2个概率问题

Questions

下面2个小问题取自

Stein, Shakarchi  Functional analysis: introduction to further topics in analysis

Q1:除去一个可数集(所谓的二进分数),所有落在[0,1]中的实数都有唯一的二进制表示:\displaystyle \alpha=\sum_{n=1}^\infty \frac{a_n}{2^n}a_n等于0或1。随机选取一个\alpha,0和1在其二进制表示中密度相当的概率有多大?

Q2:\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}发散而\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n}收敛到\log 2。如果考虑\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{a_n}{n}并随机选择a_n=\pm 1,则级数收敛的概率有多大?

Discussions

回忆概率论的基础:定义概率空间(\Omega,m)(概率测度m定义在“事件”的\sigma代数上,满足m(\Omega)=1)。以下仅考虑\Omega上的实值可测函数f:(\Omega,m) \to (\Bbb R,\mu_f),例如随机变量X概率密度函数f_X:\Omega \to \Bbb R_{\ge 0}。在实际应用中f:\Omega \to \Bbb C(量子统计)和f:\Omega \to \Bbb R^d(随机漫步Brown运动)同样常见。

X的平均值(期望)E(X)=\int_\Omega f dm=\int_\Bbb R td\mu(t)

X的方差\sigma^2(X)=\int_\Omega (f-E(X))^2 dm

(1)\{f_n\}^\infty_{n=1}称为同一分布的,若\mu_nn无关。

(2)\{f_n\}^\infty_{n=1}称为互相独立的,若对于任意Borel集\{B_n\}_{n=1}^\infty \in \Bbb R

\displaystyle m(\bigcap_{n=1}^\infty\{x:f_n(x)\in B_n\})=\prod_{n=1}^\infty m(\{x:f_n(x)\in B_n\})

描述Q1和Q2的模型是(无限)Bernoulli过程,此时\Omega=\Bbb Z_2^\infty。各自除去一个(可忽略的)可数集后,我们可以(利用二进制表示)将\Bbb Z_2^\infty等同于[0,1)(赋予Lebesgue测度)。

考虑定义在\Bbb Z_2^\infty上的2人零和博弈:若a_n=0则玩家A得1分,否则失1分,其收益函数记为r_n。通过上述等同,我们同时也定义了r_n:[0,1) \to \pm 1\{r_n\}_{n=1}^\infty称为Rademacher函数(或方波函数)。它们是一族同一分布且互相独立的函数。

Q1的答案是1:只需将大数定律(若同一分布且互相独立的函数族\{f_n\}^\infty_{n=1}有相同的平均值E,则\displaystyle \frac{1}{N}\sum_{n=1}^N f_n(x) \to E几乎处处成立)应用于(稍加修饰的)Rademacher函数。

一个理应众所周知但实际上并非如此的事实是大数定律可以由Birkhoff点态遍历定理推出:等式左端可理解为某个强混合系统的空间平均,从而等于右端的时间平均。一个更一般的结果是Birkhoff-Khinchin定理(推广到条件期望)。

点态遍历定理可以追溯到Lagrange,Laplace和Gauss对天体力学的研究。在数论中,它以一致分布定理的面貌出现(Bohr, Sierpinski, Weyl)。下面这个问题来自Arnold:\{2^n\}_{n \ge 0}的首位数依次为1, 2, 4, 8, 1, 3, 6, … 求此序列中7出现的概率与8出现的概率之比。

答案是(\log 8-\log 7)/(\log 9-\log 8)n \log_{10} 2 \mod 10是一致分布的。

Arnold  Mathematical methods of classical mechanics

Q2的答案也是1。如果说Q1是利用L^1收敛推出(采样意义上的)点态收敛,那么Q2则是利用L^2收敛推出点态收敛,关键是注意到(1)\{r_n\}L^2[0,1]中的正交序列(虽然并不完备:考虑它们的Fourier级数可知);(2)若将[0,1)等分为N个子区间,则对于每个子区间Ir_n等于r_nI上的平均对于n \le N成立。从而

(1)由于(1,\frac{1}{2},\cdots) \in l^2\displaystyle P_N=\sum_{n=1}^N \frac{r_n}{n}L^2收敛于某个P。(2)对上述的IP_N等于PI上的平均。接下来只需令N \to \infty并应用Lebesgue微分定理即可推出P_N几乎处处收敛于P

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局部紧群上的Fourier分析

Atiyah在谈到20世纪的数学时举出了几个趋势:从有限维到无穷维,从交换到非交换等等。Peter-Weyl定理保证拓扑群G的所有不可约表示都是有限维的,这绝对依赖于G的紧性,故可以视为一个“非交换却有限”的结果。如果我们限定G是交换的,作为补偿,可以将对G的紧性要求放宽为局部紧性。此时得到的理论推广了经典意义下的Fourier分析。特别的,整个类域论和自守形式理论都可以包括到这个框架里来(这方面的奠基性工作可以参考Tao Tate’s proof of the functional equation)。研究其非交换推广是当前数学的核心,这一研究涉及Langlands纲领,表示论,算子代数乃至数学物理等广阔的领域。

以下限定讨论的拓扑群G是局部紧的Abel群。此时G的所有不可约酉表示都是1维的。称这样的\chi:G \to U(1)G的特征。G的所有特征在逐点乘法下成为Abel群,在紧-开拓扑下这个Abel群是局部紧的,记为\hat G,称为G的对偶。

性质1 如果G是可分的,则\hat G是可度量化的;

性质2 如果G是紧的,则\hat G是离散的;

(Pontryagin对偶){\hat G}的对偶与G有一个典范同构:x\mapsto \{\chi \mapsto \chi(x)\},使得x(\chi)=\chi(x)

特别地,性质1和性质2的逆命题成立。

\hat{G}^{*}\hat{G}单点紧化,以C_{0}(\hat{G})\{f \in C(\hat{G}^{*}):f(\infty)=0\}C_{0}(\hat{G})在一致范数下成为C*-代数

G上存在Harr测度\mu,依此定义Fourier变换F:L^{1}(G) \to C_{0}(\hat G)f \mapsto \hat f\displaystyle \hat f(\chi) =\int _{G} f(x)\overline{\chi(x)}d\mu(x)。易见\parallel F \parallel \leq 1

注记1

\hat f(\infty)=0Riemann-Lebesgue引理保证。

可以在\hat G上引入对偶测度\hat \mu。对\hat f \in L^{1}(\hat G),我们有Fourier逆变换F^{*}:L^{1}(\hat G) \to C_{0}(G)\displaystyle f(x)=\int_{\hat G}\hat f(\chi)\chi(x)d\hat{\mu}(\chi)

L^2内积下,F^{*}F的伴随算子:<F(f),g>=<f,F^{*}(g)>。在C_{c}^{\infty}(G)上,F^{*}F=id

(Plancherel) F可以扩充为L^{2} (\hat G)上的酉算子。

Banach空间L^{1}(G)卷积*下成为Banach代数。Fourier变换将L^{1}(G)上的卷积转化为C_{0}(G)上的逐点乘法:\widehat{f*g}(\chi)=\hat{f}(\chi)\hat{g}(\chi),将L^{2}(G)上的逐点乘法转化为卷积:\widehat{fg}(\chi)=\hat f *\hat g(\chi )

经典Fourier分析讨论G=\mathbb{R}^{n}的情况。我们首先举出一类便于研究的函数。

f:\mathbb{R}^{n} \to \mathbb{C}f \in C^{\infty}(\mathbb{R}^{n})为速降函数,若对\forall \alpha,\beta \geq 0|x|^{\alpha}D^{\beta}f(x)有界。所有速降函数构成的函数空间S(\mathbb{R}^{n})称为Schwartz空间

S(\mathbb{R}^{n})L^{p}(\mathbb{R}^{n})(1 \leq p < \infty)和C_{0}(\mathbb{R}^{n})中稠密,在逐点乘法、卷积和Fourier变换下封闭,且F可以唯一扩充为L^{2}(\mathbb{R}^{n})上的酉算子。这使得Schwartz空间成为进行Fourier分析的理想场所。

例子1 Poisson求和公式

f \in S(\mathbb{R}^{n}),定义F:(\mathbb{R}/\mathbb{Z})^{n} \to \mathbb{C}F(x+\mathbb{Z}^{n})=\sum_{i \in \mathbb{Z}^{n}}f(x+i)

\forall \chi \in \mathbb{Z}^{n},我们有\hat {F}(\chi)=\hat{f}(\chi),从而得到Poisson求和公式

\sum_{p\in \mathbb{Z}^{n}}f(p)=\sum_{q\in \mathbb{Z}^{n}}\hat{f}(q)

Poisson求和公式在非交换情形下推广为著名的Selberg迹公式

例子2 Heisenberg不确定性原理

波函数\psi \in S(\mathbb{R}),定义位置算子X和动量算子P如下:

X\psi(x)=x\psi(x)\displaystyle P\psi(x)=\frac{1}{2\pi i}\frac{d}{dx}\psi(x)

作为L^2内积下的Hermite算子,XP代表量子力学中的可观测量。它们互相共轭FX=PF,且满足对易关系\displaystyle [P,X]=\frac{1}{2\pi i}

对Hermite算子A\overline A=<\psi,A\psi>代表可观测量的期望。我们有不等式:

\displaystyle \parallel A\psi \parallel_{2}\parallel B\psi \parallel_{2} \geq \frac{1}{2} |\overline{[A,B]}|

Hermite算子\Delta A=A-\overline A代表可观测量的偏差,[\Delta A, \Delta B]=[A,B]

将上述讨论应用于\Delta X\Delta P,即得到不确定性关系:

\displaystyle \parallel \Delta X\psi \parallel_{2}\parallel \Delta P\psi \parallel_{2} \geq \frac{1}{4\pi}

注记2

我们再次举出Tao的讲义作为相关内容的参考

Tao  The Fourier transform