瞬子的几何 Ⅱ

关于本节的内容,一个初等而富有启发性(针对物理学家)的叙述见

Atiyah  Geometry of Yang-Mills Fields

\Bbb R^4上的BPST瞬子(G=SU(2)k=1)是瞬子的第一个例子:

Belavin, Polyakov, Schwartz, Tyupkin  Pseudoparticle solutions of the Yang-Mills equations

由于星算子共形不变,可以将\Bbb R^4球极投影到紧致的S^4中研究。由Uhlenbeck的结果,能量有界的规范场总可以光滑延拓到S^4上。为了找到\Bbb R^4上的所有瞬子,只需完全分类S^4上的瞬子。这项工作由Atiyah, Hitchin和Drinfeld, Manin两组数学家独立完成。

以下将讨论S^4上的ASD瞬子。此时拓扑量子数k(第二Chern数)给出SU(2)丛(精确到同伦等价类的)分类。对于给定的k,所有ASD瞬子构成一个8k-3维模空间。

ADHM构造利用了从微分几何到代数几何的“迁移”。关键的部件是Penrose的扭量理论

直观性介绍:Penrose, Hadrovich  Twistor Theory

技术性介绍:Hadrovich  Twistor Primer

\Bbb H^2中的单位球在模去Sp(1)的作用后给出\Bbb HP^1=S^4,从而给出Hopf纤维化S^3 \hookrightarrow S^7 \twoheadrightarrow S^4(1)。基于另一个Hopf纤维化S^1 \hookrightarrow S^3 \twoheadrightarrow S^2(2),(1)可以进一步“分解”为S^1 \hookrightarrow S^7 \twoheadrightarrow \Bbb CP^3(3)和S^2\hookrightarrow\Bbb CP^3\twoheadrightarrow S^4(4)。

(4)是扭量理论的简单例子,它是紧化时空S^4上局部复结构的参数化。

上述构造可以一般化。在Lie代数的层面,\Omega^2作为斜共轭矩阵作用在\Omega^1上。在Lie群的层面,我们可以定义复旋子丛V=S(\Omega^1_\Bbb C)及其分次V=V_++V_-。通过Clifford乘法,\Omega^1 \subset \Omega^1_\Bbb C=\mathrm{Hom}(V_+,V_-)V_+上定义了一个殆复结构,局部殆复结构可以用射影空间(PV_+)_x来参数化。纤维化\pi:PV_+ \to M推广了\pi:\Bbb CP^3 \to S^4

回到S^4。我们有2个(局部)分解:\Omega^2=\Omega^{2,0}+\Omega^{1,1}+\Omega^{0,2}\Omega^2=\Omega^++\Omega^-。不难证明\Omega^- \subset \Omega^{1,1}。给定SU(2)E \to S^4,我们考虑其在\Bbb CP^3上的拉回\pi^{*}:(E,\omega) \to (\tilde E,\tilde \omega)。若\omega为ASD形式则\tilde \omega(1,1)形式,利用Newlander-Nirenberg定理可以在\tilde E上定义唯一的与曲率形式\tilde \omega相容的全纯向量丛结构。

Griffiths  The extension problem in complex analysis Ⅱ: embeddings with positive normal bundle

事实上由GAGA原理,可进一步取\tilde E为代数丛(即取拼接函数为有理函数)。

我们称复代数簇V上的反线性对合映射实结构,这是实代数几何中的标准术语。除了标准实结构(复共轭)外,P\Bbb C^3还有另一个实结构j:视\Bbb C^4=\Bbb H^2并考虑j的左作用。这个实结构与纤维化\pi相容:在\Bbb HP^1上平凡并保持纤维\Bbb CP^1。事实上j在每根纤维上的限制给出对跖映射。我们进而将j提升为\tilde E上的辛结构\tilde j\tilde{j}^2=-1

现在我们可以叙述最重要的结果:

(Penrose变换/Ward对应)带有ASD形式\omegaSU(2)E \to S^4一一对应于带有辛结构\tilde{j}的全纯向量丛\tilde E \to \Bbb CP^3。显然,这一对应保持量子数k=c_2

Atiyah, Ward  Instantons and algebraic geometry

如上所述,对ASD形式的研究现已转化为一个复代数几何问题。接下来我们讨论如何构造\Bbb CP^3上满足上述条件的全纯向量丛。

瞬子的几何 Ⅰ

瞬子(伪粒子)是一个来自量子场论的概念。在经典层面上,它对应Yang-Mills方程的一类特殊解。下面这篇论文为相应的数学理论奠定了基础,也是本文的主要参考材料:

Atiyah, Hitchin, Singer  Self-duality in four-dimensional Riemannian geometry

考虑4维可定向紧Riemann流形M。给定紧半单Lie群G,以EM上的G向量丛。联络形式(规范势)A \in \Omega^1(M,\mathfrak{g}),曲率形式(规范场)F \in \Omega^2(M,\mathfrak{g})。4维的特殊之处在于作为2形式空间自同构的Hodge星算子满足**=1,从而给出特征子空间分解\Omega^2=\Omega^{+}+\Omega^{-}。这个基本分解也给出1)d_A^\pm:\Omega^1 \to \Omega^\pm;2)b_2=b_{+}+b_{-}

\Omega^2可视为作用在\Omega^1上的斜共轭变换。从表示论的观点看,基本分解\Omega^2=\Omega^{+}+\Omega^{-}的存在可以用\mathfrak{so}(n)中仅有\mathfrak{so}(4)不是单Lie代数来解释:\mathfrak{so}(4)=\mathfrak{so}(3)\oplus \mathfrak{so}(3)。在Lie群层面上,例外同构\mathrm{Spin}(3)=SU(2)给出\mathrm{Spin}(4)=SU(2) \times SU(2)SU(2)丛和SO(3)丛是我们的主要例子,在单连通的M上二者没有本质区别。

满足F=F^{+}F=F^{-}的曲率形式(瞬子)分别称为自对偶的(SD)和反自对偶的(ASD):它们将自动满足Yang-Mills方程d_A^* F=0。注意到反转定向后,SD解与ASD解互换,故只需集中精力研究其中一类。我们将视情况方便自由转换:通常,在实几何中考虑前者,在复几何中考虑后者,以保持下面提到的拓扑量子数k > 0

\mathfrak{g}值2形式空间上定义内积(A,B)=-\int_M \mathrm{tr}(A \wedge *B)。由Chern-Weil理论(F,*F)=\parallel F_+ \parallel^2-\parallel F_- \parallel^2=8\pi^2 k。量子数kM的拓扑不变量:G=SU(2)时,k=-c_2[E]G=SO(3)时,k=p_1[E]/4。另一方面,规范场的Yang-Mills泛函(能量)YM(A)=\parallel F \parallel^2/2=(\parallel F_+ \parallel^2+\parallel F_- \parallel^2)/2,当且仅当*F={\mathrm{sgn} (k)}F时取到最小值4\pi^2|k|,换言之,瞬子对应规范场的“基态”。

这也说明了离散量子数产生的一般机制:它们来自紧Lie群的表示。

M上的Yang-Mills联络构成一个无穷维仿射空间\mathcal{A},其上有规范群\mathcal{G}=\Gamma(\mathrm{Aut}(E))的作用。\mathcal{A}/\mathcal{G}通常是一个无穷维参模空间。然而,注意到在规范变换下F \mapsto s^{-1}Fs,作为Yang-Mills泛函极值点的瞬子是规范不变的。模去群作用后,瞬子的参模空间\mathcal{M}通常是有限维的,从中可以提取出重要的几何信息。

以下假定c_2[E] < 0/p_1[E] > 0并考虑SD瞬子。称瞬子为不可约的,若联络的结构群不可约化为G的子群。所有不可约联络\mathcal{M}_0构成参模空间\mathcal{M}的开子集。Atiyah等人考虑得更细致一些:记H_A^1=\ker d_A^{-}/\mathrm{Im} d_A。假定\mathcal{M}_0 \neq \emptyset,不可约SD瞬子的无穷小形变将由\dim H_A^1个参数给出。利用Banach空间上的反函数定理可以说明经由指数映射这些无穷小形变将生成局部坐标系,这赋予\mathcal{M}_0一个有限维Hausdorff流形结构。更精确的,利用指标定理可以决定\dim H_A^1=8k-3(1-b_1+b_+)

上述精彩讨论仍有2处“瑕疵”:

1)预先假定了不可约SD联络的存在性。一般地,我们自然希望知道何时存在G向量丛E使得\mathcal{M}_0 \neq \emptyset。一个直观上容易接受的充分条件是b_{-}=0

Taubes  Self-dual Yang-Mills connections on non-self-dual 4-manifolds

不妨假定M是单连通的(否则考虑其万有覆叠)。此时H_2(M)无挠,相交形式Q\Bbb Z上的幺模对称二次型。b_{-}=0意味着Q \otimes \Bbb R正定。号差\tau=b_{+}-b_{-}=b_2 \geq 0推出p_1[M] \geq 0。特别地,b_2(S^4)=0,故S^4上存在SD瞬子并构成一个8k-3维空间。此时甚至有一个给出所有瞬子的代数构造。这是我们接下来要讨论的内容。

2)避开了\mathcal{M}的奇点(可约联络)。第一个仔细分析这些奇性的是Donaldson,由此他发现微分结构对4维单连通紧流形的相交形式加上了很强的限制。另一方面,Freedman对换球术的改进显示4维拓扑流形对相交形式的要求是相当宽松的。这种尖锐对比使得他能够证明\Bbb R^4上存在不可数多个微分结构。这当然也是我们希望讨论的内容。

Uhlenbeck与4维流形的规范场论

我们介绍4维几何中的2个基本分析结果。除Uhlenbeck的原始论文外,我们还参考了

Donaldson, Kronheimer  The Geometry of Four-Manifolds

我们将讨论可定向Riemann流形M^4。取n阶向量丛E \to M,要求其结构群G \subset \mathrm{SO}(n)。约定以A记联络形式,F记曲率形式。在规范变换s:M \to G下,A\mapsto \tilde A=s^{-1}ds+s^{-1}AsF \mapsto s^{-1}Fs 。选取适当的规范经常可以简化计算:这类似于在Riemann几何中选取适当的局部坐标系。

在以下讨论中,我们要求A为Yang-Mills联络,即F满足Yang-Mills方程D^*F=0

\Bbb R^4外,S^4也是物理上重要的4维流形:\Bbb R^4上的速降函数将自然地延拓到S^4S^4的优点在于它是紧致的:通过球极投影\phi:S^4-\{\infty\} \to \Bbb R^4可将其视为\Bbb R^4单点紧化。更理想的是\phi是一个共形映射,因而保持一系列几何性质。对我们来说,最重要的是Hodge星算子(从而Yang-Mills方程)是共形不变的。这提供了共形场论的一个玩具模型

一个自然的问题是除了速降场之外,还有哪些\Bbb R^4上的Yang-Mills场可延拓至S^4

(Uhlenbeck)B^4-\{0\}上满足\parallel F\parallel_2<\infty的三元组(E,A,F)均可光滑地延拓到整个B^4上。注意到B^4是可缩的,E事实上是平凡的。

\phi^{-1}(B^4)是一个半球面,利用2个这样的半球面可以覆盖S^4。上述Uhlenbeck定理对应的物理陈述是:总能量有界的Yang-Mills场在无穷远处有可去奇点

Uhlenbeck  Removable singularities in Yang-Mills fields

在上述定理的证明中,Uhlenbeck利用了所谓的指数规范(exponential gauge)/径向规范(radial gauge),其在正则极坐标系下的径向分量A_r=0

另一种常用规范是Coulomb规范d^*A=0。它是Lorenz规范的Riemann几何对应。

Maxwell理论中,规范变换有形式A \mapsto A-id\chi。此时F=dA,Yang-Mills方程退化为线性椭圆方程d^*F=0。由Fredholm择一定理,这正是存在\chi使得\tilde A成为Coulomb规范的充分必要条件,换言之,无源电磁场总有一个伴随的Coulomb势。

对于高维非交换Lie群G,Yang-Mills方程的非线性、非椭圆性将带来本质困难。我们将暂时牺牲解的正则性,转而考虑Sobolev空间W^s=W^{s,2}并允许AF和规范变换s为de Rham意义下的。此时可以证明Coulomb规范的局部存在性:

(Uhlenbeck)存在常数C_1C_2使得对于平凡丛E \to B^4上满足\parallel F\parallel_2 <C_1的联络A,有且仅有一个规范等价的Coulomb联络\tilde A\parallel \tilde A\parallel_{1,2} \leq C_2\parallel F\parallel_2,且\tilde A在趋近边界时趋于0。

Uhlenbeck  Connections with L^p bounds on curvature

由于d^*\tilde A=0,我们知道上述\tilde A实际上是光滑的。

Coulomb联络的作用类似于Riemann几何中的调和坐标系

K. Uhlenbeck (1942- )

Karen Uhlenbeck无疑是一位特出的女数学家。在4维几何的几位主要研究者中,Donaldson继承了Atiyah的几何风格,Witten以惊人的物理直觉见长,而Taubes和Uhlenbek则以深厚的分析功力著称。

Dirac算子简介

\pi:E \to M是Riemann流形上的向量丛,以下讨论Dirac算子的数学理论。

主符号为\xi^2的椭圆算子\triangle:\Gamma(M,E) \to \Gamma(M, (T^*M)^2 \otimes E)称为广义Laplace算子。能量算子H=p^2/2m+V(x)是一个最简单的例子。假定E有一个\mathbb{Z}_2分次结构,满足D^2=\triangle的算子D:\Gamma(M,E^\pm) \to \Gamma(M,E^\mp)称为Dirac算子

下面这个例子是最基本的:E称为Clifford丛/Dirac丛,若\forall x \in M,纤维E_x有一个Clifford代数/左Clifford模的结构,前者记为Cl_n(X)。此时E是一个伴随O(n)丛,从而继承了与Clifford乘法相容的Levi-Civita联络:\nabla(ab)=(\nabla a)b+a(\nabla b)。定义Dirac算子D=e_k\nabla_k 。显然它与Clifford代数的自然\mathbb{Z}_2分次结构相一致。

M是无边紧流形,则上述Dirac算子是一个自共轭椭圆算子。由椭圆算子的一般理论\mathrm{ind}(D)=\mathrm{ind}(\triangle)有限。特别重要的是\mathrm{ind}(D)还有一个超对称解释:基于E\mathbb{Z}_2分次结构,D=\begin{pmatrix} 0&D^- \\ D^+&0 \end{pmatrix}D^-=(D^+)^*,从而\mathrm{ind}(D)等于超核\mathrm{dim}(\mathrm{ker}(D^+))-\mathrm{dim}(\mathrm{ker}(D^-))

Dirac算子的数学重要性在于它是一系列经典算子的推广:

(1)“量子代数”Cl(V)同构于“经典代数”\Lambda(V)=Cl(V,0)\mathbb{Z}_2分次丛\Omega^{*}(M)上有“经典”Dirac算子D=d+d^*,对应的广义Laplace算子为Laplace-Beltrami算子。由de Rham-Hodge理论\mathrm{ind}(D)将给出流形的Euler示性数\chi(M)

(2)现在假定M4k维定向紧流形。定义复化丛\Omega^p(M) \otimes \mathbb{C}上的复化Hodge星算子为(-1)^{k+p(p-1)/2}*。这个算子的\pm 1特征空间给出\Omega^{*}(M)的另一个\mathbb{Z}_2分次。基于复化Hodge星算子诱导的内积,定义D=d+d^*。若p<2k,Poincaré对偶保证D的超核限制在H^pH^{4k-p}上可成对消去,因而\mathrm{ind}(D)将给出流形的号差。

(3)对Kähler流形M上的全纯向量丛E,构造Clifford模\Lambda(T^{0,1}M)^*\otimes E,对应的Dirac算子为D=\sqrt{2}(\bar{\partial}+\bar{\partial}^*)。由HodgeKodaira理论\mathrm{ind}(D)将给出流形的全纯Euler示性数\chi(M,E)。特别地,复射影簇是Kähler流形,上述讨论可应用于代数几何。

Atiyah-Singer证明了Dirac算子的指标定理,这是椭圆算子指标定理的最基本例子。在上述3种情况下,Dirac算子的指标定理将退化为(1)Gauss-Bonnet-Chern定理;(2)Hirzebruch号差定理;(3)(Kähler流形上的)Riemann-Roch-Hirzebruch定理。

此外一个很重要的例子是自旋流形上的Dirac算子(Atiyah-Singer算子)及其指标定理(\hat{A}亏格公式)。我们接下来将分别沿着Kähler几何和自旋几何这两个方向讨论Riemann-Roch-Hirzebruch定理和\hat{A}亏格公式。

研究Dirac算子的数学分支又被称为Clifford分析。它当然推广了复分析,也推广了(从未成功过的)四元数分析。从这个意义上说,它完成了Atiyah的Jugendtraum。

附注:量子场论中常用Feynman斜杠记号{\not}\partial来表示Dirac算子。Lawson和Michelsohn在Spin geometry一书中用类似符号表示Atiyah-Singer算子。我们认为这个记号在美学上不可忍受。今后将避免这个记号的使用。

Cartan-Chern理论的简要总结 Ⅳ

我们将联络和曲率的概念推广到一般的纤维丛上。权威参考书是

Kobayashi, Nomizu  Foundations of differential geometry

纤维丛的拓扑参见Steenrod. 我们再强调一下主丛的万有性:给定G忠实左作用于其上的纤维F,可构造主丛P \to B伴随丛E=(P \times F)/G \to B

Steenrod  The topology of fiber bundles

V_x记纤维\pi^{-1}(x)的切空间。纤维丛的Ehresman联络\Gamma定义为P上的可微分布H,使T_x P分解为垂直子空间V_x与水平子空间H_x的直和,且H_{xa}=dR_a H_xa \in G。定义向量场的投影v:\Gamma(TP)\to \Gamma(V)h:\Gamma(TP)\to \Gamma(H)

记Lie代数\mathfrak{g}V_x的同构为A \mapsto (A^{*})_xA^{*}称为基本向量场。定义\Gamma联络形式\omega \in \Omega^1(P,\mathfrak{g})为满足\omega(X)^{*}=v(X)X \in \Gamma(TP)的唯一1-形式。

\Omega=D\omega称为\Gamma曲率形式,其中协变导数Dp-形式\alpha上的作用定义为D\alpha(X_1, \cdots, X_{p+1})=d\alpha(h(X_1), \cdots, h(X_{p+1}))

我们有Cartan结构方程\displaystyle \Omega(X,Y)=d\omega(X,Y)+[\omega(X),\omega(Y)]。结合Cartan公式d\omega(X,Y)=X \omega(Y)-Y\omega(X)-\omega([X,Y]),推得有用的:\omega[X,Y]=-\Omega(X,Y),若X,Y \in \ker(v)(水平向量场)。

和乐群\phi(x)及限制和乐群\phi^0(x)的定义是熟知的。理论上,和乐群包含了流形的全部结构信息。定义和乐丛P(x_o)x_0所在的道路联通分支,“道路”限定为水平曲线。不难证明P(x_o)是以\phi(x_0)为结构群的主丛。一个常用来“剔除冗余”的结果是

(联络约化定理)P(x_o)P的子丛,且\Gamma限制到P(x_o)上仍为联络。

和乐群对应的Lie代数\eta \in \mathfrak{g}称为和乐代数。其与曲率的关系为

(Ambrose-Singer和乐定理)\eta由形如\Omega_x(X,Y)的元素生成,其中x取遍P(x_o)X,Y取遍H_{x}

研究Riemann流形的和乐群是一个有趣的课题。下面是2份综述报告

伍鸿熙  和乐群   收录于《黎曼几何选讲》

Bryant  Classical, exceptional, and exotic holonomies: a status report

主丛上的联络可以拉回到伴随丛上。事实上,二者一一对应。一个重要的例子是GL(n,\mathbb{R})-主丛(即Cartan的标架丛)和伴随的n阶向量丛,Ehresman联络的拉回成为Koszul联络。这是联络理论的核心结论之一,希望深究的读者可以参考Kobayashi, Nomizu.

从Witten形变看局部化定理

流形上整体量的计算常常可以化为在特定群作用下的不动点处的计算。Gauss-Bonnet定理的内蕴证明即用到了这一局部化的想法:曲率的积分等于向量场奇点的指数和。此外重要的例子还包括Bott留数公式以及Duistermaat-Heckman公式。Berline和Vergne,以及独立的,Atiyah和Bott(部分受到Witten启发),利用等变上同调理论给出了处理这类问题的统一框架。Witten还建议考察上述定理的无穷维类比,这引导Bismut找到了Dirac算子指标定理的概率论证明,并将其推广到处理一族椭圆算子的情形。我们来介绍这一系列进展。

本文的叙述主要参考了

Zhang  Lectures on Chern-Weil theory and Witten deformations

以下假定M是一个2n维的可定向光滑闭流形,且容许某个S^1-作用。S^1的紧性允许我们通过积分Riemann度量使其“均匀化”的方法定义一个S^1不变的g,从而在M上得到一个自然定义的Killing向量场K。回忆一下,K满足Killing方程

<D_X K,Y>+<D_Y K,X>=0,即线性映射X \mapsto D_X K是斜对称的。

注记1:

以下所有讨论均允许进一步的推广,例如,用高维环面代替S^1-作用。处理S^1这个最特殊的情形是为了避开等变上同调的一般理论。

等变上同调理论的出发点是外微分形式丛\Omega^{*}(M)上的Cartan魔术公式

\mathcal{L}_k=(d+i_K)^2=d i_K+i_K d

注意到\mathcal{L}_kLaplace-Beltrami算子非常类似:调和形式的类似物是\mathcal{L}_k-不变形式\Omega_K^*(M)=\{\omega \in \Omega^*(M):\mathcal{L}_k \omega=0\}。记Dirac算子d_K=d+i_K,则\{\Omega_K^*(M),d_K\}构成一个上链复形(Cartan复形),相应的H_K^*(M)称为S^1等变上同调群。

d_K-闭形式在流形上的积分可局部化为Killing向量场零点处的计算。2组数学家互相独立地提出了这一点。

Berline,Vergne  Zéros d’un champ de vecteurs et classes charactéristiques équivariantes

Atiyah,Bott  The moment map and equivariant cohomology

首先处理最简单的情形:若K没有零点,则对任意d_K-闭形式\omega\int_M \omega=0。以下借助Witten形变的证明属于Bismut。正如之前讨论过的那样,Witten形变是为局部化量身打造的工具。

取1-形式\theta使得i_X \theta=<X,K>对任意向量场X成立。不难验证\thetaK在Riemann度量下的对偶,从而是\mathcal{L}_k-不变的。简单计算表明,对任意耦合常数c

\int_M \omega=\int_M \mathrm{exp}(-c d_K \theta)\omega  (1)

注意到d_K \theta=d\theta+|K|^2\mathrm{exp}(-cd\theta)在有限项后截断,|K|有非零下界保证了c \to +\infty时(1)式右端以指数速度衰减,从而命题得证。

以下假定K的所有零点都是孤立的。在每个零点p处取标准化邻域使得g_{jk}=\delta_{jk}K=\sum \lambda_j(x^{2j}\frac{\partial}{\partial x^{2j-1}}-x^{2j-1}\frac{\partial}{\partial x^{2j}})。记\lambda(p)=\prod \lambda_j

注记2:

这里我们第一次用到M为偶数维的假设:这是零点孤立的必要条件。

(等变局部化定理)对任意d_K-闭形式\omega\displaystyle \int_M \omega=(2\pi)^n\sum_p \frac{\omega^{[0]}(p)}{\lambda(p)},其中\omega^{[0]}\in C^{\infty}(M)\omega的0阶分量。

证明仍利用典型的Witten形变技巧:考察c \to +\infty时(1)式的渐进行为。非零点处的退化性上面已经说明,需要做的仅仅是累加各个零点处的效应。

Bismut  Localization formulas, superconnections, and the index theorem for families

下面转向具体应用。

k个非负偶数m_l\sum m_l=n,并记\lambda^{m_l}(p)=\sum \lambda_j^{m_l}。考虑Levi-Civita联络的曲率F,局部化定理给出

(Bott留数公式) \displaystyle \int_{M}\prod \mathrm{tr}[F^{m_l}]=(2\pi i)^n \sum_{p} \frac{2^k \prod \lambda^{m_l}(p)}{\lambda(p)}

注意到这可立即应用于某些示性数的计算。

Bott  Vector field and characteristic numbers

给定辛流形(M,\omega),假定S^1-作用是Hamiltan的,即存在动量映射H \in C^{\infty}(M)使dH=i_K \omega。对d_K-闭形式\mathrm{exp}(iH-i\omega)应用局部化定理,得到

(Duistermaat-Heckman公式)\displaystyle \int_M \mathrm{exp}(iH)\frac{\omega^n}{n!}=(2\pi i)^n\sum_p \frac{\mathrm{exp}(iH(p))}{\lambda(p)}

\displaystyle \frac{\omega^n}{n!}是为相流所保持的标准体积形式,称为Liouville形式。上述公式指出其Fourier变换恰给出其稳相近似

Duistermaat,Heckman  On the variation in the cohomology of the symplectic form of the reduced phase space

Witten指出,对紧自旋流形的自由环路空间形式地“套用”Duistermaat-Heckman公式可得到Dirac算子的指标定理。这个想法经Atiyah宣讲后由Bismut严格化。这就是Dirac算子指标定理的概率论证明。

Atiyah  Circular symmetry and stationary-phase approximation

Bismut  The Atiyah-Singer theorems: a probabilistic approach 

Chern类种种

参考文献是

Bott,Tu  The differential forms in algebraic topology

Milnor,Stasheff   Characteristic classes

考虑n阶复向量丛。我们知道G_n(\mathbb{C}^\infty)U(n)的分类空间,即

(Whitney-Steenrod) \mathrm{Vect}_n(M) \cong [M, G_n(\mathbb{C}^{\infty})],其中[M,N]代表流形MN的连续映射的同伦类。证明见Bott,Tu。

E \in \mathrm{Vect}_n(M)对应某个映射类\phi_E:M \to G_n(\mathbb{C}^{\infty}),这允许我们将万有对象的上同调环拉回到M上来,赋予每个向量丛以拓扑不变量:

\phi_E^{*}:H^{*}(G_n(\mathbb{C}^{\infty});A) \to H^{*}(M;A)A为任意交换环。

首要的任务自然是研究G_n(\mathbb{C}^\infty)的上同调环。给定H^{*}(G_n(\mathbb{C}^{\infty});A)中的上同调类uu(E)=\phi_E^{*}(u)定义了向量丛到上同调类(示性类)的函子。

已知H^{*}(G_n(\mathbb{C}^{\infty});\mathbb{Z}) \cong \mathbb{Z}[c_1,c_2,\dots,c_n],生成元c_k \in H^{2k}(G_n(\mathbb{C}^{\infty});\mathbb{Z})称为万有Chern类(函子)。

我们有重要的分离原理 (证明见Bott,Tu):

分离映射s:G_1(\mathbb{C}^\infty) \times \dots \times G_1(\mathbb{C}^\infty) \to G_n(\mathbb{C}^\infty)的诱导映射s^{*}:\mathbb{Z}[c_1,c_2,\dots,c_n] \to \mathbb{Z}[x_1] \otimes \dots \otimes \mathbb{Z}[x_n]是单射且将Chern类映为\{x_k\}的初等对称多项式。

应用分离原理不难证明

(Whitney乘积公式) 定义完全Chern类c=1+c_1+\dots+c_n,则有同态c(E \oplus F)=c(E)c(F)

Hirzebruch证明了以H^{*}(P^{\infty}(\mathbb{C});\mathbb{Z}) \cong \mathbb{Z}[c_1],Whitney乘积公式及函子性作为公理可唯一刻画Chern类。

Hirzebruch Topological methods in algebraic geometry

分离原理保证了任意\{x_k\}的对称多项式(幂级数)都可用Chern类表出,这提供了构造示性类的一般手段。

例1

(Chern特征) \sum e^{x_i}定义了\mathrm{Ch}=n+\sum \mathrm{Ch}_k,其中\mathrm{Ch}_k(E)\in H^{2k}(X;\mathbb{Q})

Chern特征是\coprod \mathrm{Vect}_n(X)H^{2*}(X;\mathbb{Q})的(半)环同态。

例2

(Todd类) \displaystyle \prod \frac{x_i}{1-e^{-x_i}}定义了\mathrm{Td}=1+\sum \mathrm{Td}_k

Todd类\mathrm{Td}_k作为Chern类的多项式(称为Todd多项式)出现在Hirzebruch-Riemann-Roch定理的拓扑项中。

在实向量丛上可以定义Pontryagin类 (复化丛的Chern类)。类似的分离原理给出

例3

(\hat{A}-类) \displaystyle \prod \frac{\sqrt{x_i}/2}{\mathrm{sinh}({\sqrt{x_i}/2})}定义了\hat{A}-类。

\hat{A}-类即复化丛的Todd类。自旋流形上的\hat{A}-类出现在Dirac算子的指标定理的拓扑项中。

例4

(L-类) \displaystyle \prod \frac{\sqrt{x_i}}{\mathrm{tanh}({\sqrt{x_i}})}定义了L-类。

L-类出现在Hirzebruch号差定理(signature theorem)的拓扑项中。

例2,例3和例4都是Atiyah-Singer指标定理的特例。

现在我们回到几何框架中考察Chern类,即考察Chern-Weil理论。核心的定理是

(Chern-Weil)对任意幂级数f\displaystyle \mathrm{tr}[f(\frac{1}{2\pi i}F_D)]对应的奇异上同调类\in H^{2*}(X;\mathbb{Z})唯一确定且不依赖于联络D的选取。

证明如下:

首先,陈省身注意到d\mathrm{tr}[f(F_D)]=\mathrm{tr}[[D,f(F_D)]]=0,这是Bianchi恒等式的推论。

另一方面,在联络的仿射空间中定义形变D_t=(1-t)D+tD^{'},Weil算得\displaystyle \frac{d}{dt}\mathrm{tr}[f(F_t)]=d\mathrm{tr}[\frac{dD_t}{dt}f^{'}(F_t)]dt,从而有超渡公式

\displaystyle \mathrm{tr}[f(D)]-\mathrm{tr}[f(D^{'})]=-d\int_0^1\mathrm{tr}[\frac{dD_t}{dt}f^{'}(F_t)]dt

我们已经确定了\displaystyle \mathrm{tr}[f(\frac{1}{2\pi i}F_D)]的de Rham上同调类。接下来只需应用de Rham定理。注意到Stiefel-Whitney类没有对应的几何理论,因为de Rham理论无法描述挠元。

完全Chern类c(E)\displaystyle \mathrm{det}(I-\frac{1}{2\pi i}F_D)=\mathrm{exp}(\mathrm{tr}[\mathrm{log}(I-\frac{1}{2\pi i}F_D)])唯一确定。

注记

我们有\displaystyle \sum_{k=0}^{n} c_{k}(E)(t^{-1})^k=\mathrm{det}(I-\frac{t^{-1}}{2\pi i}F_D)=\prod_{k=1}^{n} (1+\lambda_k t^{-1})

\displaystyle \frac{1}{2\pi i}F_d视为2-形式为系数的矩阵,则上述2-形式\lambda_k构成曲率形式的谱。另一方面,不难发现这些2-形式对应分离定理中的x_k。这一有趣的特征与Hodge理论颇为相似:几何结构对特定算子的“扰动”不改变其谱对应的同调类。

最后我们将Chern-Simons形式和上述讨论联系起来。Stiefel的一个经典结果指出3维可定向紧流形的切丛是平凡丛,因而D=d+A在整体上成立。取形变D_t=d+tAf(x)=-x^2,简单的计算指出此时超渡项\displaystyle -\int_0^1\mathrm{tr}[\frac{dD_t}{dt}f^{'}(F_t)]dt化为Chern-Simons形式。注意到3维流形上曲率形式的平方是0,即超渡公式的左端退化为0,故Chern-Simons形式是闭形式。

我们不再叙述Chern-Weil理论在纤维丛上的推广。