Clifford代数简介


200年来,许多人从不同方面研究过Clifford代数和自旋表示,但认识到它们处在整个数学/数学物理的核心则是晚近得多的事。下面是一份(不完备的)历史回顾。

超复数系:Hamilton, Grassmann, Clifford

表示论,Lie群,Bott周期性:E.Cartan, Weyl, Chevalley, Bott

Riemann几何:E. Cartan, Berger

Dirac算子,量子场论,超对称:Dirac, Atiyah, Singer, Witten

接下来我们希望从容地讨论每一个方面。

本文的主要参考文献是专著

Lawson, Michelsohn  Spin Geometry

以及一篇非常重要的论文

Atiyah, Bott, Shapiro  Clifford Modules

给定K-向量空间V,张量代数T(V)是由V生成的自由结合代数。在V上选取二次型qClifford代数Cl(V,q)定义为T(V)模去v^2+q(v)1=0v \in V。由于线性空间之间保持二次型的线性映射可唯一扩张为相应Clifford代数之间的同态,上述定义给出(V,q)到结合代数的Clifford函子。

以下假定\mathrm{char}(K) \neq 2。此时有等价刻画uw+wu=-2q(v,w)v,w \in V,其中2q(v,w)=q(v+w)-q(v)-q(w)极化恒等式

Clifford代数附带有(1)反射自同构\alpha:线性映射\alpha(v)=-v的扩张;(2)转置反自同构:x \mapsto x^tx_1 \otimes \cdots \otimes x_k \mapsto x_k \otimes \cdots \otimes x_1;(3)共轭反自同构:\bar{x}=\alpha(x^t)

下面是2个有深刻物理背景的性质:

(1)Clifford代数推广了外代数:后者对应q \equiv 0。更一般的,T(V)Cl(V,q)上诱导一个滤过代数结构,外代数\Lambda(V)作为其伴随分次代数同构于Cl(V,q)

Clifford代数是描述Fermi子的合适代数结构,就这个意义上来说它是外代数的“量子化”。Bose子由Weyl代数描述,它是对称代数的“量子化”。

(2)除滤过代数结构外,T(V)还在Cl(V,q)上诱导一个\mathbb{Z}_2分次代数结构。偶部分记为Cl^0(V,q)(它是一个Clifford子代数),奇部分记为Cl^1(V,q),它们分别对应\alpha的正负特征子空间。

Atiyah等人引入分次结构的初衷之一是观察到如下优美性质:设V=V_1 \oplus V_2是基于q的正交分解,q_i=q|_{V_i},则有同构Cl(V,q) \cong Cl(V_1,q_1) \widehat{\otimes} Cl(V_2,q_2)\widehat{\otimes}\mathbb{Z}_2分次张量积。基于Witten等人的工作,现在熟知这个分次结构对应超对称

接下来转向具体例子的考察。取n维Minkowski空间\mathbb{R}^{r,s},相应的Clifford代数记为Cl_{r,s}。记Cl_{n,0}=Cl_nCl_{0,n}=Cl_n^*,不难决定Cl_1=\mathbb{C}Cl_2=\mathbb{H}Cl_1^*=\mathbb{R}\oplus \mathbb{R}Cl_2^*=\mathbb{R}(2)(所有2\times 2实矩阵)。

为完全决定Cl_nCl_n^*,考虑Cl_n \otimes Cl_2^*\cong Cl_{n+2}^*Cl_n^* \otimes Cl_2 \cong Cl_{n+2}。由此推出Bott同构Cl_{n+8} \cong Cl_n \otimes Cl_8, Cl_{n+8}^* \cong Cl_n^* \otimes Cl_8^*

Bott同构最早是由E.Cartan发现的,它与正交群的Bott周期性紧密相关。

\mathbb{C}l_nCl_{r,s}的复化,q_\mathbb{C}(z)=\sum_1^n z_i^2,复Clifford代数可以简单地通过作张量积\otimes_\mathbb{R} \mathbb{C}得到。此时有Bott同构\mathbb{C}l_{n+2} \cong \mathbb{C}l_n \otimes \mathbb{C}l_2,对应酉群的Bott周期性。

下面是一张分类表,由分解Cl_{r,s} \cong (Cl_1)^r \widehat{\otimes} (Cl_1^*)^s不难确定所有Cl_{r,s}\mathbb{C}l_n

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