协边理论管窥


协边理论的标准参考文献是

Stong   Notes on Cobordism Theory

协边理论作为广义上同调论

边理论(bordism theory)源于Poincaré建立同调论的一个失败尝试:定义n维奇异流形f:M^n \to X,边缘算子\partial(M,f)=(\partial M,f|_{\partial M})n维奇异流形的\mathbb{Z}-形式和在\partial作用下成为链复形,对应的同调群\Omega_{*}(X)称为边群(bordism group)。对偶地,得到协边群(cobordism group)\Omega^{*}(X)

现在我们知道,限制M^nn维单形将给出奇异同调论,满足所有Eilenberg-Steenrod公理。而边群不满足维数公理\Omega_{*}(pt)并不是平凡的。这样的理论称为广义(上)同调论。

一个基本的问题是决定\Omega_{*}(pt)。我们稍作推广:在M^n上附加一个群作用G,得到G-边群\Omega_{*}^G(X)。下面来计算\Omega_{*}^{\mathrm{SO}}=\Omega_{*}^{\mathrm{SO}}(pt)

术语的澄清

遗憾的是,在文献中“协边”(cobordism)一词有2种容易引起混淆的含义:一指与边理论对偶的“上”边理论,一指2个(上)闭链属于同一个(上)边类。为尊重传统起见,我们依然不加区别地混用“协边”,请读者留意。

有向协边理论

原始论文是

Thom  Quelques propriétés globales des variétés differentiables

本节的主要内容摘自Milnor,Stasheff  Characteristic classes   Chapter 17,18。

我们将在光滑范畴中考虑流形。约定若M为有向流形,则-M表示反向定向的同一流形。

称2个有向闭流形MN属于同一个有向协边类,若存在某个有向紧流形X使得\partial X(带有诱导定向)保持定向地微分同胚于M \coprod (-N)。这是一个等价关系,\coprodn维流形的有向协边类\Omega_{n}^{\mathrm{SO}}上诱导一个自然的群结构。拓扑积M^m, N^n \mapsto M^m \times N^n赋予\Omega_{*}^{\mathrm{SO}}=\{\Omega_0^{\mathrm{SO}},\Omega_1^{\mathrm{SO}},\cdots\}一个分次反交换环结构。

为决定\Omega_{*}^{\mathrm{SO}},Thom构造了Thom空间T:对k阶向量丛E \to B,在每根纤维上施行单点紧化并将所有无穷远点粘合为一点\infty。若B是CW-复形,则T也是CW-复形,Bn-胞腔与T(n+k)-胞腔一一对应,故T(k-1)-连通的

Thom空间的引入被形容为deus ex machina(文末另有小注)。下面来看看这个概念的威力。

应用Thom横截定理,得到:任何连续映射f:S^m \to T的同伦类中可找到ggg^{-1}(T-\infty)外光滑且横截于Bg^{-1}(B)的有向协边类仅依赖于g的同伦类,从而诱导同态\pi_m(T,\infty) \to \Omega_{m-k}^{\mathrm{SO}}。特别地,取万有Thom空间T\mathrm{SO}(k)k充分大时,\pi_{n+k}(T\mathrm{SO}(k),\infty) \to \Omega_n^{\mathrm{SO}}是同构。

万有Thom空间的同伦群不容易计算,Thom转而计算其同调群。我们有著名的

(Thom同构) H_{k+n}(T,\infty;\mathbb{Z})\cong H_n(B;\mathbb{Z})

H_n(B\mathrm{SO}(k);\mathbb{Z})是容易计算的:在n \neq 4k时有限,在n=4k时有限生成,且阶等于分拆数p(k)

最后,50年代初同伦论的重大突破使Thom能够将T\mathrm{SO}(k)的同伦群与同调群联系起来:

(Serre)若X(k-1)-连通的有限复形,n<2k-1,则Hurewicz同态h_{*}:\pi_{n}(X) \to H_{n}(X;\mathbb{Z})是“忽略有限群”同构。

此处只需将Serre定理依次应用于T\mathrm{SO}(k)n-骨架上,n=0,1,\cdots,2k-2

下面这个早期结果是吴文俊告知Thom的:

(Pontryagin)若M^{4k}是某个有向紧4k+1维流形的边界,则M的所有Pontryagin数p_I[M]=0I=(i_1,\cdots,i_r)k的一个分拆。这给出同态\Omega_{4k}^{\mathrm{SO}} \to \mathbb{Z},故\mathrm{rank}(\Omega_{4k}^{\mathrm{SO}}) \geq p(k)

将上面所有讨论综合在一起,得到

(Thom)\Omega_n^{\mathrm{SO}}n \neq 4k时有限,在n=4k时有限生成,且阶等于分拆数p(k)

\Omega_{*}^{\mathrm{SO}}\otimes \mathbb{Q}是无挠的。上述定理说明\Omega_{*}^{\mathrm{SO}}\otimes \mathbb{Q}=\mathbb{Q}[P\mathbb{C}^2,P\mathbb{C}^4,\cdots]

后继的工作完全确定了\Omega_n^{\mathrm{SO}}的结构:

(Wall)\Omega_n^{\mathrm{SO}}=\oplus(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^{r(n)},若n \neq 4k\Omega_n^{\mathrm{SO}}=\oplus \mathbb{Z}^{p(k)},若n=4k

由此也得到M^n为某流形的有向边界的充分必要条件:M^n的所有Pontryagin数和Stiefel-Whitney数为0。

其他典型群的协边群

在同一篇文章中,Thom用完全类似的方法决定了无向协边群\Omega_n^{\mathrm{O}}=\oplus(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^{d(n)}。1960年,Milnor和Novikov决定了\Omega_{*}^{\mathrm{U}}。相关的发展详见Strong。

历史注记

Pontryagin无疑是正式考察协边理论的第一人,然而将整个理论打造为强有力工具并启发了50年代/60年代一系列进展的却是Thom。特别是,Pontryagin研究协边理论的主要目的是计算球面同伦群,而在Serre利用谱序列取得突破后,Thom转而利用同伦论来研究协边理论,导致了此后蔚为壮观的发展。这是Thom获得58年Fields奖的主要原因。

R.Thom(1923-2002)

小注:借deus ex machina(God from the machine)形容Thom空间的引入,见Hirsch Differential topology, Chapter 7。中文维基将其译为“天外救星”,取衍生意。《管锥编》中论神道设教,译为“情事危险,神道出现”(史记会注考证·田单列传),重在训deus一字。笔者酷爱Sid Meier’s Civilization IV这款游戏,其中每项科技研发成功后,均有一句引言,机械学之引言即A god from the machine,重在训machine一字。游戏显示此句为希腊诗人Menander语,按Wikiquote的说法,this is one of the earliest occurrences of the phrase which became famous in its Latin form as “Deus ex machina.”

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