映射度与微分流形的拓扑


Witten的观点相比,以下对Morse理论、Poincaré-Hopf定理和Lefschetz不动点定理三者联系的讨论是经典的。具体地说,是利用映射度的概念将微分拓扑中这一系列重要结果联系起来。这是Milnor的名著Topology from the differentiable viewpoint的中心论题,这里的讨论可视为对Milnor的补充。

考虑n维定向连通闭流形间的光滑映射f:M \to N映射度\mathrm{deg}\ f的定义和基本性质参见Milnor的著作。不难证明\mathrm{deg}\ f仅取决于f的同伦类。另一方面,已知N=S^n时,映射度足以分类所有的同伦类(Hopf定理,因而有\pi_i(S^i)=\mathbb{Z})。

\omegaN上的微分形式,下面这个整体性质也可以作为映射度的定义:

\int_{N}\omega\cdot\mathrm{deg}\ f=\int_{M} f^{*}\omega                           (1)

我们考察一个特例,即微分几何中的Gauss映射M\mathbb{R}^{n+1}中的超曲面,N=\mathrm{S}^{n}f(x)定义为Mx处的单位外法向量。\mathrm{S}^{n}上有一个自然的闭n形式\Omega作为体积形式。它的拉回f^{*}\Omega恰为M上的Gauss-Kronecker曲率形式Kd\sigma,此处K为主曲率的乘积,d\sigma为Riemann度量诱导的标准体积形式。(1)可以写成:

V(\mathrm{S}^{n})\mathrm{deg}\ f=\int_{M} Kd\sigma                            (2)

另一方面,\mathrm{deg}\ f受控于M的拓扑,这可以通过Morse理论阐明。具体地说,在R^{n+1}给定方向上的投影给出M上的高度函数H\mathrm{S}^{n}上的高度函数h。通过f的小形变,不妨假定h的2个临界点x_Nx_S(“两极”)均为f的正则值。易见H的临界点集为f^{-1}(x_N) \cup f^{-1}(x_S)。在x \in f^{-1}(x_N)处,H的Hesse行列式(即Gauss-Kronecker曲率)等于f的Jacobi行列式,在x \in f^{-1}(x_S)处为了得到外法线的正确定向则需乘以(-1)^{n}。无论如何,H的Hesse行列式总是非退化的。由Morse理论得

(1+(-1)^n)\mathrm{deg} f=\chi(M)                          (3)

由于Poincaré对偶,n为奇数时(3)是平凡的。n为偶数时,对比(2)和(3)即得到超曲面的Gauss-Bonnet定理。这个定理最早由Hopf提出。

Hopf    Über die Curvatura integra geschlossener Hyperflachen

H.Hopf (1894-1971)

注记1

上述证明虽然简明,却不是内蕴的,更谈不上一般。我们知道,即便有Nash嵌入定理,将一般的n维Riemann流形等距嵌入到\mathbb{R}^{n+1}(甚至抛掉Riemann度量,仅考虑Whitney嵌入定理)也是不可能的。然而,至少对于n=2的情形,这个证明是有启发性的。

接下来考察Poincaré-Hopf定理,作为(3)的推广它是一个内蕴的结果。Hopf的这一工作承接上一篇论文而来,实开陈省身对Gauss-Bonnet定理内蕴证明之先河。

Hopf    Vektorfelder in n-dimensionalen Mannigfaltigkeiten

基本的想法是,若vn维流形M上的向量场,x为其孤立零点,则选取包围x的小球S_\epsilon,对其上的向量场逐点单位化,得到映射f:S_\epsilon \to S^{n-1}。定义x的指数为f的映射度。更一般地,对于M上的任意球形邻域均可用这个方法定义指数,球内不包含零点的必要条件是指数为0。

注记2

这一事实可推出Brower不动点定理(准确地说,Hirsch引理,由此推出Brower不动点定理参见Milnor):若球内存在处处不为零的光滑向量场,限制在球面上为外法向量场,则其诱导一个映射度为1的映射,导致矛盾。

注意到映射度的同伦不变性,上述命题可稍加推广为:与球面横截的向量场在球内必有零点。由此不难推出Poincaré-Bendixson定理

所有零点的指数的代数和称为向量场的全指数。现在来说明全指数是同伦不变的。一个简单的方法是将全指数解释为切丛的2个截面S(0)=MS(v)的相交数。由于任意2个向量场彼此同伦,为证明全指数等于M的Euler示性数,只需考察一个特殊的向量场即可。

一个选择(Hopf的选择)依赖于流形的单形剖分。这个安排向量场的经典方法可以在大多数讨论Poincaré-Hopf定理的书中找到。

另一个选择(Milnor的选择)利用Morse理论。注意到若v为某Morse函数的梯度场,则x的指数恰为(-1)^{\mathrm{ind}(x)}\mathrm{ind}(x)x的Morse指数。接下来套用对(3)的论证即可。

注记3

以上2种选择之所以等效,有一个深层的理由:微分流形的单纯/奇异同调同构于Morse同调。为证明这一点,一个自然的中间参照物是胞腔同调

Morse同调也称Thom-Smale同调或Morse-Smale-Witten同调。这多少引起了一些混乱。关于历史的发展,Bott提供了难得的第一手资料。

Bott    Morse theory indomitable

注记4

将全指数解释为相交数,Poincaré-Hopf定理可视为一个Lefschetz不动点定理型的结果,有的文献中称为Lefschetz-Hopf定理

上面讨论的几个微分不变量等于拓扑不变量的结果或多或少可以视为指标定理的特例。

One thought on “映射度与微分流形的拓扑

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s