How to construct compact non-Kähler manifolds?

并不十分困难的经典问题(当然,是在前人示范之后!),却在2天之内碰到了2次:做oral prensentation时导师问到这个问题,紧接着在阅读一位Princeton Phd Candidate的general exam记录时注意到田刚问了他相同的问题。

问题是这样的:Kähler流形同时是Riemann流形、复流形和辛流形。我们希望仔细地考察这三个包含关系,更具体地,

(Q1)是否所有可定向的偶数维(紧)Riemann流形都有相容的Kähler结构?

(Q2)是否所有(紧)复流形都有相容的Kähler结构?

(Q3)是否所有(紧)辛流形都有相容的Kähler结构?

在2维,这3个问题的答案都是肯定的,这本质上是单值化定理的推论。

在高维,Hodge理论提供了非平凡的拓扑障碍:Betti数b_{2k+1}必须是偶数。我们立即得到(Q1)的否定回答:Riemann度量的存在是没有拓扑障碍的(利用度量的凸性和单位分解,或者利用O(n)GL_n(\Bbb R)的形变收缩核并考虑结构群的约化)。

复结构和辛结构的存在均有非平凡(且理解得不太好)的拓扑障碍,因而(Q2)和(Q3)的答案并非显然。

一般来说,构造流形的方法大致有:(1)考虑各种“元件”的装配:乘积,纤维化,连通和,等等;(2)考虑特定流形的子流形,特别地,考虑特定函数或函数族的水平集或零点集;(3)考虑特定流形在群作用下的商流形。(3)允许我们控制\pi_1(选择适当的离散群作为覆叠群),从而通过Hurewicz定理控制b_1。这提供了一个构造反例的思路:(a)选择足够简单的单连通复/辛流形\tilde{M};(b)构造\mathrm{Aut}(\tilde{M})的离散子群\Gamma使得(b1)M=\tilde{M}/\Gamma是紧流形;(b2)\Gamma/[\Gamma,\Gamma](\Gamma的Abel化)的秩为奇数。

不容许Kähler结构的紧复流形的第一个例子是由Hopf(1948,在Kähler几何以及Hodge理论创立后不久)得到的:(a)选取复流形\Bbb C^2-\{0\};(b)令\gamma:(x,y) \mapsto (ax,by)0<|a|\leq |b|<1\Gamma是由\gamma生成的循环群。

记商流形为M_1。显然b_1(M_1)=1。事实上b_2(M_1)=0M_1甚至不是辛流形。

注记1 小平邦彦(1966, 1968)分类了满足如下条件的紧复曲面:(1)b_2=0;(2)\Bbb Z包含于\pi_1的中心,且\pi_1/\Bbb Z是有限群。为纪念Hopf,通常称它们为Hopf曲面。它们是Kodaira维数-\infty的非Kähler曲面(通常称为类型VII)的例子。

注记2 已知b_1为偶数也是紧复曲面容许Kähler结构的充分条件(Lamari, 1999; 独立地,Buchdahl, 1999)。特别地,所有单连通紧复曲面都容许Kähler结构。

人们一度猜想紧辛流形一定是Kähler流形,或者至少,由于紧Kähler满足强Lefschetz定理(从而是有理同伦论意义下的形式空间),人们猜想强Lefshetz定理在辛流形上的形式类比成立,换言之,所有辛流形都是Lefschetz流形

1971年Thurston找到一个反例:(a)选取带有标准辛结构的\Bbb R^4;(b)考虑由如下4个辛同胚生成的\Gamma

\gamma_1:(p_1,q_1,p_2,q_2) \mapsto (p_1,q_1,p_2+1,q_2)

\gamma_2:(p_1,q_1,p_2,q_2) \mapsto (p_1,q_1,p_2,q_2+1)

\gamma_3:(p_1,q_1,p_2,q_2) \mapsto (p_1+1,q_1,p_2,q_2)

\gamma_4:(p_1,q_1,p_2,q_2) \mapsto (p_1,q_1+1,p_2+q_2,q_2)

记商流形为M_2。易见\Gamma/[\Gamma,\Gamma]的秩为3,即b_1(M_2)=3

注记3 M_2的构造有更深刻的背景,我们拟简单地介绍之。

称微分流形为幂零流形,若存在某个幂零Lie群可迁地作用在此流形上。换言之,幂零流形是对称空间:同胚于幂零Lie群模去某个闭子群。紧幂零流形总可以实现为某个单连通幂零Lie群模去余紧的离散子群(Mal’cev)。已知除环面外(对应交换Lie群),它们都不是形式空间,更不容许Kähler结构。

Hasegawa  Minimal models of nilmanifolds

这类流形中维数最低的例子是Heisenberg流形HHeisenberg群(有微分同胚型\Bbb R^3)模去离散Heisenberg群。在Thurston对3维几何的分类中,Heisenberg流形代表了一类基本的几何:幂零几何。一方面,M_2=H \times S^1也是幂零流形。另一方面,Thurston知道所有3维幂零流形都是T^2T^1纤维化,因而M_2是辛流形并非偶然:它是辛环面上的辛环面丛!

事实上M_2恰巧也是复曲面(作为椭圆曲线在椭圆曲线上的纤维化,椭圆曲面)。更精确地,它有Kodaira维数0,属于Enriques-Kodaira分类中的一类:Kodaira曲面。就这个意义上来说,小平邦彦才是发现这个例子的第一人(文献中通常称M_2为Kodaira-Thurston流形),可惜他没有从辛几何的角度考虑问题。

注记4 与注记2相反,存在不容许Kähler结构的单连通辛4-流形(McDuff)。显然这不可能通过思路(3)得到。McDuff采用思路(2),并本质地利用了Gromov的伪全纯曲线理论

注记5  已知任意有限展示群都可以实现为2n维辛流形(n \geq 2)的基本群(Gompf,他的构造方法是取辛流形的连通和,即思路(1))。另一方面,已知类似的结论对Kähler流形是不成立的,从而给出了更多反例。

我们以一张4维紧流形的清单来结束讨论:首先注意到(殆)辛流形一定是殆复流形(U(n)Sp_{2n}(\Bbb R)的形变收缩核)。

(1)S^4不是殆复流形。

(2)\Bbb CP^2\#\Bbb CP^2\#\Bbb CP^2是殆复流形,但不是辛流形(Taubes),从而不是复流形(否则由注记2它必须是Kähler流形)。

(3)Hopf曲面M_1是复流形,但不是辛流形。

(4)环面上的环面丛是辛流形,但通常不是复流形,绝不可能是Kähler流形(作为幂零流形)。

(5)Kodaira-Thurston流形M_2是(4)中的特例:它是复流形。

Riemann和乐群,对称空间和Berger分类

Riemann和乐群的概念由来已久。E.Cartan和陈省身曾对这个概念在Riemann几何中的作用抱有很高期望。关于相关的历史,我们推荐伍鸿熙在《黎曼几何选讲》中的介绍。

这个方向的研究在Berger证明了他的Riemann和乐群分类定理后陷入沉寂:可能的特殊和乐群过于稀少,几乎不能用于Riemann流形的区分。但在Riemann几何和复几何趋于成熟后,对特殊和乐群的兴趣在70年代末又重新抬头。例如,Calabi猜想的证明允许我们批量构造有特殊和乐SU_mSp_m的紧流形。另一个直接的推动来自超弦理论:超对称的存在要求理论的背景流形有特殊和乐群,这使得特殊和乐群一跃而进入现代数学物理的核心。

讨论和乐群的经典是Besse的Einstein Manifolds (Besse是以Berger为首的一群法国几何学家模仿Bourbaki的成例而取的笔名,因而这本书可以视为Berger的夫子自道)。Joyce的Compact manifolds with special holonomyRiemannian holonomy groups and calibrated geometry是2本值得参考的现代著作。

以下讨论中将反复出现如下模式:(1)定义某个概念的整体版本;(2)定义此概念的局部版本(并给出张量刻画);(3)研究“整体=局部”的障碍(大多是基本群)。为此我们做如下准备:

流形M上的所有连通开集\{U_i\}及它们间的包含态射\psi_{ij}构成范畴\mathrm{Op}。考虑\mathrm{Op}到某范畴的反变函子FF(U_i)间定义有自然的限制态射。F(M)称为整体对象。考虑x \in M和包含x的所有开集U_IF(U_I)的逆向极限F_x称为x处的点态对象。若对于充分小的U_IF(U_I)已保持稳定,则称这个稳定对象为x附近的局部对象。局部对象未必存在,但存在时必定等于点态对象。

Holonomy

假定Lie群G是紧致的,给定带有联络\nablaG向量丛E \to M,我们定义\mathrm{Op}G的子Lie群的函子\mathrm{Hol}如下:以x \in U_i为基点的分段光滑闭曲线\gamma \subset U_i通过平行移动诱导g_\gamma \in G,这给出群同态\rho:\Omega(U_i,x) \to G,其同态像称为(以x为基点的)和乐群\mathrm{Hol}_x(\nabla,U_i)。作为抽象群,和乐群不依赖于基点的选取,故\mathrm{Hol}(\nabla,U_i)定义良好(且是G的子Lie群)。\mathrm{Hol}(\nabla)=\mathrm{Hol}(\nabla,M)称为整体和乐群。

前述意义下的局部和乐群通常不存在,但有性质良好的替代品:定义限制和乐群\mathrm{Hol}^0(\nabla)\rho(\Omega^0(M,x))(同样不依赖于基点的选取)。可以证明若点态和乐群\mathrm{Hol}(\nabla,x)的维数在局部为常数,则在同一局部有\mathrm{Hol}(\nabla,x)=\mathrm{Hol}^0(\nabla)

整体上,我们有映满的单值表示\pi_1(M) \to \mathrm{Hol}(\nabla)/\mathrm{Hol}^0(\nabla)。对这个表示的理解还很不充分,当前只能先研究流形的限制和乐群\mathrm{Hol}^0(\nabla),或等价地,(作为万有覆叠的)单连通流形的整体和乐群(由于\mathrm{Hol}^0(\nabla)=\mathrm{Hol}^0(\tilde{\nabla})=\mathrm{Hol}(\tilde{\nabla}))。

Riemann流形(M,g)上的Levi-Civita联络给出和乐群\mathrm{Hol}(g)。此时\mathrm{Hol}^0(g)是连通的,从而是\mathrm{Hol}(\nabla)包含幺元的连通分支且包含于SO_n

(和乐问题) 哪些SO_n的子群可实现为单连通流形的Riemann和乐群\mathrm{Hol}(g)

Represention

(U,g)可以表为(U_1,g_1) \times (U_2,g_2)U_i的维数大于0,则称Riemann度量gU上可约,此时\mathrm{Hol}(g,U)=\mathrm{Hol}(g_1,U_1)\times \mathrm{Hol}(g_2,U_2)

gx附近局部可约当且仅当\mathrm{Hol}^0(g)T_xM上的表示完全可约:T_xM=\oplus \Bbb R^{n_i},此时\mathrm{Hol}^0(g)=\prod H_iH_iSO(n_i)的连通子群且不可约地作用在\Bbb R^{n_i}上(从而是闭的)。特别地,这推出

(Borel-Lichnerowicz)\mathrm{Hol}^0(g)SO_n的闭子群。

(de Rham分解定理) 在单连通流形上,在某点附近局部可约的完备Riemann度量也是整体可约的:M=\prod M_i\mathrm{Hol}(g)=\prod \mathrm{Hol}(g_i)

因此为分类单连通流形的Riemann和乐群,我们只需考虑度量g不可约的情况。

上述表示论考虑可以进一步应用于一般张量上。事实上,和乐群的约化等价于存在更多平行张量场:度量g,殆复结构J,全纯体积形式\theta,Ricci曲率\mathrm{Ric}……

可以想见,和乐群的Lie代数应该有一个纯张量描述。

(Ambrose-Singer)和乐代数\mathfrak{h}_x \subset \mathfrak{so}_n由形如\mathrm{Ad}_{\rho(\gamma)}R(\rho(\gamma)X,\rho(\gamma)Y)的元素生成,其中\gamma是从x出发的任意分段光滑曲线,X,Y \in TM_xR为曲率形式。

另一个紧密相关的论题是特殊和乐群与平行旋量场的关系(也是特殊和乐群出现在超弦理论中的原因)。我们希望另文讨论这个问题。

Symmetry spaces

讨论对称空间的最权威著作无疑是

Helgason  Differential geometry, Lie groups, and symmetric spaces

给定(U,g),若对x \in U恒存在等距自同构s_x: U \to U满足s_x^2=Ixs_x的离散不动点,则称Riemann度量gU上对称。整体对称的Riemann流形(M,g)称为对称空间。局部对称度量和局部对称空间有简单的张量刻画:

(Cartan–Ambrose–Hicks) gx附近局部对称当且仅当在x附近\nabla R=0

(Cartan)在单连通流形上,在某点附近局部对称的完备Riemann度量也是整体对称的。换言之,局部对称空间一定局部等距同构于某单连通对称空间。

E.Cartan完全搞清了对称空间M的结构:令G为形如s_x \circ s_y的等距自同构生成的等距群(由Myers-Steenrod定理G是有限维连通Lie群),则G可迁地作用在M上,M等距同构于齐次空间G/HH迷向群。反之,给定实半单Lie代数\mathfrak g,考虑其Cartan分解\mathfrak g=\mathfrak h \oplus \mathfrak m,则在Lie群的层面上,G/H给出对称空间M,Cartan对合给出M的等距自同构。基于他对实半单Lie代数的分类,上述观察使得Cartan能分类所有对称空间。特别地,\mathrm{Hol}^0(g)=H,由此也分类了所有对称空间的和乐群。

对称空间有许多重要的性质,我们仅提到如下2个和当前讨论密切相关的:

(1)对称空间是Ricci平坦的当且仅当它是平坦的。特别地,若特殊和乐群迫使流形Ricci平坦(例如SU_mSp_m),则它们无法实现为对称空间的和乐群。

(2)定义对称空间(M,g)的秩为其极大全测地平坦子流形的维数/\mathfrak m的极大交换子代数的维数。对于局部对称的且局部不可约的g\mathrm{Hol}_x^0(g)可迁地作用在单位球S^{n-1} \subset TM_x上当且仅当M的秩为1。

Berger-Simons classification

以下假定Riemann度量g局部不可约且局部不对称,我们希望研究\mathrm{Hol}^0(g)

(Berger思路) 曲率形式R必须满足(代数)Bianchi恒等式,从而通过Ambrose-Singer定理限制了可能的和乐代数。通过逐项考察Cartan的单Lie群分类表,Berger发现绝大多数情况下这一限制强到迫使\nabla R=0,余下的单Lie群仅有8类,构成所谓的Berger名单。

(Simons思路) Simons注意到Berger名单加上Sp_n SO_1给出所有在单位球上有可迁作用的连通紧Lie群(Borel; Montgomery-Samuelson),由此提出Berger分类的如下形式:对于局部不可约且局部不对称的g\mathrm{Hol}^0(g)在单位球上的作用是可迁的。

(Berger-Simons分类)\mathrm{Hol}^0(g)仅有如下7种可能:SO_nU_m(n=2m),SU_m(n=2mm \geq 2),Sp_m(n=4m),Sp_m\cdot Sp_1(n=4m),Spin_7(n=8)和G_2(n=7)。

实际上Berger名单上还包括Spin_9(n=16)。但后来更精细的考量说明此时g必定是局部对称的(Alekseevskii; Brown-Gray)。

上述7类Lie群中仅有SO_nU_mSp_m\cdot Sp_1可以实现为对称空间的和乐群 (简单的例子是S^n\Bbb CP^m\Bbb HP^m)。另一方面,Berger和Simons并未证明上述7类Lie群均能实现为局部不可约且局部不对称的度量的限制和乐群。相关构造直到90年代中期才得到较好的理解,从而完全解决了和乐问题:

(1)SO_n:此类Riemann流形是“典型”的。它们包含了(几乎)所有奇数维流形。

(2)\mathrm{Hol}^0(M)\subset U_m的流形M^n容许满足平行殆复结构J,故为Kähler流形。特别地,U_1=SO_2显示所有可定向紧曲面都容许Kähler度量。

对Kähler几何的理解已较为深入。已知“非典型”Kähler流形满足c_1(M)=0,其余Kähler流形都是“典型”的,这包含了大量的例子。

(3)\mathrm{Hol}^0(M)\subset SU_m的Kähler流形M^n称为Calabi-Yau流形。上述和乐群约化等价于(1)M有全纯的体积形式\theta;(2)\tilde{M}有平凡的典范线丛;(3)M上存在Ricci平坦的Kähler度量;(4)c_1(M)=0(后两者在紧流形上的等价性依赖于Calabi猜想)。

m \geq 3时,表示的不可约性推出h^{2,0}=h^{0,2}=0,从而由Kodaira嵌入定理,“典型”的紧CY流形M是代数流形。由Calabi猜想,此时只需构造第一Chern类消没的代数簇,这并不困难。

(4)\mathrm{Hol}^0(M)\subset Sp_m的CY流形M^n称为超Kähler流形,它们有Ricci平坦的Kähler度量。特别地,Sp_1=SU_2显示所有紧CY曲面(复环面K3曲面)都容许超Kähler度量。

给定3个典范复结构J_i(i=1,2,3),它们将生成\Bbb CP^1个复结构,每个都对应一个相容的Kähler度量,这是超Kähler流形得名的缘由。令Z=M \times \Bbb CP^1Z上有自然的可积殆复结构,从而是复流形,称为M扭子空间

Calabi最先构造出高维的非紧“典型”超Kähler流形。紧致的“典型”超Kähler流形的构造通常要依赖于Calabi猜想(Fujiki, Beauville, etc.)。

(5)\mathrm{Hol}^0(M)\subset Sp_m\cdot Sp_1的流形M^n称为四元Kähler流形。它们通常不是Kähler流形,但在m \geq 2时一定是Einstein流形(Berger)。特别地,Sp_1Sp_1=SO_4解释了4维Yang-Mills理论的存在。

关于四元Kähler流形的扭子空间的结构,参见

Salamon  Quaternionic Kähler manifolds

非局部对称的非紧致“典型”四元Kähler流形的例子由Alekseevskii, Galicki, Lawson等人给出。一个开问题是构造非局部对称的紧致Riemann流形,使其同时具有正标量曲率及和乐群\mathrm{Hol}^0(M)=Sp_m\cdot Sp_1

(6)\mathrm{Hol}^0(M)Spin_7G_2的流形M^n都是Ricci平坦的(Bonan)。此类非紧流形的存在性是由Bryant和Salamon建立的,紧致例子的构造则是Joyce的工作,参见他的专著Compact manifolds with special holonomy.

Calabi猜想,Calabi-Yau流形和Kähler-Einstein度量

Calabi以一系列关于高维Kähler流形何时容许Kähler-Einstein度量的猜想闻名。此类问题最早可以追溯到单值化定理:任意Riemann面均容许唯一的KE度量。在近代,这是几何分析方法大展拳脚的领域。

几天前Donaldson团队(陈秀雄,S.Donaldson,孙崧)宣布他们解决了这一方向上的最后一个经典问题(几乎同时,田刚在Lawson 70寿辰的会议上宣布了同样的结果——感谢K君告知)。

以此为契机,我们希望回顾和总结已知的结果。

Calabi conjectures

弦论的基本假设是存在高维的“真实时空”(例如,Kähler流形)作为4维时空(Lorentz流形)上的纤维丛,这使得研究Kähler度量(弦论)和相应Ricci曲率(广义相对论)的关系成为有趣的课题。

给定紧Kähler流形(M,J,g,\omega),定义Ricci形式\rho(x,y)=\mathrm{Ric}(Jx,y)。熟知作为闭(1,1)形式,[\rho]=2\pi c_1(M)。反过来,我们有著名的

(Calabi猜想)若闭(1,1)形式\rho'满足[\rho']=2\pi c_1(M),则M上存在唯一的Kähler度量g'满足[\omega']=[\omega]且以\rho'作为Ricci形式。

Kähler-Einstein度量对应真空Einstein场方程的解:\mathrm{Ric}=kg(或\rho=k\omega)。宇宙常数消没(k=0)的情况是最基本的,此时Calabi猜想推出

(KE度量的Calabi猜想 Ⅰ)c_1=0M容许Ricci平坦的Kähler度量。

Ricci平坦的紧Kähler流形即Calabi-Yau流形。KE度量的Calabi猜想 Ⅰ使得大量构造CY流形成为可能:事实上除了部分复环面K3曲面,典型的CY流形都来自c_1=0的代数流形。

CY流形有许多重要的应用。例如,单连通CY流形允许和乐群约化U(n) \to SU(n),这使得3维CY流形成为超弦理论的基本模型:特殊和乐群SU(3)是超对称存在的必要条件。

Candelas, Horowitz, Strominger, Witten  Vacuum configurations for superstrings

关于CY流形的几何,最完备的网络资料应当是丘成桐本人在Scholarpedia上撰写的条目Calabi-Yau manifold.

一般的,我们希望给出M容许KE度量的判据。不妨假设k=\pm1g的正定性推出相应的第一Chern类必须是正/负的。由Kodaira嵌入定理,此时紧Kähler流形M典范线丛K/反典范线丛K^*是丰富的,从而是代数流形。前一类代数流形有极大的Kodaira维数,因而属于一般型,后一类非典型代数流形则称为Fano流形

(KE度量的Calabi猜想 Ⅱ)c_1<0M容许唯一的KE度量g'使得k=-1

由此可以证明对c_1<0的代数流形M^n,其Chern数满足

(Bogomolov–Miyaoka–Yau不等式) (2n+2)(-c_1)^{n-2}c_2 \geq n(-c_1)^n

Yau  Calabi’s conjecture and some new results in algebraic geometry

我们将会看到,c_1>0的情况要复杂得多:一般来说,无法保证KE度量的存在性和唯一性。

最后是关于一般Einstein流形的评论。除了4维的Hitchin-Thorpe不等式,尚不知道Einstein度量对Riemann流形的其他拓扑限制。除了考虑齐性空间和利用Calabi猜想的解,也不存在一般性地构造Einstein度量的方法。

The work of Yau and Aubin

我们记Kähler形式的扰动为\omega'=\omega+\frac{1}{2}dd^c\phi(或等价地,Kähler度量的扰动h'_{\alpha\bar\beta}=h_{\alpha\bar\beta}+\partial_\alpha\partial_{\bar\beta}\phi)。后者带来体积形式的扰动(\omega')^n=D(\phi)\omega^n(或等价地,D(\phi)=\mathrm{det}(h_{\alpha\bar\beta}+\partial_\alpha\partial_{\bar\beta}\phi)/\mathrm{det}(h_{\alpha\bar\beta}))。整体上,体积不变给出规范化条件\int_M D dV_g=\mathrm{Vol}(M)

若令\frac{1}{2}dd^c f=\rho-\rho',则局部上f必须满足dd^c(f-\log D)=0。我们记D=Ce^f,常数C由规范化条件唯一确定。

(Calabi猜想,PDE版本)给定紧Kähler流形M上的光滑函数fD(\phi)=Ce^f在相差常数意义下有唯一的光滑解\phi

若令\frac{1}{2}dd^c f=\rho-k\omega,则局部上f必须满足dd^c(f-\log D-k\phi)=0

(KE度量的Calabi猜想 Ⅱ,PDE版本)给定c_1<0的紧Kähler流形M上的光滑函数fD(\phi)=e^{f+\phi}在相差常数意义下有唯一的光滑解\phi

形如D(\phi)=\exp[F(\phi,x)]F:I \times M \to \mathbb R的二阶非线性椭圆方程称为复Monge–Ampère方程。解的光滑性依赖于标准的椭圆算子理论。Calabi本人在\partial_t F \geq 0的假设下证明了解的唯一性,并注意到k=1(\partial_t F=-1)可能导致唯一性失效。

丘成桐获得Fields奖章的主要工作之一对上述2个复Monge–Ampère方程证明了解的存在性。他采用的是求解非线性PDE的标准方法:连续性方法

Yau  On the Ricci curvature of a compact Kähler manifold and the complex Monge-Ampère equation. I

独立于丘成桐,Aubin也得到了KE度量的Calabi猜想 Ⅰ的证明,他的变分方法较丘的连续性方法繁琐。在下面这部专著里,Aubin用改进了的连续性方法讨论复Monge-Ampère方程:

Aubin  Some nonlinear problems in Riemannian geometry

具体地说,定义f的形变族tft \in [0,1]t=0时方程可解。事实上使方程有解的参数t构成集合T=[0,1]:通常T是相对开集可以通过特定Banach空间上的反函数定理得到(\partial_t F=-1再次带来困难:无法保证线性化后的算子可逆),T是相对闭集则依赖于对解的先验估计,以保证解在形变下不发生破裂。找到足够强的先验估计绝非易事,这是丘成桐最主要的贡献。

上述存在性证明并未给出紧Kähler流形上KE度量的具体构造方法。此外,进一步考虑开Kähler流形上的KE度量也是重要的。几何分析学派在这些问题上都取得了重要进展,但还有许多一般性的工作有待完成。

The positive case

在丘成桐和Aubin的工作之后,寻找Fano流形容许KE度量的充分必要条件一直是研究的热点。方法论方面,几何分析的考虑仍是最主要的(C_0估计,L^2估计,等等)。另一方面,几何不变量理论提供了2条最重要的线索:

(1)考虑M的自同构群H。唯一性方面,Bando和Mabuchi修补了Calabi的否定性结果:KE度量如果存在,则在模去H_0作用的意义下是唯一的。

存在性方面,以\mathfrak{h}H的Lie代数,Matsushima证明了M容许KE度量要求\mathfrak{h}约化。特别地,\mathbb{C}P^2\#k\overline{\mathbb{C}P^2}(k=1,2)不容许KE度量。

仍令\frac{1}{2}dd^c f=\rho-k\omega,定义Futaki不变量F:\mathfrak h \to \mathbb CX \mapsto \int_M X(f)\omega^n。Futaki证明了M容许KE度量要求F消没。综合上述考量,我们有

(KE度量的Calabi猜想 Ⅲ)H离散(等价地,不容许全纯向量场)的Fano流形容许唯一的KE度量g'使得k=1

Fano曲面(通常又称为Del Pezzo曲面)何时容许KE度量的问题已完全解决:由分类定理,Del Pezzo曲面双有理等价于\mathbb CP^2\mathbb CP^1 \times \mathbb CP^1\mathbb{C}P^2\#k\overline{\mathbb{C}P^2}(1\leq k \leq 8),除k=1,2外,其余曲面均容许KE度量。

Tian, Yau  Kähler-Einstein metrics on complex surfaces with c_1>0

特别地,此时Matsushima条件是容许KE度量的充分必要条件,故KE度量的Calabi猜想 Ⅲ对于复曲面成立。

Tian  On Calabi’s conjecture for complex surfaces with positive first Chern class

已知在高维,KE度量的Calabi猜想 Ⅲ给出的限制是不充分的。我们还需要一类新的限制。

(2)考虑TM稳定性。Kobayashi证明了Fano流形M容许KE度量要求TM的半稳定性。紧密相关的,我们有Kobayashi-Hitchin对应:代数流形上的全纯向量丛E是稳定的当且仅当E容许不可约Hermitian-Einstein度量。

Uhlenbeck, Yau  On the existence of Hermitian-Yang-Mills connections in stable vector bundles

Donaldson  Infinite determinants, stable bundles and curvature

受此启发,丘成桐猜想Fano流形容许KE度量的充分必要条件应该由某种几何稳定性给出。

特别地,田刚证明了KE度量的存在性要求反典范线丛K^*是K稳定的,从而证否了Calabi猜想 Ⅲ:

Tian  Kähler-Einstein metrics with positive scalar curvature

另一种K稳定性的代数几何定义要求流形的所有测试配置(test configuration)的Futaki不变量非负——这是Donaldson提出的定义。2种定义的相容性参见

Li, Xu  Special test configurations and K-stability of Fano varieties

(Yau-Tian-Donaldson猜想,K稳定性猜想) K稳定的Fano流形容许KE度量。

正如本文开头所提到的,几天前Donaldson团队宣布利用Donaldson新近发展的连续性方法,他们能够证明上述悬置多年的经典问题:

Chen, Donaldson, Sun  Kähler-Einstein metrics on Fano manifolds, I: approximation of metrics with cone singularities

Chen, Donaldson, Sun  Kähler-Einstein metrics on Fano manifolds, II: limits with cone angle less than 2 \pi

Chen, Donaldson, Sun  Kähler-Einstein metrics on Fano manifolds, III: limits as cone angle approaches 2 \pi and completion of the main proof

同样基于Donaldson的连续性方法,田刚独立地给出了另一个证明:

Tian  K-stability and Kähler-Einstein metrics

Pauli矩阵,表示论与Kähler恒等式

我们曾经讨论过电子自旋的数学理论:3个正交方向上的自旋算子由S_k=\sigma_k/2给出(k=1,2,3),\sigma_1=\begin{pmatrix} 0&1 \\ 1&0 \end{pmatrix}\sigma_2=\begin{pmatrix} 0&-i \\ i&0 \end{pmatrix}\sigma_3=\begin{pmatrix} 1&0 \\ 0&-1 \end{pmatrix}Pauli矩阵。由Heisenberg图像X_k=iS_k\mathfrak{su}_2的一组基。

作为Lie代数,\mathfrak{su}_2上有基本交换关系:[X_j,X_k]=-X_l对正置换(jkl)成立。

考虑\mathfrak{su}_2在复向量空间V上的表示\rho\mathrm{SU}_2是紧Lie群,由Peter-Weyl定理\rho可分解为有限维不可约表示的直和。 不妨假定\rho已是有限维不可约表示。

\mathfrak{sl}_2=\mathfrak{su}_2 \otimes_\mathbb{R} \mathbb{C}(\mathfrak{su}_2\mathfrak{sl}_2紧实形式),\rho的复化(仍以\rho记)给出\mathfrak{sl}_2的表示。取S_+=S_1+iS_2S_-=S_1-iS_2S_3为基,有恒等式

[S_3,S_\pm]=\pm S_\pm[S_+,S_-]=2S_3

V^\lambda\rho(S_3)权空间,由交换关系不难推知\rho(S_\pm):V^\lambda \to V^{\lambda \pm 1}v \in V^\lambda称为本原的,若\rho(S_+)v=0。以P记本原空间,由V的不可约性得到

(本原分解)V=\oplus_{l \geq 0} \rho(S_-)^l P。进而推知

(S_3的谱分解)所有\lambda均为半整数,\displaystyle V=V^{-\frac{m-1}{2}} \oplus V^{-\frac{m-3}{2}}\oplus \cdots \oplus V^\frac{m-1}{2}。特别地,\rho(S_\pm)^n:V^{\pm n/2} \to V^{\mp n/2}定义了一个同构。

上述2个分解相容。以P^\lambdaP \cup V^\lambda,我们得到

(精细分解)V^\lambda=\oplus_{l \geq 0} \rho(S_-)^l P^{\lambda+l}

S_\pm在物理上对应阶梯算子,这是研究角动量算子和量子谐振子的标准工具。在量子场论中,其对应物是创生/消灭算子。

从Witten的观点看,Riemann流形上的几何分析与量子力学相平行:\Omega^*(M)对应波函数,\triangle_d对应Hamilton量,等等。更进一步,弦论考虑带有复结构的时空:紧Kähler流形M,生成/湮灭算子由L: \mu\mapsto \omega \wedge \muL^*给出。定义分次算子 h=\sum (n-k)\Pi^k\Pi^k:\Omega^*(M) \to \Omega^k(M)为投影算子。LL^*h均与\triangle_d交换,从而作用在有限维空间\mathcal{H}^{*}(M)上。事实上,它们生成\mathfrak{sl}_2的一个表示:

\rho(S_+)=L^*/2\rho(S_-)=L/2\rho(S_3)=h/2

交换关系给出Kähler恒等式[L^*,L]=h[h,L]=-2L[h,L^*]=2L^*

h的谱对应\mathcal{H}^{*}(M)的分次结构。结合Hodge定理得到

(Lefschetz对偶)L^k: H^{n-k}_{dR}(M) \to H^{n+k}_{dR}(M)是同构,这推广了Poincaré对偶。

算子L给出的信息不止于此。k \leq n时,L作用在H^k_{dR}(M)上是单射,我们得到不等式b_{k-2}\leq b_k,这从拓扑上刻画了Kähler流形。

定义本原de Rham上同调P_{dR}^k(M)=(\ker L^*)\cap H_{dR}^k(M),精细分解对应

(Lefschetz分解)H_{dR}^k(M)=\oplus_{l \geq 0} L^l P_{dR}^{k-2l}(M)

Lefschetz对L的理解是几何的。考虑代数流形M \subset P^N,Fubini-Study度量的Kähler形式是超平面H的Poincaré对偶,其在M上的限制\omega则是W=M \cap H \subset M的Poincaré对偶。原始版本的Lefschetz对偶可叙述为:相交操作\cap W^{N-k}诱导同调群的同构H_{n+k}(M) \to H_{n-k}(M)

小平邦彦与超越几何

关于小平邦彦(Kunihiko Kodaira)的生平事迹,台湾数学工作者颜一清写有小传《遊裡工夫獨造微》,动人至深。我希望讨论的是小平的数学工作。

小平邦彦最具影响力的工作主要集中在一般称为超越代数几何的领域。自创始以来,这一领域的执牛耳者大多是Göttingen一系(例如Riemann,Klein,Koebe和Weyl),奠定现代理论基础的则是Hodge。

小平邦彦无疑受到Weyl的极大影响——他亦步亦趋地搞过积分方程和量子力学,最终沿着椭圆算子理论这一路径进入到Hodge理论的研究。除了德国学派的经典分析工具,他更迅速吸收了法国学派的最新代数成果——Cartan-Serre将层论应用于多复变函数论的工作。有趣的是,他也是促使Serre转向代数几何的关键人物。1954年,小平邦彦和Serre共同获得Fields奖,开启了此后20年代数几何的黄金年代。回过头看,Weyl的颁奖演说的确有先见之明:小平和Serre是超越几何和代数几何两大流派在那一辈中的代表人物。下一辈中的风云人物是Griffiths (小平长期合作者Spencer的学生)和Deligne (Serre挚友Grothendieck的学生)。

小平邦彦 (1915-1997)

回到具体的数学。从应Weyl邀约赴Princeton开始,小平的工作大致围绕着3个主题。

第1个主题是Hodge理论及其在Kähler几何(进而在复代数几何)中的应用。最好的参考书或许是

Griffiths, Harris  Principles of Algebraic Geometry

第2阶段的主要工作是和Spencer合作建立了复结构的形变理论

Kodaira  Complex Manifolds and Deformation of Complex Structures

参模理论在“量子数学”中有基本的重要性,而形变理论提供了最重要的局部工具。

60年代之后,小平的兴趣转向紧复曲面的分类。他在这一阶段的工作仍有基本的重要性(例如K3曲面即以Kummer,Kähler和Kodaira命名),影响更及于近代,例如4维微分流形的拓扑(Donaldson, Witten, etc.),高维复代数簇的双有理分类(Mori)等等。一本标准读物是

Barth, Hulek, Peters, van de Ven  Complex Compact Surfaces

我们从讨论小平在第一阶段的3个经典结果开始。

复流形(M,J)上的实(1,1)形式\alpha称为正形式,若\forall X \in TM_x\alpha(X,JX) \geq 0。一个典型例子是Kähler流形上的Kähler形式\omega

H^{p,q}(M,A)H^{p,q}(M) \cap H^{p+q}(M,A)。紧Kähler流形M^n上的所有全纯线丛构成Picard群\mathrm{Pic}(M),第一Chern类c_1\mathrm{Pic}(M) H^{1,1}(M,\Bbb R)的同态。称全纯线丛L为正的,若c_1(L)是正形式(或等价地,L上存在Hermit度量使得相应的曲率形式(\sqrt{-1}/2\pi)\Theta是正形式)。

(1)利用Hodge理论,小平证明了正全纯线丛的高阶层上同调群消没:

(Kodaira-Nakano消没定理)H^q(M,\Omega^p(L))=0p+q>n

注记:另有一种“vanishing theorems-消滅定理”的译法,似转译自日文文献。我们认为就中文的用语习惯而言,译为“消没定理”更为妥帖。

(2)称Kähler流形M为Hodge流形,若Kähler形式\omega落在整上同调类中。拓扑上,这等价于要求H^{1,1}(M,\mathbb{Z})中至少有一个正元素。从Picard群的角度考虑,这又等价于要求M上有某正全纯线丛L

\Bbb CP^N(赋予Fubini-Study度量)是Hodge流形(其重言丛的对偶丛即是所需的正全纯线丛)。故其闭子流形都是Hodge流形。反过来,利用消没定理,小平证明了Hodge的一个猜想:

(Kodaira嵌入定理)M能嵌入某个复射影空间当且仅当M为Hodge流形。

称全纯线丛L丰富线丛,若对于充分大的NL^{\otimes N}的截面足以给出M到射影空间的嵌入。Kodaira嵌入定理又可以叙述为:正线丛是丰富线丛。

周炜良定理,复射影空间的闭子流形必为代数流形,故嵌入定理实际上给出了代数流形的一个几何刻画。这是Kähler几何在50年代的一个主要成果。

嵌入定理推广了Riemann时代就已经清楚认识到的经典结果:所有1维复流形(Riemann面)都是代数曲线,且这高维不成立,例如高维复环面必须满足Riemann条件才能成为代数流形。

(3)熟知解析空间上的Weil除子群即为余维数为1的解析子簇的形式群。对于复流形,这与利用层论定义的Cartier除子群\mathrm{Div}(M)=H^0(M,\mathcal{M}^*/\mathcal{O}^*)等价。简单的同调代数表明主除子群\mathrm{Div}(M)/(f)\mathrm{Pic}(M)的典范映射是单同态。对于代数流形MH^1(M,\mathcal{M}^{*})=0,此时单同态\mathrm{Div}(M)/(f) \to\mathrm{Pic}(M)成为一个同构。这是代数几何的一个基本结论。

Kähler几何基础

G-manifolds

所谓几何结构,指的是(实)流形M^n上的(二阶)张量场T。若以G \subset GL_n(\Bbb R)记保持T的线性群,则通过结构群约化我们可赋予TMG丛结构,此时我们称MG流形。例如,可定向流形M^n可视为GL_n^+(\Bbb R)流形,Riemann流形(M^n,g)(g为正定对称(0,2)张量)可视为O_n流形,殆辛流形(M^{2n},\omega)(\omega为非退化的斜对称(0,2)张量/2形式)可视为Sp_{2n}(\Bbb R)流形,殆复流形(M^{2n},J)(J(1,1)张量,满足J^2=-\mathrm{Id})可视为GL_n(\Bbb C)流形,等等。

熟知结构群约化GL_{n}(\Bbb R) \to O_{n}没有拓扑障碍(后者是前者的极大紧子群故同伦等价)。

G结构是点态的。若我们进一步希望T在每个邻域中均可标准化为“平坦”张量场,则通常需要附加一个可积性条件(特定张量F的消没)。对于Riemann流形,F即Riemann曲率张量(Riemann定理)。对于殆复流形和殆辛流形,F分别对应Nijenhuis张量N_J(Newlander–Nirenberg定理)和d\omega(Darboux定理),相应的平坦流形即复流形和辛流形。

几乎所有Riemann几何的研究都集中于非平坦流形的方面,殆复流形在复几何中的意义直到近代才被认识到,而几乎没有人关心(过于广泛的)殆辛流形,很大程度上这是由物理应用决定的。

Almost Hermitian Manifolds

称带有Riemann度量g的殆复流形(M,J)为殆Hermite流形,若gJ不变的。定义(1,1)形式\omega(x,y)=g(Jx,y)及殆Hermite度量h=g-i\omega,不难看出\omega(从而h)是J不变的。

我们也可以用带有2形式\omega的殆复流形定义殆Hermite流形。事实上,殆Hermite流形即U_n流形,而U_nO_{2n}(对应g),Sp_{2n}(\mathbb{R})(对应\omega)及GL_n(\mathbb{C})(对应J)这3者中任意2者的交,且是后两者的形变收缩核(故结构群约化GL_{n}(\Bbb C) \to U_{n}Sp_{2n}(\Bbb R) \to U_{n}没有拓扑障碍)。

给定m阶复向量丛\pi:E \to M,(1)作为U_{m}丛,可利用分类空间E上引入(整)Chern类;(2)\bar{\partial}作用在A^{p,q}(E)=E \otimes \Omega^{p,q}(M)上。E为全纯向量丛当且仅当\bar{\partial}^2=0,此时得到Dolbeault复形(A^{p,q}(E),\bar{\partial})及相应的上同调群(由Dolbeault定理,同构于H^q(M, \Omega(E)^p),其维数记为Hodge数h^{p,q})。

Levi-Civita联络\nabla可以描述为O_n流形上(唯一的)无挠\mathfrak{0}_n联络。一般的,几何G结构指的是GE \to M以及E上(唯一的)无挠\mathfrak{g}联络。对于U_n丛,此联络称为Chern联络,相应的\mathfrak{u}_n曲率算子记为R_c,相应的几何称为复几何。

Chern类和Dolbeault上同调群均有复几何表示:

(1)Chern-Weil理论:Chern类可以用R_c表示。特别地,c_1(E)=-\frac{1}{2\pi i}\mathrm{tr}(R_c)。一个较详细的介绍可参见之前的讨论

(2)Hodge理论h^{p,q}等于E(p,q)型调和微分形式空间的维数。一个较详细的介绍可参见之前的讨论

Kähler manifolds

Kähler流形有多种不同的定义方式。最常见的一种是:称殆Hermite流形M^{2n}为Kähler流形,若(A)M同时满足Darboux可积性条件和Newlander-Nirenberg可积性条件。

从平坦度量的角度看,Hermite流形成为Kähler流形的充分必要条件是(A’)在任意点附近均存在全纯坐标系使得h与标准Hermite度量的差异至少为2阶项。产生这个2阶项的原因当然是因为Kähler流形通常不满足Riemann可积性。

熟知Kähler流形上2种Hodge理论“重合”。这带来大量丰富的结构,例如Hodge分解。一个较详细的介绍可参见之前的讨论。在Hodge分解下,\omega所处的上同调类落在H^{1,1}(M,\Bbb R)中,称为Kähler流形M的Kähler类。所有可能的Kähler类构成H^{1,1}(M,\Bbb R)中的开圆锥,称为M的Kähler锥。

基于酉群的3选2特性,我们也可以采用Riemann几何的观点:殆Hermite流形成为Kähler流形的充分必要条件是(B1)\nabla J=0或者(B2)\nabla \omega=0

利用J可以将许多Riemann几何中的概念“辛几何化”。例如,类比g \to \omega,我们定义Ricci形式\rho(x,y)=\mathrm{Ric}(Jx,y)\rho是一个闭(1,1)形式,MEinstein流形当且仅当\rho=k\omega

(B1)等价于更强的(C)\nabla=\nabla_c。它推出R=R_c,从而由Chern-Weil理论\rho=2\pi c_1(M)

在Kähler流形上,Dolbeault上同调群和Chern类的关系由Hirzebruch-Riemann-Roch定理描述,它允许我们将Dolbeault复形的Euler示性数(视为Laplace-Beltrami算子的指标)用Chern数表出。

不难证明Kähler流形的子流形以及2个Kähler流形的积仍是Kähler流形,这提供了Kähler流形的一些典型例子:(1)标准\mathbb{C}^n,从而任意复环面以及任意Stein流形;(2)任意Riemann面;(3)赋有Fubini-Study度量的复射影空间,从而任意复代数簇;(4)赋有Bergman度量的复球面B^n;(5)K3曲面(萧荫堂)。一般地,已知紧复曲面容许Kähler度量的充分必要条件是b_1为偶数(Lamari, 1999; 独立地,Buchdahl, 1999)。

从微分几何观点看Schwarz引理 Ⅱ

Schwarz-Ahlfors引理的高维推广有赖于两代华人领军数学家:陈省身和丘成桐。

陈省身和鲁永振提出如下定理:

(Chern-Lu)赋予单位球B^n\in \mathbb{C}^nPoincaré-Bergman度量g(标准化使Ricci曲率为-1),Kähler流形(M^n,h)的全纯双截曲率\leq -K <0f:B^n \to M^n为全纯映射,则\displaystyle f^*h \leq \frac{1}{K}g

证明仍沿着Ahlfors给出的路线,尤其是袭用了“圆盘收缩”的技巧。我们仅指出几个要点。

首先,要找到满足f^*h \leq u(z)gu(z)。最自然的选择是诱导度量f^*h的迹。

其次,为刻画u(z)在最大值点处的行为,必须基于Riemann度量定义\triangle(作为Hessian算子的迹)。另一方面,考察Hermite度量允许我们用流形的曲率表出\triangle的作用(Gauss公式的这一推广称为Chern-Lu公式,是证明中最核心的技术步骤)。Poincaré-Bergman度量是Kähler度量,这保证了上述2种\triangle的定义是相容的。

最后,收缩技巧也依赖于Poincaré-Bergman度量的特殊性质:它还是Einstein度量

关于技术细节,可参阅原始论文

Chern  On holomorphic mappings of Hermitian manifolds of the same dimension

Lu  Holomorphic mappings of complex manifolds

注记1

就我查阅所及,试述鲁永振生平如下:1938年生,原籍湖北。自台湾赴美,师从Griffiths学习复几何,上述文章为其博士论文。中年之后转向奇点理论研究,撰有教材Singularity theory and an introduction to catastrophe theory。在Ohio州立大学任教终身,并一手创办了当地的Asian Festival,在华人圈中威望很高。

一个数学家未必能够(像陈省身那样)一生坚持进行创造性工作,但个人以为,真正重要的是实现自己生命的价值,又岂必数学乎?

丘成桐再将上述工作大大推进一步:

(Yau)完备Kähler流形(M,g)的Ricci曲率\geq -K_1,Hermite流形(N,h)的全纯双截曲率\leq -K_2f:M \to N为全纯映射,则\displaystyle f^*h \leq \frac{K_1}{K_2}g

显然Ahlfors的收缩技巧不再有效。为此丘成桐引入新的工具来逼近u(z)的最大值:

(殆最大值原理)对Ricci曲率下有界的完备Riemann流形M及上有界的\mathcal{C}^2函数f:M \to \mathbb{R},存在\{p_k\}使得\displaystyle\lim_{k \to \infty} f(p_k)=\sup_M f\displaystyle\lim_{k \to \infty}\nabla f(p_k)=0\displaystyle\limsup_{k \to \infty} \triangle f(p_k) \leq 0

这个结果明显受到调和函数最大值原理的启发。

Yau  Harmonic functions on complete Riemannian manifolds

丘成桐处理复几何的惯用手段是“软化”刚性结构以应用微分几何工具。具体地说,此处他引入辅助函数\displaystyle \phi(t) \in \mathcal{C}^2(\mathbb{R}^+)来代替全纯的\log t,并应用殆最大值原理于\phi \circ u。牺牲刚性的代价是Chern-Lu公式被系列不等式估计所取代。为完成扫尾工作,只需选取恰当的\phi(例如,丘的选择是\displaystyle \phi(t)=-\frac{1}{\sqrt{1+t}} )来满足这些估计的先决条件。详见

Yau  A general Schwarz lemma for Kähler manifolds

2个相关发展:

(1)Royden证明可以将Yau定理中的“全纯双截曲率”替换为较弱的“全纯截面曲率”。

Royden The Ahlfors-Schwarz lemma in several complex variables

(2)在同一篇文章中,丘成桐对体积元素证明了类似结果:

完备Kähler流形M^n的Ricci曲率下有界且标量曲率\geq K_1,Hermite流形N^n的Ricci曲率\leq K_2<0。若存在非退化全纯映射f:M^n \to N^n,则K_1 \leq 0\displaystyle f^*dV_N \leq \frac{K_1}{K_2}dV_M

这被他和郑绍远应用于证明一类Kähler-Einstein度量的唯一性:

Cheng, Yau  On the existence of a complete Kähler metric on noncompact complex manifolds and the regularity of Fefferman’s equation