素数定理的Newman式证明


技术上困难的数学结果往往被时间风蚀为平凡的推理。素数定理(PNT)\pi(x) \sim x\log x是典型的例子——在原始猜想(Gauss, Legendre)提出近两百年后,Newman终于在1980年找到了一个仅用到Cauchy积分公式的简单证明,a proof from THE BOOK.

Newman  Simple analytic proof of the prime number theorem

下面给出的证明是对Newman原始证明的一个改造(Korevaar, Zagier)。

The Proof

(1)熟知Riemann\zeta函数可以解析延拓为\Bbb C上的亚纯函数,仅在s=1处有单极点且没有\mathrm{Re}\, z>1的零点。我们需要稍精细的结果(Hadamard):\zeta\mathrm{Re}\, s=1上没有零点。

定义\displaystyle \phi(s)=\sum_p \frac{\log p}{p^s}\displaystyle \frac{\zeta'(s)}{\zeta(s)}+\phi(s)=\sum_p \frac{\log p}{p^s(1-p^s)}\mathrm{Re}\, s > 1/2成立。假设\zeta(s)1\pm ai处有l阶零点,在1 \pm 2ai处有m阶零点,l,m \geq 0

\displaystyle 0 \leq \sum_p\frac{\epsilon \log p}{p^{1+\epsilon}}(p^{ia/2}+p^{-ia/2})^4=\sum_{r=-2}^{r=2}\binom{4}{r+2}\epsilon \phi(1+\epsilon+ira)

将推出不等式6-8l-2m \geq 0,从而有l=0

特别地,这推出\phi(s)-1/(s-1)\mathrm{Re}\, s \geq 1上全纯。

(2)接下来我们证明x \sim \theta(x)=\sum_{p \leq x}\log p

(2.1)\theta(x)=O(x)是初等的(本质上属于Chebyshev):只需对以下不等式求和

2n\log 2=\log(2^{2n}) >\log(\binom{2n}{n})>\sum_{n<p\leq 2n}\log p=\theta(2n)-\theta(n)

(2.2)下面的Tauber型收敛定理是证明的关键:若定义在\Bbb R^+上的实函数f(t)有界且局部可积,其Laplace变换g(s)=\int_0^\infty f(t)e^{-st}dt能从\mathrm{Re}\, s > 0解析地延拓到\mathrm{Re}\, s \geq 0,则\int_0^\infty f(t)dt收敛到g(0)

Newman的原始证明采用的是级数版本的收敛定理:熟知对于有界的\{a_n\}Dirichlet级数L(s)=\sum a_n n^{-s}\mathrm{Re}\, s > 1上绝对收敛。若L(s)可解析延拓到\mathrm{Re}\, s \geq 1,则其在\mathrm{Re}\, s \geq 1上收敛(特别地,L(1)收敛)。

(2.3)广义函数意义下的等式\displaystyle \phi(s)=\int_0^\infty \frac{d\theta(x)}{x^s}推出\phi(s)=s\int_o^\infty e^{-st}\theta(e^t)dt\mathrm{Re}\, s > 1成立。(1)和(2.1)保证我们可以在(2.2)中取f(t)=\theta(e^t)e^{-t}-1g(z)=\phi(z+1)/(z+1)-1/z,推出\displaystyle \int_1^\infty \frac{\theta(x)-x}{x^2}dx收敛。

(2.4)对某个\lambda >1存在任意大的x使得\theta(x)\geq\lambda x将推出

\displaystyle \int_x^{\lambda x} \frac{\theta(t)-t}{t^2}dt\geq\int_1^\lambda \frac{\lambda-t}{t^2}dt=C(\lambda)>0,这与(2.3)矛盾(Cauchy判别法)。

同理\lambda<1也将导出矛盾。至此我们证明了(2)。

(3)素数定理是(2)的推论:

一方面,\theta(x)\leq \sum_{p \leq x}\log x =\pi(x)\log x

另一方面,\theta(x)\geq \sum_{x^{1-\epsilon}\leq p \leq x}\log p \geq (1-\epsilon)\sum_{x^{1-\epsilon}\leq p \leq x}\log x

=(1-\epsilon)\log x(\pi(x)+O(x^{1-\epsilon}))

About the Proof

早在19世纪中叶(甚至早于Riemann在\zeta函数方面的工作),Chebyshev就利用初等估计证明了\pi(x)=\Theta(x/\log x)(他的证明基于\displaystyle \psi(x)=\sum_{p \leq x}[\frac{\log x}{\log p}]\log p =O(x),等价于(2.1))并指出若\pi(x)\log x/x收敛则极限必为1(类似(2.4)的结果)。

另一方面,(1)是所有使用复分析的证明的起点。分歧在于如何从(1)导出PNT (自然,Riemann猜想将导出比PNT精确得多的结果)。Hadamard和de la Vallée Poussin的证明涉及在\infty处的复杂积分估计。引入Tauber型定理(诸如(2.2))的想法属于Wiener。

“Newman式证明”结合了初等估计和Tauber型定理,尤其是Newman注意到(2.2)的证明可以通过初等的Cauchy积分估计完成而无需用到Fourier理论——尽管在很多人(例如陶哲轩)看来后者在概念上更简单也更富启发性。

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