Chern类种种


参考文献是

Bott,Tu  The differential forms in algebraic topology

Milnor,Stasheff   Characteristic classes

考虑n阶复向量丛。我们知道G_n(\mathbb{C}^\infty)U(n)的分类空间,即

(Whitney-Steenrod) \mathrm{Vect}_n(M) \cong [M, G_n(\mathbb{C}^{\infty})],其中[M,N]代表流形MN的连续映射的同伦类。证明见Bott,Tu。

E \in \mathrm{Vect}_n(M)对应某个映射类\phi_E:M \to G_n(\mathbb{C}^{\infty}),这允许我们将万有对象的上同调环拉回到M上来,赋予每个向量丛以拓扑不变量:

\phi_E^{*}:H^{*}(G_n(\mathbb{C}^{\infty});A) \to H^{*}(M;A)A为任意交换环。

首要的任务自然是研究G_n(\mathbb{C}^\infty)的上同调环。给定H^{*}(G_n(\mathbb{C}^{\infty});A)中的上同调类uu(E)=\phi_E^{*}(u)定义了向量丛到上同调类(示性类)的函子。

已知H^{*}(G_n(\mathbb{C}^{\infty});\mathbb{Z}) \cong \mathbb{Z}[c_1,c_2,\dots,c_n],生成元c_k \in H^{2k}(G_n(\mathbb{C}^{\infty});\mathbb{Z})称为万有Chern类(函子)。

我们有重要的分离原理 (证明见Bott,Tu):

分离映射s:G_1(\mathbb{C}^\infty) \times \dots \times G_1(\mathbb{C}^\infty) \to G_n(\mathbb{C}^\infty)的诱导映射s^{*}:\mathbb{Z}[c_1,c_2,\dots,c_n] \to \mathbb{Z}[x_1] \otimes \dots \otimes \mathbb{Z}[x_n]是单射且将Chern类映为\{x_k\}的初等对称多项式。

应用分离原理不难证明

(Whitney乘积公式) 定义完全Chern类c=1+c_1+\dots+c_n,则有同态c(E \oplus F)=c(E)c(F)

Hirzebruch证明了以H^{*}(P^{\infty}(\mathbb{C});\mathbb{Z}) \cong \mathbb{Z}[c_1],Whitney乘积公式及函子性作为公理可唯一刻画Chern类。

Hirzebruch Topological methods in algebraic geometry

分离原理保证了任意\{x_k\}的对称多项式(幂级数)都可用Chern类表出,这提供了构造示性类的一般手段。

例1

(Chern特征) \sum e^{x_i}定义了\mathrm{Ch}=n+\sum \mathrm{Ch}_k,其中\mathrm{Ch}_k(E)\in H^{2k}(X;\mathbb{Q})

Chern特征是\coprod \mathrm{Vect}_n(X)H^{2*}(X;\mathbb{Q})的(半)环同态。

例2

(Todd类) \displaystyle \prod \frac{x_i}{1-e^{-x_i}}定义了\mathrm{Td}=1+\sum \mathrm{Td}_k

Todd类\mathrm{Td}_k作为Chern类的多项式(称为Todd多项式)出现在Hirzebruch-Riemann-Roch定理的拓扑项中。

在实向量丛上可以定义Pontryagin类 (复化丛的Chern类)。类似的分离原理给出

例3

(\hat{A}-类) \displaystyle \prod \frac{\sqrt{x_i}/2}{\mathrm{sinh}({\sqrt{x_i}/2})}定义了\hat{A}-类。

\hat{A}-类即复化丛的Todd类。自旋流形上的\hat{A}-类出现在Dirac算子的指标定理的拓扑项中。

例4

(L-类) \displaystyle \prod \frac{\sqrt{x_i}}{\mathrm{tanh}({\sqrt{x_i}})}定义了L-类。

L-类出现在Hirzebruch号差定理(signature theorem)的拓扑项中。

例2,例3和例4都是Atiyah-Singer指标定理的特例。

现在我们回到几何框架中考察Chern类,即考察Chern-Weil理论。核心的定理是

(Chern-Weil)对任意幂级数f\displaystyle \mathrm{tr}[f(\frac{1}{2\pi i}F_D)]对应的奇异上同调类\in H^{2*}(X;\mathbb{Z})唯一确定且不依赖于联络D的选取。

证明如下:

首先,陈省身注意到d\mathrm{tr}[f(F_D)]=\mathrm{tr}[[D,f(F_D)]]=0,这是Bianchi恒等式的推论。

另一方面,在联络的仿射空间中定义形变D_t=(1-t)D+tD^{'},Weil算得\displaystyle \frac{d}{dt}\mathrm{tr}[f(F_t)]=d\mathrm{tr}[\frac{dD_t}{dt}f^{'}(F_t)]dt,从而有超渡公式

\displaystyle \mathrm{tr}[f(D)]-\mathrm{tr}[f(D^{'})]=-d\int_0^1\mathrm{tr}[\frac{dD_t}{dt}f^{'}(F_t)]dt

我们已经确定了\displaystyle \mathrm{tr}[f(\frac{1}{2\pi i}F_D)]的de Rham上同调类。接下来只需应用de Rham定理。注意到Stiefel-Whitney类没有对应的几何理论,因为de Rham理论无法描述挠元。

完全Chern类c(E)\displaystyle \mathrm{det}(I-\frac{1}{2\pi i}F_D)=\mathrm{exp}(\mathrm{tr}[\mathrm{log}(I-\frac{1}{2\pi i}F_D)])唯一确定。

注记

我们有\displaystyle \sum_{k=0}^{n} c_{k}(E)(t^{-1})^k=\mathrm{det}(I-\frac{t^{-1}}{2\pi i}F_D)=\prod_{k=1}^{n} (1+\lambda_k t^{-1})

\displaystyle \frac{1}{2\pi i}F_d视为2-形式为系数的矩阵,则上述2-形式\lambda_k构成曲率形式的谱。另一方面,不难发现这些2-形式对应分离定理中的x_k。这一有趣的特征与Hodge理论颇为相似:几何结构对特定算子的“扰动”不改变其谱对应的同调类。

最后我们将Chern-Simons形式和上述讨论联系起来。Stiefel的一个经典结果指出3维可定向紧流形的切丛是平凡丛,因而D=d+A在整体上成立。取形变D_t=d+tAf(x)=-x^2,简单的计算指出此时超渡项\displaystyle -\int_0^1\mathrm{tr}[\frac{dD_t}{dt}f^{'}(F_t)]dt化为Chern-Simons形式。注意到3维流形上曲率形式的平方是0,即超渡公式的左端退化为0,故Chern-Simons形式是闭形式。

我们不再叙述Chern-Weil理论在纤维丛上的推广。

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