Drei Sätze von Hilbert V


我们总结Hilbert多项式的一些基本性质,以此结束对drei Sätze von Hilbert的讨论。

齐次坐标环S(X)的Hilbert多项式(简记为P_X)包含了射影簇X的重要信息:尽管它依赖于X嵌入射影空间的方式,但却可以从中提取出X的双有理不变量。经由Hilbert多项式给出的这些不变量的抽象定义往往是最一般且最清晰的。

首先是P_X的次数:它与X的维数相关。事实上,假定X^r \subset P^n,则(1)P_X将是一个r次多项式。我们讨论X的维数的其他理解方式,例如:(2)S(X)的Krull维数;(3)有理函数域K(X)K上的超越次数,等等。

下面这本著作包含对维数理论的一个紧凑的讨论:

Atiyah, MacDonald  Introduction to Commutative Algebra

X^r的次数\mathrm{deg}X由(1)P_X的首项系数乘以r!给出。X的次数另有2种不同的理解:(2)超曲面X^{n-1}由主齐次理想(f)确定,\mathrm{deg} X等于f的次数;(3)几何上,\mathrm{deg} X可以用复代数簇的相交理论描述。处于“一般位置”的线性子空间L^{n-r} \subset P^nX^r横截相交于有限个点,\mathrm{deg} X等于交点的个数。 这个定义有一个著名的推广:

(Bezout定理)若射影簇X^rY^s横截相交,X^r \cap Y^s=\cup_i W^{r+s-n}_i,则\mathrm{deg} X \times \mathrm{deg} Y=\sum \mathrm{deg} W_i

上述3种理解中,(2)不够一般,而(3)的困难在于:在任意域K上往往难以定义“横截” (更一般地,相交的重数)。澄清这一困难并不容易,甚至要反过来依赖于Hilbert多项式:这是Weil在Foundations of Algebraic Geometry一书中的主要贡献,称为Weil-Samuel理论。

从Kähler几何的角度看,\mathrm{deg}X还有一个非常有趣的理解方式:

(4)在Fubini-Study度量下,\mathrm{deg}X=V(X^r)/V(L^r),其中L^r是任意线性子空间,V代表2 r维实体积。

上述关系联系了2个流形的基本类[X][L]。对于一般的紧流形X^r \subset P^n,若[X]L^r上的拉回为d[L],则定义\mathrm{deg}X=d。这允许我们将代数流形刻画为一类极小流形:\mathrm{deg}X \geq V(X^r)/V(L^r),等号成立当且仅当X为代数流形。

感兴趣的读者不妨参阅

Mumford  Algebraic Geometry I: Complex Projective Varieties

最后,P_X的常数项P_X(0)是Hirzebruch意义下的X^r的算术亏格(经典算术亏格定义为p_a(X)=(-1)^r (P_X(0)-1))。P_X(0)X的双有理不变量,这已非显然。更精确的,它等于X^r的Todd示性数:这个结果是我们将要讨论的Hirzebruch-Riemann-Roch定理的基本推论。

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