复多项式的临界点

这周HKU有一个关于复几何的workshop,我得以了解到即使是在初等如单复变函数论的学科中也可能藏着一些棘手的小问题 (这当然让人联想到de Branges对Bieberbach猜想的证明)。下面是T.W.Ng介绍的几个例子,它们或许不如Bieberbach猜想重要,却同样有趣。

Sendov猜想

关于Sendov猜想和方差猜想我们主要参考了综述:

Khavinson, Pereira, Putinar, Saff, Shimorin  Borcea’s variance conjectures on the critical points of polynomials

给定首一复多项式P(z)=(z-z_1)\cdots(z-z_n)(n\geq 2)并假设所有z_i都落在单位闭圆盘B(0;1)中,我们希望考察其临界点(P'(z)的零点)的分布。熟知的一个初等结果是Gauss-Lucas定理:所有临界点都落在\{z_i\}的凸包中(从而落在单位圆盘内)。

(Sendov猜想) 任意B(z_i;1)中都至少含有一个临界点。

令人诧异的是如此简单的一个猜想竟然迄今未获解决,甚至连较满意的部分结果也不多:例如,尚无法对实系数多项式或者次数大于8的多项式证明此猜想。n \leq 8时的证明(依赖于精细的分析手段)见

Brown, Xiang  Proof of the Sendov conjecture for polynomials of degree at most eight

另一些已获证明的(同时也是非常特殊的)情况包括:所有零点都是实的,所有零点都落在单位圆上,所有零点的凸包是三角形等等。参见KPPSS文中的索引。

Borcea方差猜想

V(P)V(P')的非对称Hausdorff距离\displaystyle \max_{z \in V(P)} \min_{w \in V(P')}|z-w|h(P,P')。Sendov猜想可叙述为h(P,P') \leq 1。常数1已无法再加以改进,这诱导Phelps和Rodriguez进一步猜想使h(P,P')取到最大值的P有形式z^n+e^{i\theta}

现定义p方差\sigma_p(P)\displaystyle \min_c(\frac{1}{n}\sum|z_i-c|^p)^{1/p}\sigma_1(P)是零点集V(P)的平均差,\sigma_2(P)为其方差,\sigma_\infty(P)则是Chebyshev半径。由Hölder不等式易见\sigma_p(P)p的递增函数。我们有

(Borcea方差猜想) h(P,P') \leq \sigma_p(P)\forall p \in [1,\infty]。特别地,h(P,P') \leq \sigma_\infty(P) \leq 1将推出Sendov猜想。

KPPSS介绍了2方差猜想和矩阵理论的联系,以及\infty方差猜想和势论的联系。

Smale平均值问题

我们介绍另一个和Sendov猜想齐名的问题。它也位列“Smale问题”的补充名单上:

(Smale平均值问题) 求满足\displaystyle \min_{w \in V(P')}\frac{|P(z)-P(w)|}{|z-w|} \leq C|P'(z)|的最佳常数C。Smale本人证明了C \leq 4并猜想最佳值是1-\frac{1}{n}(对应多项式z^n+\lambda z)。

这个问题源于Smale对多项式求根算法,特别是Newton法研究。有趣的是,这也与Bieberbach猜想有关。

据信n \leq 5的情况已得到证明,但似乎n=5的证明从未正式发表过。

我不知道C(n)的最新纪录是多少。一个近期(2006)的结果\displaystyle 4 \frac{1+(n-2)4^{\frac{1}{n-1}}}{n+1}。这仍渐进地趋于4,可见完整证明之任重道远。

P.S. For a general problem list, see here.

Weierstrass定理:从局部到整体 Ⅱ

我们从研究局部环\mathcal{O}_n的代数性质开始。基本思路和研究多项式环时一致:对n归纳。

(1)\mathcal{O}_n是整环。从“全纯”的观点看,这是局部刚性的简单推论;从“解析”的观点看,这是简单的形式幂级数代数。

下面一律采用“解析”的观点。我们将利用Weierstrass定理把解析问题化归为代数问题。

(2)\mathcal{O}_n是唯一分解整环。由预备定理,只需分解Weierstrass多项式h,而由归纳假设和Gauss引理知\mathcal{O}_{n-1}[z_n]是唯一分解整环。

(3)\mathcal{O}_n是Noether环。由预备定理,不妨假设f \in \mathfrak{A}是Weierstrass多项式。由除法定理,\forall g \in \mathfrak{A}g=hf+rr \in \mathfrak{A}\cap\mathcal{O}_{n-1}[z_n]。由归纳假设和Hilbert基定理知\mathcal{O}_{n-1}[z_n]是Noether环,因而\mathfrak{A}\cap\mathcal{O}_{n-1}[z_n]是有限生成理想,进一步加入生成元f后即可有限生成\mathfrak{A}

这部分内容的代数类比:Drei Sätze von Hilbert Ⅰ

关于有限生成的\mathcal{O}_nM。由(3)知以下3个概念等价:自由模=射影模=平坦模。

解析Hilbert合系定理的如下局部版本成立:M允许一个长度至多为n+1的自由消解0 \to M \to M^{*}

这部分内容的代数类比(整体情形):Drei Sätze von Hilbert Ⅳ

考虑原点处解析子集的芽\mathfrak{V}_n。与代数子集的情况类似,我们仍可定义\mathcal{O}_n的理想与\mathfrak{V}_n间的映射VI。称X \in\mathfrak{V}_n属于某个解析簇,若X=V(\mathfrak{P})\mathfrak{P}是某个素理想。我们有解析Hilbert零点定理\mathfrak{P}=I(V(\mathfrak{P})),换言之,(4)\mathcal{O}_n是Jacobson环。

现在过渡到整体情形。称X\subset U \subset \mathbb{C}^n为解析集,若\forall z \in X,存在邻域U_z使得X \cap U_z \in \mathfrak{V}_{z,n}。 不可约解析集称为解析簇。显然,解析簇是仿射簇/仿射概型在解析范畴中的对应。同样的,X有一个伴随结构层\mathcal{O}_X,而范畴论方面的所有考虑都可以应用于赋环空间(X,\mathcal{O}_X)及其间的态射。

这部分内容的代数类比:Drei Sätze von Hilbert Ⅱ

解析簇的维数理论与代数簇完全类似。我们同样可以基于切空间的维数定义正则点和奇点。非奇异解析簇即熟知的解析流形(基域为\Bbb C时,复流形)。同样的,我们可以考虑奇点消解:在解析簇的双亚纯等价类中是否总能找到非奇异簇?这个问题的肯定回答由冈洁给出。

解析簇的整体化(同时也是概型在解析范畴中的对应)称为解析空间。值得注意的是,复射影空间的解析子簇并未给出“射影解析簇”之类的新对象:由周炜良定理,“射影解析簇”正是“射影代数簇”。这是所谓GAGA型定理的一个特出例子。

Serre  Géométrie algébrique et géométrie analytique (See also the English version here)

对解析空间的研究在很大程度上启发了对概型的研究。例如,可以对比Gunning, Rossi和

Grothendieck  Éléments de géométrie algébrique

这部分内容的代数类比:Drei Sätze von Hilbert Ⅲ

Weierstrass定理:从局部到整体 Ⅰ

这个系列是Drei Sätze von Hilbert的姊妹篇,我们从代数几何转向对多复变函数论与解析几何的讨论。基本的参考书是

Gunning, Rossi  Analytic Functions of Several Complex Variables

Griffiths, Harris  Principles of Algebraic Geometry

原始文献方面,冈洁的10篇文章奠定了整个领域的现代基础:

Oka  Collected Papers

多复变函数的局部理论在很大程度上平行于单复变函数。

给定开集U \subset \mathbb{C}^n上的复函数f \in C^\infty(U),(1)称f为全纯函数,若f满足Cauchy-Riemann方程组\bar{\partial} f=0; (2)称f为解析函数,若\forall w \in Ufw附近有级数展开f(z)=\sum a_{v_1 \cdots v_n}(z_1-w_1)^{v_1}\cdots(z_n-w_n)^{v_n}

关于光滑性条件。由椭圆算子理论知(1)中f的光滑性条件可以大大放宽,例如,放宽到f \in L^2(U):这推广了经典的Goursat定理。与(2)相关的是Hartog定理:若f对每个变元z_i都是解析的,则f \in C(U)。进一步由Osgood引理知fU中解析。

(1)(2)等价:解析函数显然是全纯的;另一方面,单变元全纯函数是解析的,利用Hartog定理和Osgood引理不难过渡到多变元的情形。记U上的全纯/解析函数层为\mathcal{O}_U

“全纯”和“解析”是研究函数论的2种主要观点:代表人物分别是Cauchy和Weierstrass。“全纯”观点应用了许多强力的超越工具,因而与\mathbb{C}不可分离,而“解析”观点则基本上是代数的:同样的工具往往自动适用于形式幂级数f \in K[[z_1,\cdots,z_n]]

属于“全纯”范畴的工具包括(1)Cauchy积分公式:

\displaystyle \partial^{k_1,\cdots,k_n}f(z)=\frac{(k_1!)\cdots(k_n!)}{(2\pi i)^n}\int_{|w_j-\zeta_j|=r_j}\frac{f(\zeta)d\zeta_1\cdots d\zeta_n}{(\zeta_1-z_1)^{k_1+1}\cdots(\zeta_n-z_n)^{k_n+1}}

(2)调和函数:最大模原理,局部刚性以及Schwarz引理。

(3)泛函分析:在紧致开拓扑下,\mathcal{O}_U\mathcal{C}_U的闭子环;对于E \subset \mathbb{C}^n\bar{E}紧致,限制映射r_{ED}:\mathcal{O}_D \to \mathcal{O}_E是紧映射。

下面我们建立2个属于“解析”范畴的工具。以\mathcal{O}_nn变元解析函数层在原点处的芽层。称f \in \mathcal{O}_n对于z_nk阶正则,若视fz_n的单变元函数时其在原点处有k阶零点。我们称\mathcal{O}_{n-1}[z_n]中的首一多项式为Weierstrass多项式。

(Weierstrass预备定理)若f \in \mathcal{O}_n对于z_nk阶正则,则有且仅有一个k次Weierstrass多项式h \in \mathcal{O}_{n-1}[z_n]使得f=ghg\mathcal{O}_n中的单位元。

(Weierstrass除法定理)给定k次Weierstrass多项式h \in \mathcal{O}_{n-1}[z_n]f \in \mathcal{O}_n可唯一表示为f=gh+rg \in \mathcal{O}_nr \in \mathcal{O}_{n-1}[z_n]的次数小于k

变奏1:这2条定理在形式幂级数范畴下的类比当然成立。

变奏2:这2条定理在光滑函数范畴下的类比称为Malgrange预备定理和Mather除法定理。从解析范畴到光滑范畴的过渡是标准的:借助Fourier变换。

Hörmander  The analysis of linear partial differential operators I

椭圆函数论撮要

在考察过亏格为1 的紧Riemann面后,我们插入一段对亏格为1的紧Riemann面上的亚纯函数(椭圆函数)的讨论。我们采用从一般到特殊的途径,从现代的观点出发,回溯到18世纪时对椭圆积分的探索。

紧Riemann面S上的亚纯函数f有如下性质:

a)全纯的f必退化为常数,否则和最大值原理矛盾;

b)若S的亏格大于0,则f在所有极点处的留数和为0。特别的,f至少有2个极点;

c)f的零点数等于极点数(均计入重数)。更一般的,f是到\mathbb{C}P^{1}的有限叶分歧覆叠映射,故以相同的次数取到\mathbb{C}P^{1}上的所有值。

整体上我们有如下定理:

d)记S上的亚纯函数域为\mathfrak{M}(S)。若亚纯函数w是n叶分歧覆叠,则从域扩张的角度看,有[\mathfrak{M}(S):\mathbb{C}(w)]=n。证明分成2个部分:先证明[\mathfrak{M}(S):\mathbb{C}(w)]\leq n,再构造n个在\mathbb{C}(w)上线性无关的亚纯函数,这可以借助Riemann-Roch定理来完成。

我们就亏格为1的情形给出显式构造。由于f至少有2个极点,且留数和为0,一个自然的想法是在复平面上构造原点处奇部为z^{-2}的G-不变函数。基于这一考虑,Weierstrass构造了以他命名的\mathfrak{P}函数:\mathfrak{P}(z)=\frac{1}{z^{2}}+\sum^{\prime}(\frac{1}{(z-\omega)^{2}}-\frac{1}{\omega^{2}})

\sum^{\prime}意为和式取遍格中除0外的所有点,减去\frac{1}{\omega^{2}}是出于保证收敛性的考虑。

在原点处我们有Laurent展开:

\mathfrak{P}(z)=\frac{1}{z^{2}}+\sum_{k=2}^{\infty}(2k-1)G_{k}z^{2k-2},此处G_{k}=\sum^{\prime}\frac{1}{\omega^{2k}}被称为(与格相对应的)Eisenstein级数。计算时采用这一展开式是方便的。

\mathfrak{P}逐项微分得到\mathfrak{P}^{\prime}(z)=-2\sum \frac{1}{(z-\omega)^{3}}。注意到偶函数\mathfrak{P}是到\mathbb{C}P^{1}的2叶分歧覆叠,而奇函数\mathfrak{P}^{\prime} \notin \mathbb{C}(\mathfrak{P}),我们有:

(Weierstrass)\mathfrak{M}(\mathbb{C}/\Lambda)=\mathbb{C}(\mathfrak{P},\mathfrak{P}^{\prime})

这一椭圆函数域的结构定理指出,研究椭圆函数的一般性质可以从研究\mathfrak{P}\mathfrak{P}^{\prime}开始。

(\mathfrak{P}^{\prime})^{2}-4(\mathfrak{P})^{3}+60G_{2}\mathfrak{P}+140G_{3}没有极点且在原点为0,故恒等于0。这与\mathfrak{P}^{\prime}\mathbb{C}(\mathfrak{P})上的2次代数元素相符。

\mathfrak{P}^{\prime}是到\mathbb{C}P^{1}的3叶分歧覆叠,在原点处有3重极点,在\frac{\omega_{1}}{2}\frac{\omega_{2}}{2}\frac{\omega_{1}+\omega_{2}}{2}处各有1重零点。由此我们推得\mathfrak{P}(\frac {\omega_{1}}{2})=e_{1}\mathfrak{P}(\frac {\omega_{2}}{2})=e_{2}\mathfrak{P}(\frac {\omega_{1}+\omega_{2}}{2})=e_{3}是3次方程4w^{3}-60G_{2}w-140G_{3}=0的3个根。由于\mathfrak{P}是2叶覆叠,推出这3根互异,故此3次方程的判别式\Delta \neq 0

这一关键事实有不少推论。在代数几何方面,\Delta \neq 0是形如y^{2}=x^{3}+ax+b的代数曲线能被参数化的充要条件。满足这一条件的代数曲线被称为椭圆曲线。我们顺带指出,可以通过几何操作在椭圆曲线上定义一个Abel群结构,在参数化下给出椭圆函数的加法定理,这是亏格为1的代数曲线所特有的性质。在函数论方面的推论是:所有零点的和等于极点的和。

我们曾提到过,复平面上的格可以用单变量\tau标准化Im(\tau)>0。现将(e_{3}-e_{2})/(e_{1}-e_{2})视为\tau的函数,以上讨论说明这一定义在上半平面的亚纯函数不取0,1,\infty。它正是我们已反复提到的模函数\lambda

最后我们简要介绍椭圆函数产生的历史背景。在\mathbb{C}P^{1}\backslash\{e_{1},e_{2},e_{3},\infty\}上可定义多值函数z=\mathfrak{P}^{-1}(w)。它也可以用积分\int_{\gamma}1/(4w^{3}-60G_{2}w-140G_{3})^{\frac{1}{2}}dw=\int_{\gamma}dz来定义。这种类型的积分最早在计算椭圆周长中出现,故被称为椭圆积分。椭圆积分一般不能表为初等函数,这促使Euler和Legendre对实变量的情形进行了大量研究。但在复变函数论成熟之前,没有人意识到研究其在复平面上的反函数(即椭圆函数)是一个强有力的方法。

椭圆积分的反函数在复平面上具有双周期性是一个绝不明显的事实。作为一个完美主义者,最先发现这一点的Gauss选择了秘而不宣。一般将椭圆函数论的系统发展归功于Abel和Jacobi。他们的成果是19世纪初函数论研究的高峰。

从模函数到单值化定理 Ⅲ

Prologue:

…Finally the last Sections (§19-21) are devoted to the uniformization theory, which was sketched by Klein and Poincaré in an audacious breakthrough and was recently put on a firmer basis by Koebe. Thus we get into the temple where the divinity (if I am allowed to use this image) is restored to itself, from the earthy jail of its particular realization: through the two dimensional non-Euclidean crystal, the archetype of the Riemann surface may be contemplated, pure and liberated from any obscurity or contingency (as far as it is possible)…

——H.Weyl  The Concept of a Riemann Surface

Weyl的这本出版于1913年的书被广泛地认为是第一本用“现代”方法讨论Riemann面的著作。如今通行的对“流形”的定义最早出现在这本书中。附带一提,“线性空间”、“辛群”、“联络”等概念的现代定义也是由Weyl提出的。

我们用\Omega\mathbb{C}上的连通开集,H(\Omega)\Omega上所有解析函数构成的函数空间。内闭一致收敛性在H(\Omega)上定义了自然的拓扑。为方便起见我们也可以赋予H(\Omega)与此拓扑相容的度量。关键性的事实是在此度量下H(\Omega)是完备的:

(Weierstrass) 在\Omega上内闭一致收敛的解析函数列收敛于某解析函数。

在有限维分析的实践中,完备性的如下变体往往更加好用:

(Bolzano-Weierstrass) 完备空间的有界序列有收敛子列。

我们试图将其平行地移植到无穷维的情形。称解析函数族\mathscr{F}是正规的,如果其中任意函数序列有收敛子列。Montel给出了以他命名的正规性判则:

(Montel正规性判则Ⅰ)在任一紧致集上一致有界的解析函数族\mathscr{F}是正规的。

可以预料,Montel正规性判则Ⅰ的主要应用是保证特定函数的存在性。一个经典的例子是Riemann映射定理:

对单连通域D \subsetneq \mathbb{C},在D上单叶解析的函数\{ f: D \to \triangle, f(z_0)=0 \}存在。Schwarz引理的一个推论是,如使\left\vert f^{\prime}(z_0)\right\vert取到极大值的f存在,则其必须映满\triangle。另一方面,利用Montel正规性判则Ⅰ可知此函数族为正规族。同时它也是H(\Omega)中的闭集,故此函数族中确实存在使\left\vert f^{\prime}(z_0)\right\vert取到极大值的单叶函数f

Montel正规性判则Ⅰ将函数空间的“有界性”(“紧致性”)与函数的一致有界性联系起来。这提示我们可以把“转换原理”应用到Montel正规性判则Ⅰ上,得到更强的:

(Montel正规性判则Ⅱ)若亚纯函数族\mathscr{F}\mathbb{\bar{C}}上有3个空隙值,则\mathscr{F}是正规的。

需要补充说明的是,对于亚纯函数族,函数的内闭一致收敛性的定义基于\mathbb{\bar{C}}上的球面度量。

利用Montel正规性判则Ⅱ,我们来证明单复分析中最核心的定理之一:Klein-Poincaré-Koebe单值化定理。

(Klein-Poincaré-Koebe) 单连通的Riemann曲面解析同构于\mathbb{\bar{C}}\mathbb{C}\triangle

证明:首先注意到单连通的紧Riemann曲面有亏格0,故解析同构于\mathbb{\bar{C}}。因而只需证明单连通的开Riemann曲面S解析同构于\mathbb{C}\triangle

S上取一个单连通域序列\{S_{n}\},满足S_{n} \subset \bar{S_{n}} \subset S_{n+1},且S=\bigcup^{\infty}_{n=1} S_{n}。对每个S_{n},我们定义一个“副本”S_{n}^{\prime}。将它们的边缘粘合在一起,得到紧曲面S_{n}^{c}。由于S_{n}具有圆盘的拓扑,S_{n}^{c}具有球面的拓扑,因而解析同构于\mathbb{\bar{C}}

S_{1}上选取p_{0} \neq p_{1},则这两点包含于所有S_{n}S_{n}^{c}中。记p_{0}的“副本”为p_{0}^{\prime}。存在解析同构f_{n}: S_{n}^{c} \to \mathbb{\bar{C}},使得f_{n}(p_{0})=0f_{n}(p_{1})=1f_{n}(p_{0}^{\prime})=\infty。将其限制到S_{n}上,得到单叶函数族\{ f_{n}\}:S_{n} \to \mathbb{C}。由Montel正规性判则Ⅱ,\{f_{n}\}S_{n}\backslash\{p_{0},p_{1}\}上正规,从而在S_{n}上正规。

收敛子序列的极限函数fS上的单叶解析函数。f(p_{0})=0f(p_{1})=1,所以f不是常数,Im(f)\mathbb{C}中的单连通域。若Im(f)=\mathbb{C},则S解析同构于\mathbb{C}。若Im(f) \subsetneq \mathbb{C},则由Riemann映射定理,S解析同构于\triangle

顾名思义,单值化定理与多值函数的“单值化”有关:给定Riemann面S,存在万有覆叠映射\pi:\hat{S} \to S。若f是定义在S上的多值解析函数,则\pi \circ f是定义在单连通的\hat{S}上的多值函数,从而是一个单值函数。单值化定理给出上述\hat{S}的完备分类。

单值化定理、双曲几何及自守函数紧密地联系在一起。我们将在以下几章中讨论这一联系。

最后谈一点数学史。如Weyl所说,这一理论上的突破首先是由Klein和Poincaré取得的。两人在这一课题上的竞争是数学史上饶有兴趣的话题。为此Klein付出了健康上的代价。此后他再也没能做出创造性的工作,而是致力于建设Göttingen学派和编纂数学百科。Poincaré逝世后,法国的数学研究逐渐和主流脱轨,而以Hilbert为核心的Göttingen学派则俨然成为数学界的“正宗”。就这个意义上来说,Klein完成了他的“复仇”。

F.Klein (1849-1925)

从模函数到单值化定理 Ⅱ

Prologue:

要善于“退”,足够地“退”,退到最原始而不失去重要性的地方。

——华罗庚

 

“转换原理”可以粗略地叙述如下:如果对“有界”函数叙述的较弱命题成立,则对“在\mathbb{C}上有2个空隙值”的函数所叙述的较强命题也成立。

 

我们用具体的例子来说明。首先是经典的Liouville定理:

任何一个在\mathbb{C}上有界的全纯函数f必为常值函数。

“转换原理”将其加强为著名的Picard小定理:

任何一个在\mathbb{C}上有2个空隙值的全纯函数F必为常值函数。

 

下面来证明Picard小定理,借以说明“转换原理”的运作机制:

首先注意到,我们可以把Liouville定理中的有界性要求替换为Im(f) \subset \triangle.

假设全纯函数F\mathbb{C}上有2个空隙值。考虑复合函数\mu=\lambda ^{-1} \circ F。任取z_0 \in \mathbb{C}F(z_0)=w_0。在w_0的邻域中\lambda^{-1}可取到某一单值分支。由于\lambda是覆叠映射,定义在单连通域\mathbb{C}上的\mu可延拓成一个单值函数,并满足Im(\mu) \subset \triangle。由Liouville定理,\mu为常值函数,从而F为常值函数。

此证明最早由Picard给出。

C.E.Picard (1856-1941)

 

和Picard小定理相比,Picard大定理更加微妙。我们需要更多的准备。

首先陈述经典的Weierstrass定理:

解析函数在本性奇点的每一邻域中都任意地逼近于任意复数值。

为应用“转换原理”,我们将其重新叙述为(较弱的):

命题1:若解析函数f在孤立奇点的某一邻域内“有界”,则此奇点不是本性奇点(从而是可去奇点或极点)。

此处的“有界”指的是:视\mathbb{\bar{C}}为球面,则此邻域的象包含在球面上的某大圆中。对于可去奇点,其邻域的象点“聚拢”到复平面上的某一常点;对于极点则“聚拢”到无穷远点。在这两种情况下,我们都得到广义的“有界性”。而对于本性奇点,任一邻域的象都“分散”在整个球面上。

通过一个Möbius变换,我们可以进一步将“广义有界”的要求替换为:存在某邻域的象落在\triangle中。

同时我们也对“转换原理”稍作推广:对\mathbb{\bar{C}}上的广义“有界”函数成立的命题对“在\mathbb{\bar{C}}上有3个空隙值”的函数亦成立。

不妨假定奇点为0。推广后的“转换原理”将命题1转换为Picard大定理:若解析函数F: \mathbb{\bar{C}}\backslash\{0\} \to \mathbb{\bar{C}}在奇点的某一邻域内有3个空隙值(计入\infty),则0不是本性奇点。

换言之,解析函数在本性奇点的任一邻域中至多有2个空隙值(计入\infty)。

证明:选取以0为圆心且半径充分小的穿孔圆盘\Omega\backslash\{0\}使其满足假设。将F 限制到\Omega\backslash\{0\}上。同样的,考虑复合函数\mu=\lambda ^{-1} \circ F。此处的困难是\Omega\backslash\{0\}并非单连通域,故证明Picard小定理时所用的解析延拓未必给出单值函数。这要求我们推广命题1为:

命题2:若多值解析函数f(更准确地说,给定的初始函数芽在穿孔圆盘上延拓而成的全局解析函数)在孤立奇点的某一邻域内“有界”,则此奇点是代数奇点(支点)。

一个简单的证明手法是利用单值化定理对f进行单值化,从而化归为命题1。

总而言之,就其本质而言,Picard大定理是一个应当在Riemann面上陈述的定理。

 

最后我们希望对“转换原理”做一个一般的讨论。复分析中隶属于值分布论的结果一般都是比较深刻的。“转换原理”允许我们“足够地退”,退到论证“有界性”。讨论后者时,常有更多分析的手段可以采用。例如Liouville定理和Weierstrass定理都可以通过初等估计来证明。在第3章中我们要将函数的有界性和函数空间的“紧致性”联系起来。

从模函数到单值化定理 Ⅰ

Prologue :

M.C. Escher (1898-1972)

Circle Limit IV

 

下面的两组定理几乎覆盖了单复分析的全部内容:

Liouville定理                            Picard小定理

Weierstrass定理                     Picard大定理

Montel正规族判则Ⅰ               Montel正规族判则Ⅱ

Riemann映射定理                  Klein-Poincaré-Koebe单值化定理

本文试图处理这两组定理之间的“平行”关系。具体地说,可以建立某个“转换原理”,实现从前一组定理(较易)到另一组定理(较难)的自然转换。这一想法最先被Picard应用于证明两条以他命名的深刻定理。然而其应用尚不止于此。尤其是,用这一想法可以给出单复分析中的核心定理:Klein-Poincaré-Koebe单值化定理的一个证明。我们拟围绕单值化定理做多一些的讨论。

 

“转换原理”的核心是所谓的模函数\lambda。历史上,模函数\lambda是数学家研究椭圆函数时得到的副产品。

可以绕开椭圆函数直接构造\lambda。这正是Escher在Circle Limit IV中所做的事情。我们用严格的数学语言来叙述:

如图,根据Riemann映射定理,存在\lambda: D \to \mathbb{H}将单连通区域D共形地映射到上半平面\mathbb{H},并将a,b,c三点分别映为0,1,\infty. Schwartz反射原理允许我们将\lambda延拓到邻近的3个暗色区域上,将其共形地映为下半平面。在暗色区域上定义的\lambda又可以进一步延拓到邻近的亮色区域上。重复此过程,我们得到定义在整个单位圆上的全纯函数\lambda: \triangle \to \mathbb{C},取遍除0,1外的一切值。

注意到单位圆\triangle和上半平面\mathbb{H}共形等价,将\lambda拉回到\mathbb{H}上,即和椭圆函数论中模函数\lambda的定义一致。

容易验证\lambda\triangle \mathbb{C}\backslash\{0,1\}的万有覆叠映射,\lambda^{-1}是可以严格定义的多值解析函数。