Spin群与自旋表示


研究3维空间中的旋转是一个历史久远的问题。经典的方法是借助Euler角坐标。然而依此设计的系统在实际应用中会遭遇严重的困难,例如发生万向节死锁

另一种得到广泛采用的表示基于事实:\mathrm{SU}(2)\mathrm{SO}(3)的双叶覆叠。由于\mathrm{SU}(2)同构于单位四元数群,也有人认为做出此发现却未发表的Gauss才是四元数之父。上述覆叠事实上是万有的。一般地,\pi_1(\mathrm{SO}(n))=\mathbb{Z}_2n \geq 3成立,其万有覆叠称为Spin群。另一方面,\mathbb{H}=Cl_3^0。这并非偶然。我们将说明Spin群与Clifford代数有天然的联系。

假定V为有限维空间,q非退化,考虑扭伴随表示(twisted adjoint representation):

\widetilde{\mathrm{Ad}}:Cl^{*}(V,q) \to \mathrm{Aut}(Cl(V,q))\widetilde{\mathrm{Ad}}_x(y)=\alpha(x)yx^{-1}

我们感兴趣的是\tilde{P}(V,q)=\{x:\widetilde{\mathrm{Ad}}_x (V)\subset V\}\widetilde{\mathrm{Ad}}_x给出到\mathrm{ISO}(V)的表示。

引入范数N(x)=x\bar{x}N限制在\tilde{P}(V,q)上时是到K^*的同态。我们定义Pin群\mathrm{Pin}(V,q)=\mathrm{ker} N \cap \tilde{P}(V,q)。作为Cl(V,q)的子群,Pin群可分为奇部分和偶部分(子群),我们称偶部分为Spin群:\mathrm{Spin}(V,q)=\mathrm{Pin}^0(V,q)

回到实向量空间的情形。\mathrm{Pin}(n)\mathbb{R}^n中的所有单位向量生成,而Cartan-Dieudonné定理指出\mathrm{O}(n)\mathbb{R}^n中的反射生成。生成元的对应关系\pm v \to \{v正交的空间上的反射\}给出1 \to \mathbb{Z}_2 \to \mathrm{Pin}(n) \to \mathrm{O}(n) \to 1

类似的,1 \to \mathbb{Z}_2 \to \mathrm{Spin}(n) \to \mathrm{SO}(n) \to 1

通过Clifford代数的复化,不难定义\mathrm{Pin}^\mathbb{C}\mathrm{Spin}^\mathbb{C}

注记1

“Pin群”这个名词是Serre的发明。诚然,Pin群之于Spin群正如\mathrm{O}(n)之于\mathrm{SO}(n),但更精微的理由是Pine在法国俚语中意为Penis,从而“Pin群可分为奇部分和偶部分”便有了隐喻色彩。既然“Pin群”无法中译而不失“精髓”,我们索性也不翻译本可译为“自旋群”的“Spin群”。

注记2

Gauss的发现是低维Lie群之间例外同构的一例。利用Spin群可以给出简单的“解释”,参见Lawson, Michelsohn Chapter Ⅰ §8。

如上所述,Cl_{r,s}\mathbb{R}^{r,s}上有自然的表示\mathrm{\widetilde{Ad}}。更一般的,由Clifford代数的结构定理可完整描述所有不可约表示。例如,对Cl_n的不可约表示,v_n记其个数,d_n记其维数,K_n记其极大基域,\mathfrak{M}_n记其Grothendieck群,复的情况类推,得到:

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我们记\mathfrak{M}_n的偶子群为\widetilde{\mathfrak{M}}_nCl_n \cong Cl_{n+1}^0给出\mathfrak{M}_n \cong \widetilde{\mathfrak{M}}_{n+1}

以下同构在讨论K理论时非常有用:

\widetilde{\mathfrak{M}}_m \widetilde{\otimes}_\mathbb{Z} \widetilde{\mathfrak{M}}_n \cong \widetilde{\mathfrak{M}}_{m+n}\widetilde{\mathfrak{M}}_m^\mathbb{C} \widetilde{\otimes}_\mathbb{Z} \widetilde{\mathfrak{M}}_n^\mathbb{C} \cong \widetilde{\mathfrak{M}}_{m+n}^\mathbb{C}

Clifford代数的表示诱导Spin群的自旋表示\triangle_n,每个表示称为一个旋子。这个命名来自Ehrenfest在量子力学方面的工作。我们将专文讨论旋子与量子力学及量子场论的联系。

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