4维流形的拓扑 Ⅱ:Freedman的工作

Freedman在80年代初期的系列工作极大地推进了对4维拓扑流形的认识,我们拟给出一个简要总结。这个领域的权威参考书无疑是

Freedman, Quinn  Topology of 4-manifolds

此外,还想推荐2本概观性的小书:

Kirby The topology of 4-manifolds

Freedman, Luo  Selected applications of geometry to low-dimensional topology

基本结果

任何有限展示群均可实现为紧4-流形的基本群。我们仅讨论最简单(相对意义下)的情况\pi_1(M)=0。这是一个很强的限制,它推出H_1(M)=0:对于微分流形M,这保证了w_1(M)=0/M可定向。

相交形式Q(M)决定了闭流形M的同伦型。另一个非常重要的(紧流形)不变量是Kirby-Siebenmann不变量\mathrm{ks}(M) \in \Bbb Z_2:它可定义为“M \times S^1不可光滑化”这一命题的真值函数。视为H_4(M,\partial M;\Bbb Z_2)中的元素时,KS不变量是M上光滑结构的障碍类:M有光滑结构的必要条件是\mathrm{ks}(M)=0(由Donaldson的结果我们知道这尚不充分)。

Kirby, Siebenmann   Foundational Essays on Topological Manifolds, Smoothings, and Triangulations

闭自旋4-流形的号差被16整除。稍加推广:已知闭自旋3-流形N一一对应于紧自旋4-流形M的边界,定义NRokhlin不变量r(N)=\tau(M) \mod 16:它取0或8。事实上,对于单连通的Mr(\partial M)=8\mathrm{ks}(M),故KS不变量及其消没定理可视为Rokhlin不变量和Rokhlin定理的推广。

一个自然的问题是:哪些整幺模对称双线型和\Bbb Z_2的组合可实现为单连通闭4-流形的相交形式和KS不变量?Freedman的工作给出了这个问题的回答:

(存在性)Q(M)为偶型但8\mathrm{ks}(M)\neq \tau(M) \mod 16的情况是禁止的。除此之外,所有整幺模对称双线型和\Bbb Z_2的组合均可通过某个单连通闭4-流形实现。

(唯一性)Q(M)\mathrm{ks}(M)决定了单连通闭4-流形M的同胚型。

Freedman  The topology of four-dimensional manifolds

在所有偶型中,0E_8是2个最为基本的例子:

(1)由分类定理和上一章的讨论,我们知道存在性定理可化归为如下事实:E_8可实现为某个拓扑流形(E_8流形)的相交形式。当然,它没有光滑结构。

(2)通过研究整幺模对称双线型的直和分解与流形的连通和分解的关系,Freedman将唯一性定理化归为Q=0的情况:此即4维Poincaré猜想。

基本工具

我们的主要兴趣在几何而非拓扑。以下勾勒Freedman工作的基本图景而略去所有技术细节。

几何拓扑中研究M^n的基本手段是考虑映射f: D^2 \to M^n。由Whitney嵌入定理我们知道f的“一般性质”以一种基本的方式依赖于维数nn=3时,D^2“通常”自交于某个1维子流形;n=4时,D^2“通常”自交于若干个孤立点;n\geq 5时,D^2“通常”可以嵌入M^n。正如我们将看到的,这在很大程度上导致了低维拓扑的困难。(几何上的类似现象可归结为Gauss曲率是一个2维对象,或者,Riemann曲率是一个4维对象。)

一般的,考虑M^n的子流形P^kQ^{n-k},并假定x,y是两个相交数相反的交点。n \geq 5时,上述讨论允许我们通过同痕形变消去这2个交点,从而化简PQ的相交:这称为Whitney技巧。它是h协边定理的基本部件,Smale对高维Poincaré猜想的证明即基于此。这部分的内容可参见我们之前的讨论

人们很早就已经知道Whitney技巧在4维失效(Kervaire, Milnor)。然而,Casson发现h协边定理的证明并不需要Whitney技巧的全部力量,他提出了一个“Casson纲领”以避开Kervaire-Milnor反例。在此过程中他引入了Casson环柄的概念。最关键的猜想是所有Casson环柄均微分同胚于标准环柄D^2 \times \Bbb R^2,这将导出4维的h协边定理。

完成这一纲领的是Freedman(我们再一次为无法讨论所有技术细节道歉)。他的主定理是:所有Casson环柄均同胚于标准环柄。由此得到

(Freedman拓扑h协边定理) 若单连通流形M^5是单连通可定向紧流形P^4Q^4之间的h-协边,则M同胚于P \times [0,1],且可保证此同胚在P上的限制是恒等映射。特别地,PQ同胚。

经由Donaldson的工作,现在我们知道光滑范畴的h协边定理在4维并不成立:拓扑同胚是可以期望的最佳结果。特别地,Casson的原始猜想是错误的:D^2 \times \Bbb R^2上确有怪异微分结构,经过更细致的分析,这将导出\Bbb R^4上的怪异微分结构。

证明了拓扑h协边定理后,4维Poincaré猜想的证明已是唾手可得,这与5维的情况并无二致:首先构造以M^4为边缘的可缩流形N^5(例如,M^4上的锥)。截去D^5后,我们对S^4M^4施以拓扑h协边定理。唯一的不同之处(仍然)是:我们丧失了有关微分结构的信息。

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4维流形的拓扑 Ⅰ:80年代前的结果

为了理解“精致”的4维几何,首先考察较为“鲁棒”的拓扑是不可避免的。这方面已有大量细致的研究,本文总结了80年代前的主要结果——“革命前夜的群像”。

单连通闭4-流形的拓扑

以下考虑单连通的闭4-流形M

Hurewicz定理Poincaré对偶决定了M的同调群:H_0(M)=H_4(M)=\Bbb ZH_1(M)=H_3(M)=0。由万有系数定理H^2(M)无挠,此时相交形式Q(M)是自由\Bbb ZH_2(M)上的幺模对称双线型。它有2个基本的代数不变量:秩和号差。秩等于号差(的绝对值)当且仅当伴随二次型Q(x,y)是正定/负定的。

Q的模2约化定义了\Bbb F_2上的幺模对称双线型\bar{Q},此时有唯一的\bar{u} \in H_2(M,\Bbb F_2)(特征整格)使得\bar{Q}(\bar{u},\bar{x})=\bar{Q}(\bar{x},\bar{x})对任意\bar{x}成立。可以证明\bar{u}\Bbb Z上的拉回u(精确到2\Bbb Z)满足Q(u,u)\equiv \mathrm{sig}(Q) \mod 8

Q(x,x)恒为偶数时称Q为偶型,否则为奇型。Q为偶型等价于\bar{Q}(\bar{x},\bar{x}) \equiv 0/0是\bar{Q}的特征整格,故其号差被8整除。

Q(M)包含大量拓扑信息:事实上它决定了M的同伦型 (Whitehead, Milnor)。过渡到H_2(M;\Bbb R):线性代数给出自然分裂H_\pmQ(M) \otimes \Bbb R的秩和号差分别对应流形的第二Betti数b_2=b_++b_-和号差\tau=b_+-b_-

M可微时,Q(M)也决定了TM的示性类:

(1)Euler类e(M)=2+b_2,Pontryagin类p_1(M)=3\tau(Hirzebruch号差公式);

(2)由吴文俊公式,Stiefel-Whitney类w_2(M)正是\bar{Q}的特征整格。事实上我们可以忘掉切丛结构而直接取此为w_2(M)的定义。w_2(M)=0时,我们称M为(拓扑)自旋4-流形,这等价于要求Q(M)为偶型,此时\tau(M)被8整除。

(3)若M有一个殆复结构,则可定义TM的Chern类。c_2(M)即Euler类e(M)c_1(M)w_2(M)\Bbb Z上的拉回,c_1^2(M)=p_1(M)+2e(M),结合(1)(2)推知b_+为奇数:对于Kähler曲面,这是Hodge指标定理的推论。

相交形式的代数分类

\Bbb Z上幺模对称双线型的代数分类如下:

(1)对于不定型,我们有所谓的Hasse-Minkowski分类:(b_+,b_-)=(m,n)的奇型同构于m(1)\oplus n(-1),偶型同构于\displaystyle n\begin{pmatrix} 0&1 \\ 1&0 \end{pmatrix}\oplus \frac{m-n}{8}E_8(此处E_8是例外Lie代数E_8Cartan矩阵)。我们将上述标准型记为Im,n和IIm,n

(2)确定型的分类要复杂得多:它们可唯一分解为不可约型的直和(Eichler)。同阶的不可约类仅有有限多个,但这个数字增长极快,40阶的不可约确定偶型的个数已超过10^{51}

Milnor  Symmetric bilinear forms

单连通闭4-流形在连通和下构成一个交换半群,而整幺模对称双线型则在直和下构成一个交换半群。显然,M \mapsto Q(M)定义了一个半群同态,上述分类定理提示我们寻找基本的连通块。

4维微分流形 

常见的4-流形当然都是光滑的。早在Donaldson之前,人们就已意识到这限制了可能的相交形式:例如,由Rokhlin定理知闭(光滑)自旋4-流形的号差被16整除。特别地,m-n=8时,IIm,n无法实现为光滑闭4-流形的相交形式,这包括了E_8(II8,0)。

另一方面,复代数曲面提供了大量光滑闭4-流形的例子(由形变理论,单连通复曲面的微分同胚类中总有一个代数曲面)。例如,考虑由齐次方程z_0^d+z_1^d+z_2^d+z_3^d=0定义的射影曲面Z_d \subset \Bbb CP^3Z_1=\Bbb CP^2有相交形式(1)(I1,0),反转定向的-Z_1=\overline{\Bbb CP^2}有相交形式(-1)(I0,1),Z_2=\Bbb CP^1 \times \Bbb CP^1则有相交形式\begin{pmatrix} 0&1 \\ 1&0 \end{pmatrix}(II1,1)。

不难决定Z_d的所有拓扑不变量(Betti数,号差,示性类)。与分类定理相结合,这允许我们完全决定Q(Z_d)d>1Q为不定型。d为奇数时,Q为奇型;d为偶数时,Q为偶型,此时Z_d是自旋流形(c_1为偶数)。

有理曲面Z_3=Z_1 \# 6\overline{Z_1}有相交形式I1,6K3曲面Z_4有相交形式II19,3,这是第一个带有E_8的例子。

在Donaldson理论中,\pm Z_1Z_2Z_4是构筑光滑闭4-流形的基本模块。一般地,我们希望知道哪些k\begin{pmatrix} 0&1 \\ 1&0 \end{pmatrix}\oplus 2l(E_8)可以作为光滑闭4-流形的相交形式(系数2l是Rokhlin定理的要求)。

k\geq 3l(换言之,b_2 \geq 11|\tau|/8)时这可以通过(k-3l)Z_2 \# lZ_4实现。人们相信这是k的最佳下界——此为著名的11/8猜想。结合Freedman的结果,这将推出上述4种代数曲面的连通和穷尽了单连通的光滑闭4-流形的同胚类。已知的最佳下界5|\tau|/4+2

Thurston的八正道 V

(c)G'_x=id。此时Lie群X=G'/G'_x是紧模型的理想候选。于是现在的任务是:考察所有连通且单连通的3维Lie群,找出包含离散且上紧子群者,最后检验是否给出新的标准几何。

由于具有相同万有覆叠的Lie群有相同的Lie代数,标准的手法是转而分类Lie代数。

(1)对于左不变向量场V\mathrm{div} \,V=\mathrm{tr}( \mathrm{ad} \, V)\mathrm{ad}为Lie代数的伴随表示

存在紧模型:熟知在紧Lie群上存在左右不变的Haar测度,换言之,紧Lie群都是幺模的,故对v \in \mathfrak{g},相应的左不变相流保持体积,\mathrm{tr}( \mathrm{ad} \, V)=0

(2)伴随表示与Lie括号的关系是:(\mathrm{ad} \, v)(w)=[v,w]v,w \in \mathfrak{g}

Lie括号可视为\wedge^2 \mathfrak{g}\to \mathfrak{g}。给定内积和定向,3维空间上有同构V\wedge W \to V \times W,故Lie括号诱导线性映射L:\mathfrak{g}\to \mathfrak{g}。简单的计算显示,\mathrm{tr}( \mathrm{ad} \, V)=0等价于L是自共轭映射。取恰当的正交基使L对应对角矩阵,从而可以由参数\{c_i\}_{i=1,2,3}唯一刻画。进一步,可要求c_i=0,\pm 1

(0,0,0)对应G=\mathbb{R}^3

(1,1,1)对应G=S^3

(1,0,-1)对应\mathbb{E}^2的等距同构群的万有覆叠;

(1,1,-1)对应G=\widetilde{SL}(2,\mathbb{R})

(1,0,0)对应Heisenberg群;

唯有(1,1,0)给出新的标准几何:可解几何。

G是由形如(x,y,t) \mapsto (e^c x+a, e^{-c}y+b,z+c)的变换构成的可解群,a,b,c \in \mathbb{R}。对所有Anosov映射f,环面丛T^2_f都是可解几何的紧模型。

至此,我们已完整阐明了Thurston的八正道。

【Sharing Session】

旅途终了,略作总结。

作为对几何化猜想的初步导引,我们的讨论无疑是粗糙的。例如,仔细考察离散子群\Gamma \in G,可以获得完备得多的判断流程图(点击图片可放大):

取自Thurston  Three-dimensional geometry and topology

然而,在我看来这一程的主要乐趣在于利用非常初等的工具考察多姿多彩的对象。与不断发展更抽象的理论相比,这显然更为有趣,也更有意义——如果相信如此精巧的数学的存在必然有某种意义的话。

Thurston的八正道 Ⅳ

(b2)曲率不为0。承接(b1)最后的讨论,H定义了某个接触结构。在纤维方向上伸缩尺度并调整纤维和底空间的定向,不妨假设曲率为1。由于N单连通,这已唯一决定了可能的几何。

另一方面,可以构造典型的紧模型:给定带有Riemann度量的曲面N,若N的Gauss曲率严格正或严格负,则单位切丛(视为SO(2)-主丛)上的Levi-Civita联络定义了某个接触结构。取单位切丛为紧模型,其万有覆叠给出M。于是得到下述2种情况:

(1) N=S^2。此时单位切丛是SO(3),其万有覆叠M=S^3。此时G是保持Hopf纤维化的等距群,因而不是极大的(参见(a)中的讨论)。

(2)N=\mathbb{H}^2。此时单位切丛是PSL(2,\mathbb{R}),作为其万有覆叠,M=\widetilde{SL}(2,\mathbb{R})G_x=O(2)G有2个连通分支。所有紧双曲曲面的单位切丛都是此种几何的紧模型。

第3种标准几何需要更多说明:

(3) N=\mathbb{E}^2,我们得到幂零几何。先来看一看这种几何的图像:

取自Thurston  Three-dimensional geometry and topology 

接触结构由(1,0,0)(0,1,x)张成。此时测地线称为Legendre曲线(请读者想象)。

(提升性质)对xy-平面中的\gamma和投映到\gamma(0)p,存在唯一的Legendre曲线\tilde{\gamma}使得\tilde{\gamma}(0)=p

G保持接触结构,且投映到xy-平面上给出\mathbb{E}^2的等距同构。一个典型的例子是

(x,y,z) \mapsto (x+a,y+b,z+ay+c)v=(a,b,c) \in \mathbb{R}^3

不难验证这样的等距同构所成的群同构于Heisenberg群H_3(\mathbb{R})。在所有连通且单连通的3维Lie群中,Heisenberg群是唯一的非交换幂零群,这解释了“幂零几何”这一命名。

注记1

下一章将给出连通且单连通的3维Lie群分类。

h_{v1}h_{v2}H_3(\mathbb{R})中的2个元素。若v1v2线性无关,则生成的子群是离散且上紧的(cocompact)。例如,取v1v2为单位坐标向量,则得到整Heisenberg群H_3(\mathbb{Z})

注意上述讨论提供了(以商群为纤维)构造幂零几何的紧模型的方法。此外,除T^3外的所有T^2上的定向圆丛都拥有幂零几何的结构;当fDehn扭转的幂时,环面丛T^2_f拥有幂零几何的结构。

注记2

Heisenberg群源于量子力学的矩阵形式。介绍其物理意义及在数学上的发展需要较大的篇幅,我们仅举出2个相关的概念供感兴趣的读者参考:Stone-von Neumann定理及(推广后的)Mackey理论

Mackey  The theory of unitary group representations

Thurston的八正道 Ⅲ

我们开始(b)的证明。

G_x^*=\mathrm{SO}(2),因而在每点处可以找到一根“转轴”,在M上诱导一个处处非零的、G^*-不变的单位向量场V,等价的,1维叶状结构\mathfrak{F}及相流\phi_t\mathfrak{F}中的叶显然是不自交且互不相交的,由1维连通流形的分类定理,它们是S^1\mathbb{R}M中的嵌入。综上得知N=M/\mathfrak{F}是良定义的2维流形,连通且单连通,\pi:M \to N是以S^1\mathbb{R}为纤维的主丛。

接下来确定N。选定一张叶Fx \in Fg_t\phi_t(x)映回xd(g_t \circ \phi_t)固定转轴并与所有旋转交换,因此是位似变换。然而,考虑某个紧模型,熟知(与Riemann度量相容的)g_t及相流\phi_t保持体积形式(Liouville定理),因而d(g_t \circ \phi_t)是旋转变换,推出VKilling向量场。于是NM处继承了自然的Riemann流形结构。G_*的作用约化到N上是可递的,由2维标准几何的分类定理N=\mathbb{E}^2S^2\mathbb{H}^2

现在来研究主丛\pi:M \to N的几何。与V正交的2维分布H可视为M上的Ehresmann联络。由于群作用是可递的,H的曲率是常数。

(b1)曲率为0,即MN上的平坦丛。

注意到N是单连通的,故M有平凡和乐群,从而是平凡丛。以S^1为纤维的平凡丛的万有覆叠是以\mathbb{R}为纤维的平凡丛,故仅有3种可能:

(1)M=\mathbb{E}^2 \times \mathbb{E}^1。此时G不是极大的(参见(a)中的讨论)。

(2)M=S^2 \times \mathbb{E}^1G_x=O(2) \times \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}G=O(3) \times \mathbb{R} \times \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}有4个连通分支。S^2 \times S^1是显然的紧模型。S^2 \times S^1即映射环面S^2_{\mathrm{id}}。记S^2对蹠映射为A,则不难验证S^2_A是另一个紧模型。Hopf的一条定理指出S^2到自身的映射同伦类由唯一的整数不变量(映射度)刻画。对于同胚映射,1与-1已穷尽了所有可能。换言之,S^2映射类群(用复几何的语言,Teichmüller模群)为\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}

注记1

素流形的概念容易推广到n维:不可分解为2个非平凡n维流形连通和的流形。

称一个n维流形是不可约的,如果任意嵌入的S^{n-1}都是某个嵌入的B^n的边界。

所有不可约流形都是素的,但其逆不真。上述2个紧模型的有趣之处在于它们是3维仅有的2个反例。

(3)M=\mathbb{H}^2 \times \mathbb{E}^1G_x=O(2) \times \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}G=O^+(1,2) \times \mathbb{R} \times \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}有4个连通分支。给定\mathbb{H}^2的刚体群PSL(2,\mathbb{R})中的元素g,我们希望映射环面\mathbb{H}^2_g给出这种标准几何的紧模型。此处与S^2形成鲜明对比的是双曲曲面的映射类群非常复杂。

(Nielsen-Thurston分类定理)对于同胚f:\Sigma \to \Sigma,可在其映射类中找到g满足下述3者之一:

(1)g是周期的(g^n同伦于id);

(2)g是可约的(在g的作用下\Sigma有1维不变闭子流形);

(3) g伪Anosov的;

f可以同时满足(1)(2),但无论(1)或(2)都与(3)不相容。

关于这条定理的证明,有一本小书可供推荐:

Casson, Bleiler  Automorphisms of Surfaces after Nielsen and Thurston

对于我们的目的,可以证明(1)的确给出我们需要的紧模型,而(3)将给出\Bbb H^3几何。

注记2

已知如下(类比逆Galois问题而提出的)结果成立:任何有限群均可实现为某个紧致双曲3-流形的映射类群。

(b1)对应H定义某个叶状结构的情况:Cartan结构方程指出,对X, Y \in \Gamma(H)\Omega(X,Y)=-\frac{1}{2}\omega([X,Y]),其中\omega联络形式\Omega曲率形式。因而曲率处处为0是分布定义叶状结构的充分必要条件,即曲率是完全可积性的“障碍”。

Thurston的八正道 Ⅱ

我们已经完成了3维标准几何分类定理(a)的证明:满足齐性和各向同性的3维单连通空间仅有\mathbb{H}^3\mathbb{E}^3S^3。各种观测数据都支持空间的齐性和各向同性假设,故这3者可作为空间的理想模型,并对应宇宙演化的3种可能结局

现在不妨稍一驻足,对这3种几何做一些初步的考察。

欧氏几何M=\mathbb{E}^3:这是我们最熟悉的例子。G_x=\mathrm{O}(3)G=\mathbb{R}^3 \rtimes \mathrm{O}(3)有2个连通分支。T^3是欧氏几何的紧模型。

给定拓扑空间X和同胚映射f:X \to X映射环面X_f定义为X \times [0,1]模去等价关系(x,0) \sim (f(x),1)X_f是以S^1为底空间,X为纤维的丛。3维闭流形T^2_f称为环面丛。例如,环面丛T^2_\mathrm{id}=T^3

一般地,若f是有限阶同胚映射,即存在n使得f^n=\mathrm{id},则T^2_f是欧氏几何的紧模型。这一点可以从T^2_{f^n}覆叠T^2_{f}看出。

球面几何M=S^3G_x=\mathrm{O}(3)G=\mathrm{O}(4)有2个连通分支。以S^3为万有覆叠的所有流形都是紧致的。基于Perelman的重大突破,现在可以完全决定这些紧模型:一方面,这些流形的基本群显然是有限的。另一方面,Poincaré-Perelman定理指出S^3是仅有的单连通3维闭流形,故所有基本群有限的3维闭流形都以S^3为万有覆叠(这个命题又称为Thurston椭圆化猜想)。2个经典的例子是Poincaré同调球(基本群为双二十面体群)和透镜空间L(p;q)(基本群为\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})。

注记2

Poincaré同调球与Poincaré猜想有关。事实上,Poincaré最初的猜想是有平凡第一同调群的3维闭流形同胚于S^3,而Poincaré同调球是他自己找出的反例。这个例子兼有拓扑和代数两方面的趣味,下面用现代的观点做一讲解。

正十二面体/正二十面体的存在事实上是说\mathrm{SO}(3)有一个60阶的离散子群G(二十面体群)。熟知G同构于A_5。定义Poincaré同调球S=\mathrm{SO}(3)/G。注意到S^3\mathrm{SO}(3)的双层覆叠,故S=S^3/\tilde{G},其中\tilde{G}是双二十面体群。于是S不同胚于S^3。另一方面,由Hurewicz定理H_1(S)\pi_1(S)=\tilde{G}的Abel化,而A_5是不可解群,故H_1(S)是平凡的。由Poincaré对偶不难看出SS^3的所有同调群都相同,这解释了“同调球”这一名词的由来。

注记3

2003年,基于WMAP(Wilkinson微波各项异性探测器)的观测数据,4位宇宙学家与低维拓扑学家Weeks合作,提出宇宙的整体拓扑结构可能是Poincaré同调球。

双曲几何M=\mathbb{H}^3G_x=\mathrm{O}(3),借助Lorentz模型不难看出G=\mathrm{O}^{+}(1,3),有2个连通分支。这是数学上最复杂而物理上最有趣的情形,紧模型包括某些高度非平凡的对象如Seifert-Weber空间Weeks流形等。这些紧模型的非平凡性解释了为什么“负曲率对应开宇宙”(Myer定理的“反命题”)这一错误观点在宇宙学家中广泛流传。

注记4

可利用正十二面体构造Poincaré同调球和Seifert-Weber空间。将正十二面体的6组对面一一顺时针旋转\frac{1}{10}周后粘合,所得的拓扑空间即为Poincaré同调球。此时20个顶点被分为5个等价类,每个顶点角需要“膨胀”一点才能无缝粘合,这对应正曲率的情形;若将正十二面体的6组对面一一顺时针旋转\frac{3}{10}周后粘合,便得到Seifert-Weber空间。此时20个顶点互相等价,每个顶点角需要“收缩”一点才能无缝粘合,这对应负曲率的情形。

上述构造可推广到更一般的情形,尤其是在2维。我们推荐Weeks妙趣横生的著作

Weeks  The shape of space: how to visualize surfaces and three-dimensional manifolds

如上所述,我们对带有双曲结构的3维闭流形的认识还未臻完备。但在这个方向上已积累了不少正面结果。例如,Thurston证明了若X是亏格大于1的闭曲面,则X_f有双曲结构当且仅当f伪Anosov映射

Thurston  On the geometry and dynamics of diffeomorphisms of surfaces

已知的最好结果是由几何化猜想推出的:3维闭流形M有双曲结构当且仅当M不可约的非环状的(atoroidal),并有无限基本群。

Thurston的八正道 Ⅰ

八正道(the Eightfold Way)是佛家语。粒子物理学中有利用\mathrm{SU}(3)的8维自伴随表示描述介子和自旋\frac{1}{2}的重子的理论,称为Gell-mann的八正道。在3维流形理论中也有8种标准几何(model geometry),我仿照成例,称之为Thurston的八正道。

这个系列介绍与Thurston八正道相关的一些结果。主要参考文献是

Thurston  Three-dimensional geometry and topology

Thurston  Three dimensional manifolds, Kleinian groups and hyperbolic geometry

W.Thurston(1946-  )

Thurston意义下的标准几何指的是流形M与作用在M上的微分同胚Lie群G,满足

(1)M连通且单连通;

(2)G的作用是可递的,且\forall x \in M的稳定子群是紧致的;

(3)G在所有满足(2)的群中是极大的;

(4)存在紧致的M'M为万有覆叠,M'称为此种几何的紧模型;

注意到(2)允许我们赋予M一个G-不变的完备Riemann度量使之成为齐性空间

注记1

2维标准几何是容易分类的。此时流形的Gauss曲率是常数,通过尺度放缩,不妨设为-1,0,1。另一方面,熟知仅有的带有常截面曲率-1,0,1(换言之,满足物理上各向同性要求)的单连通完备Riemann流形为\mathbb{H}^n\mathbb{E}^nS^n,对应双曲几何,欧氏几何和球面几何。

为分类3维标准几何,考虑G的单位元所在的连通子群G^*x的稳定子G_xM的单连通性保证了G^*_x=G^* \cap G_x是连通的,因而是\mathrm{SO}(3)的连通闭子群。此处只有3种可能:G^*_x=\mathrm{SO}(3)\mathrm{SO}(2)\{\mathrm{id}\}

Thurston证明了3维标准几何仅有如下8种:

(a)G^*_x=\mathrm{SO}(3)M\mathbb{H}^3\mathbb{E}^3S^3

这是注记1中所提到的结论的简单推论;

(b)G^*_x=\mathrm{SO}(2):此时M是以某个2维标准几何为底空间的纤维丛。与纤维正交的联络有曲率0或1,进一步的分类给出

(b1)曲率为0:M=S^2 \times \mathbb{E}^1\mathbb{H}^2 \times \mathbb{E}^1

(b2)曲率为1:幂零几何(\mathbb{E}^2为底)或\widetilde{\mathrm{SL}}(2,\mathbb{R})几何(\mathbb{H}^2为底);

(c)G^*_x=\{\mathrm{id}\}:可解几何;

(b)和(c)的证明及所涉及的几何的具体特性留待之后讨论。

回到拓扑的层面。以M^3记3维闭流形。注意,3维时拓扑流形,分片线性流形和微分流形这3个范畴是一致的。

M^3称为素流形,如果除平凡分解M^3=M^3 \# S^3M^3无法分解成3维流形的连通和。任意3维闭流形都可以(在同胚意义下)唯一分解为素流形的连通和。

Milnor  A unique factorization theorem for 3-manifolds

注记2

对2维的情况,熟知有更强的分类定理:所有闭曲面的同胚类是由T^2\mathbb{R}P^2\#下生成的交换半群,S^2是单位元。

素分解对应的几何操作是沿着S^2切开流形。进一步,可以沿环面将流形切得更“均匀”。

(Thurston几何化猜想) 任何可定向的闭的3维素流形都可以沿环面切开,使得每块切片带有上述8种标准几何结构之一。

Thurston对Haken流形证明了几何化猜想(但从未发表过完整的证明)。这个结果被称为双曲化定理,是他获得1982年Fields奖的原因之一。这一工作体现了惊人的几何直觉,以至于被戏称为Thurston怪兽定理。

Thurston  Hyperbolic structures on 3-manifolds Ⅰ:Deformation on acylindrical manifolds

注记3

我们曾讨论过简单得多的2维流形的几何化:无需切开流形,单值化定理直接保证了3种标准几何结构之一的存在。这是引导Thurston提出几何化猜想的主要线索之一。

注记1,2,3是互相联系的:2维流形唯一的拓扑不变量,即Euler示性数,通过Gauss-Bonnet定理控制了所有可能的几何。正如Thurston所说,3维流形研究的难点(同时也是有趣之处)是缺少这样有力的不变量。