Cartan-Chern理论的简要总结 Ⅲ


Cartan-Chern理论应用于低维拓扑时体现出新的特征。我们考察4维和3维时的2个例子。

现取M为某4维可定向紧Riemann流形,物理上这是某些时空流形的合适模型。此时自伴随算子*给出\Omega^{2}(M)的一个自同构,且**=1。对应特征值\pm 1有特征空间分解\Omega^{2}(M)=\Omega^{+} \oplus \Omega^{-}。我们称\Omega^{+}中的2-形式为自对偶的,\Omega^{-}中的则称为反自对偶的。根据对应曲率形式的性质,我们也将同样的术语套用于联络上。一个简单的观察是,(反)自对偶联络是Yang-Mills联络。因为对这些曲率形式来说,闭和上闭是等价的。

下面考虑M的“上层结构”。研究Yang-Mills理论的自然框架是M上的k阶Hermite向量丛E(或更一般的,主U(k)丛)。

Chern-Weil理论指出,Chern类c_j(E)的生成函数是\displaystyle \mathrm{det}(I+\frac{i}{2\pi}Ft)=\sum_j c_j(E)t^{j}。给定SU(k)联络DF \in \Omega^2(\mathrm{Ad}(E))是零迹的:\displaystyle c_1(E)=\frac{i}{2\pi}\mathrm{tr}F=0。从而\displaystyle c_2(E)=\frac{\mathrm{tr}(F \wedge F)}{8\pi^2}=\frac{|F^-|^2-|F^+|^2}{8\pi^2},其中F^+F的自对偶部分,F^-是反自对偶部分。

另一方面,Yang-Mills泛函有如下显式:\displaystyle YM(D)=\int_M (|F^-|^2+|F^+|^2)dV

我们知道E的2阶Chern数C_2是不依赖于联络的拓扑不变量。取决于C_2的符号,(反)自对偶联络不仅是Yang-Mills联络,更使Yang-Mills泛函取到最小值8\pi^2 C_2C_2>0时反自对偶(ASD)联络在物理上称为瞬子

注记1:

我们简要介绍Donaldson在这方面的工作。对于给定的C_2E上的瞬子可以用模空间\mathfrak{M}参数化。Donaldson仔细研究了这些模空间。例如,当M单连通,k=2C_2=1时,Donaldson证明\mathfrak{M}是一个含奇点的5维流形,且所有奇性都是“典型”的。这使得他找到了流形的新的微分不变量,从而极大地丰富了对4维微分流形的认识。

Donaldson, Kronheimer  The geometry of 4-manifolds

下面假定M是3维紧流形。此时Yang-Mills泛函的类似物是Chern-Simons泛函。考虑带有度量的平凡丛EG-联络D=d+AG \subset SL(n,\mathbb{R})

Chern-Simons泛函定义为

\displaystyle CS(A)=\int_M \mathrm{tr}(A \wedge dA+\frac{2}{3}A \wedge A \wedge A)

上式中的积分项称为Chern-Simons形式。

注意这一定义不依赖于度量,因而相应的不变量自动成为拓扑不变量。

Chern, Simons    Characteristic forms and geometric invariants

计算指出Chern-Simons泛函的变分方程是F=0,即要求联络D是平坦的。这一要求显然是规范不变的。

一个有趣的现象是,M \times \mathbb{R}上(反)自对偶联络约化到M上给出一个平坦联络,即Yang-Mills泛函和Chern-Simons泛函的临界点之间存在某种“投影”关系。这提供了利用4维规范场论研究3维流形的某种途径。在物理上,这可以理解为引入时间的演化来研究空间结构。

注记2:

上述现象也暗示了4维流形的Donaldson理论与3维流形的Floer同调理论之间可能存在某种联系。这一点由Witten阐明,基本的想法仍是来自物理的。

Witten  Topological quantum field theory

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