The basic settings of homological algebra

我们将在接下来的系列讨论中总结同调代数的基本概念和结果:既囊括理论的经典语言(范畴论),常用导出函子(如\mathrm{Ext}\mathrm{Tor})以及主要计算工具(谱序列),同时也在必要时引入更现代的概念如导出范畴三角化范畴等。我们将讨论同调论在同伦论、同调论和广义同调论中的经典应用,也希望涉及更前沿的领域如Hodge结构D模循环同调同伦代数

参考材料方面,H.Cartan和Eilenberg的Homological Algebra和Grothendieck的Tôhoku论文(已有英译本)是不会过时的经典。Bourbaki的Algèbre homologique (Ch.X of Algèbre)像他们的所有著作一样值得信赖。同调代数的标准教材包括Hilton, Stammbach的A Course in Homological Algebra和Weibel的A Introduction to Homological Algebra,后者的内容较新。最后,Gelfand和Manin百科式的纵览Homological Algebra(以及在技术细节上更为详尽的Methods of Homological Algebra)都是值得参考的著作。

Abelian Categories

我们约定以_R\mathrm{Mod}记左R模范畴,以\mathrm{Mod}_R记右R模范畴,以\mathrm{Ab}=\mathrm{Mod}_\mathbb Z记交换群范畴。在Cartan-Eilenberg时代,同调代数主要处理_R\mathrm{Mod}/\mathrm{Mod}_R中的链复形,时至今日它们仍构成理论的最主要部分。但我们愿意考虑一类更一般更抽象的对象。

(公理1)范畴\mathcal A中的所有态射集\mathrm{Hom}_\mathcal A(A,B)均有交换群结构,且态射的复合对于这个群结构是分配的。

(公理2)范畴\mathcal A包含零对象,且对任意有限个对象定义有双积

(公理3)范畴\mathcal A中的所有态射均有核和余核。

(公理4)范畴\mathcal A中的所有单态射/满态射均是某个态射的核/余核。

满足公理1的范畴称为预可加范畴,满足公理2的预可加范畴称为可加范畴,满足公理3的可加范畴称为预Abel范畴,满足公理4的可加范畴称为Abel范畴。Abel范畴的典型例子是_R\mathrm{Mod},事实上我们有Freyd-Mitchell嵌入定理:任意Abel范畴都可正合且忠实地嵌入某个_R\mathrm{Mod} (从而实现为其完全子范畴)。

Grothendieck在他的Tôhoku论文中提出可以用Abel范畴构建最一般的同调代数基础:\mathcal A中的链复形构成Abel范畴\mathrm{Ch}(\mathcal A)。与同调函子H_*:\mathrm{Ch}_{\geq 0}(\mathcal A) \to \mathcal A相关的辅助性结果如蛇引理(保证了连接同态/长正合列的存在性,从而使H_*成为万有\delta函子),九引理五引理等均在这一更广泛的框架中成立。此外,我们还有经典结果:

称加性函子L:\mathcal A \to \mathcal BR:\mathcal B \to \mathcal A互为共轭函子,若\mathrm{Hom}_\mathcal B(L(A),B)自然同构于\mathrm{Hom}_\mathcal A(A,R(B)),此时L/R是右/左正合的。

例1.1 \mathcal A=_R\mathrm{Mod}\mathcal B=\mathrm{Ab}L=\otimes_R BR=\mathrm{Hom}_\mathrm{Ab}(B,-)

例1.2  给定群G,我们可以构造整群环\Bbb ZGG在Abel群上的表示(左G模)构成一个Abel范畴_G\mathrm{Mod}:事实上它就是左\Bbb ZG模的范畴。

考虑\mathrm{Ab}_G\mathrm{Mod}的平凡模函子T(G平凡作用),_G\mathrm{Mod}\mathrm{Ab}的余不变模函子A_G(A模去由\mathrm{im}(g-e)生成的子模)和不变模函子A^G(\mathrm{ker}(g-e)的交)。不难证明L=-_GR=TL=TR=-^G

例1.3 \mathcal A=\mathrm{Ab}\mathcal B=\mathrm{Sh}_X(拓扑空间X上的层)。L=C(常数层函子),R=\Gamma(截影函子)。

Derived functors

Tôhoku论文进一步将当时已知的2类上同调(群上同调和层上同调)统一为特定Abel范畴的右导出函子。我们从建立导出函子的一般理论开始:

(1)投射模的概念是Cartan-Eilenberg的贡献,它推广了自由模的概念。当然,在足够好的环上两者等价,这种环的例子包括(1)局部环;(2)主理想整环,以及更一般的,主理想整环上的多项式环(Quillen-Suslin定理)。更一般地,我们采用如下方式刻画Abel范畴\mathcal A中的投射对象P\mathrm{Hom}_\mathcal A(P,-)正合函子

R模恒允许投射消解/自由消解。以下假定\mathcal A有充分多的投射对象,则\mathcal A中的对象恒允许投射消解。对于右正合函子F:\mathcal A \to \mathcal B,选定对象A的投射消解P \to A并定义L_iF(A)=H_i(F(P)),我们称万有\delta函子L_iFF的左导出函子。

例2.1(1) 给定右RA和左RB\mathrm{Tor}函子\mathrm{Tor}^R_i(-,B)(\mathrm{Tor}^R_i(A,-)\mathrm{Tor}^R_i(-,-))是右正合函子-\otimes_R B(A\otimes_R --\otimes_R -)的左导出函子。

例2.2(1) 群同调函子H_i(G,-)是右正合函子-_G的左导出函子。事实上,H_i(G,-)=\mathrm{Tor}_i^{\mathbb ZG}(\mathbb Z,-)

(2)作为投射模/投射对象的对偶,我们有内射模/内射对象I的概念:\mathrm{Hom}_\mathcal A(-,I)是正合函子。一般来说,R模不允许内射消解,但不妨假定现在考虑的\mathcal A有充分多的内射对象,则\mathcal A中的对象恒允许内射消解。对于左正合函子F:\mathcal A \to \mathcal B,选定对象A的投射消解A \to I并定义R^iF(A)=H^i(F(I)),我们称万有\delta函子R^iFF的右导出函子。

例2.1(2) \mathrm{Ext}函子\mathrm{Ext}_R^i(A,-)(\mathrm{Ext}_R^i(-,B)\mathrm{Ext}_R^i(-,-))是左正合函子\mathrm{Hom}_R(A,-)(\mathrm{Hom}_R(-,B)\mathrm{Hom}_R(-,-))的右导出函子。

例2.2(2),群上同调函子H^i(G,-)是左正合函子-^G的右导出函子。事实上,H^i(G,-)=\mathrm{Ext}^i_{\mathbb ZG}(\mathbb Z,-)

例2.3 X层上同调函子H^i(X,-)是左正合函子\Gamma的右导出函子。

在同调论的应用中,上同调函子(右导出函子)起主要作用。我们就上述例子做点到即止的评论:

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p style=”text-align:left;”>例2.2(2)给出研究抽象群及其表示,代数拓扑(例如Eilenberg–MacLane空间)以及代数数论(例如Galois上同调Galois表示Langlands纲领)的强有力工具。例2.3用“有充分多的内射对象”统一了系列层的概念(优层松层非循环层等等),此时de Rham-Weil定理天然地嵌入理论框架中成为最重要的计算工具。基本的应用自然包括de Rham定理Dolbeault定理的证明,但更重要的是Grothendieck将这种观点引入代数几何,成为现代同调论的基础:例如,平展上同调的概念就来源于Galois上同调和层上同调的结合,并应用于数论、代数几何(例如Weil猜想的证明)和表示论(例如Lie型有限群的Deligne-Lusztig理论)。

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Drei Sätze von Hilbert Ⅳ

早在19世纪,代数几何已应用了上同调的方法(尽管当时同调论远未成型)。例如,经典线性系统理论可以从层上同调论的角度理解。Hilbert合系定理可以、也应该在这个框架下理解。

拓扑空间X上的“函数”可以视为某个交换环的层的截面,这诱导我们定义赋环空间(X,\mathcal{O}_X)。经典的例子包括(1)C^k流形及其上的C^k函数环;(2)解析簇及其上的解析函数环,或更一般的,解析空间;(3)代数簇及其坐标环,或更一般的,概型

“函数-环”的类比可推广为“向量丛-模”的类比:(1)平凡丛对应(有限生成的)自由模;(2)向量丛是局部平凡的,它对应局部自由模;(3)为方便同调代数的应用,Serre提出了平坦模的概念。对于Noether局部环上的有限生成模,“自由”与“平坦”是等价的。

同样为了方便同调代数的应用,H.Cartan和Serre发展了凝聚层的概念。几何中考虑的层大多是凝聚层。对于凝聚上同调,\mathrm{dim}H^q(X,\mathcal{F})<+\infty

层上同调的定义和计算通常有2种手段:Čech上同调和层的消解。层\mathcal{F}消解指的是正合列0 \to \mathcal{F} \to \mathcal{F}^{*}\mathcal{F}^{*}=(\mathcal{F}^p,d^p)_{p \geq 0}。这方面的标准参考书是

Godement  Topologie Algébrique et Théorie des Faisceaux

\mathcal{F}^{*}的长度定义为n的上确界,长度有限的消解称为有限消解。根据\mathcal{F}^{*}的性质,消解又可分为自由消解,平坦消解,等等。

H^q(X,\mathcal{F}^p)=0q \geq 1成立,则称此消解为非循环消解。所有优层消解都是非循环的(基于单位分解)。另一方面,对于非循环消解,上链复形(\Gamma(X,\mathcal{F}^p),d_*^p)_{p \geq 0}的上同调群将同构于(由Čech上同调定义的)H^{*}(X,\mathcal{F})。这个结果又称为抽象de Rham定理:考虑消解0 \to \mathbb{R} \to \Omega^{*},我们将得到de Rham定理

非循环消解是实际应用中是方便的。但在概念上更令人满意的则是所谓的内射消解。主要的想法是将层上同调范畴化:此时截面函子是左正合函子,而层上同调可定义为相应的右导出函子。这是著名的“东北论文”的主题:

Grothendieck  Sur quelques points d’algèbre homologique

分次环A=\oplus_{l \geq 0} A_l上的分次A模层\mathcal{F}的分次自由消解指的是:\mathcal{F}^p是分次自由A模层,d^p是次数为0的齐次层同态。对于多项式环上的有限生成模这一特例,我们有

(Hilbert合系定理)有限生成的分次K[X_0,\cdots,X_n]M允许一个长度至多为n+1的分次自由消解0 \to M \to M^{*}

合系这个名词源于天文学。数学上,它指的是“模的生成元之间的关系”,即A模同态d_n

M的模本是射影簇X \subset P^n上的齐次坐标环。合系定理结合抽象de Rham定理保证了X的高阶上同调群消没,这无疑非常基本而重要。下面这个应用属于Hilbert本人:

对于有限生成的分次AM=\oplus_{m \geq 0} M_mH_M(m)=\mathrm{rk}_{A_0}(M_m)称为MHilbert函数P_M(t)=\sum_{m\geq 0} H_M(m)t^m称为MPoincaré级数

仍考虑A=K[X_0,\cdots,X_n]。简单的同调代数显示H_M(m)=\mathrm{dim}_K M_m等于“Euler示性数”\sum_{p \geq 0}(-1)^p H_{M^p}(m)(合系定理保证这是有限和)。

对于充分大的m_p,自由模M^p的Hilbert函数的取值重合于某个P_{M^p} \in \mathbb{Q}[z]。从而对任意Hilbert函数H_M我们都可以找到相应的Hilbert多项式P_M \in \mathbb{Q}[z]使得对于充分大的整数P_MH_M的取值重合。

Hilbert多项式是数值多项式:通常并非整系数却总是取整数值(不仅仅对于充分大的变量)。