Weil猜想漫谈 VII:插曲

本章是漫谈的「插曲」——提及的所有结果都和Weil猜想的证明(或者更严格地说,Deligne I 中给出的证明)没有直接关联。然而如果我们把视野放宽,那么,在Weil猜想得到证明后,继续研究与代数闭链相关的种种猜想已成为现代代数几何理论的主旋律之一。

首先引入我们要讨论的对象:给定d维光滑射影簇X代数闭链指的是形如\sum n_iX_i的形式和,X_i \subset X是代数子簇1n_i \in \Bbb Z. 我们可以考虑代数闭链所组成的环Z(X),按余维数引入的分次结构\displaystyle Z(X)=\oplus_{i=1}^{d} Z^i(X)与相交积相容。视情况,我们也会考虑按维数引入的分次结构\displaystyle Z(X)=\oplus_{i=0}^{d-1} Z_i(X).
熟知在Z^i(X)上可以引入有理等价、代数等价、同调等价和数值等价这4种经典的等价关系,相应的等价类与\Bbb Q作张量积后记为A^i_r(X)A^i_a(X)A^i_h(X)A^i_n(X). 在之前的讨论中,我们已经见过A^i_r(X)(整系数的有理等价类Z^i_r(X)=CH^i(X)通常称为Chow环2)和A^i_h(X).

在代数几何所感兴趣的等价关系中,有理等价是最精细的一种。Z^1(X)(Weil除子)模去有理等价(线性等价)关系给出我们熟悉的除子类群/Picard群。更一般地,Chern特征给出Grothendieck同构\displaystyle \otimes_i A^i_r(X)=K_0(X) \otimes \Bbb Q,这将Chow环与代数K-理论联系起来。
Z^1(X)模去代数等价关系给出(有限生成的)Néron–Severi群,这也是经典的内容。特别地,代数等价严格弱于有理等价:在代数闭域上,\sum n_ix_i \in Z_0(X)代数等价于0当且仅当\sum n_i=0
另一方面,在Z^1(X)上,代数等价、同调等价和数值等价是重合的 (Matsusaka),这个结论给人以强烈的暗示:「经典等价关系」是否在本质上只有2类呢?Griffiths找出了反例:\Bbb C P^4中的一般五次曲面,此时同调等价严格弱于代数等价。因此也就有了Griffiths群的概念:它衡量同调等价和代数等价的差距。
最后,我们依然不知道同调等价和数值等价是否总是重合。假定Lefschetz型标准猜想,不难推出对于任意给定的Weil上同调论,同调等价都和数值等价重合(有时称为标准猜想D),进而推出同调等价关系和所采用的同调论无关3!在Grothendieck的设想中,这将是构造「万有上同调论」的关键步骤,可惜现在还没有人知道该如何迈出这一步4

以下我们还将陈述几个代数几何 / 算术几何中的重要猜想。基本的精神是:代数闭链的特定等价类可以用Hodge结构来描述。

首先是标准猜想。简单地说,3个Lefschetz型标准猜想可以叙述为:给定任意一种Weil上同调论,光滑射影簇上的代数闭链的同调等价类都应该表现得和在复射影簇上一样。尴尬的是,我们甚至无法完全描述复射影簇的情形。
(Hodge猜想) 在光滑复射影簇X上,闭链映射\mathrm{cl}_X给出A_h^i(X)H^{2i}(X,\Bbb Q) \cap H^{i,i}(X)的同构。
这推广了i=1的情况,即Lefschetz (1,1)-类定理5
作为七大千禧难题之一,Hodge猜想的官方叙述由Deligne给出。2000年之后的一个进展是Voisin证否了Hodge猜想在紧Kähler流形上的类比,这表明紧Kähler流形与代数流形的差别要比此前认识到的还要微妙。
完全类似的,考虑k上的光滑射影簇Xk为代数数域或有限域。选取在k中可逆的素数ll-进上同调群H^{2i}(X_{et},\Bbb Q_l)在绝对Galois群\mathrm{Gal}(\bar{k}/k)作用下的不变向量构成子空间H^{2i}_G(X_{et},\Bbb Q_l)。我们有:
(Tate猜想) 闭链映射\mathrm{cl}_X给出A_h^i(X) \otimes \Bbb Q_lH^{2i}_G(X_{et},\Bbb Q_l)的同构。
显然,Hodge猜想/Tate猜想比Lefschetz型标准猜想更强(或者说更精确)。此外已知的结论大致如下:\Bbb C上的Lefschetz型标准猜想可以反过来推出Abel簇上的Hodge猜想,从而推出Abel簇上的Hodge型标准猜想。有限域上的Tate猜想(加上作为推论的猜想D)可以推出有限域上的Hodge型标准猜想。
猜想是数学中最迷人的部分。对算术几何感兴趣的读者不妨从阅读下面这本书开始:
Hulsbergen Conjectures in Arithmetic Geometry

另一本想推荐的书是Bloch, Lectures on Algebraic Cycles. 这是后续许多发展的源头(在Voison, Vol.2中详细介绍了和复几何相关的部分)。本章引入的概念太少,我们只能努力尝鼎于一脔,考虑经典的Abel-Jacobi定理的一种推广(却期望——但愿不是奢望——读者能够食髓知味,瞥见Chow环与Hodge结构的微妙关系!)
上面我们提及过,在复代数簇X上,Z_0^a(X) \cong \Bbb Z. Chow环CH_0(X)通常要大得多:在复曲线C上,Abel-Jacobi定理断言曲线的Jacobi簇CH_0(X)/Z_0^a(C)(点链的有理等价类,要求度数为0)同构于Albanese簇Alb(C)=\Gamma(C,\Omega^1)^{*}/H_1(C,\Bbb Z). 一般的,在复代数簇X上,我们有Albanese映射\alpha: CH_0(X) \to Alb(X)Rojtman定理指出Albanese映射限制到双方的有限子群上是同构。但这一同构通常无法提升到单位元所在的连通分支上:
(Mumford) 考虑复代数曲面S,若S几何亏格h^{2,0}=\dim H^0(S,\Omega^2) \neq 0,则\ker(\alpha) \subset CH_0(S)在「无法用有限对象表出」的意义上是「大」的。
(Bloch猜想) 若复代数曲面S满足h^{2,0}=0,则Albanese映射\alpha可以提升为单位元所在的连通分支的群同构。
Bloch猜想允许一个深远的推广,即所谓的Bloch-Beilinson猜想:在A^i_r(X)上存在一个滤过结构,其伴随分次代数的消没情况为X的上同调群所控制。更一般的,给定对应\Gamma \subset X \times Y,伴随分次代数间的态射消没情况为Hodge结构间的态射情况所控制。这可以视为高维的Abel-Jacobi定理。和Hodge猜想类似,当前我们处于相当尴尬的境地:甚至连Bloch猜想这样「简单」的特例也仍未得到证明!
Jansen  Motivic Sheaves and Filtrations on Chow Groups

最后,我们想顺带提及,在非光滑的情形,上述所有猜想都可以用混合Hodge结构,Fulton-MacPherson相交同调论,反常束和D模理论等工具重构。这已超出了漫谈的范围。Maybe elsewhere? (Well, no promise!)
下一章我们会回到Weil猜想,开始讨论Deligne I中给出的证明。


  1. 我们假定这些子簇都是光滑的:在特征0的情况,可以直接「粗暴地」使用Hironaka奇点消解定理。 
  2. 几何学中有3个最重要的概念以华人命名:Chern类,Chow环和Calabi-Yau流形。 
  3. 有一个绕过Weil上同调论,纯粹用闭链陈述的方法,即考虑Voevodsky定义的粉碎-幂零等价 (smash-nilpotence equivalence) 。这是一种强于同调等价的等价关系,然而我们猜想它依然和数值等价重合。 
  4. 同样是Voevodsky找到了绕开这一点的方法。尽管没有完全遵循Grothendieck设想的方案,但他构造的母题上同调论已足以用于证明Milnor猜想乃至更一般的Bloch-Kato猜想(现在称为范数剩余同构定理)。 
  5. i \geq 2时,无法保证Z_h^i(X)同构于H^{2i}(X,\Bbb Z) \cap H^{i,i}(X):Atiyah-Hirzebruch给出了反例。 
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Weil猜想漫谈 II:数杏仁

Zähle die Mandeln,
zähle, was bitter war und dich wachhielt,
zähl mich dazu.

Paul Celan (1920-1970)

记曲线C上的\Bbb F_{q^n}-点集为C(\Bbb F_{q^n})N_n:=|C(\Bbb F_{q^n})|是我们感兴趣的「杏仁」个数。
我们希望说明上一章所定义的Z_C恰好包含了我们需要的所有信息1
\displaystyle \log Z_C(T)=\sum_{n \geq 1}\frac{N_n}{n}T^n
为此只需对\displaystyle Z_C(T)=\prod_{x \in C}(1-T^{\deg(x)})^{-1}的两边取对数,并注意到右端可以整理为
\displaystyle -\sum_{x \in C}\log(1-T^{\deg(x)})=\sum_{i=1}^{\infty}\sum_{x\in C}\frac{(T^i)^{\deg(x)}}{i}=\sum_{n \geq 1}\frac{N_n}{n}T^n
最后一个等式是因为\displaystyle N_n=\sum_{x\in C,\deg(x)|n}\deg(x).
\zeta_CN_n互相决定,这在方法论上令人满意:研究\zeta_C给出了数「杏仁」的统一途径。

在(A1)中令P_{2g}=(1-a_1 T)\cdots(1-a_{2g} T),则我们有显式
\displaystyle N_n=1+q^n-\sum_{i=1}^{2g}a_i^n
即便在不具体求解a_i(取决于曲线C)的情况下, 「Riemann猜想」(A3)也允许我们给出统一的估计:
(A3’,Hasse-Weil上界) \displaystyle |N_n-1-q^n|\leq 2g q^{n/2}
反过来,利用(A2),请读者自行证明:若(A3′)对\forall n成立,则可逆推出(A3)成立。

现在让我们回溯到现代数论初生的年代,寻找另一条数「杏仁」的线索。在对二次互反律的研究中,Gauss定义了所谓的二次Gauss和,并发现可以用它计算诸如ax^3-by^3=1ax^4-by^4=1y^2=ax^4-b等方程有多少个模p解。他甚至提出了类似Hasse-Weil上界的猜想以估计N_1
Gauss的工作为Jacobi所继承和推广。特别地,他定义了与Gauss和紧密相关的Jacobi和。一般的,选定有限域\Bbb F_q和加法特征\psi: \Bbb F_q \to \Bbb C^{*}. 熟知\Bbb F_q^{*}q-1阶循环群,故任意乘法特征\chi: \Bbb F_q^{*} \to \Bbb C^{*}均由「生成元-单位根」的对应关系完全决定。约定\chi(0)=0,我们定义
Gauss和\displaystyle G_q(\chi):=\sum \chi(r)\psi(r). 平凡特征的Gauss和为0,对于非平凡的\chi|G(\chi)|=q^{1/2}(Gauss定理)。
Jacobi和\displaystyle J_q(\chi_i,\chi_j):=\sum \chi_i(r)\chi_j(1-r).
Gauss和与Jacobi和分别是\Gamma函数Beta函数在有限域上的类比2。特别地,我们有G(\chi_i\chi_j)J(\chi_i,\chi_j)=G(\chi_i)G(\chi_j).
\chi=(\chi_0,\cdots,\chi_r),我们可以推广Jacobi和的定义如下:
\displaystyle J(\chi)=\prod_{i=0}^{r} G(\chi_i)/G(\prod_{i=0}^{r} \chi_i),若\chi_i\displaystyle \prod_{i=0}^{r} \chi_i均不平凡;
\displaystyle J(\chi)=\prod_{i=0}^{r} G(\chi_i)/q,若\chi_i均不平凡但\displaystyle \prod_{i=0}^{r} \chi_i平凡;

Helmut Hasse (1898-1979) 重拾起这条线索:他与Davenport合作,运用Gauss和与Jacobi和,对\Bbb F_q上形如a_0x_0^{n_0}+a_1x_1^{n_1}+a_2x_2^{n_2}=0的仿射曲面证明了估计
\displaystyle |N_1-q^2|\leq M (q-1)q^{1/2}
这是迈向高维的第一步。
Davenport, Hasse  Die Nullstellen der Kongruenzzetafunktionen in gewissen zyklischen Fällen

接下来,就轮到André Weil (1906-1998)登场了。让我们先来看著名的[Weil, 1949]:
Weil  Numbers of solutions of equations in finite fields
对于\Bbb F_q上形如a_0x_0^{n_0}+a_1x_1^{n_1}+\cdots+a_dx_d^{n_d}=0的超曲面,记g_i=(n_i,q-1). 考虑所有\chi=(\chi_0,\cdots,\chi_r),使得\chi_i不平凡,\chi_i^{g_i}平凡且\displaystyle \prod_{i=0}^{r} \chi_i平凡。我们记\displaystyle C(\chi)=\bar{\chi}_0(a_0)\cdots\bar{\chi}_r(a_d)J(\chi).
整理(并推广)Davenport, Hasse的工作,Weil证明了3
\displaystyle N_1=q^d+(q-1)\sum_\chi C(\chi)
由Gauss定理,|C(\chi)|=q^{(d-1)/2},从而有Hasse-Davenport型估计:\displaystyle |N_1-q^d|\leq M (q-1)q^{(d-1)/2}

到目前为止我们仅仅考察了N_1. 利用Gauss和的Hasse-Davenport提升关系,可以找到N_n的生成函数。通过在高维计算和观察具体的例子,Weil提出了著名的Weil猜想
给定定义在\Bbb F_q上的d维光滑射影簇XX(\Bbb F_{q^n})X上的\Bbb F_{q^n}-点集。令N_n:=|X(\Bbb F_{q^n})|并考虑生成函数\displaystyle \log Z_X(T):=\sum_{n \geq 1}\frac{N_n}{n}T^n
(W1-) \displaystyle Z_X(T)=\frac{P_1\cdots P_{2d-1}}{P_0\cdots P_{2d}},其中P_i \in \Bbb Z[T]P_0=1-TP_{2d}=1-q^d T
(W2) 函数方程:记\displaystyle e=\sum_{i=0}^{i=2d} (-1)^i\deg(P_{i}),并令\hat{Z}_X(T)=Z_X(T)T^{e/2},则\displaystyle \hat{Z}_X(\frac{1}{q^d T})=\pm \hat{Z}_X(T)
(W3)「Riemann猜想」:P_i的零点有模q^{-i/2}i=0,1,\cdots,2d

和(A1-)类似,(W1-)也有更精细的表述。以Fermat超曲面X:a_0x_0^m+a_1x_1^m+\cdots+a_dx_d^m=0为例,Weil算得:
\displaystyle \sum_{n \geq 1}\frac{N_n}{n}T^n=\log(\frac{1}{(1-T)\cdots(1-q^{d-1}T)})+(-1)^d\log P(T)
\displaystyle \deg(P)=\sum_\chi 1\chi=(\chi_0,\cdots,\chi_r),使得\chi_i不平凡,\chi_i^m平凡且\displaystyle \prod_{i=0}^{r} \chi_i平凡。另一方面,Dolbeault告知Weil,如果将a_i提升回\Bbb Z上并考虑作为复代数簇的Fermat超曲面X,则X恰有Poincaré多项式1+T^2+\cdots+T^{2d-2}+\deg(P)T^d
参考(A1),Weil进一步猜想:
(W1)\deg(P_i)=b_i(X)
此时(W2)中的e为代数簇X的Euler示性数。
注意到我们并没有指明此处我们使用的是何种(上)同调论。这个问题非常微妙:事实上,是证明Weil猜想的关键所在。

最后我们想简要谈一谈「整体与局部」的问题。
对于定义在\Bbb Q上的光滑代数簇X,考虑其模p约化。对几乎所有p,约化都是的:给出定义在\Bbb F_p上的光滑代数簇X_p. 此时\displaystyle \zeta_{X_p}(s)=Z_{X_p}(p^{-s}):=\exp(\sum_{n \geq 1}\frac{N_n}{n}p^{-ns})称为局部\zeta函数。将这些局部\zeta函数相乘,我们得到一类整体\zeta函数,称为Hasse-Weil \zeta函数4。Riemann \zeta对应X为单点的情形。
Hasse-Weil \zeta / L 函数包含了大量数论信息。仅仅是对椭圆曲线定义的L_E(s)就涉及好几个艰深的数学定理/猜想(参见《有理域上的代数曲线》的最后几篇文章)。
(1) \Re s>3/2时,L_E(s)收敛:等价于(A3′)!
(2) L_E(s)可以解析延拓到全平面,有函数方程,满足「Riemann猜想」:必须借助Wiles,Taylor等人的模定理(谷山-志村猜想)证明。后者作为Langlands纲领的特例,是Wiles证明Fermat大定理的关键;
(3) L_E(s)s=1处的展开性状包含了E的结构信息:这是千禧七大难题之一的Birch和Swinnerton-Dyer猜想,迄今尚未得到证明5
对于高维代数簇X,时至今日,数学界仅仅完成了上面的(1),即Weil猜想的证明。
(2)中的解析延拓猜想和函数方程猜想通常被合称为Hasse-Weil猜想。现阶段我们对一般的X无能为力,所有成果几乎都源于在志村簇上建立Langlands对应的尝试。
最后,让我们也来猜想吧:我们这一代人能对于最一般的X找到类似(3)的精确陈述,提出可能的证明路径,并最终成功证明(哪怕是作为特例的BSD猜想)吗?


  1. 在本文的第一稿中,我们勾勒了一个潦草(因而不正确)的证明。感谢细心的读者Yuzhou Gu指出这一点。如果要作自我辩护的话——这当然是一个玩笑,在数学中没有错误值得辩护——我们非常愿意归咎于坏榜样Littlewood: “Professor Littlewood, when he makes use of an algebraic identity, always saves himself trouble of proving it; he maintains that an identity, if true, can be verified in a few lines by anybody obtuse enough to feel the need for verification.” (Dyson, 1944) 
  2. 考虑K=(\Bbb R,+,*),加法特征\psi(x)=e^{-x}. 若x>0,令乘法特征\chi(x)=x^z=e^{z\log x},否则令\chi(x)=0. 作为乘法群,\Bbb R_{+}有Haar度量dx/x,此时K上的「Gauss积分」和「Jacobi卷积」分别给出\Gamma函数和Beta函数。 
  3. Weil指出华罗庚与Vandiver于同一时期得到了本质相同的结果。华先生曾不止一次与名家「撞车」,最出名的可能是他在多复变函数论方面的工作:他对Siegel模形式的研究几乎与Siegel同时。 
  4. 注意此处我们故意忽略了坏约化(至多有限个)——这是问题中较微妙的部分,涉及到l进表示。 
  5. 尽管通常被认为是余下六个问题中最有希望取得突破的一个。 

Weil猜想漫谈 Ⅰ:zeta种种

前言

《Weil猜想漫谈》是对《Riemann猜想漫谈》的致敬和补充。如果读者对Riemann \zeta函数的基本性质不甚了解,建议在进行这个系列的阅读之前,先行补充相关的知识:可以从面向大众的科普《Riemann猜想漫谈》开始,也可以直接参考更专业的书籍。
此外我们假定读者对代数几何和代数拓扑有最基本的了解。简单地说,能形成「射影代数簇」和「同调群」的几何想象就可以了。我们的漫谈将会是「几何式的」:我们希望最终读者能「看」懂Deligne的证明,而无需深入到代数细节中去。这也符合「漫谈」的定义。对于希望彻底理解所有细节的读者,我们能给出的最好建议是直接阅读SGA系列中的4\displaystyle 4\frac{1}{2}5,还有7.
最后,如果读者对模形式理论有所了解,例如,读过A Course in Arithmetics的第7章,那将再好不过。
不过,上述所有要求都不是必要的。毋宁说我们真正要求的是一定的数学成熟度(maturity). 或者,退到更基本的层面,是足够强烈的好奇心加上足够多的时间投入。

可以说Weil猜想的故事有两个源头:一是Gauss,一是Riemann. 也可以说Weil猜想的故事只有一个源头:德国数论学派,或者,局限到一个地点,Göttingen.
我们选择从Riemann对\zeta函数的研究开始我们的漫谈。
熟知Riemann \zeta函数指的是定义在\Re{s}>1上的解析函数\displaystyle \zeta(s)=\sum_{n=1}^{\infty}n^{-s}.
这个函数在数论中占有核心地位:可以利用它的Euler积形式\displaystyle \zeta(s)=\prod_{p}(1-p^{-s})^{-1}研究素数p的分布。
Riemann的贡献包括但不限于:
(R1) 给出了\zeta(s)在整个复平面上的解析延拓,延拓后的亚纯函数\zeta(s)仅在s=1处有单极点;
(R2) 考虑\zeta函数的「修正」\hat{\zeta}(s)=\pi^{-s/2}\Gamma(s/2)\zeta(s),此处\GammaGamma函数
\hat{\zeta}(s)满足函数方程\hat{\zeta}(s)=\hat{\zeta}(1-s)
(R3) 提出了著名的Riemann猜想
\hat{\zeta}(s)的所有零点都分布在函数方程的对称轴\Re{s}=1/2上;

Dedekind将上述想法推广到一般数域K上。定义K的Dedekind \zeta函数为\displaystyle \zeta_K(s)=\sum_{\frak{a}}N(\frak{a})^{-s}=\prod_{\frak{p}}(1-N(\frak{p})^{-s})^{-1}\frak{a}取遍O_K的非零理想,N(\frak{a})=|O_K/\frak{a}|\frak{p}取遍O_K的极大理想1
Hecke给出了\zeta_K(s)在整个复平面上的解析延拓,延拓后的亚纯函数\zeta_K(s)仅在s=1处有单极点。类似的,此时我们也有函数方程和「Riemann猜想」(通常称为扩展Riemann猜想,Extended Riemann hypothesis).

引导数论/算术几何发展的一条核心线索是数域和函数域的类比。在函数域上陈述的猜想往往更容易证明,因为此时我们可以应用几何想象力来辅助研究。这是早在19世纪后半叶就被广泛注意到的事实(Dedekind, Kronecker, etc.)。
Heinrich Kornblum (1890-1914) 首先考虑了Riemann \zeta函数在函数域上的类比。给定有限域\Bbb{F}_pF=\Bbb{F}_p(U),定义\displaystyle \zeta_F(s)=\prod_{h}(1-N(h)^{-s})^{-1}h取遍\Bbb{F}_p[U]中所有首一不可约多项式,N(h)=p^{\deg(h)}. 不难证明此时我们有显式\displaystyle \zeta_F(s)=(1-p^{1-s})^{-1}.
Kornblum还考虑了FL-函数,并证明了Dirichlet算术级数定理的类比2:对于互素的非零多项式a,b \in \Bbb{F}_p[U],存在无穷多个首一不可约多项式h使得h \equiv b \mod a. 读者可以自行尝试复现他的推理:模仿我们之前介绍过的Dirichlet定理的解析证明
在此,我们看到了函数域(几何)比数域(数论)「简单」的第一个重要迹象:函数域上的\zeta函数实际上是有理函数。

下一个进场的是同样来自Göttingen学派的代数大师Emil Artin (1898-1962). 1923年,模仿Dedekind,他考虑了函数域的有限扩张,特别是二次扩张。具体地说,给定特征p的有限域\Bbb{F}_qF_0=\Bbb{F}_q(U)F=F_0(V)V^2=P(U),此处P是没有重根的多项式。熟悉代数几何的读者可能已经发现,我们定义的F正是光滑仿射代数曲线C:=\{(v,u) \in \Bbb{F}_p^2:v^2=P(u)\}的函数域。老读者则可能会回想起这个博客早期有一系列题为《有理域上的代数曲线》的文章,讨论过\Bbb Q上类似方程的求解。
由此可以给出\zeta的几何定义。F的极大理想对应C上的闭点。定义\displaystyle \zeta_C(s)=\prod_{x \in C}(1-N(x)^{-s})^{-1}x取遍C上的闭点,N(x)=q^{\deg(x)}.
上述\zeta_C的定义可以不改一字地照搬到射影曲线上。以下我们仅考虑光滑射影曲线。
通过试验,Artin提出了如下猜想:
(A1-) \zeta_C可以写成Z_C(q^{-s})的形式,Z_C(T)=P(T)/Q(T)P,Q \in \Bbb{Z}[T];
(A2) 函数方程:令\displaystyle \hat{Z}_C(T)=Z_C(T)(T^{1/2})^{\deg(Q)-\deg(P)},则\hat{Z}_C(T)=\hat{Z}_C(1/qT)
(A3)「Riemann猜想」:P(T)的所有零点都分布在函数方程的对称圆|T|=q^{-1/2}上;

Kornblum研究的实际上是C=P_{\Bbb F_q}^1,或者说曲线亏格g=0的情况:\displaystyle \zeta_C(s)=(1-p^s)^{-1}\zeta_F(s),添上的一项对应\infty的贡献。此时\displaystyle Z_{P_{\Bbb F_q}^1}(T)=\frac{1}{(1-T)(1-qT)}. 这个简单的有理表达式让函数方程甚至「Riemann猜想」均成为平凡的!

1932年,Friedrich Karl Schmidt (1901-1977) 对于一般射影曲线证明了更精细的:
(A1) \displaystyle Z_C(T)=\frac{P_{2g}(T)}{(1-T)(1-qT)}2g次多项式P_{2g}\in \Bbb Z[T]g是曲线C的亏格;
同时也得到了函数方程(A2)的证明。
几何比数论「简单」的第二个重要迹象于此显露:几何起源的\zeta函数包含了几何对象的拓扑信息。反过来,如果我们对于几何对象的拓扑有了足够的了解,不难想象这将极大地推动\zeta的研究。事实上,Schmidt的上述证明正是基于他一生中最重要的工作:建立了有限域上的光滑射影曲线的Riemann-Roch定理
自此,代数拓扑方面的研究成为Weil猜想研究的主轴。我们将在讨论Weil上同调论时回顾Schmidt的工作。

另一方面,Schmidt却未能给出(A3),即「Riemann猜想」的证明。几年后Hasse成功证明了g=1,即椭圆曲线的情况,一个一般性的证明要等到40年代Weil的登场。这是Weil猜想「史前史」的终点,也是Weil猜想的起点。


  1. 熟知Dedekind整环Knull维数1:所有非零素理想都是极大理想。这解释了记号\frak{p}
  2. Kornblum不幸于一战中战死。他关于Dirichlet定理的遗稿Uber die Primfunktionen in einer arithmetischen Progression经Landau之手于1919年发布。 

Sisyphus and the BSD conjecture

承蒙余成龙兄过问近况。此间废弃许久,他颇觉可惜。而我自己检点旧作,念及“向之所欣,俯仰之间,已为陈迹”,更有一番“种豆南山下,草盛豆苗稀”的感慨。
一年多来冷落了不少旧友新朋,是我自己疏于世故的脾性使然,却也暗自怀抱着“知我者谅我”的期待。我的孤僻任性是不可理喻的。关于这一点,我比世界上任何人都了解得更加清楚。
依然记得五年前窝在上海的某家小旅馆里捧读the Myth of Sisyphus的那些日子。此后那个隐没在神话迷雾中的背影就成为了我秘而不宣的精神图腾。
石头滚落下去了。现在我要重新将它抬回原点。
Sisyphus
Il n’est pas de destin qui ne se surmonte par le mépris.
——Albert Camus

一则消息,作为热身。
ICM 2014将于8月13日-8月21日在韩国首尔召开。关于Fields medal的得主,圈内已有不少流言。呼声最高的是Princeton的Manjul Bhargava——事实上,4年前他就已经是Fields medal的有力竞争者了。
Bhargava主攻数论。近几年来,椭圆曲线的算术理论(参见之前的讨论)得到了相当的发展,其中Bhargava亦有不少贡献。

(1)给定\Bbb Q上的椭圆曲线E,我们以r记其秩 (rank)。我们尚不知道r是否可以任意大,但2010年Bhargava与Shankar合作证明了:将\Bbb Q上所有椭圆曲线的同构类以高 (height) 排序,其平均秩有上界7/6。此前必须假定广义Riemann猜想和BSD猜想同时成立才能得到此类结果。
今后提到”\Bbb Q上所有椭圆曲线“时,我们默认其指代按高排序的同构类。

(2)统计上,人们相信50%的r=0,50%的r=1。Bhargava与Shankar同时能够证明:满足r=0E\Bbb Q上所有椭圆曲线中占有一个正的比例。更近一步,称Weil-Hasse函数L(s,E)s=1处的零点阶数r_aE的解析秩 (analytic rank)。借助算术几何中的一些最新成果,Bhargava与Shankar能够证明满足r_a=0E在所有满足r=0E中占有一个正的比例。这即是说:
满足BSD猜想的E\Bbb Q上所有椭圆曲线中占有一个正的比例。

(3)就在几天前,问题又有新的进展。Bhargava与Skinner以及张伟合作,证明了下面的结果:
(3.1) \Bbb Q上所有椭圆曲线中,至少有16.50%满足r=r_a=0,至少有20.68%满足r=r_a=1
(3.2) \Bbb Q上所有椭圆曲线中,至少有66.84%满足BSD猜想;

不妨与Riemann猜想做一比较。1942年Selberg证明了临界线上的非平凡零点比例高于0。目前最好的结果是证明了超过40%的非平凡零点落在临界线上(Conrey, 1989)。

(4)更一般地,对于椭圆曲线的算术不变量(秩,Selmer群Tate-Shafarevich群),Bhargava等人提出可以用随机矩阵模型来预测它们的统计性质。(2)(3)是已获证明的特例。

Bhargava, Kane, Lenstra, Poonen, Rains  Modeling the distribution of ranks, Selmer groups, and Shafarevich-Tate groups of elliptic curves

再次比照Riemann猜想。此处我们有Montgomery猜想:Riemann函数的零点分布与某个随机自共轭矩阵有关。

Bhargava的兴趣远较椭圆曲线的算术理论为广,希望以上介绍能起到尝鼎一脔的作用。他能否如愿在ICM 2014上摘得Fields medal,让我们拭目以待。

The abc conjecture and its consequences

最近,日本数学家Shinichi Mochizuki(望月新一)宣称证明了著名的abc猜想——“the most important unsolved problem in diophantine analysis”(D.Goldfeld)。此君是Faltings的高足,专攻算术几何,因此普遍认为有必要严肃对待他的论文。

The Conjecture

和许多数论中的大猜想一样,abc猜想(Oesterlé–Masser, 1985)有一个极具欺骗性的“简单陈述”。具体地说,定义算术函数R(n)n的所有不同素因子的单乘积(“根”),abc三元组为满足a+b=c(a,b)=1a,b,c \in \Bbb N。数值计算显示,大多数abc三元组满足c <R(abc)abc猜想将这一观察精确化:

(Ⅰ)\forall \epsilon>0,仅有有限多组(a,b,c)使得c>R(abc)^{1+\epsilon};或者等价地,

(Ⅱ)\forall \epsilon>0,存在常数K_\epsilon>0,使得对任意abc三元组,c < K_\epsilon R(abc)^{1+\epsilon}。有效地决定K_\epsilon是重要的:例如人们相信(Ⅲ) c \leq R(abc)^2

\epsilon是必须的:有无穷多组(a,b,c)满足c>R(abc),例如,(1,2^{6n}-1,2^{6n})

已知的最好结果是指数级的:c < K_\epsilon \exp(R(abc)^{1/3+\epsilon})

abc猜想在数域上的推广当然更加难以证明。另一方面,已知其函数域类比成立。

The Consequences

我们先列举几个众所周知的例子。

(1)Roth定理(1955):给定非有理数的代数数\alpha\epsilon>0,存在常数K_{\alpha,\epsilon}>0使得对任意有理数\displaystyle \frac{p}{q}\displaystyle |\alpha-\frac{p}{q}| > \frac{K_{\alpha,\epsilon}}{q^{2+\epsilon}}。从Vojta的观点看,这是Diophantine几何中最基本的结果(相当于Nevanlinna第二主定理)。

(2)Mordell猜想(1983):由Roth定理可以推出Siegel定理:定义在\Bbb Q上的亏格大于0的代数曲线上仅有有限多个整点。对于高亏格曲线,更深远的结果是Mordell猜想(仅有有限多个有理点)。下面这篇文章介绍了如何从(Ⅱ)推出Roth定理(Bombieri)和Mordell猜想(Elkies):

Frankenhuysen  The abc conjecture implies Roth’s theorem and Mordell’s conjecture

(3)Fermat大定理(1994,1995):(Ⅲ)能够推出对n>6x^n+y^n=z^n没有正整数解。“仅有有限个正整数解”的部分是Mordell猜想的推论。

提出abc猜想的最初目的就是为了证明Fermat大定理。

(4)Tijdeman定理(1976):考虑Catalan方程y^m=x^n+1。对于固定的m,n>1,解的有限性是Siegel定理的推论。Tijdeman证明了更强的:Catalan方程仅有有限多组正整数解(x,y,m,n)。2002年,Mihăilescu最终证明了Catalan猜想:上述方程的唯一非平凡解是3^2=2^3+1

(Ⅲ)能够推出Tijdeman定理的如下推广:y^m=x^n+k仅有有限多组满足m,n>1的正整数解(迄今仍是开问题)。此外,将(3)与(4)结合,我们有极其一般的Fermat-Catalan猜想x^m+y^n=z^k仅有有限多组满足\displaystyle \frac{1}{m}+\frac{1}{n}+\frac{1}{k}<1的正整数解——这个远较Mordell定理为强的猜想同样是abc猜想的推论。

在Vojta研究算术几何的纲领中,Vojta高度猜想(囊括了上述例子)处于中心地位。已知代数簇上的高度猜想推出abc猜想,而abc猜想又能推出代数曲线上的高度猜想。一个合理的设想是:abc猜想等价于代数曲线上的Vojta高度猜想。

The Work of Szpiro

上一个宣称“证明”了abc猜想的知名数学家是Szpiro(2007)。他的出发点是Szpiro猜想:若\Bbb Q上的椭圆曲线E有极小Weierstrass方程y^2=x^3-c_4x/48-c_6/864\mathrm{Cd}(E)为其导子,则\forall \epsilon>0,存在常数K_\epsilon>0使得\max\{|c_4|,|c_6|\}<K_\epsilon \mathrm{Cd}(E)^{6+\epsilon}

已知abc猜想、Szpiro猜想和强Hall猜想(\forall \epsilon>0,存在常数K_\epsilon>0使得Hall方程x^3-y^2=z的本原解满足|x|<K_\epsilon R(z)^{2+\epsilon}|y|<K_\epsilon R(z)^{3+\epsilon})两两等价。

Bombieri, Gubler  Heights in Diophantine Geometry

The Work of Mochizuki

现阶段我们无法对望月的工作给出一个(哪怕是概览性的)描述。但我们愿意提供一些背景资料。80年代初,Grothendieck在Esquisse d’un Programme中描述了anabelian geometry,一个中心猜想是有限生成域上的光滑且不可约的双曲曲线(允许移除有限个点)由其代数基本群唯一决定。望月最知名的早期工作(1996)是完全证明了此猜想:

Mochizuki  The profinite Grothendieck conjecture for hyperbolic curves over number fields

在此基础上,望月开始着手建立他的inter-universal geometry(望月本人将inter-universal翻译为“宇宙际”)。今年夏天,望月自信他已将所谓的inter-universal Teichmüller theory发展得足够完备。在一系列论文(IIIIIIIV)的最后一篇中,他宣称他已经能够证明abc猜想以及双曲曲线上的Vojta高度猜想。这里我想引用专家Jordan Ellenberg早些时候的评论

I hope it’s true:  my sense is that there’s a lot of very beautiful, very hard math going on in Shin’s work which almost no one in the community has really engaged with, and the resolution of a major conjecture would obviously create such engagement very quickly.

Resources on the internet

Mazur的文章是abc猜想的一篇“低姿态”科普。关于abc猜想的数值证据和文献追踪,Nitaj的主题站点上有大量参考资料。

希望进一步了解望月及其工作的人可以访问他在京都大学的英文主页

这一个月间出现了不少讨论abc猜想和望月工作的博客文章。个人认为以下讨论特别值得注意(更新中):

对定理1.10正确性的质疑,以及望月本人的回应

百科页面 The Polymath Wiki on the ABC conjecture

MathOverflow上的主题贴 Philosophy behind Mochizuki’s work on the ABC conjecture

基于概率论的考虑,abc猜想为何“应当成立”

abc猜想与密码学的可能联系(当然,这仍是一个非常模糊的想法,与技术性相比更具哲学性)

P.S. For a general problem list, see here.

Birch和Swinnerton-Dyer猜想及同余数问题

Y是我的挚友,恐怕也是数学上对我影响最大的人。前些天他告诉我中科院的田野在同余数问题(等价的,弱BSD猜想)上有所进展。我还没看到田的预印本,但据听了报告的Y说,用到了张寿武学派(袁新意、张伟等)在相对迹公式方面的新近结果。这里我仅希望就BSD猜想及同余数问题做一简单的讨论。

BSD猜想是千禧七问题之一。Clay所的官方介绍(A.Wiles)是很基本的综述材料。

我们的基本研究对象是\Bbb Q上的椭圆曲线EE(\Bbb Q)(Mordell-Weil群)有自然的交换群结构,之前讨论过的Mordell定理进一步断言E(\Bbb Q)是有限生成的:
E(\Bbb Q)=\Bbb Z^r \oplus T,此处挠群T是某个有限Abel群,r称为E的秩。
我们对T的了解是完全的:Mazur决定了所有15种可能的T。对r的了解却非常少。例如,我们不知道r是否能任意大(有理函数域上的类比猜想已被Shafarevich和Tate证实)。自然地,我们希望给出r的有效刻画。

Swinnerton-Dyer有一句名言:“the zeta function knows everything about number field, we just have to prevail on it to tell us.”随着数论和代数几何的合流以及Weil猜想的解决,当下的研究重点逐渐转移到了对整体域上的代数簇(算术概型)的Weil-Hasse L函数(算术L函数)的研究:它们理应知道“关于算术几何的一切”。
关于E的Weil-Hasse函数L(s,E)的定义(以及Taniyama–Shimura猜想),参见之前的讨论。一个经典结果是a_pHasse上界2\sqrt{p}(等价于椭圆曲线的Weil猜想),这推出L(s,E)\mathrm{Re}\, s>\frac{3}{2}收敛。基于Eichler, Shimura在模椭圆曲线方面的工作以及新近证明的Taniyama–Shimura猜想(模定理),现在知道L(s,E)可解析延拓到整个复平面并且相应的Riemann猜想成立。

(Birch和Swinnerton-Dyer猜想) r等于L(s,E)s=1处零点的阶数m。在模定理已获证明的情况下,已知BSD猜想对m=0,1成立(Coates-Wiles, Gross-Zagier, Kolyvagin, etc.)。
更细致地,人们猜想L(s,E)s=1处展开的Taylor系数和ETate-Shafarevich群的阶数成正比,其证明将推出Tate-Shafarevich群的有限性(即使在函数域上也仍是开问题)。

(1)Tate有一个更为一般的猜想:将\Bbb Q上的椭圆曲线替换为整体域上的Abel簇后,同样的陈述成立。Tate证明其等价于Tate猜想的某个特殊情形。由于一般整体域上的模定理尚未得到证明,即使对于椭圆曲线的L函数此猜想也不是“良陈述”的。
(2)BSD猜想以及一系列深远猜想(Tate, StarkBeilinson-Bloch-Kato, etc.)凝结为所谓的等变Tamagawa数猜想。它仍是上述“哲学”的反映:L函数知道有关数论/算术几何的一切。“迫使L函数说出一切的”主流途径包括尝试着构造“万有上同调论”(Hodge猜想,Tate猜想,动机理论(motive或motif,或许更好的翻译是「母题」),etc.) 和考虑模性(模定理,Langlands纲领,etc.)。前一个方向并没有太大的进展——事实上,Langlands本人相信应该先行完成Langlands纲领的建设,再通过L函数的路径反过来构造动机上同调!

BSD猜想最著名的应用当属同余数问题:所谓同余数,指的是可实现为边长均为有理数的直角三角形的面积的正整数。显然,我们可以假定D无平方因子。简单的初等考量显示D为同余数等价于椭圆曲线E_D: y^2=x^3-D^2x上有某个y \neq 0的有理点。可以证明这样的点不属于T,于是D为同余数又等价于r_D>0
(同余数问题)决定所有同余数D,使得r_D>0
同余数问题历史悠久:Fibonacci证明了r_5>0,Fermat证明了r_1=0,等等。以下是一些已知的部分结果:
给定素数p,(1)p \equiv 3(\mod 8)p不是同余数但2 p是同余数;(2)p \equiv 5(\mod 8)p是同余数;(3)p \equiv 7(\mod 8)p2 p都是同余数。证明这些部分结果的工具是Heegner点的高度理论——著名的Gross-Zagier公式将其与L'(1,E)联系起来。
(弱BSD猜想)BSD猜想对E_D成立。特别的,r_D>0当且仅当L(1,E_D)=0
假定弱BSD猜想成立,则(1)理论上我们能够判定D是否为同余数;(2)Tunnell定理给出在有限步内决定D是否为同余数的算法;(3)可以证明D \equiv 5,6,7(\mod 8)r_D为奇数,故这样的D均为同余数。

据信田野证明了BSD对这样的E_D成立:D是某个8k+5型素数和若干8k+1型素数的乘积,只要\Bbb Q(\sqrt{-D})的类群的4倍映射是单的。鉴于Gross-Zagier公式在低阶曲线上的基本作用,更深入的相对迹公式能给出更好的结果似乎在情理之中。

P.S. For a general problem list, see here.

有理域上的代数曲线 Ⅶ

作为这个系列的谢幕,我们回到1维,介绍椭圆曲线研究中最激动人心的近代结果。

假定\mathfrak{E}\mathbb{Q}_p上的椭圆曲线。v: \mathbb{Q}_p \to \mathbb{Z}表示\mathbb{Q}_p上的离散赋值。赋值的离散性允许我们选取一类“极小”方程代表\mathfrak{E}。具体地说,通过适当的坐标变换可以让方程的系数\in \mathbb{Z}_p。此时v(\triangle) \geq 0,使v(\triangle)取到极小值的方程称为\mathfrak{E}的极小Weierstrass模型。

\mathbb{Z}_p \to \mathbb{Z}_p/p\mathbb{Z}_p=\mathbb{F}_p作用于\mathfrak{E}的极小Weierstrass模型,得到有限域\mathbb{F}_p上的曲线\mathfrak{E}_p,这称为椭圆曲线的约化。约化后的\mathfrak{E}_p可能带有奇点,但常点\mathfrak{E}_p^{*}仍构成Abel群。

v(\triangle)=0,则\mathfrak{E}_p是椭圆曲线,这时称约化为好的,否则为坏的。坏约化又可以根据奇点的性质分为:乘法约化,此时奇点是节点(右图);加法约化,此时奇点是尖点(左图)。

乘法约化在奇点处带来2条切线。若两条切线的斜率均属于\mathbb{F}_p,则此乘法约化称为分裂的,否则称为非分裂的。

\mathbb{F}_p上的曲线\mathfrak{E}_p,定义L_p(T)如下:对加法约化,L_p(T)=1;对分裂的乘法约化,L_p(T)=1-T;对非分裂的乘法约化,L_p(T)=1+T;对好约化,L_p(T)=1-a(p)T+pT^2,其中a(p)=p+1-|\mathfrak{E}_p(\mathbb{F}_p)|

以上定义是纯形式的。事实上L_p(T)反应了\mathfrak{E}_p的性质:L_p(1/p)=|\mathfrak{E}_p^{*}(\mathbb{F}_p)|/p。若\mathfrak{E}_p是椭圆曲线,这个等式对应Weil猜想

现在转回对整体域的讨论。\mathbb{Q}上的椭圆曲线\mathfrak{E}在每个p处均有相应的约化。若\mathfrak{E}没有加法约化,则称其为半稳定的。采用这个术语的原因是加法约化将在基域扩张下消失:

\mathbb{Q}上的椭圆曲线\mathfrak{E},存在数域K使得\mathfrak{E}K上的半稳定椭圆曲线(即在K的所有位上\mathfrak{E}的约化都是好的或乘法的)。

“局部-整体”原理在亏格大于0的代数曲线上不再成立。作为替代,可以将各个局部的信息集合成Hasse-Weil L函数L_{\mathfrak{E}}(s)=\prod_{p} L_{p}(p^{-s})^{-1}

v(\triangle) \neq 0等价于p|\triangle,故坏约化仅有有限个,上述Euler积收敛与否取决于a_p。通过估计|\mathfrak{E}_p(\mathbb{F}_p)|,Hasse证明了|a(p)| \leq 2\sqrt{p},从而L_{\mathfrak{E}}(s)Re(s)>\frac{3}{2}收敛。

收敛区域内的Euler积也可写为Dirichlet级数\sum a(n) n^{-s},此处a(n):\mathbb{N} \to \mathbb{Z}是由a(p)扩充而成的积性函数:对加法约化,定义a(p^m)=0;对分裂的乘法约化,定义a(p^m)=1;对非分裂的乘法约化,定义a(p^m)=(-1)^{m+1};对好约化,定义a(p^m)=a(p)a(p^{m-1})-pa(p^{m-2})

将上述讨论与Ramanujan猜想进行对比是有趣的。

类比Riemann \zeta函数,一个自然的猜想是L_{\mathfrak{E}}(s)可以解析延拓到整个复平面。截至上世纪90年代,仅对带有复乘的椭圆曲线(Deuring, Weil)和模椭圆曲线(Eichler, Shimura)证实了此猜想:这意味着Birch和Swinnerton-Dyer在提出他们的著名猜想时,甚至不知道是否所有的L_{\mathfrak{E}}(s)都在s=1处有定义!

突破来自于对Taniyama-Shimura猜想的研究。这一猜想可以粗略地叙述为:所有椭圆曲线都是模曲线。更精确地说,\sum a(n)e^{2n\pi iz}是对应于某个同余子群的权为2的自守形式。这一对应是Langlands纲领的特例。

1994年,Wiles对半稳定的椭圆曲线证明了Taniyama-Shimura猜想。由于86年Frey在假定Fermat大定理不成立的情况下构造出了违背Serre \epsilon猜想及Taniyama-Shimura猜想的半稳定椭圆曲线,而Serre \epsilon猜想已于89年被Ribet证明,Wiles的结果推出Fermat大定理

A.Wiles(1953-  )

2001年,基于Wiles方法,Breuil, Conrad, Diamond和Taylor完全证明了Taniyama-Shimura猜想(模定理)。与Eichler, Shimura的结果相结合,这也解决了L_{\mathfrak{E}}(s)的解析延拓问题(甚至证明了此情况下的Riemann猜想)。