Clifford代数简介

200年来,许多人从不同方面研究过Clifford代数和自旋表示,但认识到它们处在整个数学/数学物理的核心则是晚近得多的事。下面是一份(不完备的)历史回顾。

超复数系:Hamilton, Grassmann, Clifford

表示论,Lie群,Bott周期性:E.Cartan, Weyl, Chevalley, Bott

Riemann几何:E. Cartan, Berger

Dirac算子,量子场论,超对称:Dirac, Atiyah, Singer, Witten

接下来我们希望从容地讨论每一个方面。

本文的主要参考文献是专著

Lawson, Michelsohn  Spin Geometry

以及一篇非常重要的论文

Atiyah, Bott, Shapiro  Clifford Modules

给定K-向量空间V,张量代数T(V)是由V生成的自由结合代数。在V上选取二次型qClifford代数Cl(V,q)定义为T(V)模去v^2+q(v)1=0v \in V。由于线性空间之间保持二次型的线性映射可唯一扩张为相应Clifford代数之间的同态,上述定义给出(V,q)到结合代数的Clifford函子。

以下假定\mathrm{char}(K) \neq 2。此时有等价刻画uw+wu=-2q(v,w)v,w \in V,其中2q(v,w)=q(v+w)-q(v)-q(w)极化恒等式

Clifford代数附带有(1)反射自同构\alpha:线性映射\alpha(v)=-v的扩张;(2)转置反自同构:x \mapsto x^tx_1 \otimes \cdots \otimes x_k \mapsto x_k \otimes \cdots \otimes x_1;(3)共轭反自同构:\bar{x}=\alpha(x^t)

下面是2个有深刻物理背景的性质:

(1)Clifford代数推广了外代数:后者对应q \equiv 0。更一般的,T(V)Cl(V,q)上诱导一个滤过代数结构,外代数\Lambda(V)作为其伴随分次代数同构于Cl(V,q)

Clifford代数是描述Fermi子的合适代数结构,就这个意义上来说它是外代数的“量子化”。Bose子由Weyl代数描述,它是对称代数的“量子化”。

(2)除滤过代数结构外,T(V)还在Cl(V,q)上诱导一个\mathbb{Z}_2分次代数结构。偶部分记为Cl^0(V,q)(它是一个Clifford子代数),奇部分记为Cl^1(V,q),它们分别对应\alpha的正负特征子空间。

Atiyah等人引入分次结构的初衷之一是观察到如下优美性质:设V=V_1 \oplus V_2是基于q的正交分解,q_i=q|_{V_i},则有同构Cl(V,q) \cong Cl(V_1,q_1) \widehat{\otimes} Cl(V_2,q_2)\widehat{\otimes}\mathbb{Z}_2分次张量积。基于Witten等人的工作,现在熟知这个分次结构对应超对称

接下来转向具体例子的考察。取n维Minkowski空间\mathbb{R}^{r,s},相应的Clifford代数记为Cl_{r,s}。记Cl_{n,0}=Cl_nCl_{0,n}=Cl_n^*,不难决定Cl_1=\mathbb{C}Cl_2=\mathbb{H}Cl_1^*=\mathbb{R}\oplus \mathbb{R}Cl_2^*=\mathbb{R}(2)(所有2\times 2实矩阵)。

为完全决定Cl_nCl_n^*,考虑Cl_n \otimes Cl_2^*\cong Cl_{n+2}^*Cl_n^* \otimes Cl_2 \cong Cl_{n+2}。由此推出Bott同构Cl_{n+8} \cong Cl_n \otimes Cl_8, Cl_{n+8}^* \cong Cl_n^* \otimes Cl_8^*

Bott同构最早是由E.Cartan发现的,它与正交群的Bott周期性紧密相关。

\mathbb{C}l_nCl_{r,s}的复化,q_\mathbb{C}(z)=\sum_1^n z_i^2,复Clifford代数可以简单地通过作张量积\otimes_\mathbb{R} \mathbb{C}得到。此时有Bott同构\mathbb{C}l_{n+2} \cong \mathbb{C}l_n \otimes \mathbb{C}l_2,对应酉群的Bott周期性。

下面是一张分类表,由分解Cl_{r,s} \cong (Cl_1)^r \widehat{\otimes} (Cl_1^*)^s不难确定所有Cl_{r,s}\mathbb{C}l_n

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可除代数与中心单代数

对可除代数与中心单代数的考察给出了“局部-整体”原理的一个重要范例。这植根于可除代数与类域论的联系中。此外,非交换代数理论有其本身的兴趣。在Noether学派取得的经典结果外,我们还想提到2个与K理论有关的近代进展。

以下讨论的所有代数都是有限维的。

非交换代数的一个中心问题是给定域K,描述K上所有可除代数。这相当于域扩张理论的非交换版本。历史上对这一问题的兴趣是被复数\mathbb{C},四元数\mathbb{H},八元数\mathbb{O}等一系列“超代数”的发现所激起的。最重要的经典定理是

(Frobenius) \mathbb{R}上的可除代数仅有\mathbb{R}\mathbb{C}\mathbb{H}

\mathbb{C}上不存在非平凡的可除代数。这一结论对任意代数闭域成立。

AK上的可除代数,则其中心Z(A)K的有限扩张。于是可以把问题分为两部分:研究域的有限扩张,这属于Galois理论的范畴;研究Z(A)=K的可除代数A,我们称这样的A为中心可除代数。

中心可除代数必为中心单代数。Wedderburn定理指出K上的中心单代数同构于某个方阵代数M_{n}(A)AK上的中心可除代数。特别地,代数闭域上的中心单代数同构于M_{n}(K)。通过对基域取代数闭包,不难证明任何中心单代数的维数均为平方数。

我们考察几个具体的例子。

(Hasse)\mathbb{Q}_p上有\phi(n)n^2维中心可除代数。

(Wedderburn) 有限域\mathbb{F}_q上不存在非平凡的中心可除代数(因而有限体必是域)。

(曾炯之) 若K是代数闭域,CK上不可约代数曲线,则代数函数域K(C)上不存在非平凡的中心可除代数。

后2个否定性结果可以统一处理。代数闭域K上齐次多项式F(x_1,x_2,\dots,x_n)=0deg F \leq n恒有非平凡的零点。如果对deg F <nK能保证这一点,则称K为拟代数闭的。拟代数闭域上不存在非平凡的中心可除代数,而有限域和代数函数域又都是拟代数闭域(前者是Chevalley的一条定理,参见Serre, A course in arithmetic)。

\mathbb{R}上仅有2个非平凡的中心单代数:中心可除代数\mathbb{H}和方阵代数M_2(\mathbb{R})。类比从\mathbb{R}\mathbb{H}的过程,可以在任意特征不等于2的域K上构造4维中心单代数如下:取a,b \in K^{*}A是由1,i,j,k张成的K线性空间,i^2=aj^2=bij=-ji=k

可以证明,若ax^2+by^2=1K^2中有解,则A同构于M_{2}(K),否则A为中心可除代数。在K=\mathbb{Q}的情形,上述结论等价于说A是否为可除代数由\mathbb{Q}_v上的Hilbert符号所确定。这一事实的高维推广是“局部-整体”原理的范例:

(Bauer-Hasse-Noether)整体域K上的中心单代数A同构于M_{n}(K),当且仅当对每个位vA \otimes_{K} K_{v}同构于M_{n}(K_v)

中心可除代数与代数数论的联系体现在Brauer群这一对象上。具体地说,K上的中心单代数对张量积封闭。Wedderburn定理给出等式A_1 \otimes A_2=M_n(A_3),这在中心可除代数上定义了一个Abel群Br(K),称为K的Brauer群。

以上Frobenius和Wedderburn的结果可改写为Br(\mathbb{R})=\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}Br(\mathbb{F}_q)=0

Brauer群在经典类域论中有重要地位。例如,以下结果推广了二次互反律:

对整体域K0 \to Br(K) \to \oplus_{v}Br(K_v) \to \mathbb{Q}/\mathbb{Z} \to 0

限于篇幅,这里不再深入。

我们还想提到2个与K理论有关的近代进展。

用拓扑K理论可以证明Frobenius定理的如下推广(去掉了经典Hurwitz定理中的赋范条件):

(Bott-Milnor) \mathbb{R}上的非结合可除代数仅有\mathbb{R}\mathbb{C}\mathbb{H}\mathbb{O}

代数K理论方面,Merkur’ev和Suslin发现利用K_2(K)可以完整地描述Br(K)

主要参考文献: Shafarevich, Basic notions of algebra