How to construct compact non-Kähler manifolds?

并不十分困难的经典问题(当然,是在前人示范之后!),却在2天之内碰到了2次:做oral prensentation时导师问到这个问题,紧接着在阅读一位Princeton Phd Candidate的general exam记录时注意到田刚问了他相同的问题。

问题是这样的:Kähler流形同时是Riemann流形、复流形和辛流形。我们希望仔细地考察这三个包含关系,更具体地,

(Q1)是否所有可定向的偶数维(紧)Riemann流形都有相容的Kähler结构?

(Q2)是否所有(紧)复流形都有相容的Kähler结构?

(Q3)是否所有(紧)辛流形都有相容的Kähler结构?

在2维,这3个问题的答案都是肯定的,这本质上是单值化定理的推论。

在高维,Hodge理论提供了非平凡的拓扑障碍:Betti数b_{2k+1}必须是偶数。我们立即得到(Q1)的否定回答:Riemann度量的存在是没有拓扑障碍的(利用度量的凸性和单位分解,或者利用O(n)GL_n(\Bbb R)的形变收缩核并考虑结构群的约化)。

复结构和辛结构的存在均有非平凡(且理解得不太好)的拓扑障碍,因而(Q2)和(Q3)的答案并非显然。

一般来说,构造流形的方法大致有:(1)考虑各种“元件”的装配:乘积,纤维化,连通和,等等;(2)考虑特定流形的子流形,特别地,考虑特定函数或函数族的水平集或零点集;(3)考虑特定流形在群作用下的商流形。(3)允许我们控制\pi_1(选择适当的离散群作为覆叠群),从而通过Hurewicz定理控制b_1。这提供了一个构造反例的思路:(a)选择足够简单的单连通复/辛流形\tilde{M};(b)构造\mathrm{Aut}(\tilde{M})的离散子群\Gamma使得(b1)M=\tilde{M}/\Gamma是紧流形;(b2)\Gamma/[\Gamma,\Gamma](\Gamma的Abel化)的秩为奇数。

不容许Kähler结构的紧复流形的第一个例子是由Hopf(1948,在Kähler几何以及Hodge理论创立后不久)得到的:(a)选取复流形\Bbb C^2-\{0\};(b)令\gamma:(x,y) \mapsto (ax,by)0<|a|\leq |b|<1\Gamma是由\gamma生成的循环群。

记商流形为M_1。显然b_1(M_1)=1。事实上b_2(M_1)=0M_1甚至不是辛流形。

注记1 小平邦彦(1966, 1968)分类了满足如下条件的紧复曲面:(1)b_2=0;(2)\Bbb Z包含于\pi_1的中心,且\pi_1/\Bbb Z是有限群。为纪念Hopf,通常称它们为Hopf曲面。它们是Kodaira维数-\infty的非Kähler曲面(通常称为类型VII)的例子。

注记2 已知b_1为偶数也是紧复曲面容许Kähler结构的充分条件(Lamari, 1999; 独立地,Buchdahl, 1999)。特别地,所有单连通紧复曲面都容许Kähler结构。

人们一度猜想紧辛流形一定是Kähler流形,或者至少,由于紧Kähler满足强Lefschetz定理(从而是有理同伦论意义下的形式空间),人们猜想强Lefshetz定理在辛流形上的形式类比成立,换言之,所有辛流形都是Lefschetz流形

1971年Thurston找到一个反例:(a)选取带有标准辛结构的\Bbb R^4;(b)考虑由如下4个辛同胚生成的\Gamma

\gamma_1:(p_1,q_1,p_2,q_2) \mapsto (p_1,q_1,p_2+1,q_2)

\gamma_2:(p_1,q_1,p_2,q_2) \mapsto (p_1,q_1,p_2,q_2+1)

\gamma_3:(p_1,q_1,p_2,q_2) \mapsto (p_1+1,q_1,p_2,q_2)

\gamma_4:(p_1,q_1,p_2,q_2) \mapsto (p_1,q_1+1,p_2+q_2,q_2)

记商流形为M_2。易见\Gamma/[\Gamma,\Gamma]的秩为3,即b_1(M_2)=3

注记3 M_2的构造有更深刻的背景,我们拟简单地介绍之。

称微分流形为幂零流形,若存在某个幂零Lie群可迁地作用在此流形上。换言之,幂零流形是对称空间:同胚于幂零Lie群模去某个闭子群。紧幂零流形总可以实现为某个单连通幂零Lie群模去余紧的离散子群(Mal’cev)。已知除环面外(对应交换Lie群),它们都不是形式空间,更不容许Kähler结构。

Hasegawa  Minimal models of nilmanifolds

这类流形中维数最低的例子是Heisenberg流形HHeisenberg群(有微分同胚型\Bbb R^3)模去离散Heisenberg群。在Thurston对3维几何的分类中,Heisenberg流形代表了一类基本的几何:幂零几何。一方面,M_2=H \times S^1也是幂零流形。另一方面,Thurston知道所有3维幂零流形都是T^2T^1纤维化,因而M_2是辛流形并非偶然:它是辛环面上的辛环面丛!

事实上M_2恰巧也是复曲面(作为椭圆曲线在椭圆曲线上的纤维化,椭圆曲面)。更精确地,它有Kodaira维数0,属于Enriques-Kodaira分类中的一类:Kodaira曲面。就这个意义上来说,小平邦彦才是发现这个例子的第一人(文献中通常称M_2为Kodaira-Thurston流形),可惜他没有从辛几何的角度考虑问题。

注记4 与注记2相反,存在不容许Kähler结构的单连通辛4-流形(McDuff)。显然这不可能通过思路(3)得到。McDuff采用思路(2),并本质地利用了Gromov的伪全纯曲线理论

注记5  已知任意有限展示群都可以实现为2n维辛流形(n \geq 2)的基本群(Gompf,他的构造方法是取辛流形的连通和,即思路(1))。另一方面,已知类似的结论对Kähler流形是不成立的,从而给出了更多反例。

我们以一张4维紧流形的清单来结束讨论:首先注意到(殆)辛流形一定是殆复流形(U(n)Sp_{2n}(\Bbb R)的形变收缩核)。

(1)S^4不是殆复流形。

(2)\Bbb CP^2\#\Bbb CP^2\#\Bbb CP^2是殆复流形,但不是辛流形(Taubes),从而不是复流形(否则由注记2它必须是Kähler流形)。

(3)Hopf曲面M_1是复流形,但不是辛流形。

(4)环面上的环面丛是辛流形,但通常不是复流形,绝不可能是Kähler流形(作为幂零流形)。

(5)Kodaira-Thurston流形M_2是(4)中的特例:它是复流形。

不可挤压定理和伪全纯曲线

最近我接触到Gromov的部分工作。此君一向以高度的原创性闻名,这里拟介绍他在辛几何方面的革命性贡献。讨论将保持在相对初等的水平:简单介绍伪全纯曲线,不涉及Gromov-Witten不变量,等等。

不可压缩定理与辛容积

以下论及{\Bbb R}^{2n}时,总假定它带有标准辛结构\omega=\sum_i dp_i\wedge dq_i

熟知辛流形(M^{2n},\omega)上的Hamilton相流保持辛体积\omega^n(Liouville定理),一个自然的问题是:保持体积的微分同胚是否总能形变为某个辛同胚?Gromov给出了否定的回答:

(不可挤压定理)给定{\Bbb R}^{2n}中的球体B^{2n}_r和圆柱Z^{2n}_R=B^2_R \times \mathbb{R}^{2n-2}。存在辛嵌入\phi:B^{2n}_r \to Z^{2n}_R的必要条件是r \leq R

形象地说,这意味着辛球体是“不可挤压”的。一个更富文学意味的命名是“辛骆驼原理”:《圣经》有云,富人进天国比骆驼穿针眼还难。幸好,3维的骆驼不可能带有辛结构:)

Gromov的上述结果启发Hofer提出了辛容积(symplectic capacity)的概念。具体地说,对每个辛流形(M,\omega)都可以赋予一个共形的数值不变量c(M,\omega),使得相同维数的流形间存在辛嵌入M_1 \to M_2的必要条件是c_1 \leq c_2。辛容积的存在性有很多应用,一个著名的例子是Hofer-Zehnder容积,它是讨论Weinstein猜想的重要工具。

伪全纯曲线理论

为证明不可压缩定理,Gromov开创性地建立了伪全纯曲线理论。基本的想法是在辛流形上加上一个殆复结构,借助Kähler几何/代数几何中的概念和方法来加深对辛流形的理解。

Gromov  Pseudo Holomorphic Curves in Symplectic Manifolds

仍取辛流形(M^{2n},\omega)。模仿Kähler几何,要求附加的殆复结构J满足\omega(v,Jv)>0,此时M上有诱导的Riemann度量g。所有这样的J构成一个非空的可缩空间

殆复流形间的态射推广了全纯映射。特别地,态射h:\Sigma \to M作为参数化给出一条伪全纯曲线/J全纯曲线,此处\Sigma为某Riemann面。Deligne-Mumford的工作启发Gromov考虑参模空间\mathcal{M}(A,J),此处A为某给定的同调类。利用椭圆算子理论可以证明对于处于“一般位置”的J\mathcal{M}(A,J)是一个可定向的光滑流形。另一方面,Riemann度量允许我们定义能量泛函E(h)=\int_\Sigma g(dh,dh)Gromov紧致定理指出\Sigma=P^1时能量一致有界的曲线族有一个弱收敛子族,这建立了特定参模空间的紧致性。

B^{2}_R可嵌入体积为\pi R^2+\epsilonP^1,进而可将Z^{2n}_R嵌入M=P^1 \times {\Bbb R}^{2n-2}。过M中任意点均存在伪全纯曲线,特别地,这对\phi(0) \in M成立。这条伪全纯曲线经\phi拉回在B^{2n}_r中定义了一条全纯曲线C。而作为极小曲面,C的面积至少为\pi r^2,从而有\pi r^2 \leq \pi R^2+\epsilon。不可挤压定理得证。

辛几何中的“刚与柔”

“刚与柔”(Hardness vs. Softness/Rigidity vs. Flexibility)是Gromov提出的概念。它针对的是辛结构有时像微分结构一样柔软,有时又像全纯结构一样刚硬的现象,从而在研究方法上带来拓扑方法和PDE方法的分野。伪全纯曲线理论显然是“刚”的一例。

“刚”进一步体现在V={\Bbb R}^{2n}上的所有辛同胚\mathrm{Symp}(V)C^0拓扑下是闭的。这与全纯范畴的刚性非常类似。这种刚性是诸如辛容积等辛不变量存在的必要条件。

Eliashberg最先得到这个重要结果。一个利用不可挤压定理和Nash-Moser定理的证明见

Gromov  Partial Differential Relations

作为“柔”的例子,我们举出Gromov的如下结果:开流形M^{2n}上的任意2形式均可形变为辛形式(从而推知开流形总容许辛结构)。他的证明是纯微分拓扑式的,仅用到一些层论。

对以上讨论的一个总结参见1986年ICM上Gromov的发言:

 Gromov  Soft and Hard Symplectic Geometry

不确定性原理

辛流形是Hamilton力学的栖身之所,伪全纯曲线的模空间则带来了“量子”刚性。特别地,对伪全纯曲线的考察将允许我们定义强有力的量子不变量:Floer同调Gromov-Witten不变量。我们不拟在这里进行深入的讨论。

在这个图景下,不可挤压定理的地位“简单而不平凡”:它可以视为经典力学中的“不确定性原理”,换言之,辛容积刻画了共轭量(例如位置与动量)的某种天然极限。

这个方向上的讨论可参见de Gosson的系列文章

参考材料

McDuff, Salamon  Introduction to Symplectic Topology

McDuff, Salamon  J-holomorphic Curves and Quantum Cohomology

此外,Tao在Gromov获得09年Abel奖后也简要介绍了他的不可挤压定理。

可积系统初探:叶状结构和接触结构

我们介绍2个和数学物理紧密相关的概念:叶状结构和接触结构。

n维流形M上一个维数为n-k的/余维数为k叶状结构指的是局部坐标卡(U_i,\phi_i),使得转换函数\varphi_{ij}=\phi_j \phi_i^{-1}有形式\varphi_{ij}(x_i,y_i)=(x_j(x_i,y_i),y_j(y_i)),其中x_* \in \mathbb{R}^{n-k}y_* \in \mathbb{R}^k。子流形y_i=C称为U_i上的斑。斑在不同坐标卡之间自然地衔接,所得的极大连通子流形称为叶。

给定流形上处处非零的向量场,其积分曲线给出一个1维叶状结构。结合之前的讨论知1维叶状结构的拓扑障碍是唯一的:流形的Euler示性数。

将向量场推广为分布(切丛的n-k维子丛),得到叶状结构在可积系统中的刻画:

(Frobinius定理)分布\mathfrak{D}定义了某个叶状结构的充分必要条件是\mathfrak{D}是完全可积的,即\forall X,Y \in \Gamma(\mathfrak{D})[X,Y] \in \Gamma(\mathfrak{D})

\omega \in \Omega^*(M)零化\mathfrak{D},若\forall X \in \Gamma(\mathfrak{D})i_X(\omega)=0。不难证明\mathfrak{D}的零化子I(\mathfrak{D})局部上由k个线性无关的1-形式生成,且是\Omega^*(M)中的理想。Frobenius定理现在可对偶地表述为:\mathfrak{D}定义了某个叶状结构的充分必要条件是I(\mathfrak{D})是一个微分理想,即d(I(\mathfrak{D})) \subset I(\mathfrak{D})

更一般地,G-丛\pi:E \to B有自然的叶状结构,纤维X是这个叶状结构的叶。

40年代Reeb和Ehresmann在研究流形上的微分方程组时开始考察叶状结构。之后的突破包括:(1)构造S^3上余维数为1的光滑叶状结构(Reeb),并证明S^3上不存在余维数为1的实解析叶状结构(Haefliger);(2)证明3维流形上总存在余维数为1的叶状结构(Novikov, Wood);(3)证明S^3上余维数为1的叶状结构中存在同胚于T^2的紧叶(Novikov);(4)证明余维数为1的叶状结构存在的充分必要条件是流形的Euler示性数消失(Thurston);等等。

给定辛流形(M,\omega),过渡到等能集H(q,p)=E是Hamilton力学中常用的约化。另一方面,为研究非自治系统,需引入时间t并考虑流形M \times \mathbb{R}。我们从上述2个奇数维流形中抽象出接触流形的概念:

若流形M上的1-形式\alpha处处非退化且d\alpha\mathrm{ker}\alpha \in TM上的辛形式,则称其为接触形式。这要求\mathrm{ker}\alpha2n维分布,故M2n+1维的,此时接触形式有非常简单的刻画:\alpha \wedge (d\alpha)^n处处非退化。接触流形指的是(M,\xi),其中接触结构\xi是整体定义的2n维分布,在局部上由接触形式的核给出。

接触结构和叶状结构不相容:d(I(\mathfrak{\xi})) \cap I(\mathfrak{\xi})=\emptyset。称这样的分布为完全不可积的。

接触几何的创始人是Lie,他引入接触变换(Berührungs transformation,即保持接触结构的Lie群)来研究微分方程组。与辛几何相比,接触几何受到的关注要少得多,其复兴也是更为近代的事情,一个主要的推动力就是对3维几何与拓扑的研究。例如,Martinet证明了可定向3维紧流形上总有接触结构。我们讨论过辛几何中的平行结果:可定向闭曲面上总有辛结构。

以下是一些可以参考的介绍性材料:

Lawson  Foliations

Etnyre  Introductory lectures on contact geometry

有关辛流形的一个小问题

潘略同学问起月余没有更新的事,惭愧。

这次谈一个小问题——扩充之前一篇文章的注而已——然而却是自己花了一点功夫想过之后才查看了文献,也算有一点价值。

这个问题很基本:哪些流形可赋予辛结构?

对Riemann度量来说,这不成问题。关键在于所有正定二次型构成一个凸集,因而简单地应用单位分解把局部Riemann度量粘合起来,即可说明任何流形都可赋予一个整体Riemann度量。

对付辛结构就要稍费一点功夫了。首先流形必须是偶数维的。这是一个局部的要求:在每点的切空间处化交错型都可以化为标准型,由此立即看出奇数维的交错型必然是退化的,这是线性代数中的一条定理,和整体拓扑并不相干。如果不仅仅考虑一个点而是考虑一个邻域,那么上述化交错型为标准型的过程(在可积性条件d\omega=0下)成为Darboux定理

流形也必须是可定向的。这是因为作为非退化形式的辛形式,其幂也都是非退化的,从而\omega^n成为2n维流形上的体积形式。

1.\mathbb{R}P^n无一可赋予辛结构:\mathbb{R}P^n可定向当且仅当n为奇数。

2.所有可视为余切丛的流形都有自然的辛结构,这包括了最平凡的例子如\mathbb{R}^{2n}和稍不平凡的例子如圆柱面(单摆的相空间)。在分析力学里可以找到其他更复杂的例子。

3.对于所有2维可定向紧流形,上述问题的回答都是肯定的:取体积形式即可。

不过我偏好的思考方式如下:首先赋予一个复结构使其成为Riemann面,这对任何可度量化的曲面都是可以做到的。由Urysohn定理,我们甚至可以将对曲面的要求放宽至第二可数,这包含了我们关心的绝大多数例子。

在Riemann面上引入一个Hermite度量,其虚部当然非退化,且作为一个2维流形上的2-形式必然是闭的,这就给出我们需要的辛结构。

注1:这事实上是说所有Riemann面都是Kähler流形。对高维复流形这当然不成立。已知紧复曲面为Kähler流形的充分必要条件是第一Betti数为偶数(Lamari, 1999; 独立地,Buchdahl, 1999),这囊括了某些早期结果,例如K3曲面是Kähler流形(萧荫堂, 1983)。

注2:Kähler流形包含了一些常见的辛流形的例子,如复球体B^n。不过并非所有的辛流形都是Kähler流形。紧致情况下的第1个反例由Thurston给出。后继的研究表明非Kähler的辛流形才是典型的。

4.对于高维流形,据我所知没有简单的判则。

一类必要条件源自示性类:所有殆辛流形都容许殆复结构,因而Chern类的整性给出额外的障碍。

对紧流形来说,另一个来自可积性的必要条件是上同调群H^{2k}(M)非平凡,k=0,1,\cdots,n。这是因为若\omega^k=d\Omega,则\int \omega^{n}=\int d(\Omega \wedge \omega^{n-k})=0,这与\omega^n是体积形式矛盾。

特别地,对n>1S^{2n}均不能赋予辛结构。阿早和我提过这个结论,似乎是去年丘赛的压轴题。

5.给出一些充分条件也不是太难。基本想法是将若流形可视为某个已知辛流形的子流形或商流形,则只需说明辛形式的限制非退化即可引入辛结构。这一过程称为辛约化。

特别地,\mathbb{C}^n=\mathbb{R}^{2n}有自然的辛结构,其又在\mathbb{C}P^{n-1}上引入辛结构 。由此推出所有Stein流形和代数簇上都有辛结构。这包括了一些常见的例子如复环面(Abel簇)。

注2:更一般的推理是:Kähler度量可由复子流形继承,故Stein流形(嵌入\mathbb{C}^n)和代数流形(嵌入\mathbb{C}P^n)都是Kähler流形。

分析力学的几何观点:Hamilton力学与辛几何

我不知道这是否算是一种盲目的信仰:上帝是用几何设计世界的——毕竟,这一教条的首倡者是伟大的Einstein,而他的拥趸也都是一时名流:Penrose,Yang,等等(某种意义上,甚至包括对哲学不太感兴趣的Witten)。

我的目标要小得多:逐步厘清这一论断中“几何”的所指,包括几何量的物理意义和不同几何理论的数学特征。简单而基本的例子来自分析力学。

熟知构型空间V余切丛T^{*}V可视为力学系统的相空间,其上带有非退化的(0,2)型张量(2-微分形式)\omega=dp^{i} \wedge dq^{i}。特别的,\omega是闭的:\omega=d(p^{i}dq_{i})

余切丛是分析力学中辛流形的范本(Kähler流形则是复几何中辛流形的范本,其辛结构由Hermite度量的虚部给出)。

注记1

Darboux定理指出辛流形总是局部平坦的,而Riemann流形有额外的障碍(Riemann曲率张量)。这说明辛流形的刚性较Riemann流形为弱,因此辛几何也常称为辛拓扑。

与Riemann度量\rm g不同,并非所有(偶数维可定向)流形都容许一个辛结构。例如,对于闭流形,\omega的非退化性要求H^{2}(M)非平凡。然而\omega\rm g也有不少相似性:

1)\omega诱导余切丛到切丛的微分同胚i(依赖于切丛上的Riemann度量。此处\omega的非退化性是关键的)。

给定相空间上的Hamilton函数H,向量场idH称为Hamilton向量场,其诱导的单参数微分同胚群h^{t}:T^{*}V \to T^{*}V称为Hamilton相流。H代表总能量时,控制系统演化的常微分方程即经典的Hamilton方程

2)辛同胚(保持\omega的微分同胚,物理上称为正则变换)构成(无限维)Lie群(准确地说,伪群)\mathcal{S},相应的Lie代数\mathfrak{s}(由辛向量场构成)是辛流形M上向量场Lie代数的子代数。

注记2

Riemann流形的刚性体现在其等距群总是有限维的,绝大多数情况下是平凡的。

相流保持辛结构,即:h^t是一族辛同胚。

所有Hamilton向量场构成的Lie代数\mathfrak{h}\mathfrak{s}的理想。一般地,辛向量场有形式i\Omega\Omega是闭1-形式,故dim\ \mathfrak{s}/\mathfrak{h}等于流形的第1Betti数

Hamilton场的Lie代数诱导物理量\{A\}的Lie代数,此时Lie括号称为Poisson括号

\{A,B\}=\mathcal{L}_{idB}A=\omega(idA,idB)

Hamilton方程现可写为正则形式:\displaystyle \frac{dA}{dt}=\frac{\partial A}{\partial t}+\{A,H\}

由此推出Noether定理自治系统中,物理量A守恒当且仅当\{A,H\}=0。用Jacobi恒等式不难证明Poisson定理:2个守恒量的Poissson括号仍是守恒量。

特别地,相流保持H,此为能量守恒。

注记3

Hamilton力学的正则形式在量子化后成为量子力学的Heisenberg表象

\displaystyle \frac{dA}{dt}=\frac{\partial A}{\partial t}+\frac{1}{i\hbar}[A,H]

Noether定理和Poisson定理也依然成立。

Hamilton场是无散场,因而相流保持体积/测度,此即著名的Liouville定理(与不可压缩流体类比是有启发性的)。更精细地,Poincaré证明了相流保持\omega^k(绝对积分不变量)。

注记4

Liouville定理提供了保测变换的典型例子,从而开启了遍历理论的研究。这方面的第一个结果是Poincaré回复定理

2n维辛流形的子流形M'称为Lagrange流形,如果dim\ M'=n\omegaM'上恒为0。构型空间V是相空间T^{*}V的Lagrange子流形。更一般地,对于V上的(多值)函数S\displaystyle p^i=\frac{\partial S}{\partial q^i}图像T^{*}V的Lagrange子流形。我们将专文讨论这一构造与几何光学的联系。

Lagrage流形的定义只取决于辛结构,因此:

1)给定辛同胚s,可构造对应的Lagrange流形s(V)。这一对应将Lagrange流形范畴化

2)h^{t}M'给出一族Lagrange流形。对于充分小的th^{t}M'微分同胚于M'。长期演化则可能出现非常复杂的特征。对这类问题的考察给出量子力学的准经典近似(类比物理光学几何光学的关系),在数学上则可应用于振荡积分渐进理论

Hörmander  Fourier integral operators.Ⅰ

一个密切相关的问题是研究余切丛的Lagrange子流形到底空间的投影映射(称为Lagrange映射)的奇性。1972年,Arnold发现Lagrange映射的奇点分类问题与Coxeter群有关。这一联系的深层机理至今尚未得到彻底的理解。

以上内容可参考Arnold Mathematical methods of classical mechanics Appendix 11,12以及16。

此书的Appendix 9讨论Poincaré最后定理。Arnold将这个不动点定理的一般情形描述为对Lagrange子流形相交数的下界估计。具体地说,对于紧致的V和“典型”的h^tt充分小,h^{t}VV微分同胚且横截相交,此时交点的个数是有限的。Arnold进一步猜想下述Morse型不等式成立:交点个数不小于V的Betti数之和。此即著名的Arnold猜想

Floer从无限维Morse理论的角度研究此问题,建立了Floer同调理论。

注记5

Arnold推广Poincaré最后定理的方式类似于Lefschetz不动点定理Brouwer不动点定理的推广。注意到Lefschetz不动点定理(结合Poincaré-Hopf定理)的陈述是:交点的代数个数(视定向计入正负)等于V的Euler示性数(Betti数的交错和)。Arnold猜想说明辛流形的刚性较一般的微分流形为强。

V.I.Arnold (1937-2010)

历史概述

“Symplectic”来自希腊语中的”complex”,最早由Weyl采用,局部理论的研究由Lagrange、Hamilton和Jacobi奠定基础,整体几何的研究则可以上溯到Poincaré。60年代至70年代,苏联学派的工作推动了辛几何研究的复苏,Kirillov的轨道方法更将辛几何应用到表示论的研究中。美国学派的主要代表是2组数学家:Marsten-Weinstein和Guillemin-Sternberg。1985年,Gromov关于伪全纯曲线的工作改变了辛几何的发展方向。随后发展出的Gromov-Witten不变量,Floer同调等工具,使辛几何进入理论物理和低维拓扑的研究,成为90年代炙手可热的“显学”。