通往指标定理之路 Ⅱ


高维Gauss-Bonnet公式的内蕴证明是陈省身的得意之作。它在微分几何中的意义相当于代数几何中Hirzebruch对Riemann-Roch定理的高维推广。微分几何较代数几何容易,故我们先来考察高维Gauss-Bonnet公式。我们将介绍陈先生的原始证明。

Chern    A simple intrinsic proof of the Gauss-Bonnet formula for closed Riemannian manifolds

Chern    On the curvatura integra in a Riemannian manifold

S.S Chern (1911-2004)

证明

Hopf的Gauss-Bonnet定理中,拓扑项是“大理石”(借助于Poincaré-Hopf定理可将其写成内蕴形式),几何项则是“木头”(Gauss-Kronecker曲率必须借助超曲面在欧式空间的局部嵌入定义)。因而首先要做的是将Gauss-Kronecker曲率内蕴地表示出来。代数计算显示,给定Riemann流形(M^{2n},g),Gauss-Kronecker曲率是Riemann曲率的Pfaff形式

\displaystyle \mathrm{Pf}(\Omega)=\frac{1}{2^n n!}\sum_{\sigma \in S_{2n}} \mathrm{sgn}(\sigma)\Omega^{\sigma(1)}_{\sigma(2)} \wedge \cdots \wedge \Omega^{\sigma(2n-1)}_{\sigma(2n)}

接下来寻找Gauss映射f:M \to S^{2n}的替代。利用内蕴定义的球丛S(M)恢复拓扑信息是合理的尝试:令\PiS(M)上的(2n-1)-形式,限制在每个纤维上给出S^{2n-1}的标准体积形式。在M上取有离散奇点\{x_i\}的向量场XS_{\epsilon,i}记包围x_i的半径为\epsilon的球面,X的单位化诱导映射l:M\backslash\{x_i\} \to S(M)。Poincaré-Hopf定理给出\displaystyle \chi(M)=\sum_i \mathrm{ind}(x_i)=-\frac{1}{(2\pi)^n}\sum_i\lim_{\epsilon \to 0}\int_{l(S_{\epsilon,i})}\Pi。(依赖于M的紧性)

最后要厘清\mathrm{Pf}(\Omega)\Pi的关系。此处的困难在S(M)并非主丛,故没有“好”的联络理论。陈省身采用的手法在50年代后成为处理纤维丛几何的标准程序:将球丛进一步提升为正交标架丛F(M)。作为\mathrm{SO}(n)-主丛,F(M)上有一整套联络理论可以应用。陈先生以善于计算著称,接下来他展开了一系列计算,得到非常整饬的结论:(1)\mathrm{Pf}(\Omega)F(M)上的拉回是恰当形式d\Pi^{'};(2)\Pi^{'}投射到S(M)上给出\Pi

必须指出,省略了的计算(尤其是(1)(2))才是“陈证明”的精髓。限于Wordpress的排版,我们只能割爱。请读者参考上面引述的2篇原始论文,或者

伍鸿熙  黎曼几何选讲

结合(1)(2)得到超渡公式\pi^{*}\mathrm{Pf}(\Omega)=d\Pi\pi:S(M) \to M

注记1

超渡(transgression)指的是这样的现象:度量(联络)的改变对\Pi^{'}的扰动是一个恰当形式,因而不改变其同调类。\mathrm{Pf}(\Omega)/(2\pi)^n的同调类也是度量不变的:Gauss-Bonnet公式显示它恰落在MEuler类中。这些观察成为Chern类和Chern-Weil理论的先声。

超渡的概念是有影响力的。Hirsch将这一概念推广到一般纤维丛后,被Serre应用到谱序列中。在Lie代数的上同调论中,首先尝试引入超渡的是Koszul,系统的探索则归功于Borel。

最后的计算:\displaystyle \int_M \mathrm{Pf}(\Omega)=\sum_i\lim_{\epsilon \to 0}\int_{M\backslash B_{\epsilon,i}}d(l^{*}\Pi)=-\sum_i\lim_{\epsilon \to 0}\int_{l(S_{\epsilon,i})}\Pi

(高维Gauss-Bonnet公式)\displaystyle \int_M \mathrm{Pf}(\Omega)=(2\pi)^n\chi(M)

高维Gauss-Bonnet公式已有很多不同的证明。特别是指标定理的系列证明都自动适用于这个特例:拓扑(K理论),分析(热方程),几何(自旋几何)。

注记2

度量对于Gauss-Bonnet公式是必须的:对于一般的联络而言,此定理不成立。反例可以在Milnor,Stasheff  Characteristic classes Appendix C中找到。

应用举隅

4维以上的Gauss-Bonnet公式太过复杂,几乎没有有趣的应用。下面是2个4维的例子。

若可定向紧4维Riemann流形M的截面曲率恒正或恒负,计算显示此时\Omega是体积元素的正数倍,推出\chi(M)>0。这是Milnor未发表的结果。参见

Chern  On curvature and characteristic classes of a Riemann manifold

另一例是之前提到过的Hitchin-Thorpe不等式。证明留待讨论过Hirzebruch号差定理之后。

结语

如果说E.Cartan是微分几何中的Grothendieck,那么陈省身可与Deligne类比:用一般性的语言讨论精细的结构,用一般性的工具解决具体的问题。

向量丛的微分几何学与规范理论的联系在低维拓扑中的应用纤维丛的微分几何学,超渡和高维Gauss-Bonnet公式的证明,Chern类和Chern-Weil理论,这构成对陈省身主要工作的一个概述。这方面最具历史意义的文献无疑是1950年陈省身在ICM上所做的大会报告

Chern   Differential geometry of fiber bundles

2011年是陈先生诞辰100周年。12月3日是先生的忌日。

生刍一束,短文一篇,谨此纪念第一位具有广泛国际影响力的华人数学家。

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