Einstein场方程的推导


最近我在阅读’t Hooft迷人的小书 Introduction to GENERAL RELATIVITY。简洁清晰是如何高度评价都不过分的风格。我决定复述部分内容,作为对广义相对论的一个导引。

另一本参考著作是Hawking, Ellis  The Large Scale Structure of Space-time

近代还有不少讨论广义相对论的著作。我们仅举出经典的

Misner, Thorne, Wheeler  Gravitation

Weinberg  Gravitation and Cosmology: Principles and Applications of the General Theory of Relativity

我们将广泛使用张量的分量表示及Einstein求和约定。这种原始且笨重的记号却很适合具体计算的需要。此外,我们取自然单位制:万有引力常数G=1,光速c=1

参考系变换与广义相对性

经典物理以张量场表述物理量,以微分方程描述物理规律。此时参考系变换将导致非常基本的问题。例如对1阶协变张量T_i,坐标变换x^i \to y^j给出新的张量\displaystyle \tilde{T}_j=\frac{\partial x^i}{\partial y^j}T_i。而\displaystyle T_{i;p}=\frac{\partial T_i}{\partial x^p}将变成\displaystyle \tilde{T}_{j;q}=T_{i;p}\frac{\partial x^i}{\partial y^j}\frac{\partial x^p}{\partial y^q}+T_i\frac{\partial^2 x^i}{\partial y^j \partial y^q}=\frac{\partial \tilde{T}_j}{\partial y^q}-\Gamma^k_{jq}(y)\tilde{T}_k,第2项(赝力)的出现破坏了\tilde{T}_{j;q}的张量性。

这可以用如下方式弥补:

(狭义相对性原理) 物理规律在任意惯性系中相同,换言之,要求y^jx^i的线性函数。

广义相对论的目标是去掉这个限制:

(广义相对性原理) 物理规律在任意参考系中相同,换言之,物理规律是内蕴的,而赝力应视为时空结构的一部分。

局部等效原理

Einstein手上握有另一条线索:Galilieo之后一直被忽视的“重力质量\equiv惯性质量”(最新的实验以10^{-13}的精度支持这一假说)。由此生发的思想实验如今已经街知巷闻:身处封闭电梯的观测者将无从区分重力加速度和赝力加速度。因而上述赝力正是引力,我们得到:

(局部等效原理) 引力完全由局部时空结构决定。

时空流形和Lorentz度量

何谓时空结构?答案是4维连通流形及其上的Lorentz度量l_{ij}((1,3)型的2阶对称协变张量)。局部上我们可以将l_{ij}拆成2部分:平坦项m_{ij}=\mathrm{diag}(-1,1,1,1)(Minkowski度量)和扰动项g_{ij}。作为伪Riemann度量,g_{ij}决定Levi-Civita联络和曲率张量:

\displaystyle \Gamma^{k}_{ij}=\frac{1}{2}g^{kl}(\partial_j g_{il}+\partial_i g_{jl}-\partial_l g_{ij})

我们将曲率用度量表出并忽略2阶以上的项:

Riemann曲率:R^l_{kij}=\partial_i \Gamma^{l}_{jk}-\partial_j \Gamma^{l}_{ik}

Ricci曲率:\displaystyle R_{ij}=\frac{1}{2}(-\partial^2 g_{ij}+\partial_k \partial_j g^k_i+\partial_k \partial_i g^k_j-\partial_i \partial_j g^k_k)

标量曲率:R=-\partial^2 g_{ii}+\partial_i \partial_i g_{ij}

最自然的假设是“自由”粒子沿着测地线运动。测地线方程为:

\displaystyle \frac{d^2 x^k}{d\tau^2}+\Gamma^k_{ij}\frac{dx^i}{d\tau}\frac{dx^j}{d\tau}=0

能量-动量张量

在Newton的万有引力理论中,质量是引力之源。狭义相对论进一步教给我们:(1)质量和能量是同一的:E=mc^2;(2) Lorentz不变性要求我们将能量和动量联系起来。上述观点的产物是称为能量-动量张量的2阶对称协变张量T_{ij}

(能量-动量守恒) T_{ij;i}=0

注意,与普通导数相比,协变导数要多出一项,这正是引力场带走的能量-动量。

Einstein场方程

能量-动量\to时空结构\to引力场,其定量关系必须在适当极限下与Newton力学吻合。

具体地说,在我们的单位制选取中,时间项合并了光速c=1,因而对于缓慢运动的粒子,时间项是绝对主项,且所有空间坐标对时间的导数均可忽略。在这一极限下,测地线方程约化为

\displaystyle \frac{d^2 x^k}{d\tau^2}=-\Gamma^k_{00},故-\Gamma^k_{00}是引力场的主项;-\Gamma_{k00}=\frac{1}{2}\partial_k g_{00},故-\frac{1}{2} g_{00}是引力势的主项。这就是时空结构决定引力场的方式。

另一方面,万有引力定律的Gauss形式给出\partial_k \Gamma_{k00}=4\pi T_{00}。情况已较为明朗:同为联络场的导数,T_{ij}将确定曲率。若这一关系是线性的,则所得的曲率张量应是2阶对称的:首选自然是Ricci曲率。

注记

正如Weinberg所指出的,这一线性假定没有物理上的理由,而是基于“简单”这一美学标准。

基于上述假定,设R_{ij}=A T_{ij}+Bg_{ij}T^k_k。取Newton极限,R_{00}=-\frac{1}{2}\partial^2 g_{00}T^k_k=-T_{00}\frac{1}{2}\partial^2 g_{00}=(A+B)T_{00},故A+B=4\pi

手头的物理信息已经用完,我们应该从数学结构中找另一条方程。Einstein遇到的困难在于他不知道Bianchi恒等式,利用此式可显著简化推导是Klein向Hilbert指出的。

定义Einstein张量G_{ij}=R_{ij}-\frac{1}{2}Rg_{ij},Bianchi恒等式推出G_{ij;i}=0。另一方面,G_{ij}=AT_{ij}-(\frac{1}{2}A+B)T_k^k g_{ij},取对i取协变微分并将上式与能量-动量守恒代入,得(\frac{1}{2}A+B) T^k_{k;i}=0T^k_k的主项是能量密度-T_{00},它当然不可能是时空无关的,因而唯一的可能性是\frac{1}{2}A+B=0

(Einstein场方程 Ⅰ) R_{ij}-\frac{1}{2}Rg_{ij}=8\pi T_{ij}

注记

在广义相对论中,有3处可能的符号分歧:Minkowski度量的定义,Riemann张量的定义及场方程的形式。这带来了一些混乱,但物理学家似乎无意(也无力)统一记号。我们这里采取的符号与Misner, Thorne, Wheeler及Hawking, Ellis一致 (不妨记为(+,+,+)),区别于’t Hooft ((+,+,-))及Weinberg ((+,-,-))。

宇宙常数

因为g_{ij}是2阶对称张量且g_{ij;i}=0,故可以将其加入Einstein场方程而不导致矛盾:

(Einstein场方程 Ⅱ) R_{ij}-\frac{1}{2}Rg_{ij}+\Lambda g_{ij}=8\pi T_{ij}

(1) 为保证和Newton定律没有大的偏离,宇宙常数\Lambda必须十分小;

(2) \Lambda g_{ij}的物理意义是真空中残存的能量-动量;

(3) 宇宙常数决定了宇宙最终的演化。迄今为止,没有决定性的观测证据说明其是否为0;

场方程的真空解,Einstein流形

在真空中T_{ij}=0,解得R_{ij}=\Lambda T_{ij}。一般地,Ricci曲率正比于度量的(伪)Riemann流形称为Einstein流形。若比率为0,则称为Ricci平坦流形

Einstein流形的最简单例子是满足齐性和各向同性的空间(常曲率空间)。

我们对高维Einstein流形的拓扑几乎一无所知。然而,对可定向的紧4维Einstein流形成立

(Hitchin-Thorpe不等式) M是可定向的紧4维Einstein流形的必要(但不充分)条件是\displaystyle \chi(M) \geq \frac{3}{2}|\tau(M)|\chi(M)为Euler示性数而\tau(M)为号差。

这是4维Gauss-Bonnet公式和Hirzebruch号差定理的简单推论。

Hitchin  On compact four-dimensional Einstein manifolds

总体上说,对Einstein流形的了解还很少。唯一比较成熟的是与Kähler几何交汇的领域:Calabi-Yau流形及其在数学物理中的应用。下面是一本讨论Einstein流形的专著

Besse  Einstein manifolds

G.’t Hooft (1946-  )

‘t Hooft是当代顶尖的数学物理学家,以基本粒子的规范场论和量子引力的研究闻名。他获得的荣誉包括:Wolf物理学奖(1981),Lorentz奖(1986),Spinoza奖(1995),Franklin奖(1995)以及Nobel物理学奖(1999)。

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