)|\leq 2,或者,|a(n)|\leq\sigma_0(n)\sigma_0因子函数
Deligne对Weil猜想的证明可推出全纯尖点形式的Ramanujan-Petersson猜想。Maass尖点形式的Ramanujan-Petersson猜想迄今为止尚未得到证明。

回到对\Delta的讨论。我们将另辟新章讨论作为算术量子混沌系统的(X,\Delta)及其高能渐进。在低能端,数论学家感兴趣的主要是第一特征值估计:
(Selberg 1/4猜想)\displaystyle \lambda_1(X)\geq \frac{1}{4},即\Delta大于0的离散谱完全落在连续谱\displaystyle [\frac{1}{4},\infty)中。
(Selberg 1/4猜想,几何分析形式)\forall f\in C^\infty_0(X)满足\int_X fdA=0,梯度估计
\displaystyle \int_X |\nabla f|^2 dA \geq \frac{1}{4}\int_X|f|^2dA成立。
不难证明1/4是最优的:N \to \infty时,(\Delta,X(N))的尖点谱在[\displaystyle \frac{1}{4},\infty)中趋于稠密。事实上,对于不可约2维偶Galois表示\rho:\mathrm{Gal}(K/\Bbb Q) \to GL(2,\Bbb C),若相应的Artin L-函数L(s,\rho)是整函数(即满足Artin猜想),则通过Langlands对应原理,它给出X(N)上的Maass尖点形式f_{1/4}N\rho的导子。
对于X(1),通过简单的推理即可得到强得多的下界,例如3\pi^2/2 (Vignéras). 对于一般的X,Selberg证明了\lambda_1(X)\geq 3/16,对这个结果感兴趣的读者不妨参考陶哲轩的博文,在此文中他同时还证明了Selberg 1/4猜想等价于关于Kloosterman和的Linnik猜想。文中将Lax-Phillips散射理论应用于自守波动方程的想法由Faddeev和Pavlov首倡,参见
Lax, Phillips Scattering theory for automorphic functions

从Langlands哲学的角度看,Ramanujan-Petersson猜想和Selberg 1/4猜想是同一个猜想在不同的位(place)上的体现。我们简单地说明这一点。
G(\Bbb Q)=GL(2,\Bbb Q)G(\Bbb A)=GL(2,\Bbb A)Z(\Bbb A)G(\Bbb A)的中心。G(\Bbb A)上有平凡中心特征的尖点形式空间L_0^2(Z(\Bbb A)G(\Bbb Q)\backslash G(\Bbb A))\phi:G(\Bbb A) \to \Bbb C构成的Hilbert空间,\phi满足
(1)模性:\phi(\gamma g z)=\phi(g)\forall \gamma \in G(\Bbb Q),\forall z\in Z(\Bbb A)
(2)平方可积性:\displaystyle \int_{Z(\Bbb A)G(\Bbb Q)\backslash G(\Bbb A)}|\phi(g)|^2dg <\infty
(3)尖点性:\displaystyle \int_{\Bbb Q\backslash \Bbb A}\phi(\begin{pmatrix}1&&x \\ 0&&1\end{pmatrix}g)dx=0\forall g\in G(\Bbb A)
G(\Bbb A)L_0^2(Z(\Bbb A)G(\Bbb Q)\backslash G(\Bbb A))上的作用(\gamma f)(g)=f(g\gamma)给出G(\Bbb A)的酉表示,称为尖点表示(cuspidal representation),它可以分解为不可约可容许表示(admissible representation)的直和3
Maass-Hecke特征形式f可以唯一地提升为\phi_f\in L_0^2(Z(\Bbb A)G(\Bbb Q)\backslash G(\Bbb A)),记相应的不可约表示为\pi_f,我们考虑\pi_f在不同位上的分解\pi_f=\pi_\infty \otimes \prod \pi_p. 对于非Archimedean位p和Archimedean位\infty处的可容许表示,我们分别有Bernstein–Zelevinsky分类Langlands分类作为参考的“地标”:
(Ramanujan-Petersson猜想,表示论形式)\pi_p主级数表示(p,N)=1
Satake  Spherical functions and Ramanujan’s conjecture
(Selberg 1/4猜想,表示论形式)\pi_\infty是主级数表示;
Langlands提出上述2个猜想可以由GL(2)\to GL(m+1)的Langlands函子性猜想推出。这决定性地影响了对Selberg猜想的现代研究。
m=2(Gelbart-Jacquet),m=3(Kim-Shahidi)和m=4(Kim)的函子性已得到证明。最后一个结果给出当前的最佳下界记录: \displaystyle \lambda_1(X)\geq \frac{975}{4096}=0.238\dots


  1. 这个现象体现了某种算术刚性:对于一般的(generic)双曲曲面X,Phillips-Sarnak理论暗示至多有有限个特征值以尖点形式为特征函数。
    Phillips, Sarnak  On cusp forms for cofinite subgroups of PSL(2,\Bbb R) 
  2. 基于大量数值实验,Cartier猜想(\Delta,X(1))的所有正特征值都是单特征值。如果这个猜想成立,那么X(1)的所有Maass尖点形式都是Maass-Hecke特征形式。 
  3. Jacquet和Langlands对GL(2)证明了重数1定理:在上述分解中每个不可约可容许表示有重数1. 一般地,我们希望决定所有使重数1定理成立的可约群。
    Jacquet, Langlands  Automorphic forms on GL(2) 

Riemann和乐群,对称空间和Berger分类

Riemann和乐群的概念由来已久。E.Cartan和陈省身曾对这个概念在Riemann几何中的作用抱有很高期望。关于相关的历史,我们推荐伍鸿熙在《黎曼几何选讲》中的介绍。

这个方向的研究在Berger证明了他的Riemann和乐群分类定理后陷入沉寂:可能的特殊和乐群过于稀少,几乎不能用于Riemann流形的区分。但在Riemann几何和复几何趋于成熟后,对特殊和乐群的兴趣在70年代末又重新抬头。例如,Calabi猜想的证明允许我们批量构造有特殊和乐SU_mSp_m的紧流形。另一个直接的推动来自超弦理论:超对称的存在要求理论的背景流形有特殊和乐群,这使得特殊和乐群一跃而进入现代数学物理的核心。

讨论和乐群的经典是Besse的Einstein Manifolds (Besse是以Berger为首的一群法国几何学家模仿Bourbaki的成例而取的笔名,因而这本书可以视为Berger的夫子自道)。Joyce的Compact manifolds with special holonomyRiemannian holonomy groups and calibrated geometry是2本值得参考的现代著作。

以下讨论中将反复出现如下模式:(1)定义某个概念的整体版本;(2)定义此概念的局部版本(并给出张量刻画);(3)研究“整体=局部”的障碍(大多是基本群)。为此我们做如下准备:

流形M上的所有连通开集\{U_i\}及它们间的包含态射\psi_{ij}构成范畴\mathrm{Op}。考虑\mathrm{Op}到某范畴的反变函子FF(U_i)间定义有自然的限制态射。F(M)称为整体对象。考虑x \in M和包含x的所有开集U_IF(U_I)的逆向极限F_x称为x处的点态对象。若对于充分小的U_IF(U_I)已保持稳定,则称这个稳定对象为x附近的局部对象。局部对象未必存在,但存在时必定等于点态对象。

Holonomy

假定Lie群G是紧致的,给定带有联络\nablaG向量丛E \to M,我们定义\mathrm{Op}G的子Lie群的函子\mathrm{Hol}如下:以x \in U_i为基点的分段光滑闭曲线\gamma \subset U_i通过平行移动诱导g_\gamma \in G,这给出群同态\rho:\Omega(U_i,x) \to G,其同态像称为(以x为基点的)和乐群\mathrm{Hol}_x(\nabla,U_i)。作为抽象群,和乐群不依赖于基点的选取,故\mathrm{Hol}(\nabla,U_i)定义良好(且是G的子Lie群)。\mathrm{Hol}(\nabla)=\mathrm{Hol}(\nabla,M)称为整体和乐群。

前述意义下的局部和乐群通常不存在,但有性质良好的替代品:定义限制和乐群\mathrm{Hol}^0(\nabla)\rho(\Omega^0(M,x))(同样不依赖于基点的选取)。可以证明若点态和乐群\mathrm{Hol}(\nabla,x)的维数在局部为常数,则在同一局部有\mathrm{Hol}(\nabla,x)=\mathrm{Hol}^0(\nabla)

整体上,我们有映满的单值表示\pi_1(M) \to \mathrm{Hol}(\nabla)/\mathrm{Hol}^0(\nabla)。对这个表示的理解还很不充分,当前只能先研究流形的限制和乐群\mathrm{Hol}^0(\nabla),或等价地,(作为万有覆叠的)单连通流形的整体和乐群(由于\mathrm{Hol}^0(\nabla)=\mathrm{Hol}^0(\tilde{\nabla})=\mathrm{Hol}(\tilde{\nabla}))。

Riemann流形(M,g)上的Levi-Civita联络给出和乐群\mathrm{Hol}(g)。此时\mathrm{Hol}^0(g)是连通的,从而是\mathrm{Hol}(\nabla)包含幺元的连通分支且包含于SO_n

(和乐问题) 哪些SO_n的子群可实现为单连通流形的Riemann和乐群\mathrm{Hol}(g)

Represention

(U,g)可以表为(U_1,g_1) \times (U_2,g_2)U_i的维数大于0,则称Riemann度量gU上可约,此时\mathrm{Hol}(g,U)=\mathrm{Hol}(g_1,U_1)\times \mathrm{Hol}(g_2,U_2)

gx附近局部可约当且仅当\mathrm{Hol}^0(g)T_xM上的表示完全可约:T_xM=\oplus \Bbb R^{n_i},此时\mathrm{Hol}^0(g)=\prod H_iH_iSO(n_i)的连通子群且不可约地作用在\Bbb R^{n_i}上(从而是闭的)。特别地,这推出

(Borel-Lichnerowicz)\mathrm{Hol}^0(g)SO_n的闭子群。

(de Rham分解定理) 在单连通流形上,在某点附近局部可约的完备Riemann度量也是整体可约的:M=\prod M_i\mathrm{Hol}(g)=\prod \mathrm{Hol}(g_i)

因此为分类单连通流形的Riemann和乐群,我们只需考虑度量g不可约的情况。

上述表示论考虑可以进一步应用于一般张量上。事实上,和乐群的约化等价于存在更多平行张量场:度量g,殆复结构J,全纯体积形式\theta,Ricci曲率\mathrm{Ric}……

可以想见,和乐群的Lie代数应该有一个纯张量描述。

(Ambrose-Singer)和乐代数\mathfrak{h}_x \subset \mathfrak{so}_n由形如\mathrm{Ad}_{\rho(\gamma)}R(\rho(\gamma)X,\rho(\gamma)Y)的元素生成,其中\gamma是从x出发的任意分段光滑曲线,X,Y \in TM_xR为曲率形式。

另一个紧密相关的论题是特殊和乐群与平行旋量场的关系(也是特殊和乐群出现在超弦理论中的原因)。我们希望另文讨论这个问题。

Symmetry spaces

讨论对称空间的最权威著作无疑是

Helgason  Differential geometry, Lie groups, and symmetric spaces

给定(U,g),若对x \in U恒存在等距自同构s_x: U \to U满足s_x^2=Ixs_x的离散不动点,则称Riemann度量gU上对称。整体对称的Riemann流形(M,g)称为对称空间。局部对称度量和局部对称空间有简单的张量刻画:

(Cartan–Ambrose–Hicks) gx附近局部对称当且仅当在x附近\nabla R=0

(Cartan)在单连通流形上,在某点附近局部对称的完备Riemann度量也是整体对称的。换言之,局部对称空间一定局部等距同构于某单连通对称空间。

E.Cartan完全搞清了对称空间M的结构:令G为形如s_x \circ s_y的等距自同构生成的等距群(由Myers-Steenrod定理G是有限维连通Lie群),则G可迁地作用在M上,M等距同构于齐次空间G/HH迷向群。反之,给定实半单Lie代数\mathfrak g,考虑其Cartan分解\mathfrak g=\mathfrak h \oplus \mathfrak m,则在Lie群的层面上,G/H给出对称空间M,Cartan对合给出M的等距自同构。基于他对实半单Lie代数的分类,上述观察使得Cartan能分类所有对称空间。特别地,\mathrm{Hol}^0(g)=H,由此也分类了所有对称空间的和乐群。

对称空间有许多重要的性质,我们仅提到如下2个和当前讨论密切相关的:

(1)对称空间是Ricci平坦的当且仅当它是平坦的。特别地,若特殊和乐群迫使流形Ricci平坦(例如SU_mSp_m),则它们无法实现为对称空间的和乐群。

(2)定义对称空间(M,g)的秩为其极大全测地平坦子流形的维数/\mathfrak m的极大交换子代数的维数。对于局部对称的且局部不可约的g\mathrm{Hol}_x^0(g)可迁地作用在单位球S^{n-1} \subset TM_x上当且仅当M的秩为1。

Berger-Simons classification

以下假定Riemann度量g局部不可约且局部不对称,我们希望研究\mathrm{Hol}^0(g)

(Berger思路) 曲率形式R必须满足(代数)Bianchi恒等式,从而通过Ambrose-Singer定理限制了可能的和乐代数。通过逐项考察Cartan的单Lie群分类表,Berger发现绝大多数情况下这一限制强到迫使\nabla R=0,余下的单Lie群仅有8类,构成所谓的Berger名单。

(Simons思路) Simons注意到Berger名单加上Sp_n SO_1给出所有在单位球上有可迁作用的连通紧Lie群(Borel; Montgomery-Samuelson),由此提出Berger分类的如下形式:对于局部不可约且局部不对称的g\mathrm{Hol}^0(g)在单位球上的作用是可迁的。

(Berger-Simons分类)\mathrm{Hol}^0(g)仅有如下7种可能:SO_nU_m(n=2m),SU_m(n=2mm \geq 2),Sp_m(n=4m),Sp_m\cdot Sp_1(n=4m),Spin_7(n=8)和G_2(n=7)。

实际上Berger名单上还包括Spin_9(n=16)。但后来更精细的考量说明此时g必定是局部对称的(Alekseevskii; Brown-Gray)。

上述7类Lie群中仅有SO_nU_mSp_m\cdot Sp_1可以实现为对称空间的和乐群 (简单的例子是S^n\Bbb CP^m\Bbb HP^m)。另一方面,Berger和Simons并未证明上述7类Lie群均能实现为局部不可约且局部不对称的度量的限制和乐群。相关构造直到90年代中期才得到较好的理解,从而完全解决了和乐问题:

(1)SO_n:此类Riemann流形是“典型”的。它们包含了(几乎)所有奇数维流形。

(2)\mathrm{Hol}^0(M)\subset U_m的流形M^n容许满足平行殆复结构J,故为Kähler流形。特别地,U_1=SO_2显示所有可定向紧曲面都容许Kähler度量。

对Kähler几何的理解已较为深入。已知“非典型”Kähler流形满足c_1(M)=0,其余Kähler流形都是“典型”的,这包含了大量的例子。

(3)\mathrm{Hol}^0(M)\subset SU_m的Kähler流形M^n称为Calabi-Yau流形。上述和乐群约化等价于(1)M有全纯的体积形式\theta;(2)\tilde{M}有平凡的典范线丛;(3)M上存在Ricci平坦的Kähler度量;(4)c_1(M)=0(后两者在紧流形上的等价性依赖于Calabi猜想)。

m \geq 3时,表示的不可约性推出h^{2,0}=h^{0,2}=0,从而由Kodaira嵌入定理,“典型”的紧CY流形M是代数流形。由Calabi猜想,此时只需构造第一Chern类消没的代数簇,这并不困难。

(4)\mathrm{Hol}^0(M)\subset Sp_m的CY流形M^n称为超Kähler流形,它们有Ricci平坦的Kähler度量。特别地,Sp_1=SU_2显示所有紧CY曲面(复环面K3曲面)都容许超Kähler度量。

给定3个典范复结构J_i(i=1,2,3),它们将生成\Bbb CP^1个复结构,每个都对应一个相容的Kähler度量,这是超Kähler流形得名的缘由。令Z=M \times \Bbb CP^1Z上有自然的可积殆复结构,从而是复流形,称为M扭子空间

Calabi最先构造出高维的非紧“典型”超Kähler流形。紧致的“典型”超Kähler流形的构造通常要依赖于Calabi猜想(Fujiki, Beauville, etc.)。

(5)\mathrm{Hol}^0(M)\subset Sp_m\cdot Sp_1的流形M^n称为四元Kähler流形。它们通常不是Kähler流形,但在m \geq 2时一定是Einstein流形(Berger)。特别地,Sp_1Sp_1=SO_4解释了4维Yang-Mills理论的存在。

关于四元Kähler流形的扭子空间的结构,参见

Salamon  Quaternionic Kähler manifolds

非局部对称的非紧致“典型”四元Kähler流形的例子由Alekseevskii, Galicki, Lawson等人给出。一个开问题是构造非局部对称的紧致Riemann流形,使其同时具有正标量曲率及和乐群\mathrm{Hol}^0(M)=Sp_m\cdot Sp_1

(6)\mathrm{Hol}^0(M)Spin_7G_2的流形M^n都是Ricci平坦的(Bonan)。此类非紧流形的存在性是由Bryant和Salamon建立的,紧致例子的构造则是Joyce的工作,参见他的专著Compact manifolds with special holonomy.

关于双曲流形分类的2个问题

回国前的最后一篇post. 打算记录一点新近了解到的有趣玩意。无意于完备,聊以备忘而已。材料是四处搜罗来的,但主要基于

Thurston  The geometry and topology of 3-manifolds

Gromov  Hyperbolic manifolds (according to Thurston and Jørgensen)

Casson, Bleiler  Automorphisms of Surfaces after Nielsen and Thurston

我们假定讨论的所有Riemann流形都是完备的。

熟知单连通的常曲率空间等距同构于S^n(K=1,椭圆),\Bbb R^n(K=0,抛物)或\Bbb H^n(K=-1,双曲,通过球极投影等距同构于Poincaré圆盘B^n)。

这些空间最初是作为非欧几何的模型被讨论的,而Poincaré职业生涯的第一个重要发现正是2维时这3种空间的Riemann流形结构与复结构相容,这给出了Riemann面的所有单值化——参见这个博客最早的几篇文章

绝大多数有趣的流形都是双曲的。我们对目下讨论的双曲流形加上另一条几何限制:要求其双曲体积有限。最基本的例子是亏格g \geq 2的紧Riemann面\Sigma_g

有限双曲流形M^n可以分解成一些“拓扑组件”:这是Thurston讨论几何的惯用观点。最简单的“拓扑闭组件”自然是k维单形S^k (此处要求它们是“刚硬”的:在Poincaré圆盘内对应欧氏单形)。Thurston的观察是:它们的双曲体积有一个自然上界。

上述观察允许我们回答以下2个问题:

(1)给定一个有限双曲流形(的微分同胚型),其上容许多少种互不等距同构的双曲几何结构?

熟知2维的解析同构即共形同构,在限定K=-1的情况下,经典的Teichmüller理论告诉我们\Sigma_g的双曲结构(复结构)构成一个实维数6g-6参模空间。相关课题已是代数曲线理论中发展得很完备的子分支。

我们可以进一步考虑\Sigma_g的微分拓扑:精确地说,考虑它的映射类群。此处我们有所谓的Nielsen-Thurston分类,参见Casson, Bleiler. 这条分类定理在3维双曲几何方面的应用可以参见之前的讨论

n \geq 3时,我们有另一条经典定理:

(Mostow刚性定理) 有限双曲流形的几何结构由基本群(从而由微分同胚型)唯一确定。

Mostow  Quasi-conformal mappings in n-space and the rigidity of the hyperbolic space forms

Gromov对这条定理的证明可以在Thurston中找到。简而言之,他的证明基于“极大单形的同伦提升仍是极大单形”。

在我看来,此类在高维体现出刚性的现象是很“反常”的。希望知道其他例子的人有以教我。

(2)给定双曲体积,我们可以找到多少个双曲几何的“模型”(精确到微分同胚型)?

2维时Gauss-Bonnet公式给出双曲体积的天然限制:它们必须是2\pi的正整数倍。事实上,所有可能的微分同胚型都可以分解成“裤衩”(“拓扑闭组件”)和“尖点”(“拓扑开组件”)的组合,参见Gromov或Casson, Bleiler.

n \geq 4时,王宪钟证明了体积小于某一给定常数的双曲流形(精确到等距同构类)仅有有限个。特别的,这推出M \mapsto \mathrm{Vol}(M)的象集仍是离散的。

Wang  Topics on totally discontinuous groups 

n=3的情况(Thurston)特别有趣:一方面,M \mapsto \mathrm{Vol}(M)仍是“有限对一”的。另一方面,在Gromov-Hausdorff收敛诱导的拓扑下,所有有限双曲3-流形构成一个闭集。\mathrm{Vol}是这个闭集上的连续函数,故其象集也是一个闭集(Jørgensen)。它是非离散的,其聚点的原像是一些开流形:收敛到聚点的过程可以理解为一种“拓扑爆破”。

证明仍依赖于流形的组合分解:应用Kazhdan-Margulis定理可以证明3维的“拓扑开组件”仅有2种:(以环面为边缘的)“尖点”和“管子”,需要做的只是仔细地分析“爆破”。

谱几何初步

这学期选了倪磊的微分几何课。我喜欢他上课的风格:图景清晰,细节准确,间杂一些质朴的幽默感。不过,这部分笔记与其说是课堂的实录,不如说是我自己对相关课题的一点整理。

给定有界区域\Omega \subset \mathbb{R}^n\partial \Omega光滑,考虑Laplace算子-\triangle的Dirichlet型谱问题:
-\triangle u=\lambda u,要求在\partial\Omegau=0
由椭圆算子理论知-\triangle的谱是离散的:0<\lambda_1 <\lambda_2 \leq \cdots\lambda_k \to \infty。注意到\lambda_1总是单特征值,它有特殊的重要性。
这个数学模型在物理中有各种各样的应用,参见名作
Kac  Can One Hear the Shape of a Drum?

基于经典黑体辐射理论,Lorentz猜想\lambda_k的渐进行为足以决定\Omega的体积。在Göttingen宣讲后,Weyl很快给出了证明:
(Weyl渐进公式)\displaystyle \lambda_k \sim \frac{4\pi^2 k^{2/n}}{(V(B^n)V(\Omega))^{2/n}},常数V(B^n)代表单位球的体积。
与之相关的,我们有著名的
(Dirichlet型Pólya猜想)\displaystyle \lambda_k \geq \frac{4\pi^2 k^{2/n}}{(V(B^n)V(\Omega))^{2/n}}
特别地,Pólya本人证明了若能用\Omega铺满\Bbb R^2,则猜想成立。
Pólya  On the eigenvalues of vibrating membranes
对于一般的\Omega,李伟光和丘成桐证明了Dirichlet型猜想在“平均”意义上成立。
Li, Yau  On the Schrödinger equation and the eigenvalue problem

Kac进一步问:-\triangle的算子谱是否足以在等距同构的意义下确定\Omega?特别地,n=2时算子谱描述了鼓面振动时的特征频率,是否能从鼓的特征频率“听出鼓的形状”?对于闭流形,回答是否定的:早在Kac的论文发表之前,Milnor就构造出了2个同谱却不等距同构的16维环面。
Milnor  Eigenvalues of the Laplace operator on certain manifolds
这个结果有很深的数论背景:在16维空间上存在2个偶幺模整格(D_{16}^{+}E_8 \oplus E_8)对应同一个theta函数/模形式\Theta(q)=1+480\sum \sigma_7(n)q^{2n}
80年代初,借助自守形式的谱理论,找到了2个同谱却不等距同构的双曲Riemann面:
Vignéras Variétés riemanniennes isospectrales et non isométriques
90年代初,同谱却不等距同构的2维开区域的例子也被找到,最终否定地回答了“听鼓”问题:
Gordon, Webb, Wolpert  Isospectral plane domains and surfaces via Riemannian orbifolds

类似的,可以考虑Neumann型谱问题-\triangle u=\mu u,要求在\partial\Omega{\partial u }/{\partial n}=0-\triangle有离散的非负谱:0=\mu_1<\mu_2 \leq \cdots\mu_k \to \infty
(Weyl渐进公式)\displaystyle \mu_{k+1} \sim \frac{4\pi^2 k^{2/n}}{(V(B^n)V(\Omega))^{2/n}}
(Neumann型Pólya猜想)\displaystyle \mu_{k+1} \leq \frac{4\pi^2 k^{2/n}}{(V(B^n)V(\Omega))^{2/n}}
Kröger证明了Neumann型猜想同样在“平均”意义上成立。
有趣的是,尽管2个Pólya猜想均未获证明,Friedlander却能够证明\mu_{k+1} \leq \lambda_k。这是支持Pólya猜想成立的有力证据。

P.S. For a general problem list, see here.

从Bott周期性谈起 Ⅰ

本系列拟以Bott周期性定理为切入点讨论几个紧密相关的话题。

\mathrm{C}(n)n典型群。定义稳定典型群\mathrm{C}为如下包含序列的直接极限

\displaystyle \mathrm{C}:=\mathrm{colim}\ \mathrm{C}(n)=\bigcup_{n=1}^{\infty}\mathrm{C}(n) \leftarrow \cdots \leftarrow \mathrm{C}(2) \leftarrow \mathrm{C}(1)

C是无限CW复形。但对于给定k,同伦正合列的计算显示当n充分大时,\mathrm{C}(n)k维同伦群彼此同构,故\pi_k(\mathrm{C})总是有限定义的对象。所谓Bott周期性指的是:

\pi_k(\mathrm{U})=\pi_{k+2}(\mathrm{U})                                                       (1)

\pi_k(\mathrm{O})=\pi_{k+4}(\mathrm{Sp})\pi_k(\mathrm{Sp})=\pi_{k+4}(\mathrm{O})                (2)

Bott利用Morse理论给出的原始证明参见

Bott  The stable homotopy of the classical groups

Milnor  Morse theory

暂时先处理较简单的(1)。由于参考文献中的叙述已极为清晰,我们仅勾勒证明的大意。

首先是同伦论中的标准结果:

纤维化S\mathrm{U}(n) \to \mathrm{U}(n) \to S^1给出\pi_i(S\mathrm{U}(n))=\pi_i(\mathrm{U}(n))i>1

纤维化\mathrm{U}(n) \to V_n(\mathbb{C}^{2n}) \to G_n(\mathbb{C}^{2n})给出\pi_i(G_n(\mathbb{C}^{2n}))=\pi_{i-1}(\mathrm{U}(n))i \leq 2n,此处V_n(\mathbb{C}^{2n})为复Stiefel流形

考虑完备Riemann流形Mp,q \in M沿任何测地线不共轭,距离\rho(p,q)=\sqrt{d}。以\Omega记从pq的全道路空间,\Omega^d \subset \Omega记所有从pq的极小测地线。Morse理论中有如下定理:若\Omega^d是拓扑流形,从pq的非极小测地线的指数\geq \lambda,则相对同伦群\pi_i(\Omega,\Omega^d)=00 \leq i <\lambda。于是有同构\pi_i(\Omega^d)=\pi_i(\Omega)=\pi_{i-1}(M)i \leq \lambda-2

\Omega^{d}(S\mathrm{U}(2n);I,-I)=G_n(\mathbb{C}^{2n})。此时\lambda=2n+2,应用上述结果,得到\pi_i(G_n(\mathbb{C}^{2n}))=\pi_{i+1}(S\mathrm{U}(n))i \leq 2n。于是(1)得证,且不难确定\pi_0(\mathrm{U})=0\pi_1(\mathrm{U})=\mathbb{Z}

上述分析可以精细化。事实上,以B\mathrm{U}\mathrm{U}的分类空间,我们有:

\Omega^2 \mathrm{U} \simeq \mathrm{U},或等价地,\Omega^2 B\mathrm{U} \simeq \mathbb{Z} \times B\mathrm{U},此处\simeq表示同伦等价。

这个结果参见

Bott  The space of loops on a Lie group

Bott从工程师转行研究数学,是大器晚成,老而弥坚的典范。我们推荐下面这篇回忆性的短文

Atiyah  Working with Raoul Bott: From Geometry to Physics

R.Bott (1923-2005)

通往指标定理之路 Ⅱ

高维Gauss-Bonnet公式的内蕴证明是陈省身的得意之作。它在微分几何中的意义相当于代数几何中Hirzebruch对Riemann-Roch定理的高维推广。微分几何较代数几何容易,故我们先来考察高维Gauss-Bonnet公式。我们将介绍陈先生的原始证明。

Chern    A simple intrinsic proof of the Gauss-Bonnet formula for closed Riemannian manifolds

Chern    On the curvatura integra in a Riemannian manifold

S.S Chern (1911-2004)

证明

Hopf的Gauss-Bonnet定理中,拓扑项是“大理石”(借助于Poincaré-Hopf定理可将其写成内蕴形式),几何项则是“木头”(Gauss-Kronecker曲率必须借助超曲面在欧式空间的局部嵌入定义)。因而首先要做的是将Gauss-Kronecker曲率内蕴地表示出来。代数计算显示,给定Riemann流形(M^{2n},g),Gauss-Kronecker曲率是Riemann曲率的Pfaff形式

\displaystyle \mathrm{Pf}(\Omega)=\frac{1}{2^n n!}\sum_{\sigma \in S_{2n}} \mathrm{sgn}(\sigma)\Omega^{\sigma(1)}_{\sigma(2)} \wedge \cdots \wedge \Omega^{\sigma(2n-1)}_{\sigma(2n)}

接下来寻找Gauss映射f:M \to S^{2n}的替代。利用内蕴定义的球丛S(M)恢复拓扑信息是合理的尝试:令\PiS(M)上的(2n-1)-形式,限制在每个纤维上给出S^{2n-1}的标准体积形式。在M上取有离散奇点\{x_i\}的向量场XS_{\epsilon,i}记包围x_i的半径为\epsilon的球面,X的单位化诱导映射l:M\backslash\{x_i\} \to S(M)。Poincaré-Hopf定理给出\displaystyle \chi(M)=\sum_i \mathrm{ind}(x_i)=-\frac{1}{(2\pi)^n}\sum_i\lim_{\epsilon \to 0}\int_{l(S_{\epsilon,i})}\Pi。(依赖于M的紧性)

最后要厘清\mathrm{Pf}(\Omega)\Pi的关系。此处的困难在S(M)并非主丛,故没有“好”的联络理论。陈省身采用的手法在50年代后成为处理纤维丛几何的标准程序:将球丛进一步提升为正交标架丛F(M)。作为\mathrm{SO}(n)-主丛,F(M)上有一整套联络理论可以应用。陈先生以善于计算著称,接下来他展开了一系列计算,得到非常整饬的结论:(1)\mathrm{Pf}(\Omega)F(M)上的拉回是恰当形式d\Pi^{'};(2)\Pi^{'}投射到S(M)上给出\Pi

必须指出,省略了的计算(尤其是(1)(2))才是“陈证明”的精髓。限于Wordpress的排版,我们只能割爱。请读者参考上面引述的2篇原始论文,或者

伍鸿熙  黎曼几何选讲

结合(1)(2)得到超渡公式\pi^{*}\mathrm{Pf}(\Omega)=d\Pi\pi:S(M) \to M

注记1

超渡(transgression)指的是这样的现象:度量(联络)的改变对\Pi^{'}的扰动是一个恰当形式,因而不改变其同调类。\mathrm{Pf}(\Omega)/(2\pi)^n的同调类也是度量不变的:Gauss-Bonnet公式显示它恰落在MEuler类中。这些观察成为Chern类和Chern-Weil理论的先声。

超渡的概念是有影响力的。Hirsch将这一概念推广到一般纤维丛后,被Serre应用到谱序列中。在Lie代数的上同调论中,首先尝试引入超渡的是Koszul,系统的探索则归功于Borel。

最后的计算:\displaystyle \int_M \mathrm{Pf}(\Omega)=\sum_i\lim_{\epsilon \to 0}\int_{M\backslash B_{\epsilon,i}}d(l^{*}\Pi)=-\sum_i\lim_{\epsilon \to 0}\int_{l(S_{\epsilon,i})}\Pi

(高维Gauss-Bonnet公式)\displaystyle \int_M \mathrm{Pf}(\Omega)=(2\pi)^n\chi(M)

高维Gauss-Bonnet公式已有很多不同的证明。特别是指标定理的系列证明都自动适用于这个特例:拓扑(K理论),分析(热方程),几何(自旋几何)。

注记2

度量对于Gauss-Bonnet公式是必须的:对于一般的联络而言,此定理不成立。反例可以在Milnor,Stasheff  Characteristic classes Appendix C中找到。

应用举隅

4维以上的Gauss-Bonnet公式太过复杂,几乎没有有趣的应用。下面是2个4维的例子。

若可定向紧4维Riemann流形M的截面曲率恒正或恒负,计算显示此时\Omega是体积元素的正数倍,推出\chi(M)>0。这是Milnor未发表的结果。参见

Chern  On curvature and characteristic classes of a Riemann manifold

另一例是之前提到过的Hitchin-Thorpe不等式。证明留待讨论过Hirzebruch号差定理之后。

结语

如果说E.Cartan是微分几何中的Grothendieck,那么陈省身可与Deligne类比:用一般性的语言讨论精细的结构,用一般性的工具解决具体的问题。

向量丛的微分几何学与规范理论的联系在低维拓扑中的应用纤维丛的微分几何学,超渡和高维Gauss-Bonnet公式的证明,Chern类和Chern-Weil理论,这构成对陈省身主要工作的一个概述。这方面最具历史意义的文献无疑是1950年陈省身在ICM上所做的大会报告

Chern   Differential geometry of fiber bundles

2011年是陈先生诞辰100周年。12月3日是先生的忌日。

生刍一束,短文一篇,谨此纪念第一位具有广泛国际影响力的华人数学家。

从变分原理到Einstein场方程

我们希望考察特定变分问题的解以得到Einsten场方程。这种推导在概念上更为明晰,也便于将引力理论纳入整体图景。

g=\det(g_{ij}),定义Einstein-Hilbert作用量

I(g_{ij})=\int RdV=\int \sqrt{-g} Rd^{4}x

(1)显然,I不依赖于坐标选取。

(2)考虑度量的微扰\tilde{g}_{ij}=g_{ij}+\delta g_{ij},要求\delta g_{ij}及其一阶导数在\partial V上消失。其效果是(忽略度量的高阶项)

Ricci曲率的扰动:-\frac{1}{2}D^2\delta g_{ij}+D_k D_i \delta g^k_j+D_k D_j \delta g^k_i-D_i D_j \delta g^k_k

标量曲率的扰动:-R_{ij}\delta g^{ij}+D_i D_j \delta g^{ij}-D^2 \delta g^k_k

\sqrt{-g}的扰动:\frac{1}{2} \sqrt{-g}\delta g^k_k

综上不难算得\delta I=\int \sqrt{-g}G^{ij}\delta g_{ij}G^{ij}=R^{ij}-\frac{1}{2}Rg^{ij}\delta I=0将给出真空Einstein场方程G_{ij}=0

注记1

作为变分问题的解(泛函的临界点),Einstein流形上的度量g_{ij}与Yang-Mills联络具有某种平行性。特别是在4维时,我们有如下定理:

(Atiyah, Hitchin, Singer) M^4是Einstein流形当且仅当其Levi-Civita联络在\Omega^{+}上自对偶。

进一步,考虑\displaystyle J(g_{ij})=\int \sqrt{-g}(-\frac{1}{2}(D\phi)^2-\frac{1}{2}m^2\phi^2) d^{4}x\phi(x)为描述物质分布的某标量场。J的变分将给出Klein-Gordon型方程(D^2-m^2)\phi=0

考虑总作用量S=\displaystyle \frac{1}{16\pi}I+JS的变分将给出Einstein方程G_{ij}=8\pi T^{ij},其中T_{ij}=D_i\phi D_j\phi-\frac{1}{2}((D\phi)^2+m^2\phi^2)g_{ij}

\phi仅仅是一种可能的物质分布。事实上,能量-动量张量T_{ij}可以取诸多不同的形式,而我们对它的了解(基于天文观测)仍是极为有限的。与测量宇宙常数、Hubble常数等唯象层面上的困难相比,或许应该说决定能量-动量张量才是宇宙学研究的根本问题。

注记2

一个观察是上述推理不依赖于(1)维数为4;(2)度量为伪Riemann度量,因此有如下应用:

考虑光滑曲面\Sigma。Gauss曲率K=R/2(绝妙定理),因而R_{ij}-\frac{1}{2}Rg_{ij}=0。这意味着度量的光滑扰动不改变积分I(g_{ij})=\int K dS。另一方面,单值化定理告诉我们可赋予闭曲面一个常曲率空间的结构,此时上述积分是容易计算的:\chi(\Sigma)。这就证明了2维的Gauss-Bonnet公式。