Notes on Lie theory: Serre relations and Kac-Moody algebra

Serre relations

Cartan矩阵通过Serre关系唯一确定对应的有限维复半单Lie代数:

(输入信息) rCartan矩阵A=a_{ij},更具体地说,要求a_{ij} \in \Bbb Z满足

(1)a_{ii}=2

(2)a_{ij}\leq 0,若i \neq ja_{ij}=0当且仅当a_{ji}=0

(3)存在分解A=DB,其中D是正对角矩阵,B是正定对称矩阵(从而A在所有主子式为正的意义下“正定”);

\mathfrak g的单根系\lambda_ia_{ij}=(\lambda_i^\wedge,\lambda_j)直接推出(1)(2)。令d_{ij}=2\delta_{ij}/(\lambda_i,\lambda_j)s_{ij}=(\lambda_i,\lambda_j),即得到(3)。注意到由(1)(3)可以推出a_{ij}a_{ji}\leq 4

(Serre算法) 定义3 r个生成向量(e_i,f_i,h_i)并要求其生成的复Lie代数满足

(1)[h_i,h_j]=0[e_i,f_j]=\delta_{ij}h_i

(2)[h_i,e_j]=a_{ij}e_j[h_i,f_j]=-a_{ij}f_j

(3)\mathrm{ad}_{e_i}^{1-a_{ij}}e_j=0\mathrm{ad}_{f_i}^{1-a_{ij}}f_j=0,此处伴随表示\mathrm{ad}_xy=[x,y]

(输出信息) 阶为r的复半单Lie代数\mathfrak g(e_i,f_i,h_i)张成\mathfrak{sl}_2(\Bbb C)三元组(\mathfrak g^{\lambda_i},\mathfrak g^{-\lambda_i},\mathfrak h^{\lambda_i}),Chevalley生成元e_i,f_i满足(e_i,f_i)=2/(\lambda_i,\lambda_i)

特别的,若Cartan矩阵不可分解,则对应的\mathfrak g为复单Lie代数。

最先研究单根系和Chevalley生成元间关系的是Weyl (Chevalley将生成元规范化,Jacobson进行了进一步简化)。证明上述关系是定义关系的是Serre (1966)和Kac (1968),后者由此开始了对Kac-Moody代数的研究。

Serre  Complex semisimple Lie algebras

Kac-Moody algebra

Moody第一个考虑了仅满足(1)(2)的k阶矩阵:广义Cartan矩阵。对于广义Cartan矩阵A,Serre算法给出的复Lie代数可能是无穷维的,这样的复Lie代数称为Kac-Moody代数。称(\mathfrak h,S,S^\wedge)A的实现,若单根\lambda_i \in S满足(\lambda_i^\wedge,\lambda_j)=a_{ij},且余空间\mathfrak h^{c}的秩定义良好:r-k=\dim \mathfrak h-r

以下我们讨论KM代数中最重要的一类:可对称化KM代数。这要求

(3′)存在分解A=DB,其中D是正对角矩阵,B是对称矩阵。

假定讨论的广义Cartan矩阵不可分解,我们可以进一步将可对称化KM代数分为3类:

(有限型) B是正定对称矩阵。这给出经典的有限维复单Lie代数。

(仿射型) B是半正定对称矩阵且有余秩1。这给出仿射Lie代数。仿射Lie代数的分类由仿射Dynkin图给出。和有限维复单Lie代数一样,仿射Lie代数也“稠密”分布在数学的各个领域中:奇点理论,共形场论和弦论(作为特定圈代数量子反常),统计力学(theta函数,模形式,Macdonald恒等式),有限单群,孤立子,等等。

Kac  Infinite dimensional Lie algebras

(不定型) 其它情况。其中人们最感兴趣的是所谓的双曲型KM代数,即要求B的所有真子对角矩阵是有限型或仿射型。不定型的情况极其复杂,直到2010年才完成了所有双曲型Dynkin图分类

Killing形式(在Cartan子代数上的限制)及Weyl群的概念可迁移到可对称化KM代数中:

选定余空间\mathfrak h^{c},我们将K(\lambda_i^\wedge,\lambda_j^\wedge)=b_{ij}延拓到整个\mathfrak h上:K(\mathfrak h^{c},\mathfrak h^{c})=0。这个K可以进一步延拓为KM代数\mathfrak g_A上的不变对称双线型,满足根空间分解下Killing形式的一切性质,遵照Kac,我们称其为标准不变型。

定义Weyl群W为反射s_{\lambda_i}(v)=\lambda_i-(\lambda_i^\wedge,v)\lambda_i生成的群。根系R和标准不变型K都是W-不变的。

Notes on Lie theory: classification of semisimple Lie algebras

紧Lie群是最简单的Lie群,在Lie对应的另一边,半单Lie代数是最简单的Lie代数。(严格)分类所有有限维复半单Lie代数是E.Cartan最伟大的数学贡献之一。

Abstract root systems

给定Euclid空间Ev \in E-\{0\},定义反射\displaystyle s_v(w)=w-\frac{2(v,w)}{(v,v)}v(若引入对偶向量v^\wedge=2v/(v,v),则s_v(w)=w-(v^\wedge,w)v)。

称有限集R \subset E-\{0\}E根系若(1)R张成E;(2)W(R) \subset RWeyl群W\{s_v|v \in R\}生成的有限群;(3)(R^\wedge,R) \in \Bbb Z

(3)又称为晶体限制\displaystyle a_{ij}=(v_i^\wedge,v_j) \in \Bbb Z。另一方面,a_{ij}a_{ji}=4\cos^2 \phi_{ij}(\phi_{ij}v_iv_j间的夹角),故\displaystyle \phi_{ij}=0,\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{3},\frac{\pi}{2},\frac{2\pi}{3},\frac{3\pi}{4},\frac{5\pi}{6},\pi,这相当于要求元素s_{v_1}s_{v_2}W中的阶只能为2,3,4,6.

定义R的秩为E的维数。(E,R)在正交直和下封闭,故有自然的可约/不可约概念。

可以证明R有一组基(单根系,基本根系)S使得R可以分解为\Bbb Z^{+}S\Bbb Z^{-}S的不交并(不唯一),即选定S后可以将R分解为正根R^+和负根R^-

显然W^\wedge=W(R^\wedge,S^\wedge)称为(R,S)的余根系和余单根系。

Classification of the reduced root systems

R称为约化根系若其进一步满足(4)\forall v \in Rv张成的线性空间中仅有\pm v \in R。这是复半单Lie代数分类中会遇到的一类根系。

通过研究Weyl房的结构,可以证明对于约化的RW可迁地作用在所有单根系的集合上。给定任意S\{s_v|v \in S\}足以生成W,并决定整个RR=W(S)

定义SCartan矩阵A=(a_{ij})_{v_i,v_j \in S}A包含了S的所有信息:a_{ij}/a_{ji}决定了v_iv_j的相对长度,a_{ij}a_{ji}决定了夹角\phi_{ij}

综上,为分类约化根系R,只需分类所有Cartan矩阵:

(1)分类\phi_{ij}等价于分类Weyl群。视Weyl群为特殊的Coxeter群,此分类可以用直观的方式展现出来:对S中的每一个元素赋予一个(空心)顶点,根据a_{ij}a_{ji}的值在顶点v_i,v_j间连上0,1,2,3条边,这定义了一张Coxeter图

(2)a_{ij}a_{ji}\geq 2时,可以通过在Coxeter图的边上标上箭头来区分v_iv_j的相对长度:这定义了一张Dynkin图。Dynkin图与Cartan矩阵(从而与约化根系)一一对应。

连通Dynkin图的分类(计入重复)如下:4个无穷系列A_nB_nC_n(n \geq 1),D_n(n \geq 3)以及E_{4-8}F_4G_2。这给出了所有不可约的约化根系。

任何复根系都是某个实根系的典范复化,因而上述结果也分类了所有不可约的复约化根系。

Relation to complex semisimple Lie algebras

回忆\mathfrak g为半单Lie代数时,Cartan子代数\mathfrak h\mathfrak g的极大环状子代数,其所有元素都是半单的,故\mathfrak g可以分解为\mathfrak h和一系列1维特征子空间(对应非零特征值)的直和。

更精细一点,由于\mathrm{ad}_{h_1+h_2}=[h_1+h_2, \cdot]=\mathrm{ad}_{h_1}+\mathrm{ad}_{h_2}\mathrm{ad}_{\mathfrak h}的特征值可以视为\mathfrak h上的线性泛函,由此得到根空间分解:

\displaystyle \mathfrak g=\mathfrak h\oplus \sum_{v\in R} \mathfrak g^v\mathfrak g^v=\{x|\mathrm{ad}_h x=v(h)x, \forall h \in \mathfrak h\}R \subset \mathfrak h^{*}-\{0\}

Killing形式的效应:将\mathfrak g^v\mathfrak g^{-v}非退化地配对,\mathfrak g是这些“对空间”的正交直和。记\mathfrak h^v=[\mathfrak g^v,\mathfrak g^{-v}],则\mathfrak h^v\oplus \mathfrak g^v \oplus \mathfrak g^{-v}同构于\mathfrak{sl}_2(\Bbb C)。对于后者,不难证明R是约化根系,故一般地,R\mathfrak h^{*}(配有非退化的Killing形式)的约化根系。

特别的,如果选定一组正根R^+和正根空间\mathfrak n=\sum_{v\in R^+}\mathfrak g^v,则我们有三角分解\mathfrak g=\mathfrak h \oplus \mathfrak n \oplus \mathfrak n^-\mathfrak b=\mathfrak h \oplus \mathfrak n\mathfrak g的极大可解子代数,称为Borel子代数。类似于Cartan子代数,Borel子代数在共轭意义下唯一。

例  对于\mathfrak{sl}_n(\Bbb C),所有上三角矩阵构成一个Borel子代数\mathfrak b

上面给出的{复半单Lie代数\mathfrak g}\to{复约化根系R}的过程不依赖于Cartan子代数的选取。事实上这个过程是一一对应:给定R的任意Cartan矩阵,可以通过Serre关系唯一确定相应的复半单Lie代数。至此我们完成了所有复半单Lie代数的分类

Real forms

给定复半单Lie代数\mathfrak g,它的实形式\mathfrak g_0也是半单的。所有半单实形式的分类同样由Cartan完成,相应的分类图是Satake图

注意到\mathfrak g_0的Killing形式是非退化的,对角化后+1的个数i(\mathfrak g_0)称为\mathfrak g_0的指标。称\mathfrak g_0为(1)紧实形式:若i(\mathfrak g_0)=0,此时\mathfrak g_0紧Lie代数;(2)分裂实形式:若i(\mathfrak g_0)=r,此时\mathfrak g_0分裂Lie代数

Cartan的分类定理推出复半单Lie代数在同构意义下有且仅有一个紧/分裂实形式。这在Lie群理论和微分几何中均有极其重要的后果:例如,已知紧实形式可实现为某个矩阵Lie代数,通过上述定理我们可以将矩阵Lie代数的特定性质推广到一般Lie代数上。

通过分类定理推出紧实形式的存在性是不太令人满意的。在诸多其他证明中,我们推荐下面这个从第一原理出发的Riemann几何证明:

Donaldson  Lie algebras theory without algebra

典型Lie代数的全表如下(复单Lie代数,紧实形式,分裂实形式):

A_n\mathfrak{sl}_{n+1}(\Bbb C)\mathfrak{su}_{n+1}\mathfrak{sl}_{n+1}(\Bbb R)

B_n\mathfrak{s0}_{2n+1}(\Bbb C)\mathfrak{s0}_{2n+1}\mathfrak{s0}_{n,n+1}

C_n\mathfrak{sp}_{2n}(\Bbb C)\mathfrak{sp}_{n}\mathfrak{sp}_{2n}(\Bbb R)

D_n\mathfrak{so}_{2n}(\Bbb C)\mathfrak{so}_{2n}\mathfrak{so}_{n,n}

对于小整数,这些系列可能有重复,这解释了低维Lie群的例外同构现象

一个紧密相关的问题是所有实半单Lie代数的分类。这也是Cartan在对称空间方面工作的起点——一个通过极为繁复的分类讨论才达到的起点。利用Vogan图我们可以对其稍加简化,一个概览性的讨论见

Knapp  Lie groups beyond an introduction

Notes on Lie theory: compact Lie groups

紧Lie群是酉群的子群。这一事实是整个理论的地标。

作为局部理论,Lie对应绝对依赖于Lie群的(形式)微分结构。另一方面,Schur发现紧Lie群的表示与有限群的表示极为类似,沿着这一线索Weyl建立了以Peter-Weyl定理为中心的整体(积分)理论。一般地,局部紧拓扑群上存在Haar测度,因而有可能建立类似的分析理论。迄今我们仅对交换群(局部紧群上的调和分析)和紧Lie群 (Cartan-Weyl) 有充分的了解,此外对半单Lie群(Harish-Chandra, Gelfand, etc.)也有较好的认识。建立一般的非交换调和分析是当前的研究热点。

我们对Lie群的讨论主要基于局部理论。不过,至少对于连通紧Lie群G,我们希望完整地展示理论的2个方面:此时整体理论简单却极富威力。

From Semi-simple to Compact

如何找出半单Lie群的紧子群?在矩阵论中,极分解从复矩阵中分离出酉部分,这是最基本的模板。一般地,给定复半单Lie代数\mathfrak g和Killing形式K\mathfrak g对合同构\theta称为Cartan对合,若K(x,\theta y)是负定的。非退化Killing形式限定在\theta对应\pm 1的特征空间上时是正定/负定的,因而我们得到

(Cartan分解) \mathfrak g=\mathfrak l \oplus \mathfrak p。子代数\mathfrak l是对应-1的特征空间,有负定的Killing形式,从而是紧Lie代数。

Global Theory 

我们将利用整体理论研究紧Lie群的结构。步骤如下:1.研究紧拓扑群的表示论(Peter-Weyl定理);2.决定紧拓扑群(特别的,紧Lie群)的结构;3.决定紧Lie代数的结构。

1.我们需要之前从Laplace算子的谱分解角度讨论过的:

(Peter-Weyl) 若拓扑群G是紧致的,则(1)G的所有不可约表示\{\pi\}都是有限维的(由Weyl的酉技巧可以进一步假定这些表示都是酉的);(2)\{\pi\}分离G中的点。

2.利用此定理可以回答紧致情形下的Hilbert第5问题(von Neumann):\forall x \neq e \in G,存在某个有限维的不可约酉表示\pi_x使得x(从而x的某个邻域)不属于\pi_x^{-1}(I),因而由G的紧性,对e的邻域系V_n可以找到有限维酉表示\rho_n使得\ker(\rho_n) \subset V_n。另一方面,\mathrm{Im}(\rho_n)是酉群的闭子群,从而也是Lie群:这一讨论给出了将紧拓扑群G表为紧Lie群\mathrm{Im}(\rho_n)的逆向极限的具体构造。

注意到若G是紧Lie群,则它没有小子群,上述逆向极限事实上是有限的,从而推出:任意紧Lie群均有1-1的有限维表示(从而同构于某个U(m)的子群)。

3.过渡到Lie代数:上述事实意味着紧Lie代数\mathfrak g_0是约化的。

更精细一点,因为\mathfrak g_0实形式,故\mathfrak g_0 \subset \mathfrak{so}_{m},由此推出紧Lie代数的Killing形式是半负定的:K(x,x)=\mathrm{tr}((\mathrm{ad}\,x)^2) \leq 0。反过来,可以证明若Killing形式负定,则\mathfrak g是紧(半单)Lie代数。

Local Theory

我们将利用局部理论研究紧Lie群G的极大交换子群。步骤如下:1.研究复Lie代数\mathfrak g的特定子代数;2.研究\mathfrak g_0中的对应子代数;3.推断极大交换子群的性质。

1.称x \in \mathfrak g幂零/半单,若\mathrm{ad}\, x幂零/半单(对于复Lie代数这意味着\mathrm{ad}\, x可对角化)。一般地,记P_x(t)=\sum a_i(x)t^i\mathrm{ad}\, x的特征多项式,则a_n \equiv 1a_0 \equiv 0,使得a_r \not\equiv 0的最小正整数r称为\mathfrak g的秩。

\mathfrak g_x^\lambda\mathrm{ad}\, x对应于特征值\lambda广义特征子空间,熟知有分解\mathfrak g=\mathfrak g_x^0\oplus \sum_{\lambda \neq 0} \mathfrak g_x^\lambda[\mathfrak g_x^{\lambda_1},\mathfrak g_x^{\lambda_2}] \subset \mathfrak g_x^{\lambda_1+\lambda_2},特别的,\mathfrak g_x^0\mathfrak g的子代数。可以证明\mathfrak g_x^0是幂零的,且\mathfrak g_x^0=N_\mathfrak g(\mathfrak g_x^0),这样的幂零子代数称为\mathfrak gCartan子代数。 可以证明\mathfrak g的Cartan子代数必有上述形式且在共轭的意义下唯一(依赖于\Bbb C的代数封闭性),故\mathrm{dim}\, \mathfrak g_x^0=r

\mathfrak g是半单的,则我们有更强的:(1)Cartan子代数\mathfrak h是交换的;(2)\mathfrak h等于其中心化子,从而\mathfrak h\mathfrak g的极大交换子代数;(3)\mathfrak h中的所有元素都是半单的(满足(1)(3)的子代数称为环状子代数,Cartan子代数在环状子代数中是极大的)。

 \mathfrak{sl}_n(\Bbb C)的Cartan子代数由所有对角矩阵构成。

2.称\mathfrak h_0\mathfrak g_0的Cartan子代数,若\mathfrak h\mathfrak g的Cartan子代数。此时我们无法得到唯一的共轭等价类,但可以证明共轭等价类仍是有限的。

现假定\mathfrak g_0是约化Lie代数:\mathfrak g_0=[\mathfrak g_0,\mathfrak g_0]\oplus Z(\mathfrak g_0)。取半单Lie代数[\mathfrak g_0,\mathfrak g_0]的Cartan子代数\mathfrak t_0^{'},则t_0=t_0^{'} \oplus Z(\mathfrak g_0)\mathfrak g_0的极大交换子代数和Cartan子代数。

3.现在可以讨论我们的主结果:在Lie对应下,t_0对应约化Lie群G的极大交换子群。特别地,当G紧致时,Killing的半负定性将允许我们推断\mathfrak g_0的极大交换子代数(如同\mathfrak g那样)两两共轭,由此推出:(1)紧Lie群的极大环面两两共轭;(2)更强的,\forall x \in G均包含在某个共轭类T^r里。由于指数映射在环面上是映满的,这推出指数映射在紧Lie群上总是映满的。

在线性代数里,(2)对应熟知的:任何酉矩阵都共轭于某个对角矩阵。

上述证明属于Weyl。利用Riemann几何,Cartan给出了另一个基于不动点存在定理的证明。第三个证明(Weil)或许是最有启发性的:利用Lefschetz不动点定理可以直接对紧拓扑群证明类似结果。

Notes on Lie theory: structure theory of Lie algebras

我们开始研究Lie代数\mathfrak g(任意基域)的结构。

Basic definitions

我们利用Lie对应将群论概念翻译为Lie代数的语言:正规子群对应Lie代数的理想\mathfrak h,即满足[\mathfrak h,\mathfrak g] \subset \mathfrak h的子代数。常见理想包括Lie代数的中心Z(\mathfrak g)=\{x|[x,\mathfrak g]=0\}以及交换子群(第1导出子群)\mathfrak g^{(1)}=[\mathfrak g,\mathfrak g]。对于一般的子代数\mathfrak h \subset \mathfrak g,定义其正规化子N_\mathfrak g(\mathfrak h)=\{x \in \mathfrak g|[x,\mathfrak h]\subset \mathfrak h\}

Lie代数的基本种类如下:

(1)交换群对应交换Lie代数[\mathfrak g,\mathfrak g]=0。定义降中心列\mathfrak g^{n+1}=[\mathfrak g,\mathfrak g^{n}],若此列在有限项内结束,则称\mathfrak g幂零Lie代数。定义导出列\mathfrak g^{(n+1)}=[\mathfrak g^{(n)},\mathfrak g^{(n)}],若此列在有限项内结束,则称\mathfrak g可解Lie代数。交换Lie代数是幂零的,幂零Lie代数是可解的。我们定义Lie代数的根\mathrm{rad}(\mathfrak g)为所有可解理想的并,这是\mathfrak g的“极大可解部分”。

(2)称没有非平凡理想的非交换Lie代数为单Lie代数。若\mathrm{rad}(\mathfrak g)=0,则称\mathfrak g半单Lie代数。显然所有单Lie代数都是半单的。

Universal enveloping algebra

我们可以将Lie代数“量子化”为泛包络代数U(\mathfrak g)=T(\mathfrak g)/(xy-yx-[x,y]),此处T是作用在线性空间范畴上的张量代数函子。泛包络代数是一个无穷维(除非\mathfrak g=0)的“泛”(universal)含幺结合代数。若将\mathfrak g视为Lie群上的左不变向量场/一阶微分算子,那么U(\mathfrak g)就是所有左不变微分算子构成的代数。

处理“量子代数”(例如,Clifford代数)的经验告诉我们U(\mathfrak g)有一个自然的滤过代数的结构。容易证明每个U_p(\mathfrak g)都是有限维的,且其伴随分次代数是交换的。更精确地,我们有

(Poincaré-Birkhoff-Witt) 若x_1,x_2,\cdots, x_n\mathfrak g的一组有序基,则所有形如x_1^{k_1}\cdots x_n^{k_n} (\sum k_i \leq p)的单项式构成U_p(\mathfrak g)的一组基。

由此推知(与Clifford代数类似的):(1)自然映射\mathfrak g \to U(\mathfrak g)是单射;(2)\mathfrak{g}=\mathfrak{h}\oplus\mathfrak{l}诱导同构U(\mathfrak h) \otimes U(\mathfrak l) \to U(\mathfrak g);(3)U(\mathfrak g)的伴随分次代数同构于S(\mathfrak g)(对称代数),且有\mathfrak g模同构\mathrm{Sym}:S(\mathfrak g)\to U(\mathfrak g):在这个意义上泛包络代数对应于Boson.

Gelfand和Harish-Chandra注意到Lie代数表示\rho: \mathfrak g \to \mathfrak{gl}(V)可以提升为结合代数表示\tilde{\rho}:U(\mathfrak g) \to \mathrm{End}(V)。更精确地说,我们有Abel范畴同构{\mathfrak g的表示}\to{左U(\mathfrak g)模}。这给出了统一理解Lie代数表示论的框架。

下面我们将讨论限制在与Lie群直接相关的Lie代数:\mathfrak g是实的或复的 (当然在证明中我们往往可以假定更一般的,基域有特征0)。

Lie’s and Engel’s theorems

可解Lie代数的典型例子是上三角矩阵,而幂零Lie代数的典型例子是严格上三角矩阵。下面2条定理指出这2个例子在表示论的意义上也是典型的:

(Lie定理)若\rho:\mathfrak{g} \to \mathfrak{gl}(V)是可解Lie代数\mathfrak g在复线性空间V上的表示,则存在V的一组基使得所有\rho(x)均为上三角矩阵。

(Engel定理)若\rho:\mathfrak{g} \to \mathfrak{gl}(V)是幂零Lie代数\mathfrak g在复线性空间V上的表示,则存在V的一组基使得所有\rho(x)均为严格上三角矩阵。特别地,\mathfrak g为幂零Lie代数当且仅当\forall x \in \mathfrak g\mathrm{ad}_x \in \mathrm{End}(\mathfrak g)是幂零的。

Killing form and Cartan’s criterion

给定表示\rho:\mathfrak{g} \to \mathfrak{gl}(V),不难验证B(x,y)=\mathrm{tr}(\rho(x)\rho(y))\mathfrak g上定义了一个对称双线型,且在如下意义上是不变的:B([x,y],z)=B(x,[y,z])

对应于伴随表示\mathrm{ad}的上述对称不变双线型称为Lie代数的Killing形式K(x,y)。由Engel定理推知幂零Lie代数的Killing形式恒等于0。更一般的,我们有

(Cartan判则)\mathfrak g可解当且仅当K([\mathfrak g,\mathfrak g],\mathfrak g)=0\mathfrak g半单当且仅当K非退化。

对于理想\mathfrak h \subset \mathfrak g,其相对于K的正交补\mathfrak h^\bot也是一个理想。非退化的Killing形式将允许我们依照正交关系将\mathfrak g分解为理想的直和,由此推出实/复Lie代数\mathfrak g为半单的当且仅当(1)\mathfrak g可以表为单Lie代数的直和(“半单”的经典定义);(2)\mathfrak g=[\mathfrak g,\mathfrak g]

Levi decomposition

上述讨论显示可解(幂零,交换)Lie代数和半单Lie代数代表了Lie代数谱系的2个极端。综合起来看,我们得以一窥Lie代数的全貌:

(Levi分解)定义在特征0的域上的Lie代数\mathfrak g可分解为\mathrm{rad}(\mathfrak g)和某个半单子代数的半直积

半单Lie代数的理论是“经典”的。稍加推广,我们可以研究(任意基域上的)约化Lie代数\mathfrak g\mathrm{rad}(\mathfrak g)为交换理想(在特征0的域上等价于\mathrm{rad}(\mathfrak g)=Z(\mathfrak g))。由Cartan判则,此时\mathfrak gZ(\mathfrak g)和半单Lie代数[\mathfrak g,\mathfrak g]的直和。
另一方面,可解(甚至幂零)Lie代数的理论则远未完备。
约定今后在讨论实/复Lie代数时,一律用\mathfrak g_0记实Lie代数或某个复Lie代数的实形式\mathfrak g记复Lie代数或某个实Lie代数的复化。由以上讨论,\mathfrak g_0是可解的(幂零的,交换的,半单的,约化的)当且仅当\mathfrak g是可解的(幂零的,交换的,半单的,约化的)。

Notes on Lie theory: basic Lie groups and the Lie correspondence

关于Lie群和Lie代数的系列研究是“好数学”的模本:对象简单自然,理论清晰而富有美感,且有物理意义上(或者更广的,现实意义上)的重要性。我希望较从容地讨论理论的“经典”部分。

今后我们用\Bbb F代表\Bbb R\Bbb C

Basic Lie groups

众所周知,Lie群指的是带有群结构的光滑流形(要求(u,v) \mapsto uvu \mapsto u^{-1}光滑)。

“光滑”与其他范畴的关系如下:每个Lie群都有且仅有一个相容的实解析流形结构,这是Ado定理的推论,在处理局部问题时是特别方便的;连通的局部紧拓扑群可实现为Lie群的逆向极限(Gleason-Yamabe),这回答了Hilbert第5问题

(Cartan) Lie群的闭子群是光滑子流形,从而是子Lie群。

由此知GL(n,\Bbb F)及其所有闭子群都是Lie群。这些矩阵群是最基本、最重要的例子。

同时Lie群也与一般的群操作相容:我们可以定义正规子群,取商群,等等。

Lie群在几何中的重要性在于它经常作为流形的对称群出现。

(1)若Lie群G可迁地作用在流形M上,则称MG齐性空间。此时G有一个纤维丛结构\pi:G\to M(以\forall x \in M稳定子群为纤维)。

(2)G左作用,右作用及伴随作用\mathrm{Ad}:G \to G\mathrm{Ad}_g(h)=ghg^{-1}于自身。

(3)G在线性空间V=\Bbb F^n上的(连续、有理)作用定义了一个V模结构,\rho:G \to GL(V)称为G的(线性)表示。特别地,我们有伴随表示\mathrm{Ad}:G \to GL(T_{e}G)

最后我们提及连通交换Lie群的分类(类比有限生成交换群的分类):G=\Bbb R^n \times T^mT^mm维环面。特别地,连通交换紧Lie群(类比有限交换群)必为环面。

Lie correspondence

T_{e}G的元素可视为一左不变向量场,(局部)可积性条件暗示我们除了线性空间结构外T_{e}G上还有更丰富的结构,注意到这一点的Sophus Lie因而开创了以他命名的Lie theory.

一般地,Lie代数指的是带有二元运算[\cdot,\cdot](Lie括号)的线性空间\mathfrak{g},要求Lie括号满足双线性,斜对称性和Jacobi恒等式(从而\mathfrak{g}是一个反交换的非结合代数)。对于任意Lie群G,切空间T_{e}G有一个自然的Lie代数结构\mathfrak{g},这一点可以说明如下:

\forall x \in T_{e}G均对应某个单参数子群,由此可以将矩阵群的指数映射推广到Lie群。由常微分方程理论知\mathrm{exp}:T_{e}G \to Ge的充分小邻域内是一个微分同胚(对于紧群则是满射)。

通常\mathrm{exp}(x)\mathrm{exp}(y)\neq \mathrm{exp}(x+y)。定义[x,y]为“一阶误差”

\mathrm{exp}(x)\mathrm{exp}(y)=\mathrm{exp}(x+y+[x,y]/2+\cdots)或等价地,定义[x,y]交换子

\mathrm{exp}(x)\mathrm{exp}(y)\mathrm{exp}(-x)\mathrm{exp}(-y)=\mathrm{exp}([x,y]+\cdots)

[\cdot,\cdot]的双线性和斜对称性是显然的,Jacobi恒等式则由Lie群乘法的结合律(精确到一阶项)给出,至此我们已赋予T_{e}G以Lie代数结构,记为\mathfrak{g}=\mathrm{Lie}(G)

(1)[x,y]为Lie群间的态射所保持,特别地,为伴随表示\mathrm{Ad}:G \to GL(\mathfrak{g})保持。作为导射伴随自同态\mathrm{ad}:\mathfrak{g} \to \mathfrak{gl}(\mathfrak{g})满足\mathrm{ad}_x(y)=[x,y]

(2)以上仅考虑了展开的一阶项:事实上由Campbell-Baker-Hausdorff公式,我们知道一阶项[\cdot,\cdot]已包含了连通Lie群的所有群运算信息。连通Lie群的拓扑信息要更微妙一些,尤其是我们知道若G_1G_2的覆叠,则\mathrm{Lie}(G_1)=\mathrm{Lie}(G_2)

对这个问题的最终回答是:将(1)和Lie第3定理精细化,我们可以证明存在

(Lie对应) 函子\mathrm{Lie}:G \mapsto \mathfrak{g}给出连通且单连通的Lie群和有限维Lie代数之间的范畴等价。

这是整个数学中最有用的范畴等价之一。它允许我们将对解析对象(Lie群G)的研究(分类、特殊子群以及表示,等等)转化为对代数对象(Lie代数\mathfrak g)的研究。反之利用可积性定理(例如Frobenius定理)可以证明在Lie对应下\mathfrak g的子代数对应G的闭子群(Chevalley),从而推广了单参数子群的概念。这允许我们将Lie代数的局部信息恢复为Lie群的整体信息。