Weierstrass定理:从局部到整体 Ⅱ

我们从研究局部环\mathcal{O}_n的代数性质开始。基本思路和研究多项式环时一致:对n归纳。

(1)\mathcal{O}_n是整环。从“全纯”的观点看,这是局部刚性的简单推论;从“解析”的观点看,这是简单的形式幂级数代数。

下面一律采用“解析”的观点。我们将利用Weierstrass定理把解析问题化归为代数问题。

(2)\mathcal{O}_n是唯一分解整环。由预备定理,只需分解Weierstrass多项式h,而由归纳假设和Gauss引理知\mathcal{O}_{n-1}[z_n]是唯一分解整环。

(3)\mathcal{O}_n是Noether环。由预备定理,不妨假设f \in \mathfrak{A}是Weierstrass多项式。由除法定理,\forall g \in \mathfrak{A}g=hf+rr \in \mathfrak{A}\cap\mathcal{O}_{n-1}[z_n]。由归纳假设和Hilbert基定理知\mathcal{O}_{n-1}[z_n]是Noether环,因而\mathfrak{A}\cap\mathcal{O}_{n-1}[z_n]是有限生成理想,进一步加入生成元f后即可有限生成\mathfrak{A}

这部分内容的代数类比:Drei Sätze von Hilbert Ⅰ

关于有限生成的\mathcal{O}_nM。由(3)知以下3个概念等价:自由模=射影模=平坦模。

解析Hilbert合系定理的如下局部版本成立:M允许一个长度至多为n+1的自由消解0 \to M \to M^{*}

这部分内容的代数类比(整体情形):Drei Sätze von Hilbert Ⅳ

考虑原点处解析子集的芽\mathfrak{V}_n。与代数子集的情况类似,我们仍可定义\mathcal{O}_n的理想与\mathfrak{V}_n间的映射VI。称X \in\mathfrak{V}_n属于某个解析簇,若X=V(\mathfrak{P})\mathfrak{P}是某个素理想。我们有解析Hilbert零点定理\mathfrak{P}=I(V(\mathfrak{P})),换言之,(4)\mathcal{O}_n是Jacobson环。

现在过渡到整体情形。称X\subset U \subset \mathbb{C}^n为解析集,若\forall z \in X,存在邻域U_z使得X \cap U_z \in \mathfrak{V}_{z,n}。 不可约解析集称为解析簇。显然,解析簇是仿射簇/仿射概型在解析范畴中的对应。同样的,X有一个伴随结构层\mathcal{O}_X,而范畴论方面的所有考虑都可以应用于赋环空间(X,\mathcal{O}_X)及其间的态射。

这部分内容的代数类比:Drei Sätze von Hilbert Ⅱ

解析簇的维数理论与代数簇完全类似。我们同样可以基于切空间的维数定义正则点和奇点。非奇异解析簇即熟知的解析流形(基域为\Bbb C时,复流形)。同样的,我们可以考虑奇点消解:在解析簇的双亚纯等价类中是否总能找到非奇异簇?这个问题的肯定回答由冈洁给出。

解析簇的整体化(同时也是概型在解析范畴中的对应)称为解析空间。值得注意的是,复射影空间的解析子簇并未给出“射影解析簇”之类的新对象:由周炜良定理,“射影解析簇”正是“射影代数簇”。这是所谓GAGA型定理的一个特出例子。

Serre  Géométrie algébrique et géométrie analytique (See also the English version here)

对解析空间的研究在很大程度上启发了对概型的研究。例如,可以对比Gunning, Rossi和

Grothendieck  Éléments de géométrie algébrique

这部分内容的代数类比:Drei Sätze von Hilbert Ⅲ

Drei Sätze von Hilbert V

我们总结Hilbert多项式的一些基本性质,以此结束对drei Sätze von Hilbert的讨论。

齐次坐标环S(X)的Hilbert多项式(简记为P_X)包含了射影簇X的重要信息:尽管它依赖于X嵌入射影空间的方式,但却可以从中提取出X的双有理不变量。经由Hilbert多项式给出的这些不变量的抽象定义往往是最一般且最清晰的。

首先是P_X的次数:它与X的维数相关。事实上,假定X^r \subset P^n,则(1)P_X将是一个r次多项式。我们讨论X的维数的其他理解方式,例如:(2)S(X)的Krull维数;(3)有理函数域K(X)K上的超越次数,等等。

下面这本著作包含对维数理论的一个紧凑的讨论:

Atiyah, MacDonald  Introduction to Commutative Algebra

X^r的次数\mathrm{deg}X由(1)P_X的首项系数乘以r!给出。X的次数另有2种不同的理解:(2)超曲面X^{n-1}由主齐次理想(f)确定,\mathrm{deg} X等于f的次数;(3)几何上,\mathrm{deg} X可以用复代数簇的相交理论描述。处于“一般位置”的线性子空间L^{n-r} \subset P^nX^r横截相交于有限个点,\mathrm{deg} X等于交点的个数。 这个定义有一个著名的推广:

(Bezout定理)若射影簇X^rY^s横截相交,X^r \cap Y^s=\cup_i W^{r+s-n}_i,则\mathrm{deg} X \times \mathrm{deg} Y=\sum \mathrm{deg} W_i

上述3种理解中,(2)不够一般,而(3)的困难在于:在任意域K上往往难以定义“横截” (更一般地,相交的重数)。澄清这一困难并不容易,甚至要反过来依赖于Hilbert多项式:这是Weil在Foundations of Algebraic Geometry一书中的主要贡献,称为Weil-Samuel理论。

从Kähler几何的角度看,\mathrm{deg}X还有一个非常有趣的理解方式:

(4)在Fubini-Study度量下,\mathrm{deg}X=V(X^r)/V(L^r),其中L^r是任意线性子空间,V代表2 r维实体积。

上述关系联系了2个流形的基本类[X][L]。对于一般的紧流形X^r \subset P^n,若[X]L^r上的拉回为d[L],则定义\mathrm{deg}X=d。这允许我们将代数流形刻画为一类极小流形:\mathrm{deg}X \geq V(X^r)/V(L^r),等号成立当且仅当X为代数流形。

感兴趣的读者不妨参阅

Mumford  Algebraic Geometry I: Complex Projective Varieties

最后,P_X的常数项P_X(0)是Hirzebruch意义下的X^r的算术亏格(经典算术亏格定义为p_a(X)=(-1)^r (P_X(0)-1))。P_X(0)X的双有理不变量,这已非显然。更精确的,它等于X^r的Todd示性数:这个结果是我们将要讨论的Hirzebruch-Riemann-Roch定理的基本推论。

Drei Sätze von Hilbert Ⅳ

早在19世纪,代数几何已应用了上同调的方法(尽管当时同调论远未成型)。例如,经典线性系统理论可以从层上同调论的角度理解。Hilbert合系定理可以、也应该在这个框架下理解。

拓扑空间X上的“函数”可以视为某个交换环的层的截面,这诱导我们定义赋环空间(X,\mathcal{O}_X)。经典的例子包括(1)C^k流形及其上的C^k函数环;(2)解析簇及其上的解析函数环,或更一般的,解析空间;(3)代数簇及其坐标环,或更一般的,概型

“函数-环”的类比可推广为“向量丛-模”的类比:(1)平凡丛对应(有限生成的)自由模;(2)向量丛是局部平凡的,它对应局部自由模;(3)为方便同调代数的应用,Serre提出了平坦模的概念。对于Noether局部环上的有限生成模,“自由”与“平坦”是等价的。

同样为了方便同调代数的应用,H.Cartan和Serre发展了凝聚层的概念。几何中考虑的层大多是凝聚层。对于凝聚上同调,\mathrm{dim}H^q(X,\mathcal{F})<+\infty

层上同调的定义和计算通常有2种手段:Čech上同调和层的消解。层\mathcal{F}消解指的是正合列0 \to \mathcal{F} \to \mathcal{F}^{*}\mathcal{F}^{*}=(\mathcal{F}^p,d^p)_{p \geq 0}。这方面的标准参考书是

Godement  Topologie Algébrique et Théorie des Faisceaux

\mathcal{F}^{*}的长度定义为n的上确界,长度有限的消解称为有限消解。根据\mathcal{F}^{*}的性质,消解又可分为自由消解,平坦消解,等等。

H^q(X,\mathcal{F}^p)=0q \geq 1成立,则称此消解为非循环消解。所有优层消解都是非循环的(基于单位分解)。另一方面,对于非循环消解,上链复形(\Gamma(X,\mathcal{F}^p),d_*^p)_{p \geq 0}的上同调群将同构于(由Čech上同调定义的)H^{*}(X,\mathcal{F})。这个结果又称为抽象de Rham定理:考虑消解0 \to \mathbb{R} \to \Omega^{*},我们将得到de Rham定理

非循环消解是实际应用中是方便的。但在概念上更令人满意的则是所谓的内射消解。主要的想法是将层上同调范畴化:此时截面函子是左正合函子,而层上同调可定义为相应的右导出函子。这是著名的“东北论文”的主题:

Grothendieck  Sur quelques points d’algèbre homologique

分次环A=\oplus_{l \geq 0} A_l上的分次A模层\mathcal{F}的分次自由消解指的是:\mathcal{F}^p是分次自由A模层,d^p是次数为0的齐次层同态。对于多项式环上的有限生成模这一特例,我们有

(Hilbert合系定理)有限生成的分次K[X_0,\cdots,X_n]M允许一个长度至多为n+1的分次自由消解0 \to M \to M^{*}

合系这个名词源于天文学。数学上,它指的是“模的生成元之间的关系”,即A模同态d_n

M的模本是射影簇X \subset P^n上的齐次坐标环。合系定理结合抽象de Rham定理保证了X的高阶上同调群消没,这无疑非常基本而重要。下面这个应用属于Hilbert本人:

对于有限生成的分次AM=\oplus_{m \geq 0} M_mH_M(m)=\mathrm{rk}_{A_0}(M_m)称为MHilbert函数P_M(t)=\sum_{m\geq 0} H_M(m)t^m称为MPoincaré级数

仍考虑A=K[X_0,\cdots,X_n]。简单的同调代数显示H_M(m)=\mathrm{dim}_K M_m等于“Euler示性数”\sum_{p \geq 0}(-1)^p H_{M^p}(m)(合系定理保证这是有限和)。

对于充分大的m_p,自由模M^p的Hilbert函数的取值重合于某个P_{M^p} \in \mathbb{Q}[z]。从而对任意Hilbert函数H_M我们都可以找到相应的Hilbert多项式P_M \in \mathbb{Q}[z]使得对于充分大的整数P_MH_M的取值重合。

Hilbert多项式是数值多项式:通常并非整系数却总是取整数值(不仅仅对于充分大的变量)。

Drei Sätze von Hilbert Ⅱ

Hilbert零点定理的源头仍然可以追溯到Gauss:代数学基本定理的一个等价表述是\mathbb{C}[X]的素理想与\mathbb{C}中的仿射簇一一对应。这在\mathbb{R}上是不成立的:例如,x^2+1x^2+2\mathbb{R}上均没有零点(对应\emptyset)。

所有在代数集X上取值为0的多项式构成理想I(X)Hilbert零点定理断言:

K是代数闭域,则K[X_1,X_2,\cdots,X_n]的素理想\mathfrak{P}满足\mathfrak{P}=I(V(\mathfrak{P}))。或者更一般却等价的,任意理想\mathfrak{A}满足\sqrt{\mathfrak{A}}=I(V(\mathfrak{A}))

几何上,零点定理给出根理想与代数集之间一个反转包含顺序的半环同构。

Hilbert基定理保证\mathfrak{A}有限生成:取P_1,P_2,\cdots,P_m为一组生成元。给定多项式R,零点定理等价于如下二分选择:(1)R \in \sqrt{\mathfrak{A}}:存在多项式Q_i和非负整数r使得\sum P_i Q_i=R^r成立;(2) R \notin \sqrt{\mathfrak{A}}:方程组P_i(x)=0R(x)\neq 0有解。

R=1,即所谓的弱零点定理,对应如下结论:I(X)=(1)当且仅当X=\emptyset

这种形式的零点定理在算法理论中很有用处。这里是一个基于算法精神的初等证明。

包含I(X)的极大理想\mathfrak{M}_x一一对应于x \in X,即V(\mathfrak{A})=\cup V(\mathfrak{M}_x)。称含幺交换环为Jacobson环,若任意素理想(从而任意根理想)均可表为极大理想的交。我们得到零点定理的第3种形式:K[x_1,x_2,\cdots,x_n]是Jacobson环。

更一般的,Bourbaki的如下结果将零点定理归入“R[X]保持R的性质”这一系列:(4)Jacobson环上的多元多项式环(乃至有限生成代数)是Jacobson环。

定义仿射坐标环A(X)=K[X_1,X_2,\cdots,X_n]/I(X)。一个基本的问题是:有限生成的K代数A何时可实现为一个代数集的仿射坐标环?零点定理的第4种形式给出了回答:当且仅当A不包含非平凡幂零元。这样的A称为仿射环。

这个形式的零点定理可以做如下理解。考虑2个范畴:(1)代数集和代数集间的正则映射;(2)仿射环和仿射环间的同态。零点定理断言这2个范畴对偶等价。这构成了现代代数几何的基本哲学:利用范畴1中的几何直观研究范畴2/利用范畴2中的代数工具研究范畴1。

作为上述哲学一个简单例子,我们从仿射环中提取代数集的“维数”信息。

给定仿射环A(X),极大理想的集合\mathrm{Spec}_m(A)在几何上对应X中的“点”,素理想的集合\mathrm{Spec}(A)则对应X中的子簇。通常\mathrm{Spec}(A)更为重要,因为在范畴论意义下它是自然的。

定义素理想的严格升链\mathfrak{P}_0 \subset \mathfrak{P}_1 \subset \cdots \subset \mathfrak{P}_n的长度为n。对于给定的\mathfrak{P},定义高度\mathrm{ht}(\mathfrak{P})为所有以\mathfrak{P}为极大元的严格升链的长度的上确界。定义交换环RKrull维数\mathrm{dim}(R)\mathrm{ht}(\mathfrak{P})的上确界。

定义仿射簇X上的维数为A(X)的分式域K(X)(有理函数域)在K上的超越次数。维数理论的一个基本结论是:X的维数等于A(X)的Krull维数。

仿射环是一类相当特殊的交换环。Grothendieck将范畴2一般化并延拓了对偶等价关系。经由这一推广,新的范畴1将包含极其广泛的几何对象:仿射概形

Drei Sätze von Hilbert Ⅰ

Hilbert发表于18901893的2篇讨论不变量理论的论文是交换代数的开山之作。这2篇论文包含了3条在多项式环研究中极为基本而重要的定理:Hilbert基定理(Basissatz),Hilbert零点定理(Nullstellensatz)以及Hilbert合系定理(Syzygiensatz)。我们希望结合历史来讨论这3条定理的内容及影响,特别是这3条定理的几何含义,借此考察古典代数几何的一些方面。

许多材料取自下面这本著作的第1章:

Eisenbud  Commutative algebra, with a view towards algebraic geometry

我们的第一个问题是:(含幺交换)环R上的多项式环R[X]保持R的哪些性质?注意,被R[X]保持的性质也将被多元多项式环R[X_1,X_2,\cdots,X_m]保持。

最简单的例子:(1)整环上的多项式环是整环。

一个稍复杂的例子可以追溯到所谓的Gauss引理:唯一分解整环R上的本原多项式之积fg仍是本原多项式。以FR的分式域。Gauss引理保证若fR[X]中不可约,则其在F[X]中不可约,而F[X]又是唯一分解整环,从而得到(2)唯一分解整环上的多项式环是唯一分解整环。

主理想整环上的多项式环不一定是主理想整环。然而作为弥补,我们有Hilbert基定理

(3)Noether环上的多项式环是Noether环。

回忆一下,Noether环指的是所有理想均有限生成的环。这显然推广了主理想环的概念。

Hilbert基定理给出多项式环的一个抽象模型:Noether环。下面来建立相应的代数几何图像。

经典代数几何的研究对象是多项式族f_i \in K[X_1,X_2,\cdots,X_n]的零点。以\mathbb{A}^nK上的n维仿射空间,f_i的零点在\mathbb{A}^n上定义了一个代数集。这些代数集构成Zariski拓扑的一族闭集基。K[X_1,X_2,\cdots,X_n]的理想与生成元f_i互相决定,上述构造给出理想\mathfrak{A}到代数集的映射V(\mathfrak{A})

Hilbert基定理保证K[X_1,X_2,\cdots,X_n]的理想均有限生成,换言之,我们可以要求多项式族f_i仅包含有限个多项式而不损失一般性。这一化简无疑是基本的。

理想的集合上有自然的代数运算:(1)集合论乘法\mathfrak{A}_1 \cap \mathfrak{A}_2 (集合论加法\mathfrak{A}_1 \cup \mathfrak{A}_2通常不是封闭运算);(2)代数乘法\mathfrak{A}_1\mathfrak{A}_2,代数加法\mathfrak{A}_1 +\mathfrak{A}_2,这使得理想成为一个交换半环。代数集在集合论运算下构成一个交换半环。不难验证V是一个“半环同态”:映“加法”为“乘法”,映“乘法”为“加法”。

理想半环上有一个幂等“算子”:对理想\mathfrak{A}取其\sqrt{\mathfrak{A}},其象称为根理想。V吸收根算子的作用:V(\sqrt{\mathfrak{A}})=V(\mathfrak{A}),因而对于古典代数几何而言,考虑根理想已经足够。

V(\mathfrak{A})无法分解为2个真子集之并当且仅当\mathfrak{A}为素理想,此时代数集称为(不可约)仿射簇。与Noether环相关的第2个有限性结论是:K[X_1,X_2,\cdots,X_n]中的根理想可以表示为有限多个素理想的交。在几何上的对应是:代数集可以分解为有限多个仿射簇之并。这一分解与算术基本定理的精神一致。

更一般的,我们有

(Lasker-Noether)Noether环中的理想可以表示为有限多个准素理想的交(准素分解)。

准素理想的根理想为素理想,故上述结论可以经由将根算子应用于准素分解式得到。

Hilbert基定理的历史意义在于:经典代数几何仅在常见的环/域(例如\mathbb{Z}\mathbb{C})上考察多项式环。Noether环的概念为抽象代数几何的建立奠定了基础。这方面的系统考察归功于Noether以及她领导的学派(van der Warden),还有深受Noether影响的Zariski和Weil等人。