量子力学:Schrödinger表象与Heisenberg表象


采用泛函分析的观点讨论量子力学称为Dirac表象。基于Dirac表象,我们介绍另外2种常用的表象:更加“形而下”的Schrödinger表象(PDE)与更加“形而上”的Heisenberg表象(算子代数)。

我们做统一的约定:约化Planck常数\hbar=1

单粒子的“经典态”在确定的时刻取确定值。在量子力学中,其量子态则必须用构形空间ML^2范数为1的复概率函数\psi(波函数)/Hilbert空间中的单位矢量(态矢)来表示。Hilbert空间的图像允许2种描述态矢演化的方式:考虑\psi_t满足的偏微分方程(Schrödinger)或考虑作用在\psi_0上的酉算子族U_t(Heisenberg)。前者给出:

(Schrödinger方程)(D_t+H)\psi=0。按惯例D_t-i\partial_t

E.Schrödinger (1887-1961)

自共轭算子H代表能量。一般地,量子理论中的可观测量由自共轭算子P表示,其期望为\overline{P}=(\psi,P\psi)。对于P的特征函数,\overline{P}给出相应的(实)特征值。研究P时,通常用P(互相正交的)特征空间来定义Hilbert空间的正交坐标系,这允许我们将量子态分解成系列特征态的叠加。转变研究的算子时,坐标系的变换由某个酉算子给出。

最基本的可观测量的例子是位置算子x及动量算子p=D_x。此时描述坐标系变换的酉算子正是Fourier变换算子F。这样的一对可观测量称为共轭的。特别有趣的是这给出了“多项式-微分算子”这一对偶的物理解释。

观测值必须满足已知的经典关系。假定波函数满足一定的边值条件,则\mathbb{R}[x,p]是一个自共轭算子代数,这允许我们利用xp对其他力学量进行正则量子化。例如对于非相对论性粒子,H=p^2/2m+V,保守势场V(t,x)可以包含电势在内。有趣的是,此时描述波函数的是一个热方程。这是量子力学与热方程相联系的最简单例子。我们将进一步讨论这种联系:它导向指标定理的分析证明。

代表可观测量的算子P必须是自共轭算子。S表象给出这一假设的后验解释:符合物理事实的实特征值,特征空间的正交性,等等。H表象则给出一个先验解释:作为酉算子族U_t的“切算子”,更准确地说,无穷维酉群的Lie代数中的元素,iP必须是斜自共轭的。Wigner,Weyl等人采用这种观点来研究量子系统的“对称”。

一般来说,Lie括号[P,Q]=PQ-QP不等于0,这种非交换性在物理上体现为明显的非经典效应,即所谓的“测不准”。定义\Delta P=P-\overline{P},易见[P,Q]衡量了2种不同测量顺序导致的“误差”:[P,Q]=[\Delta P,\Delta Q]

[x,p]=i,这一天然限制反应到“测不准”上,给出经典的Heisenberg不确定性关系

\parallel \Delta x \psi\parallel_2 \parallel \Delta p \psi \parallel_2\geq \frac{1}{2}

W.Heisenberg (1901-1976)

上述讨论在很大程度上是形式的。困难大致有二:从S表象看,构型空间M是否紧致/有界将对P的谱产生重大影响;从H表象看,线性代数到算子代数的推广也绝非显然。这些困难大致上已被von Neumann的工作所消解,并写成名著 Mathematical Foundations of Quantum Mechanics。如何(彻底地)处理量子场论所引发的更严重的数学困难迄今尚无定论。

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