Hilbert定理

Drei Sätze von Hilbert V

我们总结Hilbert多项式的一些基本性质，以此结束对drei Sätze von Hilbert的讨论。

齐次坐标环S(X)的Hilbert多项式(简记为P_X)包含了射影簇X的重要信息：尽管它依赖于X嵌入射影空间的方式，但却可以从中提取出X的双有理不变量。经由Hilbert多项式给出的这些不变量的抽象定义往往是最一般且最清晰的。

首先是P_X的次数：它与X的维数相关。事实上，假定X^r \subset P^n，则(1)P_X将是一个r次多项式。我们讨论过X的维数的其他理解方式，例如：(2)S(X)的Krull维数；(3)有理函数域K(X)在K上的超越次数，等等。

下面这本著作包含对维数理论的一个紧凑的讨论：

Atiyah, MacDonald  Introduction to Commutative Algebra

X^r的次数\mathrm{deg}X由(1)P_X的首项系数乘以r!给出。X的次数另有2种不同的理解：(2)超曲面X^{n-1}由主齐次理想(f)确定，\mathrm{deg} X等于f的次数；(3)几何上，\mathrm{deg} X可以用复代数簇的相交理论描述。处于“一般位置”的线性子空间L^{n-r} \subset P^n与X^r横截相交于有限个点，\mathrm{deg} X等于交点的个数。 这个定义有一个著名的推广：

(Bezout定理)若射影簇X^r与Y^s横截相交，X^r \cap Y^s=\cup_i W^{r+s-n}_i，则\mathrm{deg} X \times \mathrm{deg} Y=\sum \mathrm{deg} W_i。

上述3种理解中，(2)不够一般，而(3)的困难在于：在任意域K上往往难以定义“横截” (更一般地，相交的重数)。澄清这一困难并不容易，甚至要反过来依赖于Hilbert多项式：这是Weil在Foundations of Algebraic Geometry一书中的主要贡献，称为Weil-Samuel理论。

从Kähler几何的角度看，\mathrm{deg}X还有一个非常有趣的理解方式：

(4)在Fubini-Study度量下，\mathrm{deg}X=V(X^r)/V(L^r)，其中L^r是任意线性子空间，V代表2 r维实体积。

上述关系联系了2个流形的基本类[X]和[L]。对于一般的紧流形X^r \subset P^n，若[X]在L^r上的拉回为d[L]，则定义\mathrm{deg}X=d。这允许我们将代数流形刻画为一类极小流形：\mathrm{deg}X \geq V(X^r)/V(L^r)，等号成立当且仅当X为代数流形。

感兴趣的读者不妨参阅

Mumford  Algebraic Geometry I: Complex Projective Varieties

最后，P_X的常数项P_X(0)是Hirzebruch意义下的X^r的算术亏格(经典算术亏格定义为p_a(X)=(-1)^r (P_X(0)-1))。P_X(0)是X的双有理不变量，这已非显然。更精确的，它等于X^r的Todd示性数：这个结果是我们将要讨论的Hirzebruch-Riemann-Roch定理的基本推论。

Drei Sätze von Hilbert Ⅳ

早在19世纪，代数几何已应用了上同调的方法(尽管当时同调论远未成型)。例如，经典线性系统理论可以从层上同调论的角度理解。Hilbert合系定理可以、也应该在这个框架下理解。

拓扑空间X上的“函数”可以视为某个交换环的层的截面，这诱导我们定义赋环空间(X,\mathcal{O}_X)。经典的例子包括(1)C^k流形及其上的C^k函数环；(2)解析簇及其上的解析函数环，或更一般的，解析空间；(3)代数簇及其坐标环，或更一般的，概型。

“函数-环”的类比可推广为“向量丛-模”的类比：(1)平凡丛对应(有限生成的)自由模；(2)向量丛是局部平凡的，它对应局部自由模；(3)为方便同调代数的应用，Serre提出了平坦模的概念。对于Noether局部环上的有限生成模，“自由”与“平坦”是等价的。

同样为了方便同调代数的应用，H.Cartan和Serre发展了凝聚层的概念。几何中考虑的层大多是凝聚层。对于凝聚上同调，\mathrm{dim}H^q(X,\mathcal{F})<+\infty。

层上同调的定义和计算通常有2种手段：Čech上同调和层的消解。层\mathcal{F}的消解指的是正合列0 \to \mathcal{F} \to \mathcal{F}^{*}，\mathcal{F}^{*}=(\mathcal{F}^p,d^p)_{p \geq 0}。这方面的标准参考书是

Godement  Topologie Algébrique et Théorie des Faisceaux

\mathcal{F}^{*}的长度定义为n的上确界，长度有限的消解称为有限消解。根据\mathcal{F}^{*}的性质，消解又可分为自由消解，平坦消解，等等。

若H^q(X,\mathcal{F}^p)=0对q \geq 1成立，则称此消解为非循环消解。所有优层消解都是非循环的(基于单位分解)。另一方面，对于非循环消解，上链复形(\Gamma(X,\mathcal{F}^p),d_*^p)_{p \geq 0}的上同调群将同构于(由Čech上同调定义的)H^{*}(X,\mathcal{F})。这个结果又称为抽象de Rham定理：考虑消解0 \to \mathbb{R} \to \Omega^{*}，我们将得到de Rham定理。

非循环消解是实际应用中是方便的。但在概念上更令人满意的则是所谓的内射消解。主要的想法是将层上同调范畴化：此时截面函子是左正合函子，而层上同调可定义为相应的右导出函子。这是著名的“东北论文”的主题：

Grothendieck  Sur quelques points d’algèbre homologique

分次环A=\oplus_{l \geq 0} A_l上的分次A模层\mathcal{F}的分次自由消解指的是：\mathcal{F}^p是分次自由A模层，d^p是次数为0的齐次层同态。对于多项式环上的有限生成模这一特例，我们有

(Hilbert合系定理)有限生成的分次K[X_0,\cdots,X_n]模M允许一个长度至多为n+1的分次自由消解0 \to M \to M^{*}。

合系这个名词源于天文学。数学上，它指的是“模的生成元之间的关系”，即A模同态d_n。

M的模本是射影簇X \subset P^n上的齐次坐标环。合系定理结合抽象de Rham定理保证了X的高阶上同调群消没，这无疑非常基本而重要。下面这个应用属于Hilbert本人：

对于有限生成的分次A模M=\oplus_{m \geq 0} M_m，H_M(m)=\mathrm{rk}_{A_0}(M_m)称为M的Hilbert函数，P_M(t)=\sum_{m\geq 0} H_M(m)t^m称为M的Poincaré级数。

仍考虑A=K[X_0,\cdots,X_n]。简单的同调代数显示H_M(m)=\mathrm{dim}_K M_m等于“Euler示性数”\sum_{p \geq 0}(-1)^p H_{M^p}(m)(合系定理保证这是有限和)。

对于充分大的m_p，自由模M^p的Hilbert函数的取值重合于某个P_{M^p} \in \mathbb{Q}[z]。从而对任意Hilbert函数H_M我们都可以找到相应的Hilbert多项式P_M \in \mathbb{Q}[z]使得对于充分大的整数P_M和H_M的取值重合。

Hilbert多项式是数值多项式：通常并非整系数却总是取整数值(不仅仅对于充分大的变量)。

Drei Sätze von Hilbert Ⅲ

在考察Hilbert合系定理之前，我们希望从局部与整体2个方面进一步完善已有的几何图像。

(1)正则点与奇点

Krull维数和超越次数都是整体定义的。然而维数实际上是一个局部概念。若考虑每点处切空间的维数，则情况将与流形不同：代数簇可能包含奇点，即切空间维数大于整体维数的点。

一个局部环刻画：给定Noether局部环A和剩余域k，切空间的维数\mathrm{dim}_k \mathfrak{m}/\mathfrak{m}^2 不小于A的Krull维数。若等号成立，称A为局部正则环：它对应正则点。反之，则为奇点。

奇点构成一个Zariski闭集，即若干(低维)奇异子簇的并。“挖去”奇点后，考虑在Zariski拓扑下开且稠密的伪仿射簇并没有“大”的损失。伪仿射簇是通常意义下的“流形”，有自然的流形等价的概念：双有理等价。另一种描述的方法是：双有理等价类与函数域C(X)一一对应，它是基于函数域的分类。

对双有理等价类的研究构成代数几何的一个主要分支：双有理几何。

处处局部正则的Noether环A称为正则环，它在几何上对应非奇异代数簇。一个简单的例子是Krull维数为1的正则整环：Dedekind整环。它是代数数论的主要研究对象。

代数几何的一个基本问题是奇点消解：是否总能在代数簇的双有理等价类中找到非奇异簇？若K有特征0，广中平祐的一条著名定理保证这总是可能的。

(2)射影簇

利用\mathbb{C}^n和“一般拓扑”局部覆盖复流形是研究整体几何的第一步。利用仿射空间和Zariski拓扑的类似构造在代数几何中同样重要。历史上最常用的整体模型是K射影空间P^n。

P^n定义为K^{n+1}模去等价关系(a_0,\cdots,a_n) \sim (\lambda a_0,\cdots,\lambda a_n)，\lambda \in K^*。满足a_i=0的点构成一个“无穷远超平面”，记为H_i。易见P^n-H_i同构于K^n，且所有P^n-H_i共同构成P^n的一个开覆盖。这赋予P^n一个代数簇结构。

P^n的子簇X称为射影簇。有2种描述方法：(1)局部上，X \cap (P^n-H_i)是(K^n中的)仿射簇。特别的，之前讨论过的仿射簇的所有局部性质都自动适用于射影簇：例如，奇点和正则点的定义；(2)整体上，我们可以考虑K[X_0,\cdots, X_n]中的齐次多项式及齐次理想，由此定义的(K^{n+1}中的)仿射簇可以“良投射”到射影空间上从而给出一个射影簇。这是经典的观点。我们之前对仿射簇的讨论在加上“齐次”这一限制后可应用于现在的情况：例如，仿射坐标环A(X)的类似物是齐次坐标环S(X)=K[X_0,\cdots, X_n]/I(X)，此处I(X)限制为齐次理想。

历史上射影几何一度发展得蔚为壮观。相当一部分古典结果已被吸收到对射影簇的研究中。事实上，它与我们的主题也有一点关系：Hilbert在完成了关于不变量理论的系列工作后，曾一度用射影几何的观点研究过平面几何的公理基础。他的一部主要著作Grundlagen der Geometrie (1899)是他在这方面工作的总结。

上述讨论射影簇的2种观点中，依赖于射影空间特性的(2)往往有其方便之处，但类比流形理论的(1)显然更利于一般化。利用仿射概形作开覆盖，Grothendieck定义了概形。从允许奇点的角度看，概型与(复)流形的类比还不是非常准确。与概型最类似的是所谓的解析空间。

最后，一点一般的评论：拓扑-光滑-解析-代数。至少就层论而言，拓扑范畴与光滑范畴是相近的(同样有优层的概念)，解析范畴与代数范畴是相近的(Serre, GAGA)。在Milnor的工作之后，拓扑范畴与光滑范畴的差异得到了大量研究：它们的差异事实上比我们想象得要大。对于解析-代数，相应的方向似乎尚未得到充分的发展。就这个意义上说，解析/代数几何确实比微分几何/拓扑要“难”。

Drei Sätze von Hilbert Ⅱ

Hilbert零点定理的源头仍然可以追溯到Gauss：代数学基本定理的一个等价表述是\mathbb{C}[X]的素理想与\mathbb{C}中的仿射簇一一对应。这在\mathbb{R}上是不成立的：例如，x^2+1与x^2+2在\mathbb{R}上均没有零点(对应\emptyset)。

所有在代数集X上取值为0的多项式构成理想I(X)。Hilbert零点定理断言：

若K是代数闭域，则K[X_1,X_2,\cdots,X_n]的素理想\mathfrak{P}满足\mathfrak{P}=I(V(\mathfrak{P}))。或者更一般却等价的，任意理想\mathfrak{A}满足\sqrt{\mathfrak{A}}=I(V(\mathfrak{A}))。

几何上，零点定理给出根理想与代数集之间一个反转包含顺序的半环同构。

Hilbert基定理保证\mathfrak{A}有限生成：取P_1,P_2,\cdots,P_m为一组生成元。给定多项式R，零点定理等价于如下二分选择：(1)R \in \sqrt{\mathfrak{A}}：存在多项式Q_i和非负整数r使得\sum P_i Q_i=R^r成立；(2) R \notin \sqrt{\mathfrak{A}}：方程组P_i(x)=0，R(x)\neq 0有解。

R=1，即所谓的弱零点定理，对应如下结论：I(X)=(1)当且仅当X=\emptyset。

这种形式的零点定理在算法理论中很有用处。这里是一个基于算法精神的初等证明。

包含I(X)的极大理想\mathfrak{M}_x一一对应于x \in X，即V(\mathfrak{A})=\cup V(\mathfrak{M}_x)。称含幺交换环为Jacobson环，若任意素理想(从而任意根理想)均可表为极大理想的交。我们得到零点定理的第3种形式：K[x_1,x_2,\cdots,x_n]是Jacobson环。

更一般的，Bourbaki的如下结果将零点定理归入“R[X]保持R的性质”这一系列：(4)Jacobson环上的多元多项式环(乃至有限生成代数)是Jacobson环。

定义仿射坐标环A(X)=K[X_1,X_2,\cdots,X_n]/I(X)。一个基本的问题是：有限生成的K代数A何时可实现为一个代数集的仿射坐标环？零点定理的第4种形式给出了回答：当且仅当A不包含非平凡幂零元。这样的A称为仿射环。

这个形式的零点定理可以做如下理解。考虑2个范畴：(1)代数集和代数集间的正则映射；(2)仿射环和仿射环间的同态。零点定理断言这2个范畴对偶等价。这构成了现代代数几何的基本哲学：利用范畴1中的几何直观研究范畴2/利用范畴2中的代数工具研究范畴1。

作为上述哲学一个简单例子，我们从仿射环中提取代数集的“维数”信息。

给定仿射环A(X)，极大理想的集合\mathrm{Spec}_m(A)在几何上对应X中的“点”，素理想的集合\mathrm{Spec}(A)则对应X中的子簇。通常\mathrm{Spec}(A)更为重要，因为在范畴论意义下它是自然的。

定义素理想的严格升链\mathfrak{P}_0 \subset \mathfrak{P}_1 \subset \cdots \subset \mathfrak{P}_n的长度为n。对于给定的\mathfrak{P}，定义高度\mathrm{ht}(\mathfrak{P})为所有以\mathfrak{P}为极大元的严格升链的长度的上确界。定义交换环R的Krull维数\mathrm{dim}(R)为\mathrm{ht}(\mathfrak{P})的上确界。

定义仿射簇X上的维数为A(X)的分式域K(X)(有理函数域)在K上的超越次数。维数理论的一个基本结论是：X的维数等于A(X)的Krull维数。

仿射环是一类相当特殊的交换环。Grothendieck将范畴2一般化并延拓了对偶等价关系。经由这一推广，新的范畴1将包含极其广泛的几何对象：仿射概形。

Drei Sätze von Hilbert Ⅰ

Hilbert发表于1890和1893的2篇讨论不变量理论的论文是交换代数的开山之作。这2篇论文包含了3条在多项式环研究中极为基本而重要的定理：Hilbert基定理(Basissatz)，Hilbert零点定理(Nullstellensatz)以及Hilbert合系定理(Syzygiensatz)。我们希望结合历史来讨论这3条定理的内容及影响，特别是这3条定理的几何含义，借此考察古典代数几何的一些方面。

许多材料取自下面这本著作的第1章：

Eisenbud  Commutative algebra, with a view towards algebraic geometry

我们的第一个问题是：(含幺交换)环R上的多项式环R[X]保持R的哪些性质？注意，被R[X]保持的性质也将被多元多项式环R[X_1,X_2,\cdots,X_m]保持。

最简单的例子：(1)整环上的多项式环是整环。

一个稍复杂的例子可以追溯到所谓的Gauss引理：唯一分解整环R上的本原多项式之积fg仍是本原多项式。以F记R的分式域。Gauss引理保证若f在R[X]中不可约，则其在F[X]中不可约，而F[X]又是唯一分解整环，从而得到(2)唯一分解整环上的多项式环是唯一分解整环。

主理想整环上的多项式环不一定是主理想整环。然而作为弥补，我们有Hilbert基定理：

(3)Noether环上的多项式环是Noether环。

回忆一下，Noether环指的是所有理想均有限生成的环。这显然推广了主理想环的概念。

Hilbert基定理给出多项式环的一个抽象模型：Noether环。下面来建立相应的代数几何图像。

经典代数几何的研究对象是多项式族f_i \in K[X_1,X_2,\cdots,X_n]的零点。以\mathbb{A}^n记K上的n维仿射空间，f_i的零点在\mathbb{A}^n上定义了一个代数集。这些代数集构成Zariski拓扑的一族闭集基。K[X_1,X_2,\cdots,X_n]的理想与生成元f_i互相决定，上述构造给出理想\mathfrak{A}到代数集的映射V(\mathfrak{A})。

Hilbert基定理保证K[X_1,X_2,\cdots,X_n]的理想均有限生成，换言之，我们可以要求多项式族f_i仅包含有限个多项式而不损失一般性。这一化简无疑是基本的。

理想的集合上有自然的代数运算：(1)集合论乘法\mathfrak{A}_1 \cap \mathfrak{A}_2 (集合论加法\mathfrak{A}_1 \cup \mathfrak{A}_2通常不是封闭运算)；(2)代数乘法\mathfrak{A}_1\mathfrak{A}_2，代数加法\mathfrak{A}_1 +\mathfrak{A}_2，这使得理想成为一个交换半环。代数集在集合论运算下构成一个交换半环。不难验证V是一个“半环同态”：映“加法”为“乘法”，映“乘法”为“加法”。

理想半环上有一个幂等“算子”：对理想\mathfrak{A}取其根\sqrt{\mathfrak{A}}，其象称为根理想。V吸收根算子的作用：V(\sqrt{\mathfrak{A}})=V(\mathfrak{A})，因而对于古典代数几何而言，考虑根理想已经足够。

V(\mathfrak{A})无法分解为2个真子集之并当且仅当\mathfrak{A}为素理想，此时代数集称为(不可约)仿射簇。与Noether环相关的第2个有限性结论是：K[X_1,X_2,\cdots,X_n]中的根理想可以表示为有限多个素理想的交。在几何上的对应是：代数集可以分解为有限多个仿射簇之并。这一分解与算术基本定理的精神一致。

更一般的，我们有

(Lasker-Noether)Noether环中的理想可以表示为有限多个准素理想的交(准素分解)。

准素理想的根理想为素理想，故上述结论可以经由将根算子应用于准素分解式得到。

Hilbert基定理的历史意义在于：经典代数几何仅在常见的环/域(例如\mathbb{Z}，\mathbb{C})上考察多项式环。Noether环的概念为抽象代数几何的建立奠定了基础。这方面的系统考察归功于Noether以及她领导的学派(van der Warden)，还有深受Noether影响的Zariski和Weil等人。