Spectra of Modular Surfaces I

下篇:Spectra of Modular Surfaces II

几天前,某篇宣称证明了Pólya猜想论文(基本可以确定是一记“乌龙”)在我的朋友圈里引发了一些讨论。一种观点是:与20年来复几何、辛几何方面的新思想(例如Donaldson学派为解决同调镜对称猜想而发展的一系列工作)相比,诸如Pólya猜想一类的几何分析问题已经过时了。
必须承认,Pólya猜想在理论上并没有太多有趣的推论。就方法论而言,它固然是特征值估计技术的试金石,但迄今为止,在Li-Yau方法的基础上并没有本质的进步,何况几何分析学家真正感兴趣的也仅仅是第一特征值,整个higher theory还有待发展。
然而,冒着“越俎代庖”的风险,我还是想为谱几何的整体价值稍作辩护。
Laplace算子的谱理论不仅是几何的一部分,也是无穷维表示论的样本。我手头恰好有一个相对晚近的例子,涉及特征值估计技术在模形式理论中的应用,兼有数论和量子物理两方面的重要性。就精神而言,这是Langlands纲领(数论的,几何的,物理的)一部分,是镜对称的“远亲”。
我第一次了解到这方面的数学,是在阅读了P.Sarnak的Baltimore讲稿之后:
Sarnak  Spectra of Hyperbolic Surfaces

经典Maass形式理论的研究对象包括
(1)上半平面\Bbb H在赋予Poincaré度量后成为常曲率双曲Riemann面,面积测度\displaystyle dA=\frac{dx \wedge dy}{y^2},Laplace算子\Delta=-y^2(\partial_x^2+\partial_y^2)
(2)模群PSL(2,\Bbb Z)通过Möbius变换\displaystyle z\mapsto \frac{az+b}{cz+d}作用于\Bbb H,我们感兴趣的子群包括:
(2.1)N阶主同余子群\Gamma(N)=\{\gamma\in PSL(2,\Bbb Z):\gamma \equiv I \pmod{N}\}.模群本身记为\Gamma(1)
(2.2)同余子群\Gamma:对某个N\Gamma(N) \subset \Gamma. 满足上述条件的最小的N称为\Gamma的阶;
(2.3)N阶Hecke同余子群\Gamma_0(N)=\{\gamma\in PSL(2,\Bbb Z):c\equiv 0 \pmod{N}\}
(3)模曲面X=\Gamma\backslash \Bbb H是有限面积的非紧双曲Riemann面。可以通过加入若干个尖点(cusp)使其紧化。X是满足特定算术性质的椭圆曲线的模空间(moduli space),这是经典模曲线理论的一部分;
(4)Maass形式:满足\Delta f_\lambda=\lambda f_\lambda的光滑函数f_\lambda:X \to \Bbb C
Selberg细致地研究了(\Delta,X)的谱:
Selberg   On the estimation of Fourier coefficients of modular forms
具体地说,有界复函数\displaystyle \mathcal{B}(X) \subset \mathcal{L}(X)=L^2(X,dA)\Delta作用下分裂为2个正交不变子空间:\mathcal{B}(X)=\mathcal{C}(X)\oplus \mathcal{E}(X)
\mathcal{C}(X)由尖点型(cuspidal)函数f构成:f在尖点处的Fourier展开无常数项,或者等价的,在环绕尖点的极限圆(horocycle)上有周期(period)0。
自共轭紧算子\Delta|_{\mathcal{C}(X)}有离散谱0=\lambda_0<\lambda_1\leq\lambda_2\leq \cdots\lambda_i \to \infty
由谱定理,\mathcal{C}(X)\mathcal{L}(X)中的完备化\tilde{\mathcal{C}}(X)拥有一组完备正交基对应\Delta的谱分解。
f \in \mathcal{E}(X)是一类Eisenstein级数\Delta|_{\mathcal{E}(X)}仅在\lambda=0处有点态谱,此外有连续谱[\displaystyle \frac{1}{4},\infty). 因而,对于特征值\lambda>0,相应的特征函数f_{\lambda}将自动成为Maass尖点形式1
\lambda=\nu(1-\nu)f_\lambda有Fourier-Whittaker展开:
\displaystyle f_{\lambda}(z)=\sum_{n \neq 0}a(n)\sqrt{2\pi y}K_{\nu-\frac{1}{2}}(2\pi|n|y)e(nx)Bessel函数\displaystyle K_\nu(y)=\int_0^{+\infty}e^{-y \cosh t}\cosh(\nu t)dt
Iwaniec  Introduction to the Spectral Theory of Automorphic Forms

X的算术性体现在Hecke算子作用于\mathcal{L}(X):对于N阶同余子群\Gamma(n,N)=1,定义
\displaystyle (T_nf)(z)=\frac{1}{\sqrt{n}}\sum_{ad=n}\sum_{b=0}^{d-1}f(\frac{az+b}{d})
(1)T_n正规算子\Gamma=\Gamma(1)\Gamma_0(N)时是自共轭算子;
(2)\displaystyle T_mT_n=T_nT_m=\sum_{d|(m,n)}T_{mn/d^2}T_n\Delta=\Delta T_n
(3)\mathcal{C}(X)T_n的不变子空间;
若尖点形式f_\lambda同时是所有T_n的特征函数,则称其为Maass-Hecke特征形式2,在标准化a(1)=1下,我们有T_nf_\lambda=a(n)f_\lambda,\forall n. 考虑Hecke L-函数
\displaystyle L(s,f_\lambda)=\sum_{n=1}^{\infty}a(n)n^{-s}=\prod_p(1-a(p)p^{-s}+p^{-2s})^{-1}
(Ramanujan-Petersson猜想)|a(p)|\leq 2,或者,|a(n)|\leq\sigma_0(n)\sigma_0因子函数
Deligne对Weil猜想的证明可推出全纯尖点形式的Ramanujan-Petersson猜想。Maass尖点形式的Ramanujan-Petersson猜想迄今为止尚未得到证明。

回到对\Delta的讨论。我们将另辟新章讨论作为算术量子混沌系统的(X,\Delta)及其高能渐进。在低能端,数论学家感兴趣的主要是第一特征值估计:
(Selberg 1/4猜想)\displaystyle \lambda_1(X)\geq \frac{1}{4},即\Delta大于0的离散谱完全落在连续谱\displaystyle [\frac{1}{4},\infty)中。
(Selberg 1/4猜想,几何分析形式)\forall f\in C^\infty_0(X)满足\int_X fdA=0,梯度估计
\displaystyle \int_X |\nabla f|^2 dA \geq \frac{1}{4}\int_X|f|^2dA成立。
不难证明1/4是最优的:N \to \infty时,(\Delta,X(N))的尖点谱在[\displaystyle \frac{1}{4},\infty)中趋于稠密。事实上,对于不可约2维偶Galois表示\rho:\mathrm{Gal}(K/\Bbb Q) \to GL(2,\Bbb C),若相应的Artin L-函数L(s,\rho)是整函数(即满足Artin猜想),则通过Langlands对应原理,它给出X(N)上的Maass尖点形式f_{1/4}N\rho的导子。
对于X(1),通过简单的推理即可得到强得多的下界,例如3\pi^2/2 (Vignéras). 对于一般的X,Selberg证明了\lambda_1(X)\geq 3/16,对这个结果感兴趣的读者不妨参考陶哲轩的博文,在此文中他同时还证明了Selberg 1/4猜想等价于关于Kloosterman和的Linnik猜想。文中将Lax-Phillips散射理论应用于自守波动方程的想法由Faddeev和Pavlov首倡,参见
Lax, Phillips Scattering theory for automorphic functions

从Langlands哲学的角度看,Ramanujan-Petersson猜想和Selberg 1/4猜想是同一个猜想在不同的位(place)上的体现。我们简单地说明这一点。
G(\Bbb Q)=GL(2,\Bbb Q)G(\Bbb A)=GL(2,\Bbb A)Z(\Bbb A)G(\Bbb A)的中心。G(\Bbb A)上有平凡中心特征的尖点形式空间L_0^2(Z(\Bbb A)G(\Bbb Q)\backslash G(\Bbb A))\phi:G(\Bbb A) \to \Bbb C构成的Hilbert空间,\phi满足
(1)模性:\phi(\gamma g z)=\phi(g)\forall \gamma \in G(\Bbb Q),\forall z\in Z(\Bbb A)
(2)平方可积性:\displaystyle \int_{Z(\Bbb A)G(\Bbb Q)\backslash G(\Bbb A)}|\phi(g)|^2dg <\infty
(3)尖点性:\displaystyle \int_{\Bbb Q\backslash \Bbb A}\phi(\begin{pmatrix}1&&x \\ 0&&1\end{pmatrix}g)dx=0\forall g\in G(\Bbb A)
G(\Bbb A)L_0^2(Z(\Bbb A)G(\Bbb Q)\backslash G(\Bbb A))上的作用(\gamma f)(g)=f(g\gamma)给出G(\Bbb A)的酉表示,称为尖点表示(cuspidal representation),它可以分解为不可约可容许表示(admissible representation)的直和3
Maass-Hecke特征形式f可以唯一地提升为\phi_f\in L_0^2(Z(\Bbb A)G(\Bbb Q)\backslash G(\Bbb A)),记相应的不可约表示为\pi_f,我们考虑\pi_f在不同位上的分解\pi_f=\pi_\infty \otimes \prod \pi_p. 对于非Archimedean位p和Archimedean位\infty处的可容许表示,我们分别有Bernstein–Zelevinsky分类Langlands分类作为参考的“地标”:
(Ramanujan-Petersson猜想,表示论形式)\pi_p主级数表示(p,N)=1
Satake  Spherical functions and Ramanujan’s conjecture
(Selberg 1/4猜想,表示论形式)\pi_\infty是主级数表示;
Langlands提出上述2个猜想可以由GL(2)\to GL(m+1)的Langlands函子性猜想推出。这决定性地影响了对Selberg猜想的现代研究。
m=2(Gelbart-Jacquet),m=3(Kim-Shahidi)和m=4(Kim)的函子性已得到证明。最后一个结果给出当前的最佳下界记录: \displaystyle \lambda_1(X)\geq \frac{975}{4096}=0.238\dots


  1. 这个现象体现了某种算术刚性:对于一般的(generic)双曲曲面X,Phillips-Sarnak理论暗示至多有有限个特征值以尖点形式为特征函数。
    Phillips, Sarnak  On cusp forms for cofinite subgroups of PSL(2,\Bbb R) 
  2. 基于大量数值实验,Cartier猜想(\Delta,X(1))的所有正特征值都是单特征值。如果这个猜想成立,那么X(1)的所有Maass尖点形式都是Maass-Hecke特征形式。 
  3. Jacquet和Langlands对GL(2)证明了重数1定理:在上述分解中每个不可约可容许表示有重数1. 一般地,我们希望决定所有使重数1定理成立的可约群。
    Jacquet, Langlands  Automorphic forms on GL(2) 
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Quantization as Deformation I

Very early in my study of physics, Weyl became one of my gods. I use the word “god” rather than, say, “outstanding teacher” for the ways of gods are mysterious, inscrutable, and beyond the comprehension of ordinary mortals.
——Schwinger

Weyl是研究量子物理与表示论联系的第一人。这个领域至今依然非常迷人:表示论、代数几何、复几何、弦论乃至数论都交织在一起。
Weyl  Quantenmechanik und Gruppentheorie

From Weyl Algebra to Heisenberg Lie Algebra
一般地,“量子化问题”可以陈述为:给定描述物理过程的经典模型(辛流形上的Hamilton系统,Riemann流形上的Lagrange系统,etc.),将可观测量函数系统地替换为某个Hilbert空间上的算子,使其满足特定的量子化条件。
1926年,Heisenberg发现了位置算子和动量算子的如下对易关系(CCR):
[P_i,Q_j]=-\sqrt{-1}\hbar\delta_{ij}\hbar为约化Planck常数                   (1)
视(1)为量子化条件,Weyl研究了PQ生成的算子环:对2k维线性空间V,(1)中Kronecker delta函数可以实现为V上的辛形式\omegau \otimes v-v \otimes u=\omega(u,v)定义了V上的Weyl代数W(V)。在这个意义上,经典力学对应对称代数,而Weyl代数(物理文献中又称为CCR代数)是对称代数的“量子化”。
从Lie群的角度看,(1)又可以理解为某个Lie代数的结构方程:以辛形式定义Lie括号,在Weyl代数的生成元中加入单位元R(一维中心扩张)后生成的实Lie代数称为Heisenberg代数。其对应的幂零Lie群即著名的Heisenberg群H_{2k+1}H_{2k+1}可以在\Bbb R^{2k} \times \Bbb R上实现为:
(v_1,t_1)+(v_2,t_2)=(v_1+v_2, t_1+t_2+\omega(v_1,v_2)/2)
Heisenberg群出现在数学的各个领域:从Abel簇的构造 (Mumford) 到3维流形的分类 (Thurston)。其与theta函数的天然联系指向数论、模形式和数学物理。

Unitary Representations of the Heisenberg Group
数学家的谨慎使Weyl不愿意处理P,Q这样的无界算子;另一方面,量子力学的物理诠释要求可观测量a对应自共轭算子A,于是过渡到Lie群层面后,e^{iA}为酉算子(至少在形式上),这是特别令人满意的。
一般地,对于构型空间\Bbb R^k和算子P_i, Q_i1 \leq i \leq k,引入参数a,b \in \Bbb R^k并定义
X(a)=e^{\sqrt{-1}aQ}Y(b)=e^{\sqrt{-1}bP},向量相乘理解为内积
由此可以将对易关系(1)写成指数形式(又称Weyl形式):
\displaystyle X(a)Y(b)X(a)^{-1}Y(b)^{-1}=e^{-\sqrt{-1}\hbar ab}                                  (2)
此处的计算是形式的,可视为Baker–Campbell–Hausdorff公式的一个特例。
X(a), Y(b)\Bbb R^k的酉表示。Weyl的创辟之处在于他坚持统一处理共轭量的表示:
\displaystyle W:(a,b) \mapsto e^{(\sqrt{-1}\hbar/2)ab}X(a)Y(b)
由于XY不可交换,W不是\Bbb R^{2k}的酉表示,却诱导一个射影酉表示W满足W(a,b)W(a',b')=m(a,b:a',b')W(a+a',b+b')Schur乘子\displaystyle m(a,b;a',b')=e^{(\sqrt{-1}\hbar/2)(ab'-ba')}在单位圆上取值。
物理上,这个射影酉表示非常令人满意:它对应量子力学中的波函数归一化。数学上我们有一个等价描述:定义Z(c)=e^{\sqrt{-1}cR}c \in \Bbb R,并取
W:(a,b,c) \mapsto X(a)Y(b)Z(c)
此时W扩张为Heisenberg群H_{2k+1}的酉表示。乘子项m(a,b;a',b')得到了更好的解释:它对应H_{2k+1}的“挠部分”\omega(v_1,v_2)/2

Three Models
尽管H_{2k+1}有非常简单的矩阵模型,它的酉表示却不可能是有限维的。下面是3个无穷维酉表示的例子。
模型1(theta表示) 给定上半平面的复数\tau,赋予整函数f:\Bbb C \to \Bbb C如下范数:
\displaystyle \parallel f \parallel^2_\tau=\int_{\Bbb C} e^{(-2\pi y^2/Im(\tau))}|f(x+\sqrt{-1}y)|^2 dxdy
满足\parallel f \parallel^2_\tau<\infty的整函数f构成Hilbert空间\mathcal{H}_\tauH_3\mathcal{H}_\tau上有不可约酉表示
\displaystyle (W_t(a,b,c)f)(z)=e^{\sqrt{-1}\pi(a^2\tau+2az+c)}f(z+a\tau+b)
特别地,H_3的Abel子群\Bbb Z^2作用于\mathcal{H}_\tau上有唯一的不变向量,即Jacobi theta函数
模型2(Fock表示)视\Bbb R^{2k}=\Bbb C^k,赋予全纯函数f:\Bbb C^k \to \Bbb C如下范数:
\parallel f \parallel^2=\int_{\Bbb C^k} e^{-|z|^2}|f(z)|^2 dz
满足\parallel f \parallel^2<\infty的全纯函数f构成Segal-Bargmann空间\mathcal{H}.
\partial_iz_i诠释为阶梯算子1,我们有
\displaystyle Q_i=\frac{1}{\sqrt{2}}(\partial_i+z_i)\displaystyle P_i=\frac{\sqrt{-1}}{\sqrt{2}}(-\partial_i+z_i)
自共轭算子P_i,Q_i给出Weyl代数W(\Bbb R^{2k})\mathcal{H}上的不可约表示。
模型3(Weyl表示;Schrödinger模型) 取L^2(\Bbb R^k)为表示空间,H_{2k+1}有不可约酉表示
\displaystyle (W_s(a,b,c)\psi)(x)=e^{\sqrt{-1}(ax+\hbar c)}\psi(x+\hbar b)
这个表示被称为Schrödinger模型,由此可以获得量子力学的波动力学描述:例如,取R为Hamilton算子He^{\sqrt{-1}tH}\psi=W_s(0,0,t)\psi=e^{\sqrt{-1}\hbar t}\psi。相因子无关紧要,我们可以认为波函数在单参数酉群e^{\sqrt{-1}tH}的作用下不变(能量守恒)。取微分过渡到Lie代数层面,即得到Schrödinger方程

Stone-von Neumann Theorem
Weyl提出了如下问题:是否Heisenberg群H_{2k+1}的任意不可约酉表示均酉等价于Schrödinger模型W_s?1930年前后,Stone和von Neumann各自独立地给出了肯定的回答——从而给出了矩阵力学等价于波动力学的又一个证明。
(Stone-von Neumann定理) H_{2k+1}的任意酉表示均酉等价于若干个W_s的直和。
von Neumann的原始证明可以在以下著作中找到
Folland Harmonic analysis in phase space
实Heisenberg群是局部紧Abel群\Bbb R^{2k}的中心扩张。Weyl提出可以将\Bbb R替换为有限群\Bbb Z_n,作为玩具模型来研究。另一方面,根据Lefschetz原理,也有理由将\Bbb R替换为其他局部域 (尤其是p-adic数域) 的加法群进行研究。这都要求我们推广局部紧Abel群上的调和分析
具体来说,我们以局部紧Abel群G取代\Bbb R^{2k},以2-闭上链取代辛形式\omega。中心扩张1 \to U(1) \to H \to G \to 1给出抽象Heisenberg群H
群上同调论的角度看,Schur乘子m(a,b;a',b')作为2-闭上链的结构是清楚的:
m(x+y;z)m(x;y)=m(x;y+z)m(y;z)
对于抽象Heisenberg群,Stone-von Neumann定理有一个深远的推广:Mackey理论。关于其主定理,一个细致且清晰的证明可以在下面这本书中找到:
Mumford  Tata Lecture on Theta III
当然也可以参看Mackey本人的著作,以及
Varadarajan  Geometry of quantum mechanics, Vol.2

Weyl Quantization
局部紧Abel群满足Pontryagin对偶。对于相空间\Bbb R^{2k}而言,这个对偶关系是(q,p) \mapsto (a,b).
经典物理量是(q,p)的函数。Weyl量子化,或者,Weyl变换,指的是(1)通过Fourier逆变换将经典物理量变为(a,b)的函数;(2)通过Weyl表示将(a,b)的函数变为算子(Q,P)的函数,也即Q_\hbar: f \mapsto W(F^{-1}f).
不难证明,(1)Q_\hbar(f)自共轭当且仅当f是实函数; (2) 若f速降函数,则Q_\hbar(f)迹类算子并有一个积分核表示。
对于一般的局部紧Abel群,我们也可以定义Weyl变换。p-adic数域的情况或许是最有趣的,不仅和数论紧密相关,而且有可能应用于物理上:某些数学物理学家(例如Volovich)怀疑Planck尺度下的时空是非Archimedes的。
Weyl变换的逆变换称为Wigner变换。这是一个非常有趣的变换:量子概念的经典“对应”常常有意料之外的物理意义。

Weyl-Moyal Algebra
1940年前后,Moyal对Weyl量子化进行了更深入的考察。和Weyl不同,他感兴趣的对象不是算子,而是经典函数空间:Weyl忽略了经典函数空间的Poisson结构,而这正是Moyal希望研究的。
定义Moyal积\cdot_\hbar为算子复合运算在Wigner变换下的拉回2
Q_\hbar(f_1 \cdot_\hbar f_2)=Q_\hbar(f_1)Q_\hbar(f_2)
定义Moyal括号[f_1,f_2]_\hbar=f_1 \cdot_\hbar f_2-f_2 \cdot_\hbar f_1,我们有:
Q_\hbar([f_1,f_2]_\hbar)=[Q_\hbar(f_1),Q_\hbar(f_2)]
这在经典函数空间(不妨取成Schwartz空间)上定义了一个Poisson代数结构,我们称其为Moyal代数。
\hbar \mapsto 0时,Moyal代数趋于退化,这对应经典物理的假定:测量顺序不影响结果。一般地,我们希望研究Moyal代数对参数\hbar的依赖。
展开到一阶:
\displaystyle f_1 \cdot_\hbar f_2=f_1 f_2+\frac{\sqrt{-1}\hbar}{2}\{f_1,f_2\}+O(\hbar^2)
\displaystyle [f_1,f_2]_\hbar=\sqrt{-1}\hbar\{f_1,f_2\}+O(\hbar^2)
事实上,展开到二阶后,\displaystyle [f_1,f_2]_\hbar=\sqrt{-1}\hbar\{f_1,f_2\}+O(\hbar^3)3.

为了将Moyal代数的结构看得更加清楚,我们必须推广对Poisson括号的定义:取2组变元q^{(1)},p^{(1)},q^{(2)},p^{(2)}。定义S(\Bbb R^{2k} \times \Bbb R^{2k})上的微分算子\Pi=\Sigma(\frac{\partial}{\partial q_j^{(1)}} \otimes \frac{\partial}{\partial p_j^{(2)}}-\frac{\partial}{\partial p_j^{(1)}} \otimes \frac{\partial}{\partial q_j^{(2)}}),定义S(\Bbb R^{2k} \times \Bbb R^{2k}) \to S(\Bbb R^{2k})的对角算子D(f)(q,p)=f(q,p,q,p),Poission括号相当于这两个算子的复合:
\{f_1,f_2\}=D \circ \Pi(f_1 \otimes f_2)=P(f_1 \otimes f_2)
由此我们可以定义Poisson括号的“幂”:P^N(f_1,f_2)=D \circ \Pi^N(f_1 \otimes f_2)
于是形式上我们有
\displaystyle f_1 \cdot_\hbar f_2=e^{(\sqrt{-1}\hbar/2)P}(f_1,f_2)
\displaystyle [f_1,f_2]_\hbar=\frac{2}{\hbar}\sin(\frac{\hbar}{2}P)(f_1,f_2)
这就是Moyal括号又被称为“正弦括号”的原因。

Deformation Quantization
通过上述对Moyal代数的考察,我们发现以\hbar为形变参数,量子代数可以视为经典代数的形变。这个观点由Flato等人首次提出。特别地,他们证明了对于S(\Bbb R^{2k})上的经典Poisson代数结构,Moyal代数在规范等价的意义上是唯一可能的形变——也就是说,量子力学是经典力学唯一可能的“形变”。
一般地,令A为某光滑流形X上所有光滑函数的代数。A上的Moyal积定义为
(f,g) \mapsto f \star g=fg+\hbar C_1(f,g)+\hbar^2 C_2(f,g)+\cdots \in A[[\hbar]]
此处\hbar为形式变元,C_i为双微分算子。
为了进行形变,我们要求Moyal积不仅仅是一个形式的渐进展开,而是一个真正的解析展开。这一点并没有先验的保证。
Darboux定理,辛流形上的局部Poisson代数结构总能形变为Moyal代数。我们只需在装备一个平坦的辛联络之后,将这个局部形变扩张到整个流形上。对于一般的Poisson流形,情况要复杂得多。此时Kontsevich量子化公式给出一个Moyal积的形式定义(这是Kontsevich获得1998年Fields奖的原因之一),但尚不清楚它是否在规范等价的意义上给出唯一可能的形变量子化。
Kontsevich  Deformation quantization of Poisson manifolds
物理学家将Kontsevich量子化公式及作为其推广的形式化猜想(formality conjecture)理解为某种扰动弦论。尽管这个想法在物理上非常自然,但和“量子数学”中的诸多结果一样,我们要面临在数学上严格处理Feynman路径积分的困难。
Cattaneo, Felder  A path integral approach to the Kontsevich quantization formula


  1. 这个数学模型在量子场论中有着全然不同的物理意义:\partial_iz_i被称为消灭和创生算子,Hamilton算子的特征分解给出Fock空间\mathcal{H}的分次结构,量子数代表粒子数。这是Fock表示命名的由来。 
  2. Moyal积的定义首次出现于Groenewold的博士论文中:
    Groenewold  On the Principles of elementary quantum mechanics 
  3. Dirac提出的正则量子化 (更确切地,对应于单粒子的一次量子化,或者,辛流形的几何量子化)以Poisson括号描述非交换性,上式指出这只在二阶近似的意义上成立。历史上人们很早就发现作为量子论的半经典近似,正则量子化会导致不可避免的内在矛盾。例如,Groenewold-van Hove不可行定理(no-go theorem)指出对于次数大于2的多项式f(x_1,x_2),一个自洽的正则量子化是不可能的。 

Notes on Lie theory: compact Lie groups

紧Lie群是酉群的子群。这一事实是整个理论的地标。

作为局部理论,Lie对应绝对依赖于Lie群的(形式)微分结构。另一方面,Schur发现紧Lie群的表示与有限群的表示极为类似,沿着这一线索Weyl建立了以Peter-Weyl定理为中心的整体(积分)理论。一般地,局部紧拓扑群上存在Haar测度,因而有可能建立类似的分析理论。迄今我们仅对交换群(局部紧群上的调和分析)和紧Lie群 (Cartan-Weyl) 有充分的了解,此外对半单Lie群(Harish-Chandra, Gelfand, etc.)也有较好的认识。建立一般的非交换调和分析是当前的研究热点。

我们对Lie群的讨论主要基于局部理论。不过,至少对于连通紧Lie群G,我们希望完整地展示理论的2个方面:此时整体理论简单却极富威力。

From Semi-simple to Compact

如何找出半单Lie群的紧子群?在矩阵论中,极分解从复矩阵中分离出酉部分,这是最基本的模板。一般地,给定复半单Lie代数\mathfrak g和Killing形式K\mathfrak g对合同构\theta称为Cartan对合,若K(x,\theta y)是负定的。非退化Killing形式限定在\theta对应\pm 1的特征空间上时是正定/负定的,因而我们得到

(Cartan分解) \mathfrak g=\mathfrak l \oplus \mathfrak p。子代数\mathfrak l是对应-1的特征空间,有负定的Killing形式,从而是紧Lie代数。

Global Theory 

我们将利用整体理论研究紧Lie群的结构。步骤如下:1.研究紧拓扑群的表示论(Peter-Weyl定理);2.决定紧拓扑群(特别的,紧Lie群)的结构;3.决定紧Lie代数的结构。

1.我们需要之前从Laplace算子的谱分解角度讨论过的:

(Peter-Weyl) 若拓扑群G是紧致的,则(1)G的所有不可约表示\{\pi\}都是有限维的(由Weyl的酉技巧可以进一步假定这些表示都是酉的);(2)\{\pi\}分离G中的点。

2.利用此定理可以回答紧致情形下的Hilbert第5问题(von Neumann):\forall x \neq e \in G,存在某个有限维的不可约酉表示\pi_x使得x(从而x的某个邻域)不属于\pi_x^{-1}(I),因而由G的紧性,对e的邻域系V_n可以找到有限维酉表示\rho_n使得\ker(\rho_n) \subset V_n。另一方面,\mathrm{Im}(\rho_n)是酉群的闭子群,从而也是Lie群:这一讨论给出了将紧拓扑群G表为紧Lie群\mathrm{Im}(\rho_n)的逆向极限的具体构造。

注意到若G是紧Lie群,则它没有小子群,上述逆向极限事实上是有限的,从而推出:任意紧Lie群均有1-1的有限维表示(从而同构于某个U(m)的子群)。

3.过渡到Lie代数:上述事实意味着紧Lie代数\mathfrak g_0是约化的。

更精细一点,因为\mathfrak g_0实形式,故\mathfrak g_0 \subset \mathfrak{so}_{m},由此推出紧Lie代数的Killing形式是半负定的:K(x,x)=\mathrm{tr}((\mathrm{ad}\,x)^2) \leq 0。反过来,可以证明若Killing形式负定,则\mathfrak g是紧(半单)Lie代数。

Local Theory

我们将利用局部理论研究紧Lie群G的极大交换子群。步骤如下:1.研究复Lie代数\mathfrak g的特定子代数;2.研究\mathfrak g_0中的对应子代数;3.推断极大交换子群的性质。

1.称x \in \mathfrak g幂零/半单,若\mathrm{ad}\, x幂零/半单(对于复Lie代数这意味着\mathrm{ad}\, x可对角化)。一般地,记P_x(t)=\sum a_i(x)t^i\mathrm{ad}\, x的特征多项式,则a_n \equiv 1a_0 \equiv 0,使得a_r \not\equiv 0的最小正整数r称为\mathfrak g的秩。

\mathfrak g_x^\lambda\mathrm{ad}\, x对应于特征值\lambda广义特征子空间,熟知有分解\mathfrak g=\mathfrak g_x^0\oplus \sum_{\lambda \neq 0} \mathfrak g_x^\lambda[\mathfrak g_x^{\lambda_1},\mathfrak g_x^{\lambda_2}] \subset \mathfrak g_x^{\lambda_1+\lambda_2},特别的,\mathfrak g_x^0\mathfrak g的子代数。可以证明\mathfrak g_x^0是幂零的,且\mathfrak g_x^0=N_\mathfrak g(\mathfrak g_x^0),这样的幂零子代数称为\mathfrak gCartan子代数。 可以证明\mathfrak g的Cartan子代数必有上述形式且在共轭的意义下唯一(依赖于\Bbb C的代数封闭性),故\mathrm{dim}\, \mathfrak g_x^0=r

\mathfrak g是半单的,则我们有更强的:(1)Cartan子代数\mathfrak h是交换的;(2)\mathfrak h等于其中心化子,从而\mathfrak h\mathfrak g的极大交换子代数;(3)\mathfrak h中的所有元素都是半单的(满足(1)(3)的子代数称为环状子代数,Cartan子代数在环状子代数中是极大的)。

 \mathfrak{sl}_n(\Bbb C)的Cartan子代数由所有对角矩阵构成。

2.称\mathfrak h_0\mathfrak g_0的Cartan子代数,若\mathfrak h\mathfrak g的Cartan子代数。此时我们无法得到唯一的共轭等价类,但可以证明共轭等价类仍是有限的。

现假定\mathfrak g_0是约化Lie代数:\mathfrak g_0=[\mathfrak g_0,\mathfrak g_0]\oplus Z(\mathfrak g_0)。取半单Lie代数[\mathfrak g_0,\mathfrak g_0]的Cartan子代数\mathfrak t_0^{'},则t_0=t_0^{'} \oplus Z(\mathfrak g_0)\mathfrak g_0的极大交换子代数和Cartan子代数。

3.现在可以讨论我们的主结果:在Lie对应下,t_0对应约化Lie群G的极大交换子群。特别地,当G紧致时,Killing的半负定性将允许我们推断\mathfrak g_0的极大交换子代数(如同\mathfrak g那样)两两共轭,由此推出:(1)紧Lie群的极大环面两两共轭;(2)更强的,\forall x \in G均包含在某个共轭类T^r里。由于指数映射在环面上是映满的,这推出指数映射在紧Lie群上总是映满的。

在线性代数里,(2)对应熟知的:任何酉矩阵都共轭于某个对角矩阵。

上述证明属于Weyl。利用Riemann几何,Cartan给出了另一个基于不动点存在定理的证明。第三个证明(Weil)或许是最有启发性的:利用Lefschetz不动点定理可以直接对紧拓扑群证明类似结果。

Pauli矩阵,表示论与Kähler恒等式

我们曾经讨论过电子自旋的数学理论:3个正交方向上的自旋算子由S_k=\sigma_k/2给出(k=1,2,3),\sigma_1=\begin{pmatrix} 0&1 \\ 1&0 \end{pmatrix}\sigma_2=\begin{pmatrix} 0&-i \\ i&0 \end{pmatrix}\sigma_3=\begin{pmatrix} 1&0 \\ 0&-1 \end{pmatrix}Pauli矩阵。由Heisenberg图像X_k=iS_k\mathfrak{su}_2的一组基。

作为Lie代数,\mathfrak{su}_2上有基本交换关系:[X_j,X_k]=-X_l对正置换(jkl)成立。

考虑\mathfrak{su}_2在复向量空间V上的表示\rho\mathrm{SU}_2是紧Lie群,由Peter-Weyl定理\rho可分解为有限维不可约表示的直和。 不妨假定\rho已是有限维不可约表示。

\mathfrak{sl}_2=\mathfrak{su}_2 \otimes_\mathbb{R} \mathbb{C}(\mathfrak{su}_2\mathfrak{sl}_2紧实形式),\rho的复化(仍以\rho记)给出\mathfrak{sl}_2的表示。取S_+=S_1+iS_2S_-=S_1-iS_2S_3为基,有恒等式

[S_3,S_\pm]=\pm S_\pm[S_+,S_-]=2S_3

V^\lambda\rho(S_3)权空间,由交换关系不难推知\rho(S_\pm):V^\lambda \to V^{\lambda \pm 1}v \in V^\lambda称为本原的,若\rho(S_+)v=0。以P记本原空间,由V的不可约性得到

(本原分解)V=\oplus_{l \geq 0} \rho(S_-)^l P。进而推知

(S_3的谱分解)所有\lambda均为半整数,\displaystyle V=V^{-\frac{m-1}{2}} \oplus V^{-\frac{m-3}{2}}\oplus \cdots \oplus V^\frac{m-1}{2}。特别地,\rho(S_\pm)^n:V^{\pm n/2} \to V^{\mp n/2}定义了一个同构。

上述2个分解相容。以P^\lambdaP \cup V^\lambda,我们得到

(精细分解)V^\lambda=\oplus_{l \geq 0} \rho(S_-)^l P^{\lambda+l}

S_\pm在物理上对应阶梯算子,这是研究角动量算子和量子谐振子的标准工具。在量子场论中,其对应物是创生/消灭算子。

从Witten的观点看,Riemann流形上的几何分析与量子力学相平行:\Omega^*(M)对应波函数,\triangle_d对应Hamilton量,等等。更进一步,弦论考虑带有复结构的时空:紧Kähler流形M,生成/湮灭算子由L: \mu\mapsto \omega \wedge \muL^*给出。定义分次算子 h=\sum (n-k)\Pi^k\Pi^k:\Omega^*(M) \to \Omega^k(M)为投影算子。LL^*h均与\triangle_d交换,从而作用在有限维空间\mathcal{H}^{*}(M)上。事实上,它们生成\mathfrak{sl}_2的一个表示:

\rho(S_+)=L^*/2\rho(S_-)=L/2\rho(S_3)=h/2

交换关系给出Kähler恒等式[L^*,L]=h[h,L]=-2L[h,L^*]=2L^*

h的谱对应\mathcal{H}^{*}(M)的分次结构。结合Hodge定理得到

(Lefschetz对偶)L^k: H^{n-k}_{dR}(M) \to H^{n+k}_{dR}(M)是同构,这推广了Poincaré对偶。

算子L给出的信息不止于此。k \leq n时,L作用在H^k_{dR}(M)上是单射,我们得到不等式b_{k-2}\leq b_k,这从拓扑上刻画了Kähler流形。

定义本原de Rham上同调P_{dR}^k(M)=(\ker L^*)\cap H_{dR}^k(M),精细分解对应

(Lefschetz分解)H_{dR}^k(M)=\oplus_{l \geq 0} L^l P_{dR}^{k-2l}(M)

Lefschetz对L的理解是几何的。考虑代数流形M \subset P^N,Fubini-Study度量的Kähler形式是超平面H的Poincaré对偶,其在M上的限制\omega则是W=M \cap H \subset M的Poincaré对偶。原始版本的Lefschetz对偶可叙述为:相交操作\cap W^{N-k}诱导同调群的同构H_{n+k}(M) \to H_{n-k}(M)

Spin群与自旋表示

研究3维空间中的旋转是一个历史久远的问题。经典的方法是借助Euler角坐标。然而依此设计的系统在实际应用中会遭遇严重的困难,例如发生万向节死锁

另一种得到广泛采用的表示基于事实:\mathrm{SU}(2)\mathrm{SO}(3)的双叶覆叠。由于\mathrm{SU}(2)同构于单位四元数群,也有人认为做出此发现却未发表的Gauss才是四元数之父。上述覆叠事实上是万有的。一般地,\pi_1(\mathrm{SO}(n))=\mathbb{Z}_2n \geq 3成立,其万有覆叠称为Spin群。另一方面,\mathbb{H}=Cl_3^0。这并非偶然。我们将说明Spin群与Clifford代数有天然的联系。

假定V为有限维空间,q非退化,考虑扭伴随表示(twisted adjoint representation):

\widetilde{\mathrm{Ad}}:Cl^{*}(V,q) \to \mathrm{Aut}(Cl(V,q))\widetilde{\mathrm{Ad}}_x(y)=\alpha(x)yx^{-1}

我们感兴趣的是\tilde{P}(V,q)=\{x:\widetilde{\mathrm{Ad}}_x (V)\subset V\}\widetilde{\mathrm{Ad}}_x给出到\mathrm{ISO}(V)的表示。

引入范数N(x)=x\bar{x}N限制在\tilde{P}(V,q)上时是到K^*的同态。我们定义Pin群\mathrm{Pin}(V,q)=\mathrm{ker} N \cap \tilde{P}(V,q)。作为Cl(V,q)的子群,Pin群可分为奇部分和偶部分(子群),我们称偶部分为Spin群:\mathrm{Spin}(V,q)=\mathrm{Pin}^0(V,q)

回到实向量空间的情形。\mathrm{Pin}(n)\mathbb{R}^n中的所有单位向量生成,而Cartan-Dieudonné定理指出\mathrm{O}(n)\mathbb{R}^n中的反射生成。生成元的对应关系\pm v \to \{v正交的空间上的反射\}给出1 \to \mathbb{Z}_2 \to \mathrm{Pin}(n) \to \mathrm{O}(n) \to 1

类似的,1 \to \mathbb{Z}_2 \to \mathrm{Spin}(n) \to \mathrm{SO}(n) \to 1

通过Clifford代数的复化,不难定义\mathrm{Pin}^\mathbb{C}\mathrm{Spin}^\mathbb{C}

注记1

“Pin群”这个名词是Serre的发明。诚然,Pin群之于Spin群正如\mathrm{O}(n)之于\mathrm{SO}(n),但更精微的理由是Pine在法国俚语中意为Penis,从而“Pin群可分为奇部分和偶部分”便有了隐喻色彩。既然“Pin群”无法中译而不失“精髓”,我们索性也不翻译本可译为“自旋群”的“Spin群”。

注记2

Gauss的发现是低维Lie群之间例外同构的一例。利用Spin群可以给出简单的“解释”,参见Lawson, Michelsohn Chapter Ⅰ §8。

如上所述,Cl_{r,s}\mathbb{R}^{r,s}上有自然的表示\mathrm{\widetilde{Ad}}。更一般的,由Clifford代数的结构定理可完整描述所有不可约表示。例如,对Cl_n的不可约表示,v_n记其个数,d_n记其维数,K_n记其极大基域,\mathfrak{M}_n记其Grothendieck群,复的情况类推,得到:

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我们记\mathfrak{M}_n的偶子群为\widetilde{\mathfrak{M}}_nCl_n \cong Cl_{n+1}^0给出\mathfrak{M}_n \cong \widetilde{\mathfrak{M}}_{n+1}

以下同构在讨论K理论时非常有用:

\widetilde{\mathfrak{M}}_m \widetilde{\otimes}_\mathbb{Z} \widetilde{\mathfrak{M}}_n \cong \widetilde{\mathfrak{M}}_{m+n}\widetilde{\mathfrak{M}}_m^\mathbb{C} \widetilde{\otimes}_\mathbb{Z} \widetilde{\mathfrak{M}}_n^\mathbb{C} \cong \widetilde{\mathfrak{M}}_{m+n}^\mathbb{C}

Clifford代数的表示诱导Spin群的自旋表示\triangle_n,每个表示称为一个旋子。这个命名来自Ehrenfest在量子力学方面的工作。我们将专文讨论旋子与量子力学及量子场论的联系。

局部紧群上的Fourier分析

Atiyah在谈到20世纪的数学时举出了几个趋势:从有限维到无穷维,从交换到非交换等等。Peter-Weyl定理保证拓扑群G的所有不可约表示都是有限维的,这绝对依赖于G的紧性,故可以视为一个“非交换却有限”的结果。如果我们限定G是交换的,作为补偿,可以将对G的紧性要求放宽为局部紧性。此时得到的理论推广了经典意义下的Fourier分析。特别的,整个类域论和自守形式理论都可以包括到这个框架里来(这方面的奠基性工作可以参考Tao Tate’s proof of the functional equation)。研究其非交换推广是当前数学的核心,这一研究涉及Langlands纲领,表示论,算子代数乃至数学物理等广阔的领域。

以下限定讨论的拓扑群G是局部紧的Abel群。此时G的所有不可约酉表示都是1维的。称这样的\chi:G \to U(1)G的特征。G的所有特征在逐点乘法下成为Abel群,在紧-开拓扑下这个Abel群是局部紧的,记为\hat G,称为G的对偶。

性质1 如果G是可分的,则\hat G是可度量化的;

性质2 如果G是紧的,则\hat G是离散的;

(Pontryagin对偶){\hat G}的对偶与G有一个典范同构:x\mapsto \{\chi \mapsto \chi(x)\},使得x(\chi)=\chi(x)

特别地,性质1和性质2的逆命题成立。

\hat{G}^{*}\hat{G}单点紧化,以C_{0}(\hat{G})\{f \in C(\hat{G}^{*}):f(\infty)=0\}C_{0}(\hat{G})在一致范数下成为C*-代数

G上存在Harr测度\mu,依此定义Fourier变换F:L^{1}(G) \to C_{0}(\hat G)f \mapsto \hat f\displaystyle \hat f(\chi) =\int _{G} f(x)\overline{\chi(x)}d\mu(x)。易见\parallel F \parallel \leq 1

注记1

\hat f(\infty)=0Riemann-Lebesgue引理保证。

可以在\hat G上引入对偶测度\hat \mu。对\hat f \in L^{1}(\hat G),我们有Fourier逆变换F^{*}:L^{1}(\hat G) \to C_{0}(G)\displaystyle f(x)=\int_{\hat G}\hat f(\chi)\chi(x)d\hat{\mu}(\chi)

L^2内积下,F^{*}F的伴随算子:<F(f),g>=<f,F^{*}(g)>。在C_{c}^{\infty}(G)上,F^{*}F=id

(Plancherel) F可以扩充为L^{2} (\hat G)上的酉算子。

Banach空间L^{1}(G)卷积*下成为Banach代数。Fourier变换将L^{1}(G)上的卷积转化为C_{0}(G)上的逐点乘法:\widehat{f*g}(\chi)=\hat{f}(\chi)\hat{g}(\chi),将L^{2}(G)上的逐点乘法转化为卷积:\widehat{fg}(\chi)=\hat f *\hat g(\chi )

经典Fourier分析讨论G=\mathbb{R}^{n}的情况。我们首先举出一类便于研究的函数。

f:\mathbb{R}^{n} \to \mathbb{C}f \in C^{\infty}(\mathbb{R}^{n})为速降函数,若对\forall \alpha,\beta \geq 0|x|^{\alpha}D^{\beta}f(x)有界。所有速降函数构成的函数空间S(\mathbb{R}^{n})称为Schwartz空间

S(\mathbb{R}^{n})L^{p}(\mathbb{R}^{n})(1 \leq p < \infty)和C_{0}(\mathbb{R}^{n})中稠密,在逐点乘法、卷积和Fourier变换下封闭,且F可以唯一扩充为L^{2}(\mathbb{R}^{n})上的酉算子。这使得Schwartz空间成为进行Fourier分析的理想场所。

例子1 Poisson求和公式

f \in S(\mathbb{R}^{n}),定义F:(\mathbb{R}/\mathbb{Z})^{n} \to \mathbb{C}F(x+\mathbb{Z}^{n})=\sum_{i \in \mathbb{Z}^{n}}f(x+i)

\forall \chi \in \mathbb{Z}^{n},我们有\hat {F}(\chi)=\hat{f}(\chi),从而得到Poisson求和公式

\sum_{p\in \mathbb{Z}^{n}}f(p)=\sum_{q\in \mathbb{Z}^{n}}\hat{f}(q)

Poisson求和公式在非交换情形下推广为著名的Selberg迹公式

例子2 Heisenberg不确定性原理

波函数\psi \in S(\mathbb{R}),定义位置算子X和动量算子P如下:

X\psi(x)=x\psi(x)\displaystyle P\psi(x)=\frac{1}{2\pi i}\frac{d}{dx}\psi(x)

作为L^2内积下的Hermite算子,XP代表量子力学中的可观测量。它们互相共轭FX=PF,且满足对易关系\displaystyle [P,X]=\frac{1}{2\pi i}

对Hermite算子A\overline A=<\psi,A\psi>代表可观测量的期望。我们有不等式:

\displaystyle \parallel A\psi \parallel_{2}\parallel B\psi \parallel_{2} \geq \frac{1}{2} |\overline{[A,B]}|

Hermite算子\Delta A=A-\overline A代表可观测量的偏差,[\Delta A, \Delta B]=[A,B]

将上述讨论应用于\Delta X\Delta P,即得到不确定性关系:

\displaystyle \parallel \Delta X\psi \parallel_{2}\parallel \Delta P\psi \parallel_{2} \geq \frac{1}{4\pi}

注记2

我们再次举出Tao的讲义作为相关内容的参考

Tao  The Fourier transform

Laplace算子与紧Lie群的表示论

研究Laplace算子的性质是Weyl数学工作的主题之一。Weyl在Dirichlet问题上的开创性想法奠定了现代偏微分方程理论的研究方向,同一想法也可以用来证明紧Riemann流形/紧复流形上的Laplace算子的谱定理。这一谱分解应用到紧Lie群的表示论中,就得到著名的Peter-Weyl定理。我们来讨论这一联系。

我们假定讨论的拓扑群G是Hausdorff的。G忠实地(左)作用于自身,故可将其视为齐性空间。我们进一步假定G是局部紧的。此时G上存在(左)不变的Haar测度\mu。这允许我们在G上展开积分理论,从而为讨论G的表示提供了有力的技术工具。

G的表示指的是连续同态\sigma:G \to GL(V)V为(复)Hilbert空间,GL(V)装配有算子拓扑。我们对\sigma的讨论将通过一系列化归来完成。

一般表示化归为酉表示:给定G的表示\sigma: G \to GL(V)(, )V上的内积,定义<x,y>=\int_{G}(\sigma(g)x,\sigma(g)y)d\mu(g)。不难看出<,>\sigma(G)-不变的,故通过重新定义内积<,>可使Im(\sigma) \subset U(V)。以下默认\sigma是酉表示。

V=L^{2}(G)g \in G诱导L^{2}(G)上的算子T_g:T_gh(x)=h(g^{-1}x)\mu的不变性保证T_g是酉算子。我们称\pi: g \mapsto T_gG的(左)正则表示。

\sigma化归为\pi:定义T: V \to C(G)T(y)(g)=<y,\sigma(g)x>x \in V。将T扩充到L^2(G),此时有T\sigma(g)=\pi(g)T。由于\sigma\pi都是酉表示,\sigma(g)T^{*}=T^{*}\pi(g)。若W \subset L^{2}(G)\pi (G)-不变的,则T^{*}W \subset V\sigma (G)-不变的。如果对\pi有足够的了解,我们同时也获得了\sigma的信息。

关键性的事实是:对于紧致的G,正则表示\pi 可以分解为有限维表示的直和。

(Peter-Weyl Ⅰ)成立正交分解L^{2}(G)=\oplus W_kW_k\pi (G)-不变的,dim W_k<\infty

证明:紧群G上存在一个G-不变的Riemann度量。以\triangle记此度量下的Laplace-Beltrami算子。在C^{\infty}(G)\triangle与所有T_g交换,故\triangle的特征子空间是\pi(G)-不变的。于是\triangle谱定理提供了所需的正交分解。

注记1

L^{2}(G)G-不变子空间W,由G的紧性知\pi(G)|_{W}是Lie群GL(W)的闭子群。由Cartan定理,\pi(G)|_{W}也是Lie群。由于G忠实地作用在L^2(G)上,这推出任何紧拓扑群都可实现为Lie群的逆向极限,从而回答了紧致情形下的Hilbert第5问题(von Neumann, 1929)。

对于局部紧拓扑群的推广称为Gleason-Yamabe定理(Yamabe,1953):

连通的局部紧拓扑群是Lie群的逆向极限。

参见Tao在下面这篇文章中的讨论:

Tao   van Dantzig’s theorem

注记2

下面这篇文章包含Peter-Weyl Ⅰ的另一个证明,并讨论了其与Fourier分析的联系:

Tao  The Peter-Weyl theorem, and non-abelian Fourier analysis on compact groups

最后,所有有限维表示都是完全可约的,即可写为不可约表示的直和。这是因为若W是不变子空间,则W^{\bot}也是不变子空间,依此对表示的维数进行归纳即可。

综上,我们得到了

(Peter-Weyl Ⅱ)对紧群G在Hilbert空间V上的表示\sigma,成立正交分解V=\oplus V_kV_k\sigma(G)-不变的且不可约,dim V_k<\infty

我们转向另一个紧密相关的话题:矩阵系数。

考虑局部紧群G的不可约表示\sigma_k:G \to V_k。函数m_{xy}^{\sigma_k}(g)=<y,\sigma_{k}(g)x>称为\sigma_k的矩阵系数。记所有矩阵系数的集合为M(G)\{V_k\}的直和与直积在M(G)上诱导加法与乘法。不难验证M(G)C(G)中的含幺*-代数。

假定G是紧致的。若对\forall \sigma_k\sigma_k(x)=I,由Peter-Weyl  Ⅱ,对\forall \sigma\sigma(x)=I,即x=e。这说明紧群G的所有不可约表示分离G中的点。由此不难证明M(G)分离G中的点。由Weierstrass-Stone定理,M(G)C(G)中稠密。

事实上我们有

(Gelfand-Raikov)局部紧群G的所有不可约表示分离G中的点。

因而上述关于矩阵系数的讨论可以推广到局部紧群上。

选取V的一组正交基,则相应的矩阵系数成为L^{2}(G)的一组正交基。对于具体的G,这些正交基给出经典的特殊函数和正交多项式。