小平邦彦与超越几何


关于小平邦彦(Kunihiko Kodaira)的生平事迹,台湾数学工作者颜一清写有小传《遊裡工夫獨造微》,动人至深。我希望讨论的是小平的数学工作。

小平邦彦最具影响力的工作主要集中在一般称为超越代数几何的领域。自创始以来,这一领域的执牛耳者大多是Göttingen一系(例如Riemann,Klein,Koebe和Weyl),奠定现代理论基础的则是Hodge。

小平邦彦无疑受到Weyl的极大影响——他亦步亦趋地搞过积分方程和量子力学,最终沿着椭圆算子理论这一路径进入到Hodge理论的研究。除了德国学派的经典分析工具,他更迅速吸收了法国学派的最新代数成果——Cartan-Serre将层论应用于多复变函数论的工作。有趣的是,他也是促使Serre转向代数几何的关键人物。1954年,小平邦彦和Serre共同获得Fields奖,开启了此后20年代数几何的黄金年代。回过头看,Weyl的颁奖演说的确有先见之明:小平和Serre是超越几何和代数几何两大流派在那一辈中的代表人物。下一辈中的风云人物是Griffiths (小平长期合作者Spencer的学生)和Deligne (Serre挚友Grothendieck的学生)。

小平邦彦 (1915-1997)

回到具体的数学。从应Weyl邀约赴Princeton开始,小平的工作大致围绕着3个主题。

第1个主题是Hodge理论及其在Kähler几何(进而在复代数几何)中的应用。最好的参考书或许是

Griffiths, Harris  Principles of Algebraic Geometry

第2阶段的主要工作是和Spencer合作建立了复结构的形变理论

Kodaira  Complex Manifolds and Deformation of Complex Structures

参模理论在“量子数学”中有基本的重要性,而形变理论提供了最重要的局部工具。

60年代之后,小平的兴趣转向紧复曲面的分类。他在这一阶段的工作仍有基本的重要性(例如K3曲面即以Kummer,Kähler和Kodaira命名),影响更及于近代,例如4维微分流形的拓扑(Donaldson, Witten, etc.),高维复代数簇的双有理分类(Mori)等等。一本标准读物是

Barth, Hulek, Peters, van de Ven  Complex Compact Surfaces

我们从讨论小平在第一阶段的3个经典结果开始。

复流形(M,J)上的实(1,1)形式\alpha称为正形式,若\forall X \in TM_x\alpha(X,JX) \geq 0。一个典型例子是Kähler流形上的Kähler形式\omega

H^{p,q}(M,A)H^{p,q}(M) \cap H^{p+q}(M,A)。紧Kähler流形M^n上的所有全纯线丛构成Picard群\mathrm{Pic}(M),第一Chern类c_1\mathrm{Pic}(M) H^{1,1}(M,\Bbb R)的同态。称全纯线丛L为正的,若c_1(L)是正形式(或等价地,L上存在Hermit度量使得相应的曲率形式(\sqrt{-1}/2\pi)\Theta是正形式)。

(1)利用Hodge理论,小平证明了正全纯线丛的高阶层上同调群消没:

(Kodaira-Nakano消没定理)H^q(M,\Omega^p(L))=0p+q>n

注记:另有一种“vanishing theorems-消滅定理”的译法,似转译自日文文献。我们认为就中文的用语习惯而言,译为“消没定理”更为妥帖。

(2)称Kähler流形M为Hodge流形,若Kähler形式\omega落在整上同调类中。拓扑上,这等价于要求H^{1,1}(M,\mathbb{Z})中至少有一个正元素。从Picard群的角度考虑,这又等价于要求M上有某正全纯线丛L

\Bbb CP^N(赋予Fubini-Study度量)是Hodge流形(其重言丛的对偶丛即是所需的正全纯线丛)。故其闭子流形都是Hodge流形。反过来,利用消没定理,小平证明了Hodge的一个猜想:

(Kodaira嵌入定理)M能嵌入某个复射影空间当且仅当M为Hodge流形。

称全纯线丛L丰富线丛,若对于充分大的NL^{\otimes N}的截面足以给出M到射影空间的嵌入。Kodaira嵌入定理又可以叙述为:正线丛是丰富线丛。

周炜良定理,复射影空间的闭子流形必为代数流形,故嵌入定理实际上给出了代数流形的一个几何刻画。这是Kähler几何在50年代的一个主要成果。

嵌入定理推广了Riemann时代就已经清楚认识到的经典结果:所有1维复流形(Riemann面)都是代数曲线,且这高维不成立,例如高维复环面必须满足Riemann条件才能成为代数流形。

(3)熟知解析空间上的Weil除子群即为余维数为1的解析子簇的形式群。对于复流形,这与利用层论定义的Cartier除子群\mathrm{Div}(M)=H^0(M,\mathcal{M}^*/\mathcal{O}^*)等价。简单的同调代数表明主除子群\mathrm{Div}(M)/(f)\mathrm{Pic}(M)的典范映射是单同态。对于代数流形MH^1(M,\mathcal{M}^{*})=0,此时单同态\mathrm{Div}(M)/(f) \to\mathrm{Pic}(M)成为一个同构。这是代数几何的一个基本结论。

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