Calabi猜想,Calabi-Yau流形和Kähler-Einstein度量

Calabi以一系列关于高维Kähler流形何时容许Kähler-Einstein度量的猜想闻名。此类问题最早可以追溯到单值化定理:任意Riemann面均容许唯一的KE度量。在近代,这是几何分析方法大展拳脚的领域。

几天前Donaldson团队(陈秀雄,S.Donaldson,孙崧)宣布他们解决了这一方向上的最后一个经典问题(几乎同时,田刚在Lawson 70寿辰的会议上宣布了同样的结果——感谢K君告知)。

以此为契机,我们希望回顾和总结已知的结果。

Calabi conjectures

弦论的基本假设是存在高维的“真实时空”(例如,Kähler流形)作为4维时空(Lorentz流形)上的纤维丛,这使得研究Kähler度量(弦论)和相应Ricci曲率(广义相对论)的关系成为有趣的课题。

给定紧Kähler流形(M,J,g,\omega),定义Ricci形式\rho(x,y)=\mathrm{Ric}(Jx,y)。熟知作为闭(1,1)形式,[\rho]=2\pi c_1(M)。反过来,我们有著名的

(Calabi猜想)若闭(1,1)形式\rho'满足[\rho']=2\pi c_1(M),则M上存在唯一的Kähler度量g'满足[\omega']=[\omega]且以\rho'作为Ricci形式。

Kähler-Einstein度量对应真空Einstein场方程的解:\mathrm{Ric}=kg(或\rho=k\omega)。宇宙常数消没(k=0)的情况是最基本的,此时Calabi猜想推出

(KE度量的Calabi猜想 Ⅰ)c_1=0M容许Ricci平坦的Kähler度量。

Ricci平坦的紧Kähler流形即Calabi-Yau流形。KE度量的Calabi猜想 Ⅰ使得大量构造CY流形成为可能:事实上除了部分复环面K3曲面,典型的CY流形都来自c_1=0的代数流形。

CY流形有许多重要的应用。例如,单连通CY流形允许和乐群约化U(n) \to SU(n),这使得3维CY流形成为超弦理论的基本模型:特殊和乐群SU(3)是超对称存在的必要条件。

Candelas, Horowitz, Strominger, Witten  Vacuum configurations for superstrings

关于CY流形的几何,最完备的网络资料应当是丘成桐本人在Scholarpedia上撰写的条目Calabi-Yau manifold.

一般的,我们希望给出M容许KE度量的判据。不妨假设k=\pm1g的正定性推出相应的第一Chern类必须是正/负的。由Kodaira嵌入定理,此时紧Kähler流形M典范线丛K/反典范线丛K^*是丰富的,从而是代数流形。前一类代数流形有极大的Kodaira维数,因而属于一般型,后一类非典型代数流形则称为Fano流形

(KE度量的Calabi猜想 Ⅱ)c_1<0M容许唯一的KE度量g'使得k=-1

由此可以证明对c_1<0的代数流形M^n,其Chern数满足

(Bogomolov–Miyaoka–Yau不等式) (2n+2)(-c_1)^{n-2}c_2 \geq n(-c_1)^n

Yau  Calabi’s conjecture and some new results in algebraic geometry

我们将会看到,c_1>0的情况要复杂得多:一般来说,无法保证KE度量的存在性和唯一性。

最后是关于一般Einstein流形的评论。除了4维的Hitchin-Thorpe不等式,尚不知道Einstein度量对Riemann流形的其他拓扑限制。除了考虑齐性空间和利用Calabi猜想的解,也不存在一般性地构造Einstein度量的方法。

The work of Yau and Aubin

我们记Kähler形式的扰动为\omega'=\omega+\frac{1}{2}dd^c\phi(或等价地,Kähler度量的扰动h'_{\alpha\bar\beta}=h_{\alpha\bar\beta}+\partial_\alpha\partial_{\bar\beta}\phi)。后者带来体积形式的扰动(\omega')^n=D(\phi)\omega^n(或等价地,D(\phi)=\mathrm{det}(h_{\alpha\bar\beta}+\partial_\alpha\partial_{\bar\beta}\phi)/\mathrm{det}(h_{\alpha\bar\beta}))。整体上,体积不变给出规范化条件\int_M D dV_g=\mathrm{Vol}(M)

若令\frac{1}{2}dd^c f=\rho-\rho',则局部上f必须满足dd^c(f-\log D)=0。我们记D=Ce^f,常数C由规范化条件唯一确定。

(Calabi猜想,PDE版本)给定紧Kähler流形M上的光滑函数fD(\phi)=Ce^f在相差常数意义下有唯一的光滑解\phi

若令\frac{1}{2}dd^c f=\rho-k\omega,则局部上f必须满足dd^c(f-\log D-k\phi)=0

(KE度量的Calabi猜想 Ⅱ,PDE版本)给定c_1<0的紧Kähler流形M上的光滑函数fD(\phi)=e^{f+\phi}在相差常数意义下有唯一的光滑解\phi

形如D(\phi)=\exp[F(\phi,x)]F:I \times M \to \mathbb R的二阶非线性椭圆方程称为复Monge–Ampère方程。解的光滑性依赖于标准的椭圆算子理论。Calabi本人在\partial_t F \geq 0的假设下证明了解的唯一性,并注意到k=1(\partial_t F=-1)可能导致唯一性失效。

丘成桐获得Fields奖章的主要工作之一对上述2个复Monge–Ampère方程证明了解的存在性。他采用的是求解非线性PDE的标准方法:连续性方法

Yau  On the Ricci curvature of a compact Kähler manifold and the complex Monge-Ampère equation. I

独立于丘成桐,Aubin也得到了KE度量的Calabi猜想 Ⅰ的证明,他的变分方法较丘的连续性方法繁琐。在下面这部专著里,Aubin用改进了的连续性方法讨论复Monge-Ampère方程:

Aubin  Some nonlinear problems in Riemannian geometry

具体地说,定义f的形变族tft \in [0,1]t=0时方程可解。事实上使方程有解的参数t构成集合T=[0,1]:通常T是相对开集可以通过特定Banach空间上的反函数定理得到(\partial_t F=-1再次带来困难:无法保证线性化后的算子可逆),T是相对闭集则依赖于对解的先验估计,以保证解在形变下不发生破裂。找到足够强的先验估计绝非易事,这是丘成桐最主要的贡献。

上述存在性证明并未给出紧Kähler流形上KE度量的具体构造方法。此外,进一步考虑开Kähler流形上的KE度量也是重要的。几何分析学派在这些问题上都取得了重要进展,但还有许多一般性的工作有待完成。

The positive case

在丘成桐和Aubin的工作之后,寻找Fano流形容许KE度量的充分必要条件一直是研究的热点。方法论方面,几何分析的考虑仍是最主要的(C_0估计,L^2估计,等等)。另一方面,几何不变量理论提供了2条最重要的线索:

(1)考虑M的自同构群H。唯一性方面,Bando和Mabuchi修补了Calabi的否定性结果:KE度量如果存在,则在模去H_0作用的意义下是唯一的。

存在性方面,以\mathfrak{h}H的Lie代数,Matsushima证明了M容许KE度量要求\mathfrak{h}约化。特别地,\mathbb{C}P^2\#k\overline{\mathbb{C}P^2}(k=1,2)不容许KE度量。

仍令\frac{1}{2}dd^c f=\rho-k\omega,定义Futaki不变量F:\mathfrak h \to \mathbb CX \mapsto \int_M X(f)\omega^n。Futaki证明了M容许KE度量要求F消没。综合上述考量,我们有

(KE度量的Calabi猜想 Ⅲ)H离散(等价地,不容许全纯向量场)的Fano流形容许唯一的KE度量g'使得k=1

Fano曲面(通常又称为Del Pezzo曲面)何时容许KE度量的问题已完全解决:由分类定理,Del Pezzo曲面双有理等价于\mathbb CP^2\mathbb CP^1 \times \mathbb CP^1\mathbb{C}P^2\#k\overline{\mathbb{C}P^2}(1\leq k \leq 8),除k=1,2外,其余曲面均容许KE度量。

Tian, Yau  Kähler-Einstein metrics on complex surfaces with c_1>0

特别地,此时Matsushima条件是容许KE度量的充分必要条件,故KE度量的Calabi猜想 Ⅲ对于复曲面成立。

Tian  On Calabi’s conjecture for complex surfaces with positive first Chern class

已知在高维,KE度量的Calabi猜想 Ⅲ给出的限制是不充分的。我们还需要一类新的限制。

(2)考虑TM稳定性。Kobayashi证明了Fano流形M容许KE度量要求TM的半稳定性。紧密相关的,我们有Kobayashi-Hitchin对应:代数流形上的全纯向量丛E是稳定的当且仅当E容许不可约Hermitian-Einstein度量。

Uhlenbeck, Yau  On the existence of Hermitian-Yang-Mills connections in stable vector bundles

Donaldson  Infinite determinants, stable bundles and curvature

受此启发,丘成桐猜想Fano流形容许KE度量的充分必要条件应该由某种几何稳定性给出。

特别地,田刚证明了KE度量的存在性要求反典范线丛K^*是K稳定的,从而证否了Calabi猜想 Ⅲ:

Tian  Kähler-Einstein metrics with positive scalar curvature

另一种K稳定性的代数几何定义要求流形的所有测试配置(test configuration)的Futaki不变量非负——这是Donaldson提出的定义。2种定义的相容性参见

Li, Xu  Special test configurations and K-stability of Fano varieties

(Yau-Tian-Donaldson猜想,K稳定性猜想) K稳定的Fano流形容许KE度量。

正如本文开头所提到的,几天前Donaldson团队宣布利用Donaldson新近发展的连续性方法,他们能够证明上述悬置多年的经典问题:

Chen, Donaldson, Sun  Kähler-Einstein metrics on Fano manifolds, I: approximation of metrics with cone singularities

Chen, Donaldson, Sun  Kähler-Einstein metrics on Fano manifolds, II: limits with cone angle less than 2 \pi

Chen, Donaldson, Sun  Kähler-Einstein metrics on Fano manifolds, III: limits as cone angle approaches 2 \pi and completion of the main proof

同样基于Donaldson的连续性方法,田刚独立地给出了另一个证明:

Tian  K-stability and Kähler-Einstein metrics

谱几何初步

这学期选了倪磊的微分几何课。我喜欢他上课的风格:图景清晰,细节准确,间杂一些质朴的幽默感。不过,这部分笔记与其说是课堂的实录,不如说是我自己对相关课题的一点整理。

给定有界区域\Omega \subset \mathbb{R}^n\partial \Omega光滑,考虑Laplace算子-\triangle的Dirichlet型谱问题:
-\triangle u=\lambda u,要求在\partial\Omegau=0
由椭圆算子理论知-\triangle的谱是离散的:0<\lambda_1 <\lambda_2 \leq \cdots\lambda_k \to \infty。注意到\lambda_1总是单特征值,它有特殊的重要性。
这个数学模型在物理中有各种各样的应用,参见名作
Kac  Can One Hear the Shape of a Drum?

基于经典黑体辐射理论,Lorentz猜想\lambda_k的渐进行为足以决定\Omega的体积。在Göttingen宣讲后,Weyl很快给出了证明:
(Weyl渐进公式)\displaystyle \lambda_k \sim \frac{4\pi^2 k^{2/n}}{(V(B^n)V(\Omega))^{2/n}},常数V(B^n)代表单位球的体积。
与之相关的,我们有著名的
(Dirichlet型Pólya猜想)\displaystyle \lambda_k \geq \frac{4\pi^2 k^{2/n}}{(V(B^n)V(\Omega))^{2/n}}
特别地,Pólya本人证明了若能用\Omega铺满\Bbb R^2,则猜想成立。
Pólya  On the eigenvalues of vibrating membranes
对于一般的\Omega,李伟光和丘成桐证明了Dirichlet型猜想在“平均”意义上成立。
Li, Yau  On the Schrödinger equation and the eigenvalue problem

Kac进一步问:-\triangle的算子谱是否足以在等距同构的意义下确定\Omega?特别地,n=2时算子谱描述了鼓面振动时的特征频率,是否能从鼓的特征频率“听出鼓的形状”?对于闭流形,回答是否定的:早在Kac的论文发表之前,Milnor就构造出了2个同谱却不等距同构的16维环面。
Milnor  Eigenvalues of the Laplace operator on certain manifolds
这个结果有很深的数论背景:在16维空间上存在2个偶幺模整格(D_{16}^{+}E_8 \oplus E_8)对应同一个theta函数/模形式\Theta(q)=1+480\sum \sigma_7(n)q^{2n}
80年代初,借助自守形式的谱理论,找到了2个同谱却不等距同构的双曲Riemann面:
Vignéras Variétés riemanniennes isospectrales et non isométriques
90年代初,同谱却不等距同构的2维开区域的例子也被找到,最终否定地回答了“听鼓”问题:
Gordon, Webb, Wolpert  Isospectral plane domains and surfaces via Riemannian orbifolds

类似的,可以考虑Neumann型谱问题-\triangle u=\mu u,要求在\partial\Omega{\partial u }/{\partial n}=0-\triangle有离散的非负谱:0=\mu_1<\mu_2 \leq \cdots\mu_k \to \infty
(Weyl渐进公式)\displaystyle \mu_{k+1} \sim \frac{4\pi^2 k^{2/n}}{(V(B^n)V(\Omega))^{2/n}}
(Neumann型Pólya猜想)\displaystyle \mu_{k+1} \leq \frac{4\pi^2 k^{2/n}}{(V(B^n)V(\Omega))^{2/n}}
Kröger证明了Neumann型猜想同样在“平均”意义上成立。
有趣的是,尽管2个Pólya猜想均未获证明,Friedlander却能够证明\mu_{k+1} \leq \lambda_k。这是支持Pólya猜想成立的有力证据。

P.S. For a general problem list, see here.

Boltzmann方程,H定理和非平衡态统计力学

我一直觉得熵是一个极其神秘而有趣的概念(尽管对这方面的物理知识几近一无所知)。前些日子听了新晋Fields奖得主C.Villani关于Landau阻尼的讲座。他的法式夸张和他的法式口音同样典型,看来是一个很聪明(也很自恃)的人。无论如何,这个讲座重新激起了我对统计物理的兴趣。

Boltzmann方程是理解熵的基本模型之一。这篇文章是我的学习笔记。

Rezakhanlou, Villani  Entropy Methods for the Boltzmann Equation


大数目的同类分子群(例如稀薄气体)的分布将如何演化?换言之,给定2维/3维构型空间V,我们希望考察在T^*V \times [0,+\infty)上定义的概率密度函数f_t(x,p) \geq 0的演化。

定义Liouville算子L=\partial_t+\{\cdot,H\}=\partial_t+v \cdot \nabla_x+F \cdot \nabla_p

分子间不存在碰撞:连续性方程给出Liouville方程Lf_t=0(概率密度局域守恒)。

分子间存在弹性碰撞:加入碰撞项C(f_t),我们得到Boltzmann方程Lf_t=C(f_t)

基于所谓的分子混沌假设,Boltzmann给出的碰撞项是C(f_t)=Q(f_t,f_t),其中

\displaystyle Q(f_1,f_2)=\int_{S^2}\int_{\mathbb{R}^3}(f^{'}_1 f^{'}_2-f_1 f_2)B(p_1-p_2,\sigma)dp_2 d\sigma

这个非线性项描述了动量为p_i的2个分子在x处相撞后动量改变为p_i^{'}的过程(i=1,2)。发生完全弹性碰撞时,动量和动能守恒,(p_1,p_2)可用单位向量\sigma \in S^2参数化。碰撞核B是非负Borel函数,取决于p_1-p_2及其与\sigma的交角\theta,它描述了分子的“弹性”。

理论上经常考察Boltzmann方程的如下简化:

(1)齐性空间模型:f_t(x,p)=f_t(p)。特别地,L中的v \cdot \nabla_x项消失。

(2)无附加力场:F \equiv 0。特别地,L中的F \cdot \nabla_p项消失,且总动能守恒。

(3)f_t满足下列3种典型的边值条件之一:周期性条件V=T^3,此时总动量守恒;回弹条件f_t(x,p)=f_t(x,-p)x \in \partial V;镜面反射条件f_t(x,p)=f_t(x,R_x p)x \in \partial VR_x pp关于x处法线的镜面反射象,此时总角动量守恒。

(4)假定B \sim |p_1-p_2|^{a},碰撞核B可分为硬分子型(a>0),软分子型(a<0)和Maxwell分子型(B|p_1-p_2|无关,仅取决于\cos \theta)。根据\theta \to 0时的表现,碰撞核B可分为截断核(\int B d\sigma<+\infty)和非截断核(\int B d\sigma \to +\infty)。


以下讨论假定(2)成立,总动能守恒(且有限)。此时弱解的存在性是已知的(DiPerna, Lions),全局唯一性和正则性则(像Navier-Stokes方程一样)仍是著名的开问题。
定义H泛函H(f)=\int_{T^*V} f \mathrm{log} f,Boltzmann最杰出的工作是提出了H定理
\displaystyle \frac{d}{dt} H(f_t) \leq 0。特别地,假定碰撞核B几乎处处大于0,满足边值条件(3)且达到全局平衡态(泛函极小值)的f_t(x,p)将形如M(p)M(p)是某个Maxwell分布
S(f)=-kH(f)称为系统的Gibbs熵(kBoltzmann常数),它推广了Boltzmann熵S=k \mathrm{log} W。在这个观点下H定理应视为热力学第二定律的一例。

L.Boltzmann (1844-1906)

Villani在讲座中提到了他拜访Boltzmann墓的情景。此君最喜欢的公式正是刻在墓上的S=k \mathrm{log} W

信息论中,一个直接的类比是概率分布fShannon熵S(f)=-\int f \mathrm{log} f dx。Shannon注意到可以用S来衡量“信息量”。例如不等式S((f,g)) \leq S(f)+S(g)相当于“独立事件包含的信息量大于相关事件”。
熵为研究偏微分方程提供了一个强力的工具,而信息论又为熵的研究注入了新的洞见。


以下讨论假定(2)(3)成立。技术上我们要求若V \subset \mathbb{R}^3V必须是严格凸的。
非平衡态统计力学的一个基本问题是:系统是否最终会收敛到全局平衡态?就当前的情形,我们要问\displaystyle \lim_{t \to \infty} f_t \to M是否对Boltzmann方程的任意解成立?如若成立,其收敛速度如何?
对第1个问题的回答是:若f_t满足一定的先验估计,我们可以保证L^1意义下的弱收敛。第2个问题启发了许多工作(甚至形成了一个子领域),下面仅介绍一个特出的结果。
在信息论中,常用Kullback-Lerbler距离(相对熵)来衡量2个概率分布fg的差异大小:\displaystyle D(f|g)=H_g(\frac{df}{dg})=\int \mathrm{log}(\frac{df}{dg})dfD(f|g) \to 0当且仅当f几乎处处趋于g,这给出L^1意义下的弱收敛。
下面是一个较新的结果(2005),也是Villani获2010年Fields奖的主要工作之一:
(Desvillettes, Villani)假定f_t满足某些(自然的)先验估计,则D(f_t |M)=O(t^{-\infty})
Desvillettes, Villani  On the trend to global equilibrium for spatially inhomogeneous kinetic systems: the Boltzmann Equation
上述结果以其一般性取胜:对远离平衡态的f_t给出这样的一致估计要克服许多技术困难。
对特定的碰撞核B(例如硬分子模型),收敛速度可能是指数级的:这方面的研究仍在进行中。

附记
Villani的讲义参考了一篇由Carlen与卢旭光合作的文章:假定(1)(2)成立,他们针对(4)中的Maxwell型截断核构造了一个极其缓慢的收敛模型。这在某种程度上补充了上述Villani的结果。
09年在清华的时候,卢老师是我分析课的任课老师。他极其敬业(令我印象很深的是他曾自费打印Tao谈数学的文章分发给全班),对我个人也很关照。那时我隐约知道他是做统计物理学的。10年Fields奖颁出时我已南下赴港,没能听到他对Villani工作的评论。另一方面,港大的Mok恰好是这届Fields奖的评委之一,不过他也没有公开评论获奖者的工作。

椭圆算子的基本知识

本文由3个小专题的讨论组成。我们始终以Laplace算子的Hodge理论作为基本的参照物。

(Ⅰ)Gårding不等式,基本椭圆估计

回忆Sobolev空间W^s上赋有:1)s阶一致范数\parallel u \parallel_{s,\infty}=\sum_{|\alpha| \leq s} \parallel D^\alpha u \parallel_\infty;2)sL^2范数\parallel u\parallel_{s}=\sum_{|\alpha| \leq s} \parallel D^\alpha u \parallel_2。Sobolev不等式说明后者在一定情况下控制前者。Gårding不等式则给出关于2m阶椭圆算子P的估计:

约定| u|_s=\sum_{|\alpha|=s} \parallel D^\alpha u \parallel_2P满足一致椭圆性:\mathrm{Re}P_{2m}(x,\xi)\geq c|\xi|^{2m} ,则对任意u\in C^m_0(\Omega)\mathrm{Re}(Pu,u) \geq (c-\epsilon)|u|^2_m-b_\epsilon \parallel u \parallel^2_0

对于常系数算子P,这是Fourier分析的简单应用。处理一般情形要用到单位分解。在伪微分算子的框架下,Hörmander证明不仅m为整数的限制是多余的,甚至可以令\epsilon=0

给定m阶椭圆算子P。对P^{*}P应用Gårding不等式,不难证明这保证了所谓的“基本椭圆估计”\parallel u \parallel_s \leq C(\parallel u \parallel_{s-m}+\parallel P u\parallel_{s-m})s=m成立。

基本椭圆估计在W^s上引入一个依赖于P的等价范数,这在应用上很方便。一般情况的证明也不复杂:取拟基本解算子Q使得I=QP+S,并将不等式的左右两端分别与“参照物”\parallel QP u\parallel_s+\parallel Su\parallel_s比较。

(Ⅱ)椭圆算子的指标及其同伦不变性

椭圆算子是Fredholm算子,这推广了Hodge定理:\mathrm{dim} \mathcal{H}^k=\mathrm{dim} (\mathrm{ker}\triangle^k)<\infty

定义Fredholm算子/椭圆算子的指标\mathrm{ind}(P)为1)\mathrm{dim}(\mathrm{ker} P)-\mathrm{dim}(\mathrm{coker} P);2)\mathrm{dim}(\mathrm{ker} P)-\mathrm{dim}(\mathrm{ker} P^*);3)\mathrm{dim}(\mathrm{ker} P^{*}P)-\mathrm{dim}(\mathrm{ker} P^*P)

记Fredholm算子半群为\mathcal{F},它是有界算子环的开子集。\mathrm{ind}\mathcal{F}到加群\mathbb{Z}的同态。事实上\mathrm{ind}\mathcal{F}的连通分支上是常数,因而给出同构\pi_0(\mathcal{F}) \to \mathbb{Z}。由此知指标在椭圆算子的同伦形变下保持不变,特别是,在其主符号的正则同伦形变下保持不变。

更微妙的是指标事实上是流形的同伦不变量。回忆Hodge定理或有启发:\triangle^k的核的维数等于流形的第k个Betti数。一般地,是否可以用椭圆算子的主符号及流形的拓扑不变量来计算其指标?这是Gelfand提出的问题,而Atiyah和Singer给出了肯定的回答。他们(发表的)第一个证明依赖于拓扑K理论。

(Ⅲ)椭圆算子的谱分解,热核

自共轭椭圆算子的谱分解有一个现成的模本:Laplace算子的谱分解。不赘。

Laplace方程是静态的热方程,经验表明考虑后者这个抛物方程的渐进行为(某种意义上的“流”)对于理解静态结构极有帮助:一个已成为经典的例子是Ricci流,Perelman熵,等等。

具体地说,(\partial_t+P)u=0基本解K(t,x,y)满足K(0^{+},x,y)=\delta_x(y)。作为积分核(热核),它有一个形式表示\int K(t,x,y)u(y)dy=e^{-tP}u(t,x)。将uP的特征函数u_k展开,K(t,x,y)=\sum_k e^{-\lambda_k t}u_k(x) \otimes u_k^{*}(y)是光滑函数,由此推出e^{-tP}是一个光滑化算子。定义此算子的迹为\mathrm{tr}(e^{-tP})=\sum_k e^{-\lambda_k t}

我们此刻关心的是特征值0。简单的线性代数表明PP^{*}P^{*}P有相同的非零特征值,从而得到McKean-Singer公式:

\mathrm{tr}(e^{-tP^{*}P})-\mathrm{tr}(e^{-tPP^{*}})=\mathrm{dim}(\mathrm{ker} P^{*}P)-\mathrm{dim}(\mathrm{ker} P^*P)=\mathrm{ind}(P)

t \to 0^+时,热核可以写成t的渐进展开式,展开系数由流形的几何与P的主符号决定。由此计算指标进而给出指标定理的分析证明是Gilkey和Patodi的想法。

热核与物理中的超对称密切相关,我们曾用这个观点讨论过Laplace算子的Witten形变。现在如法炮制:令t \to \infty,这将抹去所有正特征值,e^{-tP}退化为到\mathrm{ker}P的投影算子,此时“Hodge理论”将提供有关流形拓扑的信息。综合考虑这两种渐进使得Getzler简化了Dirac算子指标定理的分析证明:

Getzler  Pseudodifferential operators on supermanifolds and the Atiyah-Singer index theorem

 

椭圆性,Hörmander亚椭圆性定理及拟基本解算子

我们讨论了分布,Sobolev空间和伪微分算子的抽象理论。下面看一个极重要的应用。

定义在\Omega \subset \mathbb{R}^n上的m阶(矩阵系数的)微分算子P(x,D)称为椭圆的,若\forall x \in \Omega\forall \xi \in \mathbb{R}^n,其主符号\sigma(P)=p_m(x,\xi)均可逆。

最基本的椭圆算子的例子是Laplace算子。它是一个自共轭算子。一般来说,P是椭圆的当且仅当P^{*}是椭圆的。

通常我们要求(更强的)一致椭圆性:|\sigma(P)|\geq C|\xi|^m。对于常系数算子,易见一致椭圆性和椭圆性是等价的。我们约定以记号p^{(\alpha)}(\xi)表示多项式p的微分,则一致椭圆性又等价于

(H条件)\displaystyle |\frac{p^{(\alpha)}(\xi)}{p(\xi)}|=O(|\xi|^{-|\alpha|})\forall \alpha

为简单计,以下仅讨论有紧支集的开集\Omega上的常系数算子。我们有所谓的“Weyl引理”:

f \in D^{'}(\Omega)P(D)f \in W^s(\Omega),则f \in W^{s+m}(\Omega),此时我们称后者比前者“光滑”m阶。特别地,P(D)f光滑可推出f光滑。

我们知道分布f属于某个充分“粗糙”的Sobolev空间。不妨设f \in W^{s+m-1-k}k是某正整数。证明依赖于不断施行“光滑化”:在\Omega上定义系列光滑函数\psi_k, \cdots,\psi_0,\psi_{-1}使得在\psi_{i+1}的支集上\psi_i=1。令i-1增加到k,Leibniz公式给出

\displaystyle P(D)(\psi_{i+1} f)=\psi_{i+1} P(D)f+\sum_{\alpha \neq 0}\frac{1}{|\alpha|!}P^{(\alpha)}(D)(\psi_i f)D^\alpha \psi_i

右端第一项是光滑的,故左端与右端第二项同样“光滑”。而H条件推出P^{(\alpha)}(D)uP(D)u“光滑”|\alpha|阶,故递推地应用Leibniz公式一次“光滑性”至少提升一阶。证毕。

Hörmander注意到将H条件的右端放宽为O(|\xi|^{-\delta|\alpha|})\delta \geq 1并不影响证明。 应用半代数几何中的Tarski-Seidenberg定理,他进一步证明了放宽后的H条件是“Weyl引理”成立的充要条件,故使“Weyl引理”成立的算子是一类比椭圆算子更广的算子,我们称其为亚椭圆算子

(Hörmander亚椭圆性定理)(放宽后的)H条件完全刻画了亚椭圆算子。

(一致)椭圆性的定义可一字不易地应用于伪微分算子。极其有趣的是椭圆伪微分算子P有双边的逆:存在-m阶的伪微分算子Q使得(在算子等价的意义下)PQ=QP=I。我们不打算给出具体的计算,仅指出这个逆算子是通过渐进展开确定的,本质上仍与利用级数展开消解多项式的刚性类似,而一致椭圆性保证了展开的“收敛性”。

Rellich引理保证了所有光滑化算子的紧性,上述讨论说明模去紧算子后P是可逆算子,因而P(从而Q)是Fredholm算子

上述算子Q称为P拟基本解算子。通常用左拟基本解算子来证明解的正则性,用右拟基本解算子来证明解的存在性。下面各看一个例子。

(1)假定f \in D^{'}(\Omega)Pf \in W^s(\Omega),则f=QPf \in W^{s+m}(\Omega)。我们再一次证明了“Weyl引理”。

(2)假定g \in D^{'}(\Omega)x \in \Omega,则存在f \in D^{'}(\Omega)使得Pf=gx的某邻域内成立。仅仅取右拟基本解算子Qf=Qg是不够的。为此还需注意到PQ是Fredholm算子,故可在x的小邻域外扰动g使其与PQ的余核正交。

上述推理说明椭圆算子总是局部可解的。注意到作为特例,我们已再次证明了(局部)Hodge分解的存在性。

寻找伪微分算子局部可解的充分必要条件是一个重要问题。我们有著名的Nirenberg-Treves猜想:主型伪微分算子的局部可解性等价于“条件\Psi”。Hörmander证明了这个猜想的必要性部分(1981)。2003年,他的学生Dencker最终完成了充分性的证明。

Dencker  The resolution of the Nirenberg-Treves conjecture

伪微分算子的基本知识

Fourier变换建立了微分算子和多项式函数的对偶性,将偏微分算子理论与代数几何联系起来。对于(仿射簇的)复代数几何,一个基本的研究手段就是引入超越方法来消解多项式的刚性。将这一手段通过Fourier变换反馈回去,就发展成为伪微分算子的理论。

为讨论Fourier变换方便记,引入记号D^\alpha=i^{-|\alpha|}\partial^\alpha

具体地说,对于\mathbb{R}^n上的光滑算子P(D)=\sum_{|\alpha|\leq k}a_\alpha(x)D^\alpha,Fourier变换给出P(D)u(x)=\int e^{2\pi ix \cdot \xi} p(x,\xi) \hat{u}(\xi)d\xi,多项式p(x,\xi)=\sum_{|\alpha|\leq k}a_\alpha(x)\xi^\alphaP(D)符号

可以用更一般的函数来推广多项式:定义m阶符号\mathrm{Sym}^m(\mathbb{R}^n) \subset C^\infty(\mathbb{R}^n \times \mathbb{R}^n)\{p:|D^\alpha_\xi D^\beta_x p(x,\xi)|\leq C_{\alpha\beta}(1+|\xi|)^{m-|\alpha|}\}。实参数m给出一系列函数空间的“谱”。m_1<m_2时,\mathrm{Sym}^{m_1} \subset \mathrm{Sym}^{m_2},补充定义\mathrm{Sym}^{-\infty}=\bigcap \mathrm{Sym}^m\mathrm{Sym}^m/\mathrm{Sym}^{m-1}称为m阶主符号。

m阶符号在Fourier变换下的对偶\Psi^m称为m伪微分算子(ΨDO)。它可以扩张成S^{'}\to S^{'},从而也给出W^s \to W^{s-m}。扩张后的-\infty阶伪微分算子是光滑化算子:由Sobolev嵌入定理,它的像总是光滑的。我们称2个伪微分算子是等价的,如果它们相差一个光滑化算子。易见光滑化算子是伪微分算子环中的理想,我们混淆术语的使用,也将其商环称为伪微分算子环。

类比Laurent级数,可以考虑符号的渐进展开,即逼近p \sim \sum_0^\infty p_j\{p_j\}趋于-\infty阶。可以证明形式和\sum_0^\infty p_j在等价意义下唯一确定一个伪微分算子。

渐进展开是一个很方便的工具,其用途大致分为分析和代数两类。

(1)分析:我们定义m阶多元符号\mathrm{Sym}^m(\mathbb{R}^n\times \mathbb{R}^n) \subset C^\infty(\mathbb{R}^n \times \mathbb{R}^n \times \mathbb{R}^n)\{a:|D^\alpha_\xi D^\beta_x D^\gamma_y a(x,y,\xi)|\leq C_{\alpha\beta\gamma}(1+|\xi|)^{m-|\alpha|}\}。算子A=a(x,y,D)定义为Au(x)=\int \int e^{2\pi i(x-y) \cdot \xi} a(x,y,\xi) u(y)dy d\xi。顾名思义,多元符号是符号的多元推广:若ay无关,则A退化为a(x,D)。然而这个“推广”是虚假的:

a(x,y,\xi)有紧的x支集和y支集,则上述A事实上是一个伪微分算子,其符号\displaystyle \sim \sum_{\alpha} \frac{i^{|\alpha|}}{|\alpha|!}D_\xi^\alpha D_y^\alpha a(x,x,\xi)

换言之,可以将参数y的作用理解为描述算子p(x,\xi)=a(x,x,\xi)在伪微分算子空间中的形变。这种软化对于考虑各种逼近是方便的。

(2)代数:下面的形式计算一般称为局部符号微积分:

对于复合,\displaystyle \mathrm{sym}(PQ) \sim \sum_\alpha \frac{i^{|\alpha|}}{|\alpha|!}(D_\xi^\alpha p)(D_x^\alpha q)

对于共轭,\displaystyle p^{*} \sim \sum_\alpha \frac{i^{|\alpha|}}{|\alpha|!}D_\xi^\alpha D_x^\alpha \bar{p}^t

对于\Omega \subset \mathbb{R}^n\mathrm{Sym}^m(\Omega)的定义参照我们之前的约定\mathrm{Sym}_0^m(\Omega)的情况仍然要简单得多,我们称对应的伪微分算子是紧支的。上述所有讨论均适用于紧支的伪微分算子。

同样的,通过定义优层,我们可以在紧流形上引入伪微分算子。一个很重要的观察是算子的主符号\sigma(P)在余切丛上是一个定义好的函数,因而伪微分算子的分类是内蕴的。

Sobolev空间的基本知识

分布空间是连续函数空间的极小扩张,使得(分布意义下的)微分总是可能的。特别地,我们可以定义L^p函数的微分。从连续范畴过渡到L^p范畴,\mathcal{C}^k(\mathbb{R}^n)的类比物是Sobolev空间

W^{s,p}(\mathbb{R}^n)=\{f \in S^{'}:D^\alpha f\in L^p(\mathbb{R}^n), \forall |\alpha| \leq s)\}

L^p函数是连续函数在L^p范数\parallel \centerdot \parallel_p下的完备化,而W^{s,p}(\mathbb{R}^n)\mathcal{C}^s(\mathbb{R}^n)sL^p范数\parallel f \parallel_{s,p}=\sum_{|\alpha| \leq s} \parallel D^\alpha f \parallel_p下的完备化。

下面仅考察Sobolev空间W^s=W^{s,2}。借助于L^2上的Fourier变换理论,一个显然等价于f \in W^s(且更简单的)刻画是\xi^\alpha \hat{f}(\xi) \in L^2\forall |\alpha|\leq s

第三种等价刻画是(1+|\xi|^2)^{s/2}\hat{f} \in L^2,或(I-\triangle/4\pi^2)^{s/2} f \in L^2

\Lambda^s=(I-\triangle/4\pi^2)^{s/2}。在W^s上定义内积(f,g)=(\Lambda^s f,\Lambda^s g)。(1)在此内积下Fourier变换成为W^sL^2函数(相对于测度(1+|\xi|^2)^s d\xi)的酉同构;(2)此内积诱导的范数记为\parallel \centerdot \parallel_s,同样的推理说明它等价于sL^2范数。

\Lambda^s对于任何实值的s都有定义,因而我们可以对任意实值的s定义s阶Sobolev空间W^s=\{f \in S^{'}:\Lambda^s f \in L^2\}。不难验证(1)W^{-s}可视为W^s的对偶空间;(2)D^\alphaW^sW^{s-|\alpha|}的有界算子。

C^k函数类似,对s>t,有自然嵌入W^s \subset W^t。这种相似性不仅仅是表面上的:

(Sobolev嵌入定理)若s>k+n/2,则W^s \subset C^k

证明依赖于Sobolev不等式:对充分大的ssL^2范数(反过来)控制s阶一致范数。

Sobolev嵌入定理基本上是说s越大则相应函数越光滑。特别地,若f\in W^s对任意大的s成立,则f \in C^\infty。利用Sobolev不等式我们还可以对偶地考察“谱”的另一头,结论是任意有紧支集的分布都属于某个W^s,若s充分小。

对于\mathbb{R}^n中有紧支集的开集,Sobolev空间的概念是简单的:由限制映射诱导。另一方面,对于一般开集,Sobolev空间的定义则比较微妙。我们引入以下约定:假设已定义了光滑函数层F(\mathbb{R}^n)。开区域\Omega \subset \mathbb{R}^n中每个有紧支集的开集\Omega'都通过限制映射从F(\mathbb{R}^n)继承了一个预层的结构,这些预层决定了函数层F(\Omega)。特别地,我们得到了W^s(\Omega)的定义。

此时依然有(1)Sobolev嵌入定理;(2)若\overline{\Omega}紧致,f \in D^{'}(\Omega),则对充分小的sf \in W^s(\Omega)。此外的一个重要结果是

(Rellich引理)自然嵌入W_0^s(\Omega) \hookrightarrow W^t(\Omega)是一个紧算子,此处下标0代表“有紧支集”。

通过简单的推理可以将上述结论推广到紧流形上:我们取开覆盖使得每个开集在参数化后都是紧致的,函数层F(\Omega)是一个优层,即我们可以通过单位分解将问题局部化。