Cartan-Chern理论的简要总结 Ⅳ


我们将联络和曲率的概念推广到一般的纤维丛上。权威参考书是

Kobayashi, Nomizu  Foundations of differential geometry

纤维丛的拓扑参见Steenrod. 我们再强调一下主丛的万有性:给定G忠实左作用于其上的纤维F,可构造主丛P \to B伴随丛E=(P \times F)/G \to B

Steenrod  The topology of fiber bundles

V_x记纤维\pi^{-1}(x)的切空间。纤维丛的Ehresman联络\Gamma定义为P上的可微分布H,使T_x P分解为垂直子空间V_x与水平子空间H_x的直和,且H_{xa}=dR_a H_xa \in G。定义向量场的投影v:\Gamma(TP)\to \Gamma(V)h:\Gamma(TP)\to \Gamma(H)

记Lie代数\mathfrak{g}V_x的同构为A \mapsto (A^{*})_xA^{*}称为基本向量场。定义\Gamma联络形式\omega \in \Omega^1(P,\mathfrak{g})为满足\omega(X)^{*}=v(X)X \in \Gamma(TP)的唯一1-形式。

\Omega=D\omega称为\Gamma曲率形式,其中协变导数Dp-形式\alpha上的作用定义为D\alpha(X_1, \cdots, X_{p+1})=d\alpha(h(X_1), \cdots, h(X_{p+1}))

我们有Cartan结构方程\displaystyle \Omega(X,Y)=d\omega(X,Y)+[\omega(X),\omega(Y)]。结合Cartan公式d\omega(X,Y)=X \omega(Y)-Y\omega(X)-\omega([X,Y]),推得有用的:\omega[X,Y]=-\Omega(X,Y),若X,Y \in \ker(v)(水平向量场)。

和乐群\phi(x)及限制和乐群\phi^0(x)的定义是熟知的。理论上,和乐群包含了流形的全部结构信息。定义和乐丛P(x_o)x_0所在的道路联通分支,“道路”限定为水平曲线。不难证明P(x_o)是以\phi(x_0)为结构群的主丛。一个常用来“剔除冗余”的结果是

(联络约化定理)P(x_o)P的子丛,且\Gamma限制到P(x_o)上仍为联络。

和乐群对应的Lie代数\eta \in \mathfrak{g}称为和乐代数。其与曲率的关系为

(Ambrose-Singer和乐定理)\eta由形如\Omega_x(X,Y)的元素生成,其中x取遍P(x_o)X,Y取遍H_{x}

研究Riemann流形的和乐群是一个有趣的课题。下面是2份综述报告

伍鸿熙  和乐群   收录于《黎曼几何选讲》

Bryant  Classical, exceptional, and exotic holonomies: a status report

主丛上的联络可以拉回到伴随丛上。事实上,二者一一对应。一个重要的例子是GL(n,\mathbb{R})-主丛(即Cartan的标架丛)和伴随的n阶向量丛,Ehresman联络的拉回成为Koszul联络。这是联络理论的核心结论之一,希望深究的读者可以参考Kobayashi, Nomizu.

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