椭圆复形与Atiyah-Bott不动点定理


我们多次讨论过与外微分形式相关的系列结果:(1)de Rham-Hodge理论;(2)Lefschetz不动点定理;(3)Poincaré–Hopf定理以及(4)Gauss-Bonnet-Chern定理。从Dirac丛和Dirac算子的观点考虑,我们要问这些结果的相应推广是什么?对于一般的椭圆算子,情况又如何?

作为模本,首先回顾(2):光滑映射f:M \to M下的不动点x \in M称为非退化的,若\mathrm{det}(I-df(x)) \neq 0,其指数l_f(x)定义为\mathrm{sgn}\mathrm{det}(I-df(x))。另一方面,f诱导H^i_{dR}(M)的自同态f^i_*,定义f的Lefschetz数L(f)=\sum (-1)^i \mathrm{tr} f^i_*

(Lefschetz不动点定理)\displaystyle L(f)=\sum_x l_f(x)

横截向量场在M上定义了相流f^t\displaystyle \mathrm{lim}_{t \to 0} f^t=I。公式左端,L(I)=\chi(M),而右端,相流的不动点恰是向量场的奇点:我们得到(3)的特例。这显示Lefschetz不动点定理不能描述“多重横截相交”,在这个方向上推广的结果往往冠以Lefschetz-Hopf之名

回到最初的问题。在知道答案(4)Atiyah-Singer指标定理的情况下,Atiyah和Bott考虑了余下的推广:(1)在椭圆复形的概念下得到统一,而(2)给出著名的Atiyah-Bott不动点定理。

Atiyah, Bott  A Lefschetz Fixed Point Formula for Elliptic Complexes: Ⅰ

椭圆复形指的是上链复形(\Gamma(E_i),D_i),要求D_i是向量丛E_iE_{i+1}的椭圆算子。满足T_{i+1}D_i=D_iT_i的自同态T_i:\Gamma(E_i) \to \Gamma(E_i)诱导H^i(\Gamma(E))的自同态T_i^*。由椭圆算子理论\mathrm{dim}H^i(\Gamma(E))<\infty,于是我们可以定义T的Lefschetz数L(T)=\sum (-1)^i \mathrm{tr} T_i^*

我们最感兴趣的仍是光滑映射f:M \to M。给定丛同态\phi_i:f^*E_i \to E_i,可取T_i\Gamma(\phi_i) \circ f_i^*。注意在不动点x \in M处,\phi_i(x)是一个线性映射。

(Atiyah-Bott不动点定理)\displaystyle L(T)=\sum_x \frac{\sum_i (-1)^i\mathrm{tr}\phi_i(x)}{|\mathrm{det}(I-df(x))|}

对于de Rham复形,\phi_i有自然选取\Lambda^i df\mathrm{det}(I-df)=\sum_i (-1)^i \mathrm{tr} (\Lambda^i df)给出经典的Lefschetz公式。

另一个经典例子是Dolbeault复形(\Gamma(A^{p,q}),\bar{\partial}_q)。给定全纯映射f:M \to M

(1)\sum_i (-1)^i \mathrm{tr}_\mathbb{R} (\Lambda^i df)=\mathrm{tr}_\mathbb{C}(\Lambda^p \partial f)\mathrm{det}_\mathbb{C}(I-\bar{\partial}f)

(2)|\mathrm{det}_\mathbb{R}(I-df)|=\mathrm{det}_\mathbb{C}(I-\partial f)\mathrm{det}_\mathbb{C}(I-\bar{\partial} f)

(全纯Lefschetz不动点定理)\displaystyle L(f,A^{p,*})=\sum_x \frac{\mathrm{tr}_\mathbb{C}(\Lambda^p \partial f)(x)}{\mathrm{det}_\mathbb{C}(I-\partial f(x))}

p=0的情况特别简单:\displaystyle L(f,A^{0,*})=\sum_x \frac{1}{\mathrm{det}_\mathbb{C}(I-\partial f(x))}

上述结果不难推广到全纯向量丛E \otimes A^{p,q}上。

Atiyah, Bott  A Lefschetz Fixed Point Formula for Elliptic Complexes: Ⅱ. Applications

全纯Lefschetz不动点定理牵涉到一桩“公案”:1964年,志村五郎在Woods Hole会议上向Atiyah和Bott提及这个猜想,成为2人发展椭圆型不动点定理的最初推动力。志村的原意是推广Eichler对(一般域上的)代数曲线的自同态所做的工作,为此他甚至考虑了远为一般的代数簇间的对应。可以说,他与Atiyah-Bott各逞擅场。可惜,交流思想的结果并不愉快:事后志村对Bott不太提及他的贡献非常不满1

围绕Woods Hole不动点定理的历史与争议,Tu试图给出一个来自中方第三方的总结。三位当事人中,Bott去世已久,Atiyah用”very fair”评价Tu的文章,与之相对的,志村则拒绝为该文背书。


  1. 志村的心态很可玩味:一方面自甘淡泊,另一方面又非常在意主流数学界的“歧视”(例如与Serre关系恶劣)。Wiles证明了谷山-志村猜想后,他的评论极其简单却意味深长:“I told you so.” 

One thought on “椭圆复形与Atiyah-Bott不动点定理

  1. hyh says:

    这个关于 Shimura 的八卦很好玩嘛。我有一次翻他的回忆录还是什么的,他公然指责某些人没有 sense of moral (道德感),似乎对把 Taniyama 的名字加进“谷山-志村猜想” 都有点意见~

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