椭圆算子的基本知识

本文由3个小专题的讨论组成。我们始终以Laplace算子的Hodge理论作为基本的参照物。

(Ⅰ)Gårding不等式,基本椭圆估计

回忆Sobolev空间W^s上赋有:1)s阶一致范数\parallel u \parallel_{s,\infty}=\sum_{|\alpha| \leq s} \parallel D^\alpha u \parallel_\infty;2)sL^2范数\parallel u\parallel_{s}=\sum_{|\alpha| \leq s} \parallel D^\alpha u \parallel_2。Sobolev不等式说明后者在一定情况下控制前者。Gårding不等式则给出关于2m阶椭圆算子P的估计:

约定| u|_s=\sum_{|\alpha|=s} \parallel D^\alpha u \parallel_2P满足一致椭圆性:\mathrm{Re}P_{2m}(x,\xi)\geq c|\xi|^{2m} ,则对任意u\in C^m_0(\Omega)\mathrm{Re}(Pu,u) \geq (c-\epsilon)|u|^2_m-b_\epsilon \parallel u \parallel^2_0

对于常系数算子P,这是Fourier分析的简单应用。处理一般情形要用到单位分解。在伪微分算子的框架下,Hörmander证明不仅m为整数的限制是多余的,甚至可以令\epsilon=0

给定m阶椭圆算子P。对P^{*}P应用Gårding不等式,不难证明这保证了所谓的“基本椭圆估计”\parallel u \parallel_s \leq C(\parallel u \parallel_{s-m}+\parallel P u\parallel_{s-m})s=m成立。

基本椭圆估计在W^s上引入一个依赖于P的等价范数,这在应用上很方便。一般情况的证明也不复杂:取拟基本解算子Q使得I=QP+S,并将不等式的左右两端分别与“参照物”\parallel QP u\parallel_s+\parallel Su\parallel_s比较。

(Ⅱ)椭圆算子的指标及其同伦不变性

椭圆算子是Fredholm算子,这推广了Hodge定理:\mathrm{dim} \mathcal{H}^k=\mathrm{dim} (\mathrm{ker}\triangle^k)<\infty

定义Fredholm算子/椭圆算子的指标\mathrm{ind}(P)为1)\mathrm{dim}(\mathrm{ker} P)-\mathrm{dim}(\mathrm{coker} P);2)\mathrm{dim}(\mathrm{ker} P)-\mathrm{dim}(\mathrm{ker} P^*);3)\mathrm{dim}(\mathrm{ker} P^{*}P)-\mathrm{dim}(\mathrm{ker} P^*P)

记Fredholm算子半群为\mathcal{F},它是有界算子环的开子集。\mathrm{ind}\mathcal{F}到加群\mathbb{Z}的同态。事实上\mathrm{ind}\mathcal{F}的连通分支上是常数,因而给出同构\pi_0(\mathcal{F}) \to \mathbb{Z}。由此知指标在椭圆算子的同伦形变下保持不变,特别是,在其主符号的正则同伦形变下保持不变。

更微妙的是指标事实上是流形的同伦不变量。回忆Hodge定理或有启发:\triangle^k的核的维数等于流形的第k个Betti数。一般地,是否可以用椭圆算子的主符号及流形的拓扑不变量来计算其指标?这是Gelfand提出的问题,而Atiyah和Singer给出了肯定的回答。他们(发表的)第一个证明依赖于拓扑K理论。

(Ⅲ)椭圆算子的谱分解,热核

自共轭椭圆算子的谱分解有一个现成的模本:Laplace算子的谱分解。不赘。

Laplace方程是静态的热方程,经验表明考虑后者这个抛物方程的渐进行为(某种意义上的“流”)对于理解静态结构极有帮助:一个已成为经典的例子是Ricci流,Perelman熵,等等。

具体地说,(\partial_t+P)u=0基本解K(t,x,y)满足K(0^{+},x,y)=\delta_x(y)。作为积分核(热核),它有一个形式表示\int K(t,x,y)u(y)dy=e^{-tP}u(t,x)。将uP的特征函数u_k展开,K(t,x,y)=\sum_k e^{-\lambda_k t}u_k(x) \otimes u_k^{*}(y)是光滑函数,由此推出e^{-tP}是一个光滑化算子。定义此算子的迹为\mathrm{tr}(e^{-tP})=\sum_k e^{-\lambda_k t}

我们此刻关心的是特征值0。简单的线性代数表明PP^{*}P^{*}P有相同的非零特征值,从而得到McKean-Singer公式:

\mathrm{tr}(e^{-tP^{*}P})-\mathrm{tr}(e^{-tPP^{*}})=\mathrm{dim}(\mathrm{ker} P^{*}P)-\mathrm{dim}(\mathrm{ker} P^*P)=\mathrm{ind}(P)

t \to 0^+时,热核可以写成t的渐进展开式,展开系数由流形的几何与P的主符号决定。由此计算指标进而给出指标定理的分析证明是Gilkey和Patodi的想法。

热核与物理中的超对称密切相关,我们曾用这个观点讨论过Laplace算子的Witten形变。现在如法炮制:令t \to \infty,这将抹去所有正特征值,e^{-tP}退化为到\mathrm{ker}P的投影算子,此时“Hodge理论”将提供有关流形拓扑的信息。综合考虑这两种渐进使得Getzler简化了Dirac算子指标定理的分析证明:

Getzler  Pseudodifferential operators on supermanifolds and the Atiyah-Singer index theorem

 

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椭圆性,Hörmander亚椭圆性定理及拟基本解算子

我们讨论了分布,Sobolev空间和伪微分算子的抽象理论。下面看一个极重要的应用。

定义在\Omega \subset \mathbb{R}^n上的m阶(矩阵系数的)微分算子P(x,D)称为椭圆的,若\forall x \in \Omega\forall \xi \in \mathbb{R}^n,其主符号\sigma(P)=p_m(x,\xi)均可逆。

最基本的椭圆算子的例子是Laplace算子。它是一个自共轭算子。一般来说,P是椭圆的当且仅当P^{*}是椭圆的。

通常我们要求(更强的)一致椭圆性:|\sigma(P)|\geq C|\xi|^m。对于常系数算子,易见一致椭圆性和椭圆性是等价的。我们约定以记号p^{(\alpha)}(\xi)表示多项式p的微分,则一致椭圆性又等价于

(H条件)\displaystyle |\frac{p^{(\alpha)}(\xi)}{p(\xi)}|=O(|\xi|^{-|\alpha|})\forall \alpha

为简单计,以下仅讨论有紧支集的开集\Omega上的常系数算子。我们有所谓的“Weyl引理”:

f \in D^{'}(\Omega)P(D)f \in W^s(\Omega),则f \in W^{s+m}(\Omega),此时我们称后者比前者“光滑”m阶。特别地,P(D)f光滑可推出f光滑。

我们知道分布f属于某个充分“粗糙”的Sobolev空间。不妨设f \in W^{s+m-1-k}k是某正整数。证明依赖于不断施行“光滑化”:在\Omega上定义系列光滑函数\psi_k, \cdots,\psi_0,\psi_{-1}使得在\psi_{i+1}的支集上\psi_i=1。令i-1增加到k,Leibniz公式给出

\displaystyle P(D)(\psi_{i+1} f)=\psi_{i+1} P(D)f+\sum_{\alpha \neq 0}\frac{1}{|\alpha|!}P^{(\alpha)}(D)(\psi_i f)D^\alpha \psi_i

右端第一项是光滑的,故左端与右端第二项同样“光滑”。而H条件推出P^{(\alpha)}(D)uP(D)u“光滑”|\alpha|阶,故递推地应用Leibniz公式一次“光滑性”至少提升一阶。证毕。

Hörmander注意到将H条件的右端放宽为O(|\xi|^{-\delta|\alpha|})\delta \geq 1并不影响证明。 应用半代数几何中的Tarski-Seidenberg定理,他进一步证明了放宽后的H条件是“Weyl引理”成立的充要条件,故使“Weyl引理”成立的算子是一类比椭圆算子更广的算子,我们称其为亚椭圆算子

(Hörmander亚椭圆性定理)(放宽后的)H条件完全刻画了亚椭圆算子。

(一致)椭圆性的定义可一字不易地应用于伪微分算子。极其有趣的是椭圆伪微分算子P有双边的逆:存在-m阶的伪微分算子Q使得(在算子等价的意义下)PQ=QP=I。我们不打算给出具体的计算,仅指出这个逆算子是通过渐进展开确定的,本质上仍与利用级数展开消解多项式的刚性类似,而一致椭圆性保证了展开的“收敛性”。

Rellich引理保证了所有光滑化算子的紧性,上述讨论说明模去紧算子后P是可逆算子,因而P(从而Q)是Fredholm算子

上述算子Q称为P拟基本解算子。通常用左拟基本解算子来证明解的正则性,用右拟基本解算子来证明解的存在性。下面各看一个例子。

(1)假定f \in D^{'}(\Omega)Pf \in W^s(\Omega),则f=QPf \in W^{s+m}(\Omega)。我们再一次证明了“Weyl引理”。

(2)假定g \in D^{'}(\Omega)x \in \Omega,则存在f \in D^{'}(\Omega)使得Pf=gx的某邻域内成立。仅仅取右拟基本解算子Qf=Qg是不够的。为此还需注意到PQ是Fredholm算子,故可在x的小邻域外扰动g使其与PQ的余核正交。

上述推理说明椭圆算子总是局部可解的。注意到作为特例,我们已再次证明了(局部)Hodge分解的存在性。

寻找伪微分算子局部可解的充分必要条件是一个重要问题。我们有著名的Nirenberg-Treves猜想:主型伪微分算子的局部可解性等价于“条件\Psi”。Hörmander证明了这个猜想的必要性部分(1981)。2003年,他的学生Dencker最终完成了充分性的证明。

Dencker  The resolution of the Nirenberg-Treves conjecture

伪微分算子的基本知识

Fourier变换建立了微分算子和多项式函数的对偶性,将偏微分算子理论与代数几何联系起来。对于(仿射簇的)复代数几何,一个基本的研究手段就是引入超越方法来消解多项式的刚性。将这一手段通过Fourier变换反馈回去,就发展成为伪微分算子的理论。

为讨论Fourier变换方便记,引入记号D^\alpha=i^{-|\alpha|}\partial^\alpha

具体地说,对于\mathbb{R}^n上的光滑算子P(D)=\sum_{|\alpha|\leq k}a_\alpha(x)D^\alpha,Fourier变换给出P(D)u(x)=\int e^{2\pi ix \cdot \xi} p(x,\xi) \hat{u}(\xi)d\xi,多项式p(x,\xi)=\sum_{|\alpha|\leq k}a_\alpha(x)\xi^\alphaP(D)符号

可以用更一般的函数来推广多项式:定义m阶符号\mathrm{Sym}^m(\mathbb{R}^n) \subset C^\infty(\mathbb{R}^n \times \mathbb{R}^n)\{p:|D^\alpha_\xi D^\beta_x p(x,\xi)|\leq C_{\alpha\beta}(1+|\xi|)^{m-|\alpha|}\}。实参数m给出一系列函数空间的“谱”。m_1<m_2时,\mathrm{Sym}^{m_1} \subset \mathrm{Sym}^{m_2},补充定义\mathrm{Sym}^{-\infty}=\bigcap \mathrm{Sym}^m\mathrm{Sym}^m/\mathrm{Sym}^{m-1}称为m阶主符号。

m阶符号在Fourier变换下的对偶\Psi^m称为m伪微分算子(ΨDO)。它可以扩张成S^{'}\to S^{'},从而也给出W^s \to W^{s-m}。扩张后的-\infty阶伪微分算子是光滑化算子:由Sobolev嵌入定理,它的像总是光滑的。我们称2个伪微分算子是等价的,如果它们相差一个光滑化算子。易见光滑化算子是伪微分算子环中的理想,我们混淆术语的使用,也将其商环称为伪微分算子环。

类比Laurent级数,可以考虑符号的渐进展开,即逼近p \sim \sum_0^\infty p_j\{p_j\}趋于-\infty阶。可以证明形式和\sum_0^\infty p_j在等价意义下唯一确定一个伪微分算子。

渐进展开是一个很方便的工具,其用途大致分为分析和代数两类。

(1)分析:我们定义m阶多元符号\mathrm{Sym}^m(\mathbb{R}^n\times \mathbb{R}^n) \subset C^\infty(\mathbb{R}^n \times \mathbb{R}^n \times \mathbb{R}^n)\{a:|D^\alpha_\xi D^\beta_x D^\gamma_y a(x,y,\xi)|\leq C_{\alpha\beta\gamma}(1+|\xi|)^{m-|\alpha|}\}。算子A=a(x,y,D)定义为Au(x)=\int \int e^{2\pi i(x-y) \cdot \xi} a(x,y,\xi) u(y)dy d\xi。顾名思义,多元符号是符号的多元推广:若ay无关,则A退化为a(x,D)。然而这个“推广”是虚假的:

a(x,y,\xi)有紧的x支集和y支集,则上述A事实上是一个伪微分算子,其符号\displaystyle \sim \sum_{\alpha} \frac{i^{|\alpha|}}{|\alpha|!}D_\xi^\alpha D_y^\alpha a(x,x,\xi)

换言之,可以将参数y的作用理解为描述算子p(x,\xi)=a(x,x,\xi)在伪微分算子空间中的形变。这种软化对于考虑各种逼近是方便的。

(2)代数:下面的形式计算一般称为局部符号微积分:

对于复合,\displaystyle \mathrm{sym}(PQ) \sim \sum_\alpha \frac{i^{|\alpha|}}{|\alpha|!}(D_\xi^\alpha p)(D_x^\alpha q)

对于共轭,\displaystyle p^{*} \sim \sum_\alpha \frac{i^{|\alpha|}}{|\alpha|!}D_\xi^\alpha D_x^\alpha \bar{p}^t

对于\Omega \subset \mathbb{R}^n\mathrm{Sym}^m(\Omega)的定义参照我们之前的约定\mathrm{Sym}_0^m(\Omega)的情况仍然要简单得多,我们称对应的伪微分算子是紧支的。上述所有讨论均适用于紧支的伪微分算子。

同样的,通过定义优层,我们可以在紧流形上引入伪微分算子。一个很重要的观察是算子的主符号\sigma(P)在余切丛上是一个定义好的函数,因而伪微分算子的分类是内蕴的。

Sobolev空间的基本知识

分布空间是连续函数空间的极小扩张,使得(分布意义下的)微分总是可能的。特别地,我们可以定义L^p函数的微分。从连续范畴过渡到L^p范畴,\mathcal{C}^k(\mathbb{R}^n)的类比物是Sobolev空间

W^{s,p}(\mathbb{R}^n)=\{f \in S^{'}:D^\alpha f\in L^p(\mathbb{R}^n), \forall |\alpha| \leq s)\}

L^p函数是连续函数在L^p范数\parallel \centerdot \parallel_p下的完备化,而W^{s,p}(\mathbb{R}^n)\mathcal{C}^s(\mathbb{R}^n)sL^p范数\parallel f \parallel_{s,p}=\sum_{|\alpha| \leq s} \parallel D^\alpha f \parallel_p下的完备化。

下面仅考察Sobolev空间W^s=W^{s,2}。借助于L^2上的Fourier变换理论,一个显然等价于f \in W^s(且更简单的)刻画是\xi^\alpha \hat{f}(\xi) \in L^2\forall |\alpha|\leq s

第三种等价刻画是(1+|\xi|^2)^{s/2}\hat{f} \in L^2,或(I-\triangle/4\pi^2)^{s/2} f \in L^2

\Lambda^s=(I-\triangle/4\pi^2)^{s/2}。在W^s上定义内积(f,g)=(\Lambda^s f,\Lambda^s g)。(1)在此内积下Fourier变换成为W^sL^2函数(相对于测度(1+|\xi|^2)^s d\xi)的酉同构;(2)此内积诱导的范数记为\parallel \centerdot \parallel_s,同样的推理说明它等价于sL^2范数。

\Lambda^s对于任何实值的s都有定义,因而我们可以对任意实值的s定义s阶Sobolev空间W^s=\{f \in S^{'}:\Lambda^s f \in L^2\}。不难验证(1)W^{-s}可视为W^s的对偶空间;(2)D^\alphaW^sW^{s-|\alpha|}的有界算子。

C^k函数类似,对s>t,有自然嵌入W^s \subset W^t。这种相似性不仅仅是表面上的:

(Sobolev嵌入定理)若s>k+n/2,则W^s \subset C^k

证明依赖于Sobolev不等式:对充分大的ssL^2范数(反过来)控制s阶一致范数。

Sobolev嵌入定理基本上是说s越大则相应函数越光滑。特别地,若f\in W^s对任意大的s成立,则f \in C^\infty。利用Sobolev不等式我们还可以对偶地考察“谱”的另一头,结论是任意有紧支集的分布都属于某个W^s,若s充分小。

对于\mathbb{R}^n中有紧支集的开集,Sobolev空间的概念是简单的:由限制映射诱导。另一方面,对于一般开集,Sobolev空间的定义则比较微妙。我们引入以下约定:假设已定义了光滑函数层F(\mathbb{R}^n)。开区域\Omega \subset \mathbb{R}^n中每个有紧支集的开集\Omega'都通过限制映射从F(\mathbb{R}^n)继承了一个预层的结构,这些预层决定了函数层F(\Omega)。特别地,我们得到了W^s(\Omega)的定义。

此时依然有(1)Sobolev嵌入定理;(2)若\overline{\Omega}紧致,f \in D^{'}(\Omega),则对充分小的sf \in W^s(\Omega)。此外的一个重要结果是

(Rellich引理)自然嵌入W_0^s(\Omega) \hookrightarrow W^t(\Omega)是一个紧算子,此处下标0代表“有紧支集”。

通过简单的推理可以将上述结论推广到紧流形上:我们取开覆盖使得每个开集在参数化后都是紧致的,函数层F(\Omega)是一个优层,即我们可以通过单位分解将问题局部化。

分布理论的基本知识

笔记一篇,聊以备忘。

关于分布理论,最权威的著作无疑是

Schwartz  Théorie des Distributions

Gelfand, Shilov  Generalized Functions

关于分布理论在求解线性偏微分方程中的应用,参见

Hörmander  The Analysis of Linear Partial Differential Operators

(一)

\Omega\mathbb{R}^n中的某区域,(复)函数空间\mathcal{E}=C^\infty(\Omega)\mathcal{D}=C^\infty_0(\Omega)Schwartz空间\mathcal{S}=\mathcal{S}(\mathbb{R}^n)在物理上描述了某些客观实在,但按照近代物理学的观点,我们应仅仅谈论观测结果(及其合理极限)而不应先验地假定观测对象的存在。例如观测粒子的位置时我们所能做的仅仅是不断限定其所处的区间并保持总概率为1,只有通过极限过程才能确定粒子位于“某处”,此时得到的分布函数是Dirac函数\delta(x)。它并非通常意义上的“函数”,却是对物理事实的良好近似。同理,物理量f(x)在“某处”的值事实上指的是该点附近的测量均值(的合理极限):f(0)=\int f(x)\delta(x)dx

总而言之我们应该谈论的不是客观实在而是测量,即连续泛函空间\mathcal{E}^{'}\mathcal{D}^{'}\mathcal{S}^{'},赋予由(f,g)=\int f(x)\overline{g(x)}dx定义的弱-*拓扑。这些连续泛函称为分布或广义函数。分布空间的一大优点是Banach-Steinhaus定理保证它们是(弱)完备的,特别地,所有局部可积函数构成其完备子空间。另一个重要事实是\mathcal{D}\mathcal{E}^{'}/\mathcal{D}^{'}中稠密,这是诸多连续性论证的基础。

(二)

以下3节的讨论以\mathcal{D}^{'}作为模本。在讨论其代数结构前,我们先研究底空间\Omega的拓扑。

\{U_i\}\Omega中的所有开集,则\{\mathcal{D}^{'}(U_i)\}构成一个预层。特别地,若V \subset U,我们有限制态射\rho_{V,U}:\mathcal{D}^{'}(U) \to \mathcal{D}^{'}(V)。一般来说,\rho_{V,U}既非单的也非满的。

我们定义分布f支集\mathrm{supp}f=\Omega-\bigcup\{U:\rho_{U,\Omega}f=0\}

(三)

作为向量空间,\mathcal{D}上有大量线性算子作用。其中最重要的是微分算子。

分布的微分理论对于求解微分方程来说是基本的。基本的观察是若f \in C^1(\Omega)g \in \mathcal{D},分部积分将给出(\partial_i f,g)=-(f,\partial_i g)。即使f为任意分布,右端(根据连续性)仍是一个定义良好的分布,从而唯一确定了分布\partial_i f。一般的,(\partial^\alpha f,g)=(-1)^{|\alpha|}(f,\partial^\alpha g)(\partial^\alpha)^{T}=(-1)^{|\alpha|}\partial^\alpha。类似的可定义与h \in \mathcal{E}的乘法:记M_h: f \mapsto fh,则(M_h f,g)=(f,M_h g)。上述2个定义使得\mathcal{D}^{'}成为线性微分算子作用下的D模

另一个基本的问题是坐标变换:假定m是一个微分同胚,J_m记其Jacobi行列式,则(f\circ m,g)=(f,J_{m^{-1}}g\circ m^{-1})的右端仍是定义良好的,从而确定了f\circ m

分布的微分理论吸收推广了历史上发展的蔚为壮观的积分方程理论

(四)

除内积空间结构外,分布空间上还有一个由卷积定义的交换环结构:

(f*g)(x)=\int f(y)g(x-y)dy=\int g(y)f(x-y)dy=(g*f)(x)

容易验证\delta(x)是这个交换环的单位元。

1)\mathrm{supp}(f*g) \subset \mathrm{supp}f+\mathrm{supp}g

2)卷积与积分、线性微分算子的关系如下:(f*g,h)=((f \otimes g)(x,y),h(x+y))P(f*g)=(P f)*g=f*(P g)

利用Green函数求解偏微分方程的方法在分布理论中发展为基本解的概念:为求解Pf=g,先求基本解Ph=\delta,再令f=g*h即可。Malgrange和Ehrenpreis证明了对于常系数算子P,基本解h总是存在的,因而Pf=g对于任意g都可解。

(五)

\mathcal{S}^{'}中的元素又称缓增分布(tempered distribution)。我们曾经讨论过在Schwartz空间上定义的Fourier变换,类似讨论当然可以推广到缓增分布上。

定义(Fu)(\chi)=(u(x),e^{-ix \cdot \chi})(F^{-1}v)(x)=(2\pi)^{-n}(v(\chi),e^{ix \cdot \chi})

1)与卷积的关系:F(f*g)=(Ff)\cdot (Fg)

2)与常系数线性微分算子的关系:F(Pu)(\chi)=P(\chi)(Fu)(\chi),换言之,Fourier变换将微分算子化为多项式。同时,F\delta=1。故在求常系数方程的基本解时,若先限定解函数\in \mathcal{S}^{'},则可用Fourier变换将微分方程化为代数方程求解,再以Fourier逆变换得到微分方程的解。

Fourier变换将(常系数)偏微分算子理论与(实)代数几何紧密地联系起来。代数几何的刚性是明显的,常用的研究方法是“软化”并引入超越几何的手段。另一方面,为消解偏微分算子的“刚性”,分析学家平行地引入了伪微分算子的概念。在Atiyah-Singer指标定理的证明中,事情变得很清楚:较“柔软”的伪微分算子与拓扑手段的相互作用要良好得多。

沿着这条“对偶性”的线索,我们继续我们通向指标定理的攀爬。

Laplace算子与紧Lie群的表示论

研究Laplace算子的性质是Weyl数学工作的主题之一。Weyl在Dirichlet问题上的开创性想法奠定了现代偏微分方程理论的研究方向,同一想法也可以用来证明紧Riemann流形/紧复流形上的Laplace算子的谱定理。这一谱分解应用到紧Lie群的表示论中,就得到著名的Peter-Weyl定理。我们来讨论这一联系。

我们假定讨论的拓扑群G是Hausdorff的。G忠实地(左)作用于自身,故可将其视为齐性空间。我们进一步假定G是局部紧的。此时G上存在(左)不变的Haar测度\mu。这允许我们在G上展开积分理论,从而为讨论G的表示提供了有力的技术工具。

G的表示指的是连续同态\sigma:G \to GL(V)V为(复)Hilbert空间,GL(V)装配有算子拓扑。我们对\sigma的讨论将通过一系列化归来完成。

一般表示化归为酉表示:给定G的表示\sigma: G \to GL(V)(, )V上的内积,定义<x,y>=\int_{G}(\sigma(g)x,\sigma(g)y)d\mu(g)。不难看出<,>\sigma(G)-不变的,故通过重新定义内积<,>可使Im(\sigma) \subset U(V)。以下默认\sigma是酉表示。

V=L^{2}(G)g \in G诱导L^{2}(G)上的算子T_g:T_gh(x)=h(g^{-1}x)\mu的不变性保证T_g是酉算子。我们称\pi: g \mapsto T_gG的(左)正则表示。

\sigma化归为\pi:定义T: V \to C(G)T(y)(g)=<y,\sigma(g)x>x \in V。将T扩充到L^2(G),此时有T\sigma(g)=\pi(g)T。由于\sigma\pi都是酉表示,\sigma(g)T^{*}=T^{*}\pi(g)。若W \subset L^{2}(G)\pi (G)-不变的,则T^{*}W \subset V\sigma (G)-不变的。如果对\pi有足够的了解,我们同时也获得了\sigma的信息。

关键性的事实是:对于紧致的G,正则表示\pi 可以分解为有限维表示的直和。

(Peter-Weyl Ⅰ)成立正交分解L^{2}(G)=\oplus W_kW_k\pi (G)-不变的,dim W_k<\infty

证明:紧群G上存在一个G-不变的Riemann度量。以\triangle记此度量下的Laplace-Beltrami算子。在C^{\infty}(G)\triangle与所有T_g交换,故\triangle的特征子空间是\pi(G)-不变的。于是\triangle谱定理提供了所需的正交分解。

注记1

L^{2}(G)G-不变子空间W,由G的紧性知\pi(G)|_{W}是Lie群GL(W)的闭子群。由Cartan定理,\pi(G)|_{W}也是Lie群。由于G忠实地作用在L^2(G)上,这推出任何紧拓扑群都可实现为Lie群的逆向极限,从而回答了紧致情形下的Hilbert第5问题(von Neumann, 1929)。

对于局部紧拓扑群的推广称为Gleason-Yamabe定理(Yamabe,1953):

连通的局部紧拓扑群是Lie群的逆向极限。

参见Tao在下面这篇文章中的讨论:

Tao   van Dantzig’s theorem

注记2

下面这篇文章包含Peter-Weyl Ⅰ的另一个证明,并讨论了其与Fourier分析的联系:

Tao  The Peter-Weyl theorem, and non-abelian Fourier analysis on compact groups

最后,所有有限维表示都是完全可约的,即可写为不可约表示的直和。这是因为若W是不变子空间,则W^{\bot}也是不变子空间,依此对表示的维数进行归纳即可。

综上,我们得到了

(Peter-Weyl Ⅱ)对紧群G在Hilbert空间V上的表示\sigma,成立正交分解V=\oplus V_kV_k\sigma(G)-不变的且不可约,dim V_k<\infty

我们转向另一个紧密相关的话题:矩阵系数。

考虑局部紧群G的不可约表示\sigma_k:G \to V_k。函数m_{xy}^{\sigma_k}(g)=<y,\sigma_{k}(g)x>称为\sigma_k的矩阵系数。记所有矩阵系数的集合为M(G)\{V_k\}的直和与直积在M(G)上诱导加法与乘法。不难验证M(G)C(G)中的含幺*-代数。

假定G是紧致的。若对\forall \sigma_k\sigma_k(x)=I,由Peter-Weyl  Ⅱ,对\forall \sigma\sigma(x)=I,即x=e。这说明紧群G的所有不可约表示分离G中的点。由此不难证明M(G)分离G中的点。由Weierstrass-Stone定理,M(G)C(G)中稠密。

事实上我们有

(Gelfand-Raikov)局部紧群G的所有不可约表示分离G中的点。

因而上述关于矩阵系数的讨论可以推广到局部紧群上。

选取V的一组正交基,则相应的矩阵系数成为L^{2}(G)的一组正交基。对于具体的G,这些正交基给出经典的特殊函数和正交多项式。

Hodge理论 Ⅱ

本章勾勒Hodge定理的证明,并说明Hodge定理实则是算子\triangle的谱定理。

本章的证明部分取自

伍鸿熙   黎曼几何选讲

椭圆算子正则性的证明参看

Narasimhan     Analysis on real and complex manifolds

de Rham的书中也有一个对Hodge定理的证明。特别是,他给出了积分算子G的显式表示。

de Rham   Variétés différentiables

C^{\infty}(M)上的内积(f,g)_{S}=\sum_{|\alpha| \leq S} \int_{M}D^{\alpha}fD^{\alpha}g诱导范数\parallel \centerdot \parallel_{S}。依相应的度量将C^{\infty}(M)完备化为Sobolev空间W_{S}(M)。我们有Sobolev链

\dots \subset W_{S}(M) \subset \dots \subset W_{1}(M) \subset W_{0}(M)=L^{2}(M)

\OmegaC^{\infty}(M)-模,记\Omega_{S}=W_{S}(M)\otimes \Omega\mathcal{H}_{S}^{p}\mathcal{H}^{p}\Omega_{S}中的闭包。第1章中的所有算子都可以扩张到\Omega_{S}上。同样我们有Sobolev链

\dots \subset \Omega_{S} \subset \dots \subset \Omega_{1} \subset \Omega_{0}

(Rellich引理)自然嵌入i:\Omega_{1} \to \Omega_{0}是紧算子。

此结论由\mathbb{R}^{n}中的Rellich引理“拼接”而成,其成立依赖于M的紧性。

\Omega上定义内积[f,g]=((d+d^*)f,(d+d^*)g)=(\triangle f, g),诱导半范数| \centerdot |。我们来厘清\Omega上4个(半)范数\parallel \centerdot \parallel\parallel \centerdot \parallel_{0}\parallel \centerdot \parallel_{1}| \centerdot |之间的关系。

不难发现\parallel \centerdot \parallel \sim \parallel \centerdot \parallel_{0}\parallel \centerdot \parallel_{0} \leq \parallel \centerdot \parallel_{1}

(Gårding不等式)\forall f \in \Omega| f|^{2} \geq C_{1}\parallel f \parallel^{2}_{1}-C_{2}\parallel f \parallel^{2}_{0}

| \centerdot |(\mathcal{H}^{p})^{\perp}上的范数。由Rellich引理和Gårding不等式,可推出在(\mathcal{H}^{p})^{\perp}| \centerdot | \sim \parallel \centerdot \parallel_{1}。我们将| \centerdot |扩充为(\mathcal{H}_{1}^{p})^{\perp}上的范数。

以下关于椭圆算子正则性方面的结果是证明的关键:

Weyl引理f \in \Omega_{1}g \in \Omega。若对\forall h \in \Omega(h,g)=(\triangle h,f),则f \in \Omega\triangle f=g

现在着手证明Hodge定理Ⅰ。

f \in\mathcal{H}^{p}。由Gårding不等式,\parallel f \parallel_{1} ^{2}\leq C_{1}^{-1}C_{2}\parallel f \parallel_{0}^{2}。取极限过渡到\mathcal{H}_{0}^{p},由Rellich引理推出\mathcal{H}_{0}^{p}中单位球是紧的,故dim\mathcal{H}^{p}=dim \mathcal{H}_{o}^{p}<{\infty}

Hodge分解相当于说嵌入\triangle:(\mathcal{H}^{p})^{\perp} \to (\mathcal{H}^{p})^{\perp}是映满的。由Weyl引理,只需对每个g \in (\mathcal{H}^{p})^{\perp}找到f \in (\mathcal{H}_{1}^{p})^{\perp}使得对\forall h \in (\mathcal{H}^{p})^{\perp}(h,g)=(\triangle h,f)。定义泛函L: (\mathcal{H}^{p})^{\perp} \to \mathbb{R}Lh=(h,g)。我们有估计

|Lh|\leq \parallel g\parallel \parallel h \parallel \leq C_{3}\parallel g \parallel\parallel h \parallel_{1}\leq C_{4}\parallel g \parallel| h |

L|\centerdot|有界。用Hahn-Banach定理将L扩充到(\mathcal{H}_{1}^{p})^{\perp}上,再用Riesz表示定理即可找出我们需要的f。注意这依赖于(\mathcal{H}_{1}^{p})^{\perp}的完备性。

最后证明G\Omega_{0}^{p}上的紧算子。显然只需对(\mathcal{H}_{0}^{p})^{\perp}证明即可。对f \in (\mathcal{H}^{p})^{\perp},有\parallel Gf \parallel_{1}^{2}\leq C_{5}\parallel \triangle Gf \parallel \parallel Gf \parallel\leq C_{6}\parallel f \parallel \parallel Gf \parallel_{1}\parallel Gf \parallel_{1}\leq C_{6}\parallel f \parallel

注意到\parallel \centerdot \parallel \sim \parallel \centerdot \parallel_{0},取极限过渡到(\mathcal{H}_{0}^{p})^{\perp},用Rellich引理即可证明G的紧性。

Hodge定理描述了\triangle对应特征值0的谱分解。对积分算子G应用Hilbert空间上自伴随紧算子的谱定理,我们得以刻画\triangle的非0特征值:其均为正实数,唯一聚点在无穷远处,每一个特征值对应一个有限维的特征子空间,(\mathcal{H}_{0}^{p})^{\perp}是这些子空间在L^{2}意义下的正交直和。又由椭圆算子的正则性,所有特征向量均\in (\mathcal{H}^{p})^{\perp},进而得到(\mathcal{H}^{p})^{\perp}的正交分解。

至此我们已完整描述了\triangle的算子谱。将偏微分方程转化为积分方程,利用积分算子的紧性讨论微分算子的谱,这正是泛函分析的源头之一。