通往指标定理之路 Ⅲ


Hirzebruch最著名的成就无疑是Hirzebruch-Riemann-Roch定理的证明。这使得他时常被当作代数几何学家,而忘记了他有很强的拓扑学背景:博士论文的导师是Hopf,对HRR定理的证明用到了大量协边理论,等等。

下面介绍Hirzebruch在微分拓扑学中的得意之作:号差定理。原始证明可以在下面这本经典著作中找到

Hirzebruch  Topological methods of algebraic geometry  §8

我们将追随Milnor,Stasheff  Characteristic classes   Chapter 19的叙述。

给定有向紧流形M^{4k}杯积诱导H^{2k}(M;\mathbb{Q})上的对称二次型Q。Poincaré对偶保证Q是非退化的,定义流形M号差\tau为二次型Q号差。Thom证明了\tau是无挠有向协边环\Omega_{*}^{\mathrm{SO}}\otimes \mathbb{Q}到整数环\mathbb{Z}的同态:

(1)\tau(M_1 \coprod M_2)=\tau(M_1)+\tau(M_2)\tau(M_1 \times M_2)=\tau(M_1)\tau(M_2)

(2)若M是某流形的有向边界,则\tau(M)=0

(2)与之前介绍的Pontryagin定理相关。吴文俊猜测\tau(M^4)=p_1[M^4]/3,Rokhlin首先证明了这一点(并决定了\Omega_4^{\mathrm{SO}}=\mathbb{Z})。一般的公式由Hirzebruch给出。

介绍Chern类时,我们初步接触过乘法序列。下面拟详细介绍之。

考虑分级\mathbb{Q}-交换代数A^{*}=(A^0,A^1,\cdots),形式和a=1+a_1+a_2+\cdotsa_i \in A^i在形式乘法下成群。定义K(a)=1+K_1(a_1)+K_2(a_1,a_2)+\cdotsK_n \in \mathbb{Q}(x_1,x_2,\cdots,x_n)n次齐次多项式(x_i赋予次数i)。

\{K_n\}为乘法序列,若K(a_1)K(a_2)=K(a_1 a_2)。这个定义是自然的:

给定形式幂级数f(t)=1+\lambda_1 t+\lambda_2 t^2+\cdots \in \mathbb{Q}(t)A^{*}=\mathbb{Q}[t],有且仅有一个乘法序列\{K_n\}使得K(1+t)=f(t);换言之,使x_1^nK_n中的系数为\lambda_1

给定流形M^n,记其基本类[M],切丛的Pontryagin类为p_i。K-亏格K[M^n]定义为K_k[M^n]=\langle K_k(p_1,\cdots,p_k),[M]\rangle,若n=4k;否则为0。K-亏格是Pontryagin类的线性组合,结合Pontryagin定理不难证明它是\Omega_{*}^{\mathrm{SO}}\otimes \mathbb{Q}\mathbb{Q}的同态。

我们有了2个\Omega_{*}^{\mathrm{SO}}\otimes \mathbb{Q}\mathbb{Q}的同态:号差和K-亏格。下面的定理说明号差实际上是一类特殊的K-亏格:

(Hirzebruch号差定理)若\{L_{k}(p_1,\cdots,p_k)\}是如下级数的乘法序列多项式

\displaystyle \frac{\sqrt{t}}{\mathrm{tanh}({\sqrt{t}})}=1+\frac{1}{3}t-\frac{1}{45}t^2+\cdots+\frac{2^{2k}B_{2k} t^k}{(2k)!}+\cdots

则号差\tau(M^{4k})等于L-亏格L[M^{4k}]

B_k代表Bernoulli数。对符号和下标的约定从未统一,注意我们的记号与Milnor不同。

L-亏格的自然性(naturalness)是一个很有趣的问题。80年代的研究表明,L-亏格是所谓椭圆亏格在尖点处的退化。详见
Hirzebruch  Manifolds and Modular Forms

最简单的例子:L_1=p_1/3L_2=(7p_2-p_1^2)/45,等等。

证明:已知\Omega_{*}^{\mathrm{SO}}\otimes \mathbb{Q}=\mathbb{Q}[P\mathbb{C}^2,P\mathbb{C}^4,\cdots],故只需对生成元P\mathbb{C}^{2k}验证号差定理。

易知\tau(P\mathbb{C}^{2k})=1。为计算L_k[P\mathbb{C}^{2k}],注意到P\mathbb{C}^{2k}的切丛的全Pontryagin类p=(1+c^2)^{2k+1}c是复化丛的第一Chern类,故L(p)=(c/\mathrm{tanh}\ c)^{2k+1}L_k[P\mathbb{C}^{2k}]c^{2k}项的系数,标准的留数计算显示这个系数等于1。号差定理得证。

一些(绝非显然的)算术上的推论:L-亏格总是整数,p_1[M^4]总能被3整除,等等。

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s