通往指标定理之路 Ⅳ


在开始讨论Hirzebruch-Riemann-Roch定理之前,我们列出标准的参考著作:

Hirzebruch  Topological Methods in Algebraic Geometry

我们假定讨论的所有复代数簇都是非奇异的(P^N的子流形,代数流形)。

经典代数几何中有一个著名的结论:代数曲线X的算术亏格等于几何亏格。稍加修饰,就得到Riemann-Roch定理:它是一个关于全纯线丛L \to X的Euler示性数的公式。“算术亏格等于几何亏格”对应L为平凡线丛的情形。

一般地,考虑代数流形X及全纯向量丛E \to X,我们有

(Hirzebruch-Riemann-Roch定理)\displaystyle \chi(E)=(\rm{ch}(E) \smallsmile \rm{td}(X))[X]

F.Hirzebruch (1927-  )

首先解释相关记号:

等式左边,Euler示性数\displaystyle \chi(E)=\sum (-1)^i H^i(X,E)E系数的层上同调定义。从Atiyah-Singer指标定理的角度看,它是Dirac算子D=\sqrt{2}(\bar{\partial}+\bar{\partial}^*)的指标。

等式右端,Chern类函子c_i是形式函子x_i的初等对称函数。利用乘法序列,我们可以进一步构造其他示性类。例如,完全Chern特征函子\mathrm{ch}=\sum \mathrm{ch}_i\sum e^{x_i}给出,完全Todd类函子\mathrm{td}=\sum \mathrm{td}_i\prod x_i/(1-e^{-x_i})给出。\mathrm{td}(TX)通常缩略为\mathrm{td}(X)\mathrm{ch}(E)\mathrm{td}(X)杯积给出一个新的示性类,等式右端是它的示性数。

2个特例:(1)取E为平凡线丛。公式左端给出Hirzebruch意义下的算术亏格,而右端退化为Todd示性数\mathrm{td}_n[M]:这是高维的“算术亏格等于几何亏格”。

(2)代数曲线X上的除子D给出全纯线丛L(D) \to X。此时公式的右端化为c_1[M]/2+c_1[L(D)]c_1[M]=2-2gc_1[L(D)]=\mathrm{deg}(D):我们重新得到经典Riemann-Roch定理。

Hirzebruch本人的原始证明分成3步,利用了许多在当时非常“前卫”的结果。(1)E为平凡线丛:他自己的号差定理(基于Thom的协边理论)以及A. Borel关于复Lie群同调论的工作;(2)E为一般线丛:用小平邦彦和Spencer的结果“代数流形的Picard群同构于主除子群”来分析线丛的结构;(3)E为一般向量丛:他再次利用了A. Borel关于复Lie群同调论的工作。当然,他还受益于Serre:Riemann-Roch定理可以从层上同调和示性类的角度来理解和推广源于Serre的洞见。他在Topological Methods in Algebraic Geometry的前言里表达了对这些人的谢意:这是“孤木不成林”的最好说明。

20世纪中叶,数学见证了拓扑方法在几何中的全面渗透。在这一大潮中,煊赫一时的Hirzebruch-Riemann-Roch定理很快在2个方向上得到了深远推广:Grothendieck-Riemann-Roch定理Atiyah-Singer指标定理

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