Hodge理论 Ⅰ


这个系列的目标是初步讨论Hodge定理及其在拓扑上的应用。

关于Hodge的生平和数学成就,可参看Atiyah为Hodge写的悼文

Atiyah     William Vallance Douglas Hodge    Bulletin London Math. Soc. 9 (1977)

对Hodge定理的高度评价,我们仅举出两个例子:Weyl称Hodge的Harmonic integrals是20世纪数学的里程碑,Whitehead则戏称他愿意用灵魂和恶魔交换这样一个定理。至于Hodge理论作为大范围分析的主流,影响及于整个数学,则是众所周知的事了。

Hodge实际上没有给出Hodge定理的严格证明。他证明中的漏洞由Weyl利用Weyl引理补足。这段历史可参见陈省身为下面这本书英文版所写的序言

de Rham   Variétés différentiables

Riemann流形上的Hodge定理及其在de Rham上同调理论中的推论参见

Warner    Foundations of differentiable manifolds and Lie groups

W.Hodge(1903-1975)

粗略地说,Hodge在紧Riemann流形的每一个上同调类中找到唯一的调和微分作为代表元,从而允许我们利用分析手段去研究流形的拓扑。另一方面,调和微分自然而然地出现在复几何中,Hodge定理又大大加深了我们对复流形的理解。这分别是本章和第3章的主题。

以下讨论Riemann流形上的Hodge定理。

对于n维可定向的紧Riemann流形M,通过切丛上的联络内蕴地定义微分运算。考虑微分形式的分次代数\Omega。除微分算子d之外,我们再在\Omega上定义3个算子:

1.星算子\star:\Omega^{p} \to \Omega^{n-p}。它将一个微分形式映为其对偶形式(Hodge对偶)。\star\star=(-1)^{p(n-p)}。特别地,\star允许我们在\Omega^{p}上定义内积

(\alpha,\beta)=\int_{M}\alpha \wedge \star \beta,诱导的范数记为\parallel \centerdot \parallel

\Omega=\oplus_{p=o}^{n}\Omega^{p}\oplus为正交直和,则\Omega成为内积空间。\star是其上的正交算子:(\star \alpha,\star \beta)=(\alpha,\beta)

2.上微分算子d^*:\Omega^{p}\to \Omega^{p-1}d^*=(-1)^{np+n+1}\star d \star。不难验证(d^*)^{2}=0(d\alpha,\beta)=(\alpha,d^* \beta),即d^*d互为伴随算子。

3.Laplace-Beltrami算子\triangle:\Omega^{p} \to \Omega^{p}\triangle=(d+d^*)^{2}=dd^*+d^* d\triangle\stardd^*交换,它是自伴随算子:(\triangle\alpha,\beta)=(\alpha,\triangle \beta)\triangle \alpha=0当且仅当d\alpha=0d^*\alpha=0

求出\triangle\Omega^0{M}中的局部坐标表示是有启发性的:此时其和经典Laplace算子仅相差一个符号。

\mathcal{H}^{p}=\{\omega \in \Omega^{p}: \triangle \omega=0\}\omega称为调和p次形式。

(Hodge定理Ⅰ)存在如下正交分解式:

\Omega^{p}=\triangle(\Omega^{p})\oplus\mathcal{H}^{p}=d(\Omega^{p-1})\oplus d^*(\Omega^{p+1})\oplus\mathcal{H}^{p},其中dim\mathcal{H}^{p}<\infty

注意到上述正交分解等价于说\triangle|_{(\mathcal{H}^{p})^{\perp}}是线性空间(\mathcal{H}^{p})^{\perp}的同构,故可在(\mathcal{H}^{p})^{\perp}上定义积分算子G作为\triangle的逆算子,并以G(\mathcal{H}^{p})=0G拓展到整个\Omega^{p}上。易见G是自伴随算子,与\stardd^*交换。G称为Green算子。下一章中,我们将证明和一般的积分算子一样,G是紧算子。

我们举出Hodge定理Ⅰ在de Rham上同调理论中的几个应用。

定义投影算子H:\Omega^{p} \to \mathcal{H}^{p}。任意\omega \in \Omega^{p}有分解\omega=dd^* G\omega+d^* d G \omega+H\omega。如果\omega是闭形式,\omega=dd^* G\omega+H\omega,于是调和微分H\omega落在\omega的上同调类中。不难证明H\omega不依赖于\omega的选取而只依赖于其上同调类,因而:

(Hodge定理Ⅰ’)存在同构H:H^{p}(M) \to \mathcal{H}^{p},其中H^{p}(M)M的第p个de Rham上同调群。

作为推论,我们得到

有限性定理:对可定向的紧微分流形Mdim H^{p}(M)<\infty

Poincare对偶:\star\triangle=\triangle\star,故有同构\star:\mathcal{H}^{p} \to \mathcal{H}^{n-p}。内积(,)的非退化性给出对偶H^{p}(M) \cong (H^{n-p}(M))^{*}

这2个结果是de Rham上同调理论的基础。同调代数中的标准证明有浓厚的组合风味:利用Mayer-Vietoris序列将局部的信息粘合起来。利用Hodge定理的证明本质上是一个分析证明,这在下一章会看得很清楚。

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