Milnor怪球面与拓扑流形的微分结构


拓扑流形和可微流形之间有多少差距?这个大问题迄今尚未完全解决(尤其是在4维)。

问题1:是否每个拓扑流形上都有相容的微分结构

问题2:如果有,那么微分结构是否是唯一的(微分同胚意义下)?

问题3:如果不唯一,那么有多少等价类(微分同胚意义下)?

截至50年代中期,已知的结果是:

C^k-流形上有唯一相容的C^\infty-结构(Whitney),故“可微”等同于“光滑”;

1维、2维(Radon)以及3维(Moise)拓扑流形上有且仅有一个相容的PL结构/微分结构;

1956年发现的怪S^7是问题2的第一个反例。原始的构造和论证见

Milnor  On manifolds homeomorphic to the 7-sphere

Thom给出的优化将一箭双雕地得到问题1的反例。我们简介其想法,细节参见

Milnor,Stasheff  Characteristic classes   Chapter 20

号差定理给出\{L_k\}的如下刻画:若i<(n-1)/8f:M^n \to S^{n-4i}光滑,y为正则值,则借助\tau(f^{-1}(y))=\langle L_k(TM) \cup f^{*}([S^{n-4i}]),[M]\rangle可以完全确定L_k(TM),而有理Pontryagin类又可由\{L_k\}反解而得。在PL范畴中模仿上述步骤,Thom成功地将有理Pontryagin类推广为PL流形上的组合不变量。

注记

Novikov证明了更强的:有理Pontryagin类是拓扑不变量。这是他获70年Fields奖的主要原因,我们不打算在这里讨论。

通过分析万有丛ESO(4)的结构可知:对任意k \equiv 2(\mathrm{mod}4)S^4上存在4阶向量丛Ee(E)=[S^4]p_1(E)=k[S^4]。以E^{'}E诱导的单位圆盘丛。用Gysin序列计算\partial E^{'}的同调群,知\partial E^{'}具有S^7的同伦型,进而同胚于S^7(Smale对高维Poincaré猜想的证明)。稍细致的分析指出这还是一个组合等价。

现在考虑Thom空间T=T(E)\partial E^{'}的组合结构可以延拓到E^{'}乃至T上。有理Pontryagin类的组合定义允许我们应用号差定理\displaystyle \tau(T)=\frac{7}{45}p_2[T]-\frac{1}{45}p_1^2[T],得到p_2[T]=(45+k^2)/7。我们有选择k \equiv 2(\mathrm{mod}4)的自由:例如令k=6p_2[T]将不是整数,因此T没有与三角剖分相容的光滑结构,进一步推出\partial E^{'}同胚却不微分同胚于标准S^7

Milnor之后,进展如雨后春笋般涌现。

关于问题1:找到了不允许任何光滑结构的10维PL流形(Kervaire);找到了不允许任何光滑结构的4维闭拓扑流形(Freedman);证明了开拓扑流形总允许至少一个光滑结构(Quinn);

关于问题2:n \neq 4\mathbb{R}^n上仅有唯一的光滑结构(Stalling);证明了\mathbb{R}^4的存在(Donaldson, Freedman, etc.);

关于问题3:证明了n \neq 4S^n的不同微分结构在连通和下构成有限群,并利用换球术确定了n \leq 18时各群的阶(Milnor, Kervaire);证明了\mathbb{R}^4有不可数多个微分结构(Gompf, Taubes, etc.);

现阶段最重要的开问题或许是确定S^4上有多少个微分结构。

J.Milnor(1931-)

Milnor凭借怪球面的发现摘得62年的Fields奖章。然而他对拓扑学的贡献远不止于此。可以毫不夸张地说,他是上世纪中叶最重要的拓扑学家,影响力遍及拓扑学的每一个角落。

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