Cartan-Chern理论的简要总结 Ⅱ


在理论物理研究中,出于“测量”的目的,赋予流形诸如度量之类的刚性结构几乎总是必要的。以下我们假定联络线性联络D与向量丛E上的度量相容:

d\langle X,Y\rangle=\langle DX,Y\rangle+\langle X,DY\rangle\forall X,Y \in \Gamma(E)

这一刚性条件要求矩阵A(X) \in \mathfrak{o}(k)\forall X \in TM。这一点可以简单地说明如下:对于E的局部正交基s_i

0=X\langle s_i,s_j \rangle=\langle A(X)s_i,s_j \rangle+\langle s_i,A(X)s_j \rangle=\langle s_i,(A+A^{*})(X)s_j \rangle

这允许我们将考虑的范围从\Omega^{*}(\mathrm{End}(E))缩小到\Omega^{*}(\mathrm{Ad}(E))(结构群的约化)。A \in \Omega^{1}(\mathrm{Ad}(E)),事实上可以证明F \in \Omega^{2}(\mathrm{Ad}(E))

外协变微分推广了外微分。现在我们着手建立de Rham-Hodge理论的某种(非线性)推广。

模仿Hodge理论,我们可以在\Omega^{*}(\mathrm{Ad}(E))上定义星算子*,并借此赋予其内积空间的结构。具体地说,定义Killing形式P \cdot Q=-tr(PQ)\forall P,Q \in \mathfrak{o}(k),不难验证这是\mathfrak{o}(k)上的内积,由此可将Hodge理论中对一般微分形式(乃至de Rham的流)定义的L^2内积以张量积进行扩充到以\mathfrak{o}(k)为系数的微分形式上。

完全类似的,我们定义D的伴随算子D^{*}:\Omega^{*}(\mathrm{Ad}(E)) \to \Omega^{*-1}(\mathrm{Ad}(E))(D\alpha, \beta)=(\alpha, D^{*}\beta)\alpha,\beta \in \Omega^{*}(\mathrm{Ad}(E))

联络D确定曲率形式F_D,这是我们特别感兴趣的对象。第二Bianchi恒等式告诉我们F_D总是闭形式。如问F_D何时是调和形式?则我们知道充要条件是F_D也是上闭的:D^{*}F_D=0

所有联络组成一个仿射空间。规范场论的一个基本观察是,调和曲率形式同时也是联络空间上某个变分问题的解。具体地说,定义Yang-Mills泛函YM(D)=(F_D,F_D)(代表了联络的“能量”),则DYM(D)的临界点当且仅当F_D是上闭的。我们称这样的D为Yang-Mills联络。

Weyl最先提出规范场论的一个“玩具模型”来描述电磁学(回顾我们之前介绍过的Weyl的系列工作,不难发现“一以贯之”的线索)。多年之后Yang和Mills对这一理论的重大发展使得非Abel规范场论又以Yang-Mills理论见称于世。这个理论的一个基本特征是描述了物理系统的内在对称性,我们现在来严格定义所谓的“内在对称性”。

向量丛\mathrm{Aut}(E)MSO(k)的映射。我们称\Gamma(\mathrm{Aut}(E))为一个规范变换,所有规范变换构成规范群\mathfrak{G}。约定规范群以共轭的方式作用在联络上:g(D)=g^{-1} \circ D \circ g

注意到规范变换保持Yang-Mills泛函,进而保持Yang-Mills联络,\mathfrak{G}可视为“联络-Yang-Mills联络”的“Galois群”,此即“内在对称性”的数学描述。

对规范场论在各种物理理论中的应用感兴趣的读者可以参考

Wu, Yang   Concept of nonintegrable phhase factors and global formulation of gauge fields

2 thoughts on “Cartan-Chern理论的简要总结 Ⅱ

  1. dzhy444 says:

    我们这个学期开讨论班读Atiyah和Bott的The Yang-Mills Equations over Riemann Surfaces,觉得遥不可及,要是你在就好了。
    还有我比较喜欢最前面两个专题,感觉体会更多一些,可能是我搞不懂后面几个专题的缘故。

    • 之元好。

      你们讨论班所读的论文,阿早和我提过。事实上我也在读,而且草稿箱里有一篇介绍性的文章正在写。等变上同调(和等变Morse理论)在《从Witten形变看局部化》里已有所涉及,加上这里讨论过Yang-Mills方程最初步的性质,承接下来应该是比较自然的。

      至于你对几个专题的看法,我是这样想的:前面两个专题的叙述中细节较多,步子迈得小,因为是我自己比较熟悉的内容,所以从容一些。写到后面,大都是现学现卖的新东西,很多文章都只是勾勒主线和重要的结论,实则细节我也没有完全吃透,有点“狂飙突进”的味道。熟悉这些内容的人可能会有所收获,不熟悉的人读起来大概多少会有些吃力。

      或许过一些时候再来读会比较得心应手一点?其实我自己也在不断反刍中。

      多谢你的直言。

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