椭圆算子的基本知识


本文由3个小专题的讨论组成。我们始终以Laplace算子的Hodge理论作为基本的参照物。

(Ⅰ)Gårding不等式,基本椭圆估计

回忆Sobolev空间W^s上赋有:1)s阶一致范数\parallel u \parallel_{s,\infty}=\sum_{|\alpha| \leq s} \parallel D^\alpha u \parallel_\infty;2)sL^2范数\parallel u\parallel_{s}=\sum_{|\alpha| \leq s} \parallel D^\alpha u \parallel_2。Sobolev不等式说明后者在一定情况下控制前者。Gårding不等式则给出关于2m阶椭圆算子P的估计:

约定| u|_s=\sum_{|\alpha|=s} \parallel D^\alpha u \parallel_2P满足一致椭圆性:\mathrm{Re}P_{2m}(x,\xi)\geq c|\xi|^{2m} ,则对任意u\in C^m_0(\Omega)\mathrm{Re}(Pu,u) \geq (c-\epsilon)|u|^2_m-b_\epsilon \parallel u \parallel^2_0

对于常系数算子P,这是Fourier分析的简单应用。处理一般情形要用到单位分解。在伪微分算子的框架下,Hörmander证明不仅m为整数的限制是多余的,甚至可以令\epsilon=0

给定m阶椭圆算子P。对P^{*}P应用Gårding不等式,不难证明这保证了所谓的“基本椭圆估计”\parallel u \parallel_s \leq C(\parallel u \parallel_{s-m}+\parallel P u\parallel_{s-m})s=m成立。

基本椭圆估计在W^s上引入一个依赖于P的等价范数,这在应用上很方便。一般情况的证明也不复杂:取拟基本解算子Q使得I=QP+S,并将不等式的左右两端分别与“参照物”\parallel QP u\parallel_s+\parallel Su\parallel_s比较。

(Ⅱ)椭圆算子的指标及其同伦不变性

椭圆算子是Fredholm算子,这推广了Hodge定理:\mathrm{dim} \mathcal{H}^k=\mathrm{dim} (\mathrm{ker}\triangle^k)<\infty

定义Fredholm算子/椭圆算子的指标\mathrm{ind}(P)为1)\mathrm{dim}(\mathrm{ker} P)-\mathrm{dim}(\mathrm{coker} P);2)\mathrm{dim}(\mathrm{ker} P)-\mathrm{dim}(\mathrm{ker} P^*);3)\mathrm{dim}(\mathrm{ker} P^{*}P)-\mathrm{dim}(\mathrm{ker} P^*P)

记Fredholm算子半群为\mathcal{F},它是有界算子环的开子集。\mathrm{ind}\mathcal{F}到加群\mathbb{Z}的同态。事实上\mathrm{ind}\mathcal{F}的连通分支上是常数,因而给出同构\pi_0(\mathcal{F}) \to \mathbb{Z}。由此知指标在椭圆算子的同伦形变下保持不变,特别是,在其主符号的正则同伦形变下保持不变。

更微妙的是指标事实上是流形的同伦不变量。回忆Hodge定理或有启发:\triangle^k的核的维数等于流形的第k个Betti数。一般地,是否可以用椭圆算子的主符号及流形的拓扑不变量来计算其指标?这是Gelfand提出的问题,而Atiyah和Singer给出了肯定的回答。他们(发表的)第一个证明依赖于拓扑K理论。

(Ⅲ)椭圆算子的谱分解,热核

自共轭椭圆算子的谱分解有一个现成的模本:Laplace算子的谱分解。不赘。

Laplace方程是静态的热方程,经验表明考虑后者这个抛物方程的渐进行为(某种意义上的“流”)对于理解静态结构极有帮助:一个已成为经典的例子是Ricci流,Perelman熵,等等。

具体地说,(\partial_t+P)u=0基本解K(t,x,y)满足K(0^{+},x,y)=\delta_x(y)。作为积分核(热核),它有一个形式表示\int K(t,x,y)u(y)dy=e^{-tP}u(t,x)。将uP的特征函数u_k展开,K(t,x,y)=\sum_k e^{-\lambda_k t}u_k(x) \otimes u_k^{*}(y)是光滑函数,由此推出e^{-tP}是一个光滑化算子。定义此算子的迹为\mathrm{tr}(e^{-tP})=\sum_k e^{-\lambda_k t}

我们此刻关心的是特征值0。简单的线性代数表明PP^{*}P^{*}P有相同的非零特征值,从而得到McKean-Singer公式:

\mathrm{tr}(e^{-tP^{*}P})-\mathrm{tr}(e^{-tPP^{*}})=\mathrm{dim}(\mathrm{ker} P^{*}P)-\mathrm{dim}(\mathrm{ker} P^*P)=\mathrm{ind}(P)

t \to 0^+时,热核可以写成t的渐进展开式,展开系数由流形的几何与P的主符号决定。由此计算指标进而给出指标定理的分析证明是Gilkey和Patodi的想法。

热核与物理中的超对称密切相关,我们曾用这个观点讨论过Laplace算子的Witten形变。现在如法炮制:令t \to \infty,这将抹去所有正特征值,e^{-tP}退化为到\mathrm{ker}P的投影算子,此时“Hodge理论”将提供有关流形拓扑的信息。综合考虑这两种渐进使得Getzler简化了Dirac算子指标定理的分析证明:

Getzler  Pseudodifferential operators on supermanifolds and the Atiyah-Singer index theorem

 

9 thoughts on “椭圆算子的基本知识

  1. GTR says:

    “在伪微分算子的框架下,Hörmander证明不仅$m$为整数的限制是多余的,甚至可以令$\epsilon=0$”求文献啊求文献

    • Hörmander, Pseudodifferential operators and hypoelliptic equations, Ann.Math.83 (1966) 133-183

      Garding的书上看到的,不过网上居然查不到,莫不是老爷子昏了头。
      Hörmander那4卷书里肯定有的。

    • GTR says:

      不知为何在当期的annals上似乎只能看到Hörmander的另一篇文章,页码范围是129-209,上面列的文章暂时是没有找到。你是指的sharp Gårding inequality吗?似乎并不是单纯地将Gårding不等式右端的\epsilon为0呀。

    • 见新的回复。我是在Some points of analysis and their history,Chapter11 里看到的,结果Gårding老爷子给错了参考文献,囧。

    • 啊,应该是这个才对。
      Hörmander, Pseudo-differential operators and hypoelliptic equations. Proc. Symposium on Singular Integrals. Amer. Math. Soc, 10, 138-183 (1967)

      Garding果然老眼昏花了。

    • GTR says:

      一时两个资料都查不到,只能等回到美帝再看了:)谢谢指点

    • GTR says:

      恩,最近这个月在以色列Weizmann Institute of Science访问老板的一个合作者,估计获得进入图书馆的权限有点困难,不过可以试试公共资料室啥的。话说本来想托您给David Morrison捎去全系人民最诚挚的思念的,后来才意识到他是在UCSB。

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