通往指标定理之路 Ⅰ


Atiyah-Singer指标定理是20世纪中叶数学的主要成就之一。通往指标定理之路的开辟是许多数学家共同努力的结果,借介绍指标定理的机会,我们也希望用历史的观点考察观念的演化,数学的进步。研究这些局部结果如何发展成一个总结性的定理,并非全然出于借古鉴今的目的。另一个重要的原因,请看Atiyah的夫子自道:“The most useful piece of advice I would give to a mathematics student is always to suspect an impressive sounding Theorem if it does not have a special case which is both simple and non-trivial.”

下面介绍第1个简单而不平凡的特例:Riemann-Roch定理。它是后续发展的源头之一。

紧Riemann面S的除子群\mathrm{Div}(S)S上的点生成的自由Abel群。亚纯函数f给出除子(f)=\sum v_x(f)xv_xx处的离散赋值。这定义了同态K(x) \to \mathrm{Div}(S),同态像称为主除子群,余核\mathrm{Cl}(S)称为除子类群。

\mathrm{Cl}(S)上,定义\ell(D)为满足(f)+D \geq 0的线性无关的亚纯函数f的个数,i(D)为满足(\omega) \geq D的线性无关的亚纯微分\omega的个数,\mathrm{deg}(\sum a_i x_i)=\sum a_i。不难验证这3个函数不依赖于等价类中代表元的选取。

对于亏格为g的Riemann面,Riemann-Roch定理可以叙述为:

\ell(D)-i(D)=\mathrm{deg}(D)-g+1

易见i(D)=\ell(K-D),此处典范除子K=(\omega)同样不依赖于亚纯微分\omega的选取。

Riemann于1857年证明了Riemann不等式l(D) \geq \mathrm{deg}(D)-g+1。1865年,他的学生Roch将其精细化为Riemann-Roch定理。代数曲面上的Riemann-Roch定理早在19世纪末已经得到,然而当时的推广方法远不系统,在高维难以为继。直至层论的观点成熟后,情况才发生了根本性的变化。这里的关键人物是Serre。

J.P.Serre (1926-  )

首先将除子的概念与代数簇V上的层联系起来。以\mathscr{K}^*_VV上亚纯函数层的可逆元,\mathscr{O}^*_VV上全纯函数层的可逆元,定义VCartier除子群为\Gamma(V,\mathscr{K}^*_V/\mathscr{O}^*_V)。同态\Gamma(V,\mathscr{K}^*_V)\to \Gamma(V,\mathscr{K}^*_V/\mathscr{O}^*_V)的像称为Cartier主除子群,余核\mathrm{Cl}(V)称为Cartier除子类群。若V非奇异,则余维数为1的子簇V_i与局部环\mathscr{R}_{i} \cong \mathbb{Z}一一对应,\mathscr{K}^*_V/\mathscr{O}^*_V \cong \prod\mathscr{R}_{i},Cartier除子群同构于余维数为1的子簇的形式群(Weil除子群)。

我们今后考虑的代数簇都是非奇异的,Cartier除子/Weil除子仍简称为除子。

除子D可用开覆盖\{U_i\}和局部有理函数\{f_i\}给出,这也在V上定义了一个可逆层/全纯线丛\mathscr{L}(D)(事实上除子类群\mathrm{Cl}(V)同构于Picard群\mathrm{Pic}(V))。

下面回到Riemann面S上,介绍Serre对Riemann-Roch定理的证明。原始论文是

Serre    Un Théorème de duality

Serre注意到\ell(D)-i(D)可以解释为\mathscr{L}(D)的Euler示性数:

\chi(\mathscr{L}(D))=\dim H^0(S,\Omega^0(\mathscr{L}(D)))-\dim H^1(S,\Omega^0(\mathscr{L}(D)))

此处关键性的i(D) \cong H^1(X,\Omega^0(\mathscr{L}(D)))可由Serre对偶得到。

1-g可解释为全纯Euler示性数\chi(\mathscr{O}_S)=\dim H^0(S,\mathscr{O}_S)-\dim H^1(S,\mathscr{O}_S);对D \geq 0\mathrm{deg}(D)可解释为摩天大厦层\mathscr{S}_D的Euler示性数\chi(\mathscr{S}_D)

于是将D写成D_1-D_2D_1,D_2 \geq 0,只需证明存在短正合列

0\to \Omega^0(\mathscr{L}(D))\to\Omega^0(\mathscr{L}(D_1))\to\mathscr{S}_{D_2} \to 0

0\to \mathscr{O}_S \to\Omega^0(\mathscr{L}(D_1))\to\mathscr{S}_{D_1} \to 0

并注意到\chi是可加函数即可。

\chi(\mathscr{L}(D))依赖于全纯结构,而Riemann-Roch定理将其用拓扑不变量表出。Noether公式指出代数曲面的全纯Euler示性类可以写成陈类的多项式。此外,Weil于1938年对Riemann面上的全纯向量丛E算出了\chi(E)的公式。有鉴于此,Serre猜想若E是代数簇V上的全纯向量丛,则\chi(E)可以表为Chern数的多项式。这一猜想被Hirzebruch证明,即著名的Hirzebruch-Riemann-Roch定理。

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s