月旦 X

For November, 2016

第10期月旦包括了一些新尝试,个人戏称为“Bohemian rhapsody”——读下去就会明白我所指为何。

2018年的Chern奖开始接受提名1。个人认为综合各方面的情况,Yuri Manin会是一个很合适的人选。

Tate  The Arithmetic of Elliptic Curves
这篇综述写于40多年前,当然已经「落伍」了。不过对于算术几何新手来说,还是相当好的入门——补充了《Weil猜想漫谈》中未涉及或者涉及但没有展开讨论的某些论题。

p进Hodge理论则是Weil猜想的「进阶」,也是近几年很热门的领域(Peter Scholze, etc.)之一。感兴趣的读者可以从下面的notes中找到某些motivation:
Youcis  Weil-Deligne representations and p-adic Hodge theory: motivation

参模问题的研究是现代代数几何最热门的领域之一。在这里我们可以看到特别美妙的「大综合」:辛/复几何,标准的代数几何,同调代数,乃至于表示论和理论物理。下面是一篇关于Donaldson-Thomas不变量的新综述,讨论了Joyce和Kontsevich-Soibelman的工作,特别是表示论对象——Hall代数箭图表示 (quiver representation) ——在代数几何中的应用。
Bridgeland  Hall algebras and Donaldson-Thomas invariants

下面是我新近学到的一条定理,陈述简单,但非常有趣:
有限、交换、幂零、可解……这些性质将自动「传递」到所有子群上,统称为群的Markov性质。
(Adian-Rubin) 不存在算法可判定某个有限展示 (presentation) 是否具有某个特定的Markov性质。
Weinberger的Computers, Rigidity, and Moduli: The Large-Scale Fractal Geometry of Riemannian Moduli Space还从类似的角度讨论了几何群论和Riemann几何中的许多结果。这本有趣的小书在某种意义上体现了Gromov几何学派的真精神。
我很希望能有时间多学习一点数理逻辑、模型论、可计算性以及算法复杂度的理论。

我愿意顺带谈谈我自己长久以来的一个「幻想」。因为现阶段它仅仅代表了某些模糊的visions,我无法用精确的语言陈述它——那样它就会成为一个program——但我觉得不妨试着在这里elaborate it to a certain degree.
试着想象一下「所有数学命题」的范畴,「真的」和「假的」都包括在内,态射是命题间的逻辑推导关系。模去等价命题之后,我们得到一张无穷大的有向无环图(directed acyclic graph, DAG)。
直觉给出很多种「连通性」的定义(当然都是不严格的)。比如,我们可以说不存在「真分支」到假命题的「连通」(反之则不然),然而Gödel不完备性定理告诉我们,在「有限生成」的意义上我们无法二分地区分「真」和「假」,等等。
问题当然出在这张图太「大」了。现实一些,在认知科学和人工智能中,人们常用有向无环图(DAG)模型来处理知识表示的问题,区别仅仅在于用可观测的相关性取代了不可观测的因果性:引入概率将DAG做成一张Bayesian网络。通常来说,学习这个网络的结构是一个NP-困难问题(Chickering, 1996)。这似乎在暗示我们,「Leibniz之梦」(用所谓的characteristica universalis穷尽数学真理)不仅在理论上不可能,甚至在计算上也是不现实的,尤其是在P \neq NP的时候。
不过我有一个堪称persistent的vision:数学上时常出现的「曲径通幽」,即从意外的途径得到了某个命题的证明,这种情况事实上是不应该发生的。其原因,是「图」太大而人类的理智太小,因而我们总在局部迷失方向,无法高效地找到「连通路径」,或者错判了端点之间的「距离」。
将数学划分成子领域有时能帮助缓解这一问题:相当于将「图」分而治之。然而这种「算法」是很粗糙的。因此我提出以下问题:
(1)能否将已知的数学知识绘成一张(动态)DAG?如果直接以ZFC公理系统2作为根节点会使图显得太过巨大,我们也可以分层绘图:首先限制到子领域,并从子领域的基本结果出发绘图,再以领域作为节点绘图……然而领域间的联系(短路径)往往是最有趣的!当一个联系足够强的时候,我们应该考虑子领域图的「合并」。
(2) 这张图应该一视同仁地包括所有「确认为真」「确认为假」「未获证明」的节点。所谓证明,无非是一个寻根的过程,这只是探索「图」结构的一部分。许多「不严格的物理论证」,以及众多未确认的猜想,事实上也是对「图」结构的有益探索,我们不应该因为「无根」就抛弃这部分知识——将它们连通起来正是我们画图的目的!
(3) 「有趣的」数学知识构成一张特殊的(动态)图。对于这张特殊的图,我们应该不断更新其信息,并设计、更新探索图结构的高效「算法」,例如:
(3.1)「寻根」。在数学家看来,这可能是最重要的问题,但这绝不应该是唯一的问题。
(3.2) 建立「密度」概念并定义「中心节点」。
(3.3) 判定节点间的(单向)连通性。在连通的情况下寻找最短路径。这些工作应优先对「中心节点」进行。
(3.4) 通过最短距离进一步研究「图」的几何,即考虑其到Riemann流形的嵌入,从而形成「空间感」。
这些「算法」可以是概率的,乃至基于机械学习的,可以是分布式的,但必须是所有人可获取的。
绘制这张人类数学知识的图谱,是属于我的「Leibniz之梦」。

华裔「量子场论学家」徐一鸿3在微信公众号「赛先生」开设了新专栏,有兴趣的读者可以关注。

这个月读了李淼的《超弦史话》。写得比较乱,可能是因为对读者背景的设定有些高不成低不就,以致浅的地方不够直接了当,深的地方又根本没讲透 (Einstein曰:「Make everything as simple as possible, but not simpler.」)。不过也有个别有滋味的地方。

卢昌海兄的《引力波百年漫谈》终于更新到了第三章。熟悉卢兄的读者都知道,他更新专栏的速度一向不快,更有「写写停停」的毛病——例如最出名的《Riemann猜想漫谈》就曾中途停更了将近六年时间。
当然我也没有资格取笑卢兄就是了。下个月会重启(并完成)《Weil猜想漫谈》的连载,在此先谢过大家的宽容和耐心。

继Google和IBM之后,Microsoft也加大了对量子计算机的投入,包括从学术界挖走了4位顶尖学者。MS的量子计算机开发计划基于非交换任意子的拓扑学,算是一种相当非主流的途径。有数学背景的读者可能知道,1986年的Fields medal得主Michael Freedman在淡出纯数学界之后一直在MS进行这方面的研究。

「韩春雨事件」慢慢进入深水区,以我可怜的生物学知识,很难继续追踪各种技术细节了。因此我们点到为止:
11月28日,发表了韩春雨NgAgo实验论文的Nature Biotechnology发表了Toni Cathomen等人的通讯文章Failure to detect DNA-guided genome editing using Natronobacterium gregoryi Argonaute.
与此同时,Nature Biotechnology编辑部也决定担负起自己应尽的责任:让原作者对上述文章提出的担忧展开调查,并补充信息和证据来给原论文提供依据。调查预计在2017年1月底之前完成。届时,编辑部会向公众公布最新进展。


  1.  Nominations should be sent to the Prize Committee Chair:  Caroline Series, email: chair@chern18.mathunion.org by 31st December 2016. Further details and nomination guidelines for this and the other IMU prizes can be found at http://www.mathunion.org/general/prizes/ 
  2. 当然,我们不一定要选用集合论作基础。其他候选者包括范畴论或者最近很流行的同伦型理论。具体的选择应该以方便(3.1)中的「寻根」算法设计为准则。 
  3. 他本人认为这个头衔最为贴切。 

K理论,6维球面和可积性

众所周知,S^6上有一个不可积的殆复结构,来自虚八元数空间\Bbb R^7中的单位球面。在S^6上,是否存在可积的殆复结构(复结构)?几天前,87岁的Michael Atiyah宣布他解决了这个问题:答案是否定的。
Atiyah  The Non-Existent Complex 6-Sphere

除去历史介绍和穿插各处的评论,实际的证明过程只有1页。我的估计是:如果将这1页的内容展开,可以写成十多页的论文。但Atiyah仅仅轻描淡写地指出了关键,把细节留给了年轻人。我必须承认,我还未完全理解这些细节,特别是最关键的、殆复结构的奇偶性计算。
此刻我只能说,如果这个证明是对的,那么,此前没有——我想今后也不会有——数学家能在如此高龄之际解决一个如此知名的经典难题1

熟悉我的人都知道,20世纪后半叶的所有数学家中,我最欣赏和敬佩的就是Michael Atiyah. 很难用言语来形容我的感动。在死亡之前,一刻也不停息地思考真理。我也想成为这样的人。

让我们来谈一点数学吧。我们仅仅想补充一些历史背景,并对证明稍加评论,以期能帮助同样在试图理解这篇论文的「年轻人」。
Atiyah的全集已经出到了第7卷(2014年)。从第5卷(规范理论)开始,是他学术生涯的「后半场」。然而我们要谈的内容大致不超出第2卷(K理论)。

Noether学派工作的一个主题是所谓的「超复数理论」,即研究数系的推广。从复数到四元数,我们丢失了交换性。从四元数到八元数,我们又丢失了结合性。让人惊奇的是,50年代末到60年代初,Bott, Milnor, Kervaire, Adams等数学家发现这些现象本质上是拓扑的,并可以和Hopf纤维化、球面平行化,以及S^n上线性独立的向量场数量上界等经典问题联系起来。4年前我们在这个博客上讨论过这一系列进展,参见《球面平行化与可除代数》和《从Bott周期性谈起 Ⅳ》。
我个人称此类数学为「拓扑表示论」2:研究微分流形上的向量丛作为典型群的表示问题。示性类,从表示论的观点看,对应特征值的齐次函数,乃至齐次幂级数——这些都是经典的内容了。Hirzebruch的书里有最好的总结。特别的,Borel-Serre定理(容许殆复结构的球面仅有S^2S^6)可以归结为示性数的整性/奇偶性要求。
示性类仅仅是理解此类问题的一种观点。注意到向量丛在Whitney加法下仅形成一个半群,为充分利用和表示论的类比,Grothendieck引入了Grothendieck环的概念,从而发展出了所谓的K理论。与示性类相平行的,我们可以直接操作K群(Adams操作)。Atiyah用拓扑K理论处理了上面提及的系列经典问题,简化了利用上同调论和示性类的证明:参见全集第2卷中的文27和文42,后者是一篇经典的文章。
对指标定理的研究使Atiyah考虑了拓扑K理论与自旋表示的关系:研究嵌入于酉群、正交群、辛群的自旋群,或者更一般的,要求背景Lie群带有Cartan对合就可以了——这是所谓的KR理论,囊括了K理论和KO理论,参见全集第2卷中的文39和文43——这两篇文章也都是经典。

Grothendieck-Riemann-Roch定理考虑了代数簇之间的态射在K群层面上的作用。Atiyah-Singer曾考虑过发展一个类似的相对版本的指标定理,但最终的结果仅仅是得到了一个绝对版本的拓扑指标「再定义」:通过Thom同构和Chern特征,X上的椭圆算子唯一决定K(TX)中的某个元素。将紧流形X嵌入到某个欧氏空间Y=\Bbb R^N中,我们得到前推映射K(TX) \to K(TY)=\Bbb Z,拓扑指标即这个映射的像。
事实上,这正是指标定理的K理论证明的关键步骤。
这个思路当然可以推广到KO理论乃至KR理论。在自旋流形上,KR理论给出Dirac算子的模2指标。相比如此直接的K理论定义,这个指标的示性类定义并不明朗,以致这项工作被许多人忽略了。
我想引用前些日子我写给朋友的一封邮件:

It seems to me that not so many people are familiar with the K-theoretic definition of the topological indices, with the exception of some K-theorists (the majority of whom are working mainly on the algebraic side of the story these days, which is, in some sense, “more interesting”), to say nothing of the mod 2 index theory on spin manifolds. It is “the road not taken”, literally.

截至此处,都还是经典的内容——可以追溯到上个世纪60年代。之后就是Atiyah的「纵身一跃」,宣称:借助S^6上任意殆复结构定义的Dirac算子的模2指标都是1.
我还不能完成这个计算。

得知Atiyah预印本的当晚,我兴奋得彻夜难眠,以至于这两天生了一场小病。在身体稍微恢复后我会努力跨过这个障碍。也欢迎熟悉拓扑K理论的同学对我加以指点,或者和我讨论这个困难。

我希望这个证明是对的。此外,注意到指标定理的另一大类证明依赖于热核,将Dirac算子的形变视为殆复结构的形变的结果(是否能够做到?),由此定义适当的殆复结构的「流」(flow),并观察其性状(不仅仅是证明指标定理所需要的、「流」在无穷远处的强耦合极限),这似乎是有趣的。如果我们能用这种方式给出复结构的分析刻画,其意义将远超过S^6(Atiyah相当于只利用了指标的不变性)。 是否有几何分析学家在关注这个问题呢?


  1. 一个必要条件是先活到87岁! 
  2. 这不是一个标准的名词。另一方面,「几何表示论」是一个标准的名词。「拓扑表示论」和「几何表示论」的关系,有点像拓扑K理论和代数K理论的关系。 

月旦 IX

For October, 2016

2016年10月6日是Robert Langlands的80寿辰。为示庆祝,IAS举行了名为Beyond Endoscopy的学术会议。Langlands本人也准备了演讲。老爷子似乎不太满意当前研究几何Langlands纲领的主流方式(我称之为“from top to bottom”)。“from bottom to top”,他(重新)提出了相当「天真」的问题:从几何Langlands纲领的角度看,Atiyah对椭圆曲线上的GL(n)-向量丛的分类应该容许一个到一般可约群的推广。对于高亏格曲线,也到了重新严肃考虑分类问题的时候。
这是一个(有60年历史的)老问题,但始终是一个好问题。

从对偶的观点看,几何Langlands纲领可以理解为S对偶(4维超对称Yang-Mills理论中的Montonen-Oliver对偶),镜对称则是两类弦理论之间的T对偶。在讨论Weil猜想时我们提及过这样的图像:复几何和辛几何是同一棵树上(镜像对称)的不同分支,伪全纯曲线和Picard-Lefschetz理论生长在比Floer同调和Fukaya范畴更加靠近根部的地方。那么,同样“from bottom to top”,我们应该从这棵树的根部开始强调复几何和辛几何的统一性:据我所知,还没有人发展过这样的辛/复统一理论,即使是从与II型弦论类比的角度。
在我看来,这个理论已经有了不少可资利用的「原材料」。我认为一个极具潜力的大方向是探索「经典变换」的范畴化 (categorification):Fourier-Mukai变换无疑属于这颗树的根系(从Atiyah分类的角度看,它也属于几何Langlands纲领的根系)。另一个例子是Laplace变换:我们应该进一步弄清「拓扑递归」(topological recursion) 在整个谱系中的位置。此外,至少还有一个经典变换值得被范畴化,即Legendre变换——无论怎么看,这个变换都应该是理解辛几何的关键工具(例如,将这个变换和Morse理论-Lefschetz纤维化的平行性一同加以考察),但奇怪的是似乎从来没有人从范畴化的角度严肃考虑过它。

V.I.Arnold的遗著Mathematical Understanding of Nature很不幸地陷入了自我重复的泥潭。我一直认为Arnold-Bourbaki (以Serre为代表) 之争的意义被过分夸大了。在教学法之外的领域,Arnold的批判大多偏执而无理(相比之下,无礼就显得不那么重要了)。
苏联「三巨头」所创立的学派中,Kolmogorov-Arnold学派渐趋式微(除了Givental之外,几乎找不出其他有国际影响力的中生代),Gelfand学派和Shafarevich-Manin学派则日益光大,人才辈出——我认为这不是偶然。

2014年获得京都赏之后,Witten在日本的某次聚会上发表了题为Adventures in Physics and Mathematics的自传性演说,包含一些非常有趣的「八卦」,比如Sidney Coleman对他的影响。
Witten提到他会去听数学家讲课,比如在Harvard听Bott讲解Morse理论。另一个(没有提到的)例子是2004年在IAS举行的几何Langlands纲领workshop. 这两堂课都产生了积极的影响:Witten最为数学界称道的能力之一就是把经自己「反刍」过的理论反哺给数学家,为他们提供全新的视角和观点。
然而Witten听过的数学课可不止这些:他甚至听过Shimura的算术几何课!ICM 1986 (Berkeley) 将Fields奖颁给了Faltings,据说Witten在会后「扫荡」了Berkeley的书店,买走了所有可以买到的数论书。遗憾的是,Witten的工作并没有和数论发生显著的互相作用(除了模形式和zeta函数的部分),这些课或许是「白费」了。
但愿下一个Witten能够带领我们理解几何(物理)和数论的隐秘联系!在我看来,这或许是这个世界最深刻的秘密。

Nicholas Gisin有一本100P+的小书Quantum Chance:Nonlocality, Teleportation and Other Quantum Marvels. 据我所知,该书的中译本(周荣庭译)不久前刚刚面世。很纯粹的科普书籍,涉及的内容也异常简单:Bell不等式,以及最初步的量子信息论。推荐给对所谓的「第二次量子革命」/「量子信息革命」感兴趣的朋友。

盛名之下,其实难副:这是我看完Interstellar之后的感受。这当然是一部不错的电影,但似乎不值得如此狂热的追捧。个人更喜欢老片Contact(另一部和Kip Thorne有关的电影)。
也借这个机会读了The Science of Interstellar. Thorne似乎没有Hawking的科普天赋,不过大家都知道,他是一个更高明的赌徒(笑)。很遗憾,今年的诺贝尔物理学奖没有发给LIGO,不过今后几年Thorne还有许多机会。
B.T.W. Hawking会感到羡慕吗?
一个印象:诺奖委员会似乎一贯不太青睐宇宙学研究,尤其是和广义相对论相关的理论部分。从Einstein的年代开始,这几乎成了一个百年传统。

噢,诺奖。我差点忘记了恭喜Bob Dylan!
我希望明年的文学奖可以颁发给我的另一个偶像:Woody Allen.
噢,这只是一个(或许不那么好笑的)玩笑。

Weil猜想漫谈 IX:转铅笔

我们开始讨论著名的[Deligne, 1974]:
Deligne  La conjecture de Weil: I
这可以视为漫谈的分水岭。之前的章节所涉及的数学或多或少是经典的。从本章开始,我们将自由地引用各种现代的观点和结果。

标准猜想太难了。毕竟,即使限制到\Bbb C上,由于存在Hodge猜想这个巨大的阻碍,我们同样无法得到一般性的结果。Deligne的目标要现实得多:继续Grothendieck未竟的工作,将\Bbb C上已成熟的理论——即Lefschetz理论和Hodge理论——「移植」到一般域上。在Hodge理论方面,他的贡献是Hodge结构的一般理论1,以及混合Hodge结构的概念。另一方面,Lefschetz的所有拓扑结果几乎都源于对「铅笔」的研究,在证明强Lefschetz定理之前,似乎更应该将「铅笔」理论代数化:这是Deligne,Katz等人在SGA 7中处理的课题。

本章将处理复射影簇上的经典Picard-Lefschetz理论。请读者始终牢记:应该将这个理论视为Morse理论的全纯类比2

(A)
给定复代数流形X和全纯线丛L(等价的,除子类[D]\in Z^1_r(X)),以|L|L的截面空间的射影化P(H^0(X,L))|L|称为D的完整线性系统。1维子系统P^1 \subset |L|称为铅笔。
我们感兴趣的是射影簇X^d \subset P^NL是某丰富线丛(等价的,超平面除子类[W])。此时P^1 \subset (P^N)^{*}t\in P^1对应某个有理等价于W的有效除子X_t=H_t \cap X(作为L的某个截面的零点集),H_t=\alpha H_0+\beta H_\inftyt=\alpha/\beta.
假定以下「一般性」(generic) 条件成立:铅笔的轴A=\bigcap H_tX横截相交,或者等价的,铅笔的底零点集 (base locus)B=\bigcap X_t=A \cap XX中余维数2的光滑子簇。此时沿着B爆破射影簇X,我们得到双有理等价于X\tilde{X},容许纤维化\phi: \tilde{X} \to P^1\phi^{-1}(t)=X_tt \in P^1.
P^1 \subset |L|为Lefschetz铅笔,如果几乎所有X_t都是光滑的,奇异的X_t仅包含一个普通双重点作为奇点。对应的纤维化\phi称为Lefschetz纤维化:这就是我们要寻找的「全纯Morse函数」,是「一般性」的纤维化。

(B)
假定Lefschetz纤维化\phi有临界值集S=\{s_1,\cdots,s_M\}\infty \notin S. 在每个临界点附近使用全纯Morse引理将奇点标准化,不难证明:
t \in U=P^1/S\tilde{X}-X_\infty同伦等价于X_t粘贴上MB^d,粘贴的边界S^{d-1}称为消没球面,其在H^{d-1}(X_t,\Bbb Z)中的上同调类称为消没闭链。
过渡到上同调,嵌入j:X_t \to \tilde{X}-X_\infty诱导的同态j^{*}:H^i(\tilde{X}-X_\infty,\Bbb Z) \to H^i(X_t,\Bbb Z)i \leq d-2时是同构,在i=d-1时是单同态,余核由消没闭链生成。

(C)
让我们考虑这种情况下的单值群表示问题。可以从3个不同的角度理解这个对象3
(1) 拓扑:局部系统,即U上的局部常数束\mathcal{E}
(2) 表示论:\pi_1(U,t)-模\mathcal{E}_tt\in U
(3) 微分几何:装备有平坦联络的向量丛E
观点(2)和(3)的等价即著名的Riemann-Hilbert对应
例如,给定Lefschetz纤维化\phi高阶直接象R^i\phi_{*}\Bbb Q在局部是\Bbb Q-向量空间的常数束,\mathcal{E}_t=(R^i\phi_{*}\Bbb Q)_t=H^i(X_t,\Bbb Q)\pi_1(U,t)仅在H^{d-1}(X_t,\Bbb Q)上有非平凡的表示。取\alpha \in H^{d-1}(X_t,\Bbb Q),这个单值群表示可以写成:
(Picard-Lefschetz公式) T_k(\alpha)=\alpha + \epsilon_d (\alpha,\beta_k)\beta_k,生成元T_k \in \pi_1(U,t)对应临界点s_k \in S\beta_ks_k对应的消没闭链,\epsilon_d=\pm 1取决于d.
由此可以证明非常重要的:
(不可约定理) \pi_1(U,t)在消没闭链生成的子空间上的表示作用是不可约的。
d-1为奇数时,相交形式(\cdot,\cdot)是斜对称形式。由Picard-Lefschetz公式,\pi_1(U,t)的作用保持相交形式不变,因而是辛表示。
(Kazhdan-Margulis) \pi_1(U,t)的象在辛群Sp(H^{d-1}(X_t,\Bbb Q))中Zariski-稠密4
上述两条定理对单值群表示施加了很强的限制。

(D)
最后,Lefschetz纤维化\phi: \tilde{X} \to P^1允许我们用Leray谱序列计算H^i(\tilde{X},\Bbb Q)5:此时谱序列在E_2^{p,q}=H^p(P^1,R^q\phi_{*}\Bbb Q)处退化,且当q>2时,E_2^{p,q}=0,因而只需考虑H^2(P^1,R^{i-2}\phi_{*}\Bbb Q)H^1(P^1,R^{i-1}\phi_{*}\Bbb Q)H^0(P^1,R^i\phi_{*}\Bbb Q)这三项就可以了。

接下来,我们将回过头,对束上同调论作一个「反刍」,再考虑Deligne, etc.对Picard-Lefschetz理论的代数化。


  1. 我们仅提及最初的一步:Hodge滤过似乎是比Hodge分解更「基本」的概念。前者不但在Griffiths的形变理论中表现得更好,也和谱序列的语言(具体地说,Frölicher谱序列)结合得更好,从而允许到一般域的推广。这是代数Hodge理论的起点。 
  2. Donaldson提出可以在辛几何中考虑Picard-Lefschetz理论的类比,这个思路允许Paul Seidel具体计算许多Fukaya范畴的例子——在某种程度上,这不并让人意外,因为Floer同调本就应该理解为圈空间上的Morse同调。我喜欢用这样的图景来叙述:复几何和辛几何是同一棵树上(镜像对称)的不同分支,伪全纯曲线和Picard-Lefschetz理论生长在比Floer同调和Fukaya范畴更加靠近根部的地方。 
  3. 当前,这是一个炙手可热的领域。关键词包括但不限于:几何Langlands纲领,Higgs丛,Hitchin纤维化,基本引理,等等。跟Weil猜想联系更紧密的是特征p的情况,即Drinfeld和L.Lafforgue的工作。 
  4. 在单值/Galois表示中,这是一个常见现象:几何起源的单值群/Galois群通常会有「最大可能」(as large as possible) 的表示。 
  5. 事实上,这是Leray发明谱序列的初衷。 

Weil猜想漫谈:幕间 VIII

d维光滑射影簇X上,Frobenius元素\pi自然作用于l-进上同调群H^i(\bar{X}_{et},\Bbb Q_l). 我们希望证明
W(X)\pi的所有特征值均为代数数,且有模q^{i/2}.
注意到这完全刻画了Z_X(T)的根,因而特征多项式P_i(T)\in \Bbb Q[T]l的选取无关。为简单起见,暂且将H^i(\bar{X}_{et},\Bbb Q_l)记成H^i(X).

在进入对Deligne I的讨论前,让我们「轻松」一下:假想现在是60年代而我们是(尚未提出标准猜想的)Grothendieck,让我们试着来证明W(X).

最自然的思路当然是对d作归纳。弱Lefschetz定理(「公理」7)立即派上了用场:与Poincaré对偶(「公理」4)相结合,并应用归纳假设,W(X)被简化为
W(X)^d\piH^d(X)上作用的所有特征值均为代数数,且有模q^{d/2}.

另一方面,假定W(X)W(Y)成立,由Künneth公式(「公理」5),Z_{X \times Y}(T)Z_{X}(T)Z_{Y}(T)的Rankin-Selberg张量积:记A(T)=\prod_i(1-a_i T)\prod_I(1-a_I T)^{-1}B(T)=\prod_j(1-b_j T)\prod_J(1-b_J T)^{-1},称C(T)=\prod_k(1-c_k T)\prod_K(1-c_K T)^{-1}A(T)B(T)的Rankin-Selberg张量积,若\{c_k\}=\{a_ib_j\}\{c_K\}=\{a_Ib_J\}.
于是W(X \times Y)成立。一个良好的开始!
我们提醒读者,我们曾在《漫谈 III:第二主题》考虑过Hecke L-函数的Rankin-Selberg张量积,并用Landau定理给出了|a_i|的上界,我们眼下的任务则是归纳估计|c_k||c_K|的模——两个主题之间有非常明显的平行性。这一平行性将最终允许我们证明Ramanujan-Petersson猜想。

基于这个简单的推理,Grothendieck曾做过非常「天真」的猜想(立即被Serre证否了1):任何射影簇都双有理等价于曲线乘积的商。问题在于,Künneth公式要求一个整体乘积结构,这个限制太强了。局部乘积结构要常见得多——大家都很熟悉拓扑中的纤维丛理论。Deligne选择的约化方式是:任何射影簇X都双有理等价于某个\tilde{X},使得存在Lefschetz纤维化\phi:\tilde{X} \to P^1. 在复代数几何中,这个纤维化可以经由名为「Lefschetz铅笔」的构造得到,由此发展出了所谓的Picard-Lefschetz理论。

那么,让我们先来考虑Picard-Lefschetz理论及其代数化。对每根纤维应用归纳假设,让我们看看,这将把我们带向何方。


  1. 详见Grothendieck-Serre Correspondence

Weil猜想漫谈 VII:插曲

本章是漫谈的「插曲」——提及的所有结果都和Weil猜想的证明(或者更严格地说,Deligne I 中给出的证明)没有直接关联。然而如果我们把视野放宽,那么,在Weil猜想得到证明后,继续研究与代数闭链相关的种种猜想已成为现代代数几何理论的主旋律之一。

首先引入我们要讨论的对象:给定d维光滑射影簇X代数闭链指的是形如\sum n_iX_i的形式和,X_i \subset X是代数子簇1n_i \in \Bbb Z. 我们可以考虑代数闭链所组成的环Z(X),按余维数引入的分次结构\displaystyle Z(X)=\oplus_{i=1}^{d} Z^i(X)与相交积相容。视情况,我们也会考虑按维数引入的分次结构\displaystyle Z(X)=\oplus_{i=0}^{d-1} Z_i(X).
熟知在Z^i(X)上可以引入有理等价、代数等价、同调等价和数值等价这4种经典的等价关系,相应的等价类与\Bbb Q作张量积后记为A^i_r(X)A^i_a(X)A^i_h(X)A^i_n(X). 在之前的讨论中,我们已经见过A^i_r(X)(整系数的有理等价类Z^i_r(X)=CH^i(X)通常称为Chow环2)和A^i_h(X).

在代数几何所感兴趣的等价关系中,有理等价是最精细的一种。Z^1(X)(Weil除子)模去有理等价(线性等价)关系给出我们熟悉的除子类群/Picard群。更一般地,Chern特征给出Grothendieck同构\displaystyle \otimes_i A^i_r(X)=K_0(X) \otimes \Bbb Q,这将Chow环与代数K-理论联系起来。
Z^1(X)模去代数等价关系给出(有限生成的)Néron–Severi群,这也是经典的内容。特别地,代数等价严格弱于有理等价:在代数闭域上,\sum n_ix_i \in Z_0(X)代数等价于0当且仅当\sum n_i=0
另一方面,在Z^1(X)上,代数等价、同调等价和数值等价是重合的 (Matsusaka),这个结论给人以强烈的暗示:「经典等价关系」是否在本质上只有2类呢?Griffiths找出了反例:\Bbb C P^4中的一般五次曲面,此时同调等价严格弱于代数等价。因此也就有了Griffiths群的概念:它衡量同调等价和代数等价的差距。
最后,我们依然不知道同调等价和数值等价是否总是重合。假定Lefschetz型标准猜想,不难推出对于任意给定的Weil上同调论,同调等价都和数值等价重合(有时称为标准猜想D),进而推出同调等价关系和所采用的同调论无关3!在Grothendieck的设想中,这将是构造「万有上同调论」的关键步骤,可惜现在还没有人知道该如何迈出这一步4

以下我们还将陈述几个代数几何 / 算术几何中的重要猜想。基本的精神是:代数闭链的特定等价类可以用Hodge结构来描述。

首先是标准猜想。简单地说,3个Lefschetz型标准猜想可以叙述为:给定任意一种Weil上同调论,光滑射影簇上的代数闭链的同调等价类都应该表现得和在复射影簇上一样。尴尬的是,我们甚至无法完全描述复射影簇的情形。
(Hodge猜想) 在光滑复射影簇X上,闭链映射\mathrm{cl}_X给出A_h^i(X)H^{2i}(X,\Bbb Q) \cap H^{i,i}(X)的同构。
这推广了i=1的情况,即Lefschetz (1,1)-类定理5
作为七大千禧难题之一,Hodge猜想的官方叙述由Deligne给出。2000年之后的一个进展是Voisin证否了Hodge猜想在紧Kähler流形上的类比,这表明紧Kähler流形与代数流形的差别要比此前认识到的还要微妙。
完全类似的,考虑k上的光滑射影簇Xk为代数数域或有限域。选取在k中可逆的素数ll-进上同调群H^{2i}(X_{et},\Bbb Q_l)在绝对Galois群\mathrm{Gal}(\bar{k}/k)作用下的不变向量构成子空间H^{2i}_G(X_{et},\Bbb Q_l)。我们有:
(Tate猜想) 闭链映射\mathrm{cl}_X给出A_h^i(X) \otimes \Bbb Q_lH^{2i}_G(X_{et},\Bbb Q_l)的同构。
显然,Hodge猜想/Tate猜想比Lefschetz型标准猜想更强(或者说更精确)。此外已知的结论大致如下:\Bbb C上的Lefschetz型标准猜想可以反过来推出Abel簇上的Hodge猜想,从而推出Abel簇上的Hodge型标准猜想。有限域上的Tate猜想(加上作为推论的猜想D)可以推出有限域上的Hodge型标准猜想。
猜想是数学中最迷人的部分。对算术几何感兴趣的读者不妨从阅读下面这本书开始:
Hulsbergen Conjectures in Arithmetic Geometry

另一本想推荐的书是Bloch, Lectures on Algebraic Cycles. 这是后续许多发展的源头(在Voison, Vol.2中详细介绍了和复几何相关的部分)。本章引入的概念太少,我们只能努力尝鼎于一脔,考虑经典的Abel-Jacobi定理的一种推广(却期望——但愿不是奢望——读者能够食髓知味,瞥见Chow环与Hodge结构的微妙关系!)
上面我们提及过,在复代数簇X上,Z_0^a(X) \cong \Bbb Z. Chow环CH_0(X)通常要大得多:在复曲线C上,Abel-Jacobi定理断言曲线的Jacobi簇CH_0(X)/Z_0^a(C)(点链的有理等价类,要求度数为0)同构于Albanese簇Alb(C)=\Gamma(C,\Omega^1)^{*}/H_1(C,\Bbb Z). 一般的,在复代数簇X上,我们有Albanese映射\alpha: CH_0(X) \to Alb(X)Rojtman定理指出Albanese映射限制到双方的有限子群上是同构。但这一同构通常无法提升到单位元所在的连通分支上:
(Mumford) 考虑复代数曲面S,若S几何亏格h^{2,0}=\dim H^0(S,\Omega^2) \neq 0,则\ker(\alpha) \subset CH_0(S)在「无法用有限对象表出」的意义上是「大」的。
(Bloch猜想) 若复代数曲面S满足h^{2,0}=0,则Albanese映射\alpha可以提升为单位元所在的连通分支的群同构。
Bloch猜想允许一个深远的推广,即所谓的Bloch-Beilinson猜想:在A^i_r(X)上存在一个滤过结构,其伴随分次代数的消没情况为X的上同调群所控制。更一般的,给定对应\Gamma \subset X \times Y,伴随分次代数间的态射消没情况为Hodge结构间的态射情况所控制。这可以视为高维的Abel-Jacobi定理。和Hodge猜想类似,当前我们处于相当尴尬的境地:甚至连Bloch猜想这样「简单」的特例也仍未得到证明!
Jansen  Motivic Sheaves and Filtrations on Chow Groups

最后,我们想顺带提及,在非光滑的情形,上述所有猜想都可以用混合Hodge结构,Fulton-MacPherson相交同调论,反常束和D模理论等工具重构。这已超出了漫谈的范围。Maybe elsewhere? (Well, no promise!)
下一章我们会回到Weil猜想,开始讨论Deligne I中给出的证明。


  1. 我们假定这些子簇都是光滑的:在特征0的情况,可以直接「粗暴地」使用Hironaka奇点消解定理。 
  2. 几何学中有3个最重要的概念以华人命名:Chern类,Chow环和Calabi-Yau流形。 
  3. 有一个绕过Weil上同调论,纯粹用闭链陈述的方法,即考虑Voevodsky定义的粉碎-幂零等价 (smash-nilpotence equivalence) 。这是一种强于同调等价的等价关系,然而我们猜想它依然和数值等价重合。 
  4. 同样是Voevodsky找到了绕开这一点的方法。尽管没有完全遵循Grothendieck设想的方案,但他构造的母题上同调论已足以用于证明Milnor猜想乃至更一般的Bloch-Kato猜想(现在称为范数剩余同构定理)。 
  5. i \geq 2时,无法保证Z_h^i(X)同构于H^{2i}(X,\Bbb Z) \cap H^{i,i}(X):Atiyah-Hirzebruch给出了反例。 

Weil猜想漫谈 VI:Grothendieck之梦

绝对Galois群\mathrm{Gal}(\bar{\Bbb F}_q/\Bbb F_q)l-进上同调群H^i(\bar{X}_{et},\Bbb Q_l)上有自然的表示。
(W3)作为生成元,Frobenius元素\pi的所有特征值(作为代数数)有模q^{i/2}.
对(W3)的研究将人们导向现代代数几何某些最深入的猜想。概言之:一方面我们有代数闭链这个「几何」对象,另一方面我们有Hodge结构这个「分析」对象。我们相信这两个对象在某种意义上互相决定。困难在于,在这个方向上稍加前行,我们就会遇到Hodge猜想/Tate猜想。前者作为千禧七大难题之一,目前还看不到任何解决的希望。

在较初等的层面上,Hodge理论的“unreasonable effectiveness”已显露无遗:对于复代数簇,我们可以用它重新诠释大部分Lefschetz的拓扑理论。我们请不熟悉Hodge理论的读者在继续阅读之前,参考《Hodge理论》以了解一些最基本的事实,并阅读《Pauli矩阵,表示论与Kähler恒等式》一文,它给出了强Lefschetz定理(「公理」(8))的分析证明,并叙述了de Rham上同调群的Lefschetz分解——这对于理解标准猜想是必须的。或者,读者可以直接参考目下介绍Hodge理论的最佳书籍:
Voison Hodge Theory and Complex Algebraic Geometry, Ⅰ & II

就Weil猜想而言,Serre发现Weil对(A3)的「正性证明」容许一个复曲线类比。特别的,这个类比可以用Hodge理论阐明:考虑复射影曲线C\displaystyle (\omega_1,\omega_2)=\frac{1}{2\pi\sqrt{-1}}\int_C \omega_1 \wedge \bar{\omega}_2在全纯1-形式的空间H^{1,0}(C)上定义了一个正定Hermitian形式。若\pi:C \to C是一个q度自同构,则(\pi^{*}\omega_1,\pi^{*}\omega_2)=q(\omega_1,\omega_2),因而q^{-1/2}\pi^{*}H^{1,0}(C)上的酉算子,其特征值均模1。利用Hodge对偶将\pi^{*}扩张到H^1(C,\Bbb Q)上,易见其所有特征值均模q^{1/2}.
这提供了证明(W3)的一个思路:首先用Hodge理论证明(W3)在高维复射影簇上的类比(由Serre完成),再考虑如何将这个证明「移植」到特征p的情形。由于此时无法直接应用分析手段,我们必须反过来用Lefschetz的拓扑理论重新陈述Hodge理论的结论。我们将要点总结如下:
(1) 在Kähler流形上,Poincaré对偶可以细化为Hodge分解+Serre对偶。这个组合必须用Lefschetz分解来替代。这是Grothendieck将强Lefschetz定理列入Weil上同调论「公理」的原因。
(2) Lefschetz类\omega/算子L的不同选择对应Hodge结构的不同极化(polarization)。这个选择当然不是任意的:\omega作为闭链映射的象,必然有同调类(1,1). 另一方面,Lefschetz (1,1)-类定理保证这是唯一的限制:闭链映射映满有理(1,1)-类1。在没有Hodge分解时,我们只能定义(1,1)-类A^1_h(X)\mathrm{cl}_X:A^1_r(X) \to H^{2}(X)的象。一个「良定义」显然要求我们首先证明一个类似(1,1)类-定理的Lefschetz型定理2
(3) 在特征p的情形,由于任何Weil上同调论都不可能有实系数(参见上一章开头Serre的例子),我们无法定义Hermitian形式和酉算子。这是最次要的一点,很容易弥补用所谓的Weil形式来弥补。

上述讨论,尤其是(2),将我们引向著名的标准猜想。它属于Grothendieck和Bombieri(独立地)。
Grothendieck Standard Conjectures on Algebraic Cycles
首先,在Lefschetz理论的一侧,我们有3个Lefschetz型标准猜想:
(猜想A) 同构L^{d-2i}:H^{2i}(X)\to H^{2d-2i}(X)诱导同构L^i:A^i_h(X)\to A^{d-i}_h(X)
形式上,我们可以定义L的共轭算子L^{*}. 与猜想A等价的,我们有
(猜想B) 作为(d-1,d-1)-类,L^{*}对应某个余维数为d-1的代数闭链,即落在\mathrm{cl}_X:A^{d-1}_h(X) \to H^{d-1}(X)的象中;
猜想A和猜想B的任一者均可推出较弱的
(猜想C) Künneth同构H^{*}(X \times X) \to H^{*}(X) \times H^{*}(X)诱导同构A^{*}_h(X \times X) \to A^{*}_h(X) \times A^{*}_h(X)
另一方面,作为Hodge指标定理的推广,在Hodge理论的一侧,我们有Hodge型标准猜想2\forall i\leq d,对称二次型A^i_h(X)_{pr} \times A^i_h(X)_{pr} \to \Bbb Qx,y \mapsto (-1)^i x \cdot y \cdot u^{d-2i}为正定型,此处A^i_h(X)_{pr}=\ker(L^{*})\cap A^i_h(X)为Lefschetz分解中的本原(primitive)部分。
d=2的情况即Weil对(A3)的「正性证明」。这基本上是唯一已知的情况!

Grothendieck原本希望通过证明强Lefschetz定理和标准猜想来证明Weil猜想。在他看来,除了(一般基域上的)奇点消解,标准猜想是整个代数几何中最为重要的问题。Deligne对Weil猜想的证明避开了标准猜想,而强Lefschetz定理则反过来成为这个证明的一个推论。这让Grothendieck感到失望。
40多年过去了,标准猜想仍是「臭名昭著」的开问题:即使将最弱的猜想C限制在特征0的情况下,也只有部分的结果。一个截至90年代的总结是
Kleiman the Standard Conjectures,in Motives
20多年来,对「Grothendieck之梦」的探索确实有所进展(但没有本质的突破)。MathOverflow上有一份更加简短的、截至2015年的总结可供参考。


  1. 作为丰富除子(ample divisor)W的象,\omega必须在(1,1)-类的整格点中选取:这是Kodaira嵌入定理的要求。 
  2. 注意,这并非Hodge猜想。