试译死亡赋格

Paul Celan的Todesfuge有很多译本,其中有不少像我一样,也是为了练习德语。
水平所限,请多指教。

死亡赋格 

清早的黑色牛奶我们喝它在晚上
我们喝它在中午在上午我们喝它在夜里
我们喝啊喝啊
我们在空中挖个坟墓那儿躺着不挤
有个人住在屋子里这人和群蛇游戏这人写下
这人写下当德意志的天色暗了你的黄金色头发玛格丽特
他写下这些且走出屋子且众星闪烁他唿哨唤来他的狗群
他唿哨唤上他的犹太人让在地里挖个坟墓
他命令我们即刻演奏而随之起舞

清早的黑色牛奶我们喝你在晚上
我们喝你在上午在中午我们喝你在夜里
我们喝啊喝啊
有个人住在屋子里这人和群蛇游戏这人写下
这人写下当德意志的天色暗了你的黄金色头发玛格丽特
你的灰烬色头发苏剌米忒我们在空中挖个坟墓那儿躺着不挤

他高喊在土里挖得更深些你们这群你们剩下的歌唱啊演奏啊
他抓起腰带上的铁块他挥舞他的双眼是蓝色的
铲子挖得更深些你们这群你们剩下的继续演奏而随之起舞

清早的黑色牛奶我们喝你在夜里
我们喝你在中午在早上我们喝你在晚上
我们喝啊喝啊
有个人住在屋子里你的黄金色头发玛格丽特
你的灰烬色头发苏剌米忒他和群蛇游戏
他高喊把死亡奏得更甜美些死亡是来自德意志的大师
他高喊把小提琴拉得更阴暗些那样你们会升腾空中如同烟气
那样你们会在云里有个坟墓那儿躺着不挤

清早的黑色牛奶我们喝你在夜里
我们喝你在中午死亡是来自德意志的大师
我们喝你在晚上在上午我们喝啊喝啊
死亡是来自德意志的大师他的独眼是蓝色的
他用铅弹射你他准确地射中你
有个人住在房子里你的黄金色头发玛格丽特
他放他的狗群扑倒我们他赠我们空中的坟墓
他和群蛇游戏且做梦死亡是来自德意志的大师

你的黄金色头发玛格丽特
你的灰烬色头发苏剌米忒

Schwarze Milch der Frühe wir trinken sie abends
wir trinken sie mittags und morgens wir trinken sie nachts
wir trinken und trinken
wir schaufeln ein Grab in den Lüften da liegt man nicht eng
Ein Mann wohnt im Haus der spielt mit den Schlangen der schreibt
der schreibt wenn es dunkelt nach Deutschland dein goldenes Haar Margarete
er schreibt es und tritt vor das Haus und es blitzen die Sterne er pfeift seine Rüden herbei
er pfeift seine Juden hervor läßt schaufeln ein Grab in der Erde
er befiehlt uns spielt auf nun zum Tanz

Schwarze Milch der Frühe wir trinken dich nachts
wir trinken dich morgens und mittags wir trinken dich abends
wir trinken und trinken
Ein Mann wohnt im Haus der spielt mit den Schlangen der schreibt
der schreibt wenn es dunkelt nach Deutschland dein goldenes Haar Margarete
Dein aschenes Haar Sulamith wir schaufeln ein Grab in den Lüften da liegt man nicht eng

Er ruft stecht tiefer ins Erdreich ihr einen ihr andern singet und spielt
er greift nach dem Eisen im Gurt er schwingts seine Augen sind blau
stecht tiefer die Spaten ihr einen ihr andern spielt weiter zum Tanz auf

Schwarze Milch der Frühe wir trinken dich nachts
wir trinken dich mittags und morgens wir trinken dich abends
wir trinken und trinken
ein Mann wohnt im Haus dein goldenes Haar Margarete
dein aschenes Haar Sulamith er spielt mit den Schlangen
Er ruft spielt süßer den Tod der Tod ist ein Meister aus Deutschland
er ruft streicht dunkler die Geigen dann steigt ihr als Rauch in die Luft
dann habt ihr ein Grab in den Wolken da liegt man nicht eng

Schwarze Milch der Frühe wir trinken dich nachts
wir trinken dich mittags der Tod ist ein Meister aus Deutschland
wir trinken dich abends und morgens wir trinken und trinken
der Tod ist ein Meister aus Deutschland sein Auge ist blau
er trifft dich mit bleierner Kugel er trifft dich genau
ein Mann wohnt im Haus dein goldenes Haar Margarete
er hetzt seine Rüden auf uns er schenkt uns ein Grab in der Luft
er spielt mit den Schlangen und träumet der Tod ist ein Meister aus Deutschland

dein goldenes Haar Margarete
dein aschenes Haar Sulamith

我秉持的原则是宁繁毋简,宁拙毋巧。
理由之一是汉语以音节少著称,德语则音节繁多。赋格反复移调的特性使得全诗的韵律不断错位、碰撞。汉语当然难以完全复现德语的语感。我希望通过填入更多的字使诗行显得致密,并尽量收紧各个分句的韵脚以增加碰撞的机会(但并不刻意追求「押韵的二人转」调调)。
有时故意采用笨重的直译,是相信策兰有深意存焉。比如”er schreibt es und tritt vor das Haus und es blitzen die Sterne”,两个”und”都严格对译出来——真正起作用的是第二个”und”,强调了主语的变换以突出「众星闪烁」这一插入的背景。
又比如”zum Tanz”,用了五个字,「而随之起舞」。”spielt zum Tanz”,囫囵吞枣地读,容易误解。细究过渡段,被强迫伴唱、伴奏的是犹太人,起舞者则是”er”,纳粹军官,不宜混为一谈。第二次移调,「和群蛇游戏」这个片断回归到原初的位置,spielt的宾语终于出现——”die Geigen”(小提琴)——埋藏的戏剧张力在这个场景中一并爆发出来:和群蛇游戏。在小提琴声中如蛇般狂乱舞动。在狂乱中喊出全篇最高亢的诗句: “der Tod ist ein Meister aus Deutschland.””Meister”是双关语:直接的理解显然是「主人」(对应「奴隶」),但「大师」有更为幽远的涵义。下面是一位好友的批评意见:

I would rather interpret the “Meister” here as 「大师」, since it’s stronger and reveals its ironic nature: Deutschland, the wonderland of glories featured by great people mastering in litteratures, music, etc., is now coming up with a new one—der Meister der Vernichtung.”Der Mann im Haus” could also be regarded as an embodiment of this absurdity—a man who loves arts and loves his beloved “goldenes Haar Margarete”, yet at the same time perversely enjoys tasting die Süße des Todes.

另一个「图穷匕见」的例子是”dem Eisen im Gurt”(腰带上的铁)。直到第三次移调,策兰才点出”bleierner Kugel”(铅弹),暗示读者这块铁是枪。不好太早说破,也不该随意引申。
翻译时特地突出了单复数,如「群蛇」「众星」「狗群」「双眼」。第三次移调,主语从纳粹军官变成了「死亡」这个怪物,”Augen”变成了”Auge”,于是我强调了「独眼」。
三次移调,前后照应而又微妙变化,这是全诗的精髓所在。
金发的Margarete是日耳曼女郎,多半是纳粹军官的情人。Sulamith则是暗示希伯来血缘的名字,用有点古怪的「苏剌米忒」来译,意在加强和「玛格丽特」的对比。”aschenes Haar”不是单纯的灰发,而是呈灰黑色、像灰烬一样的头发。黄金和灰烬,贵贱有别,这一对位关系构成了整首赋格的高潮和尾声。恰巧在汉语中,「黄」「灰」双声,「金」「烬」叠韵,又是另一种奇特的对偶 / 对位关系。

celan002

Paul Celan (1920-1970)

What is … Bitcoin?

标题自然是模仿AMS著名的”What is …”系列。

对极客来说,比特币 (Bitcoin) 已经不是什么新鲜事物了。可惜我不是他们中的一员,难免有些后知后觉。
对我来说,最值得关注的当然是这种加密货币 (Cryptocurrency) 的数学原理,其次是其作为一种经济学理论的实践1,再次是其作为左派构想的金融乌托邦的基础,最后才是其投资价值。
任何一个下载过比特币核心模块的人都能直观地感受到比特币社区经历的指数性成长——时间越近,交易记录积累的速度越快。在开始写这篇文章的时候,已运行了一昼夜的核心模块正在更新1年零32个月前的交易记录。
我给自己设定的目标是:在这些交易记录下载完成前,写好这篇文章。

Cryptographic Hash Function
什么是数字货币?一段信息。简单地,可以将哈希函数(hash function)理解成信息的数字化。一个哈希函数H被称为是加密 (Cryptographic)的,如果(在实践中)不可能仅通过其哈希值重建输入信息。一般认为其至少要满足以下4个要求:

  • 给定输入信息m,计算其哈希值h=H(m)是容易的;
  • 原像抗性:给定某哈希值h,找到某个m使得h=H(m)是不现实的(infeasible);
  • 第二类原像抗性:给定输入信息m_1,找到某个m_2使得H(m_1)=H(m_2)是不现实的;
  • 碰撞抗性:找到m_1m_2,使得H(m_1)=H(m_2)是不现实的——这比第二类原像抗性更强;

90年代以来,对加密哈希函数的要求不断提高。一度被广泛采用的MD5SHA-1均被证明不满足碰撞抗性2SHA-2SHA-3是目前较为安全的选择。

Digital Signature Algorithm
我们需要一种防伪措施防止哈希函数在传输中被篡改。常用的方法是所谓的数字签名算法(DSA, Digital Signature Algorithm)3.
我们曾经提及计算数论中著名的离散对数问题:给定有限交换群Gq阶元素g,以G_0g生成的循环子群,我们可以定义离散指数函数\exp_g: \Bbb Z/q \to G_0和离散对数函数\log_g: G_0 \to \Bbb Z/q。离散指数易于计算,计算离散对数则远为困难,DSA算法正是建立在这种难度差上:
(1) 取G=(\Bbb Z/p\Bbb Z)^{*}p为某大素数(通常要求至少有1024位),qp-1的素因子,g\in G为某q阶元素。(G,q,g)可以对所有用户公开。
(2) 取x \in \Bbb Z/q,令y=g^x,我们称这样的(x,y)为一对钥匙。y=\exp_g(x)容易计算的,可以公开,x=\log_g(y)留作用户个人的私钥,不破解x就难以伪造数字签名。
(3) 对每段信息m及其哈希值H(m)\in \Bbb Z/q,随机4生成一对钥匙(r_m,s_m). 令t_m=r_m^{-1}(H(m)+xs_m),若(s_m,t_m) \neq (0,0),即可取为m的公开数字签名。
哈希值h为未经篡改的原始哈希值H(m)的必要条件是其数字签名满足等式\displaystyle s_m=g^{ht_m^{-1}}y^{s_mt_m^{-1}}. (注意,此过程无需知道私钥x
将(1)中的有限交换群G取为某有限域上的椭圆曲线的加法群,即得到椭圆曲线数字签名算法(ECDSA, Elliptic Curve Digital Signature Algorithm). 相比DSA,其优点是公钥y(此时为椭圆曲线上的某个点)通常占用较小的比特值,便于计算。

“Let Nakamoto be!”5
点对点的数字货币交易通常是如何进行的呢?我们用下面这张流程图来说明:
Screen Shot 2015-10-20 at 10.55.32 AM
假定帐号C_1要转一笔钱给帐号C_2C_1合法获得这笔钱的信息记录在交易单T_1中。交易时,C_1须将C_2的公钥y_2(也即C_2的公开帐号)添加到交易单T_1的尾部,用自己的私钥x_1H(T_1|y_2)进行数字签名,构成新的交易单T_2=\{T_1|y_2|(s_1,t_1)\}。为确认交易由C_1发起而非他人伪造,只须用公钥y_1验证数字签名(s_1,t_1).
问题在于,C_1有可能用同一笔钱发起多次交易,造成重复花钱 (double spending).一个中心化的数字金融系统需要一个第三方监管机构——例如某家数字银行——来确保交易的公平进行:银行知道此种货币的全部交易历史,因而能推算每个帐号的余额。只有银行认定为真实有效的交易才被受理。这和现实中常见的银行数字货币系统并无本质差别。

2009年,一个化名中本聪(Satoshi Nakamoto) 6 的神秘人物提出了第一个去中心化的数字货币体系方案——比特币,并开始推动比特币社区的建设。这种新型数字货币的去中心化特性得到了极客的爆发性回应,在随后几年中发展为一股蔚为壮观的潮流。
Nakamoto Bitcoin: A Peer-to-Peer Electronic Cash System
阅读中本聪纲领的人每每惊叹于此人构想之细致成熟,在短短9页中已勾勒出比特币的方方面面。这是才能的明证。

A P2P Trade Network
在中本聪设计的去中心化交易网络中,由分布在整个网络上的无数节点来取代银行,确保公平交易。
每个节点都可以视为一家小银行:所有帐号之间的全部交易记录都对这些节点公开。也就是说,在每一次交易前,交易方都必须将交易单发送到全网,通知所有节点检查这份交易单的真实性和有效性。
每个节点都存有一份自有比特币以来自己认可的交易全史——不一定相同,也无需都是真的。中本聪巧妙地设计了一个类似于Feynman历史求和的方法,使得这些形形色色的私人历史最终聚拢到诚实节点书写的真实交易史。
首先,他改造了Adam Baker的Hashcash方案,为交易史的输写设置了准入门槛。其核心是一个工作量证明(POW, Proof-of-work)系统7:人们需要解决一个有相当计算量的问题来获取有效性认可。操作上,可以取某个目前足够安全的哈希函数H(比方说SHA-2系列中的SHA-256),信息m有效当且仅当H(m)小于某个指定值(称为难度目标)。寻找有效的m的唯一方法是逐一试验,验证m有效却轻而易举。
比特币交易史储存在由交易块(block)构成的块链(block chain)中。每个交易块b_i包含3部分信息:上一个被接受的交易块的哈希值H(b_{i-1}),接受b_{i-1}后某时间段内收集的所有交易单\{T_j\},以及一个随机生成的现时标志n_i (nonce). 所有接受了b_{i-1}的节点进行n_i的生成竞争,一旦某个节点完成工作量证明(找到某个n_i使H(b_i)小于难度目标),就立即将得到的b_i通告全网。
(诚实节点守则)收到b_i的诚实节点在验证了其中包含的所有交易单均真实有效后,应立即放弃n_i的生成,接受交易块b_i,将其哈希值写入下一个块b_{i+1},继续收集交易单,并进入n_{i+1}的生成竞争,如此循环往复……
Screen Shot 2015-10-20 at 6.05.28 PM
只要全网中诚实节点占据多数,储存诚实交易史的交易块链的更新速率就是压倒性的。换言之,在形形色色的交易链中,最长的那条储存了最真实的比特币交易全史。

A Mining Game
The meek shall inherit the Earth, but not its mineral rights. — J. Paul Getty
最长的交易块链耗费了最多的CPU时间和电力,因而也是最贵的。靠什么让这些诚实节点遵守规则并心甘情愿地持续工作呢?靠他们对共产主义的忠诚信仰吗?不,中本村为此设计了一个奖励机制,同时也解决了去中心化数字货币面临的另一个问题:在缺乏银行的情况下完成货币的发行。
中本聪将逐一试验现时标志的过程比喻成挖掘金矿。一个交易块得以写入最长块链,意味着挖出这个交易块的节点是诚实的,也为社区维护付出了相当的努力。为此它将得到一些“金子”作为奖赏——它有权添加一份交易单,指定自己为一定数额的比特币的收款人。所有诚实节点都将认可这份交易单。
由此也诞生了一个新职业——比特币矿工。矿工节点保持诚实,不仅仅是出于对社区的责任感,更是为了牟利!
系统通过调节难度目标的大小使最长块链的平均更新速率保持在10分钟左右。由于近年来参与者呈指数增长,每个矿工的直观感受当然是“挖矿越来越难了”。
中本聪本人不希望这种奖励机制是永久性的。模仿现实中的黄金,他为比特币设定了储量上限:2100万枚。系统以大约4年的时间作为“半衰期”调整挖矿奖励的额度:2009年挖到一个有效的块奖励50枚比特币,2012年11月28日后奖励值降到25枚。预计到2040年,所有比特币均会被挖出,届时比特币矿业也就彻底死亡了,对诚实节点的奖励将完全来自交易方提供的小额交易费。

A Close Look
我们来仔细考察一下这个系统。
(1) 安全:由于每个交易块中储存了上一个交易块的哈希值,篡改一份交易单必须同时篡改之后被接受的所有交易块。这要求重新完成这些交易块的工作量证明。不仅如此,为了超过诚实块链的更新速率,攻击者还必须拥有超过所有诚实节点总和的计算能力——这不太可能发生。即便真的存在满足条件的攻击者,对他来说比较合算的方案也依然是将这些计算能力投入挖矿竞争来牟利,而不是篡改自己的交易单来制造重复花钱的机会!
(2) 自由:节点的维护者可以随时退出维护。重新加入时,他只需下载最长块链中储存的交易单作为自己认可的私人历史(只要他是诚实的)。
(3) 隐私:每个帐号的交易记录都是透明的,但锁定帐号的所有人并不容易——毕竟,所有权完全系于私钥x上。再者,一个人可能同时拥有海量帐号。事实上,市面上的所有比特币钱包 (wallet) 都会为用户准备多个帐号以保障其隐私。在(4)中提及的“丢失私钥”的情况下,这一举措还能减少损失。
往深处讲,就不得不涉及一个我们无意谈论的话题——如何利用比特币洗钱。所以,到此为止。
(4) 失窃:比特币是绝对安全的——只要你不丢失自己的私钥。反过来,一旦丢失了私钥,情况比丢失了纸币更加糟糕——只要带有伪造数字签名的交易被认可,根据(3)中所述,理论上没有任何办法锁定窃贼的身份或者追回这些比特币。

A Loose End
对比特币背后数学原理的介绍到此为止。许多细节问题都可以在中本聪的原始论文中的找到,此处不赘。
我想附加两条评论:
一,应用中最有效的结果往往不是技术上最困难的。创意往往源于组合;
二,似乎很少有人讨论作为电子游戏的比特币。事实上,任何对现实场景的模拟都有游戏的成分在内,可以从游戏的角度去研究解读;
本文无意讨论比特币其他的侧面。因为,作者不懂电脑技术,没有经济学常识,对make big money兴致缺然,对社会的黑暗面更是懵然无知。支撑他的仅仅是好奇心而已。
他甚至称不上是一个比特币使用者或者节点维护者。因为在他敲下这行字的时候,比特币核心模块还剩下1年零24周的交易记录需要下载呢!


  1. 有鉴于统一发行的货币往往会因为政府「缺乏自制力」而陷入货币持续增发致使通货膨胀率居高不下的境地,Friedrich Hayek早在70年代末的著作The Denationalization of Money中就提出应当允许私人机构发行货币以形成通货地位的竞争。他认为币值最稳定的货币将在竞争中胜出。由于比特币的发行总量有其上限,在投机性波动趋于稳定后,可以预计其将保持良性的通货紧缩趋势。 
  2. 在此我们必须提及一位杰出的华人女密码学家——王小云。她是这方面研究的世界级领袖。 
  3. 事实上,数字签名也被广泛应用于其他电子信息的防伪,例如检测下载软件的真实性和完整性。另一件值得注意、但或许不是众所周知的事是Shor算法同样也允许量子计算机高效地解决离散对数问题。 
  4. 随机性至关重要:Sony在对PS3软件进行数字签名时一度使用了相同的钥匙,致使私钥x于2010年12月被黑客团队ail0verflow破解。 
  5. Pope有诗曰:Nature and Nature’s laws lay hid in night: God said, “Let Newton be!” and all was light. 
  6. 日本媒体通常翻译为中本哲史。 
  7. 工作量证明系统同样有相当广泛的应用价值:从遏止垃圾邮件和博客的垃圾评论到保证电子投票的公正性。 

律学补记

一、

J.S.巴赫的平均律键盘曲集 (Das Wohltemperierte Klavier,BWV 846–893)是西方古典音乐史上最重要的作品之一。彪罗 (Hans Guido Von Bülow) 曾称誉其为钢琴音乐文献中的“旧约”1
身为巴赫迷,平均律键盘曲集自然是我挚爱的一部作品。Glenn Gould充满个性的“现代演绎”或许是最著名的版本,不过这里我想向大家推荐Wanda Landowska用大键琴演奏的版本。这是更为“本真” (anthentic) 的演绎——虽然在古乐热消退的今天,这个词已不常作为褒义词使用了。

Book I:

Book II:

二、

上述讨论仅作引玉之用,今天的主角并非巴赫,而是“律学”,尤其是平均律与数学的关系。对此,鲜于中之学长的《律学小记》作了一个很精练的概述,是阅读本文的prerequisite。
就“小记”没有展开讨论的两个问题,我试图略加补裰,以成完璧,因而有了这篇“补记”。

三、

为何是“十二”平均律?十二平均律中,任何两个音的频率比都不是有理数,为何我们会听到和谐的旋律?《律学小记》中写到:
这其实是相互关联的两个问题。音乐的奇迹,律学的纠结,都在于此。其答案,一言以蔽之,就是如下约等式:
\displaystyle 2^{7/12} \sim \frac{3}{2}          (1)
我个人比较倾向于用以下约等式来解释这个事实:
\displaystyle \log_{2}(3)-\frac{19}{12}=0.001629\dots \sim \frac{2}{1200}         (2)
(2)是(1)的变体:以2为底取对数。这样表达的好处在于,可以直接看出“十二平均律的第八级音,2的7/12次方,与之(指自然泛音列的第二泛音)仅有2音分的差别(即五十分之一个半音)。这微小的差别基本无法为人耳所分辨。”
此外还有一个更重要的理由。(1)将12这个数字解释为数值上的巧合,(2)却允许我们将问题理论化:q平均律适用当且仅当存在有理数{p}/{q}\log_2(3)“足够接近”。
这是一个典型的丢番图逼近(Diophantine approximation)问题。为此我们作连分数展开:\log_2(3)=[1;1,1,2,2,3,1,5,23,\cdots]
3阶渐进分数8/5=[1;1,1,2]\log_2(3)差了18音分,已进入人耳可辨识的范围了。
4阶渐进分数19/12=[1;1,1,2,2],此即十二平均律。
19/12第一类最佳有理逼近:对于q<12,没有更接近\log_2(3){p}/{q}了。下一个有此性质的有理数是46/29,然后是5阶渐进分数65/41=[1;1,1,2,2,3],再之后是……
二十九平均律或者四十一平均律的精度更高,但显然太过繁琐,缺乏实用价值。但是,请想象一下这个带有科幻意味的场景吧:如果茫茫宇宙中存在某种智慧生物,其听觉分辨能力是人类的15000倍以上2,十二平均律将远不能满足它们的需求。此时一个具有巴赫级别想象力的大脑可以用六百六十五平均律写出多少极尽微妙之能事的曲子啊!

四、

《律学小记》中提到,世界上第一个提出十二平均律的人是明朝王室后裔朱载堉(1584年)。“凡是中国人发明的都要大肆宣扬”,对缺乏民族主义情结且囿于“温良恭俭让”的君子来说,这话颇不便宣之于口,更不用说践行了3。我倒没有这个顾忌,不妨多说两句。
首先是一份关于朱载堉首创十二平均律的资料,来自中文维基百科。
在应用中,十二平均律要求我们计算\sqrt[12]{2}=[1;16,1,4,2,7,1,1,2,2,7,\cdots]。这又是一个丢番图逼近问题。
部分历史学家相信,利玛窦在通信中将朱载堉计算出的1.059463告知梅森(Pere Marin Mersenne)4,遂致使十二平均律的知识西传。这终归是猜测,并没有实据。在此之前,伽利略的父亲Vincenzo Galilei算得2阶渐进分数18/17=[1;16,1]. 要得到1.059463,则至少要算到4阶渐进分数。中文维基百科称朱载堉算得25位小数,但没有用分数形式写出他算得的“新法密率”,故无从考究其是否为\sqrt[12]{2}的渐进分数5。有心人不妨去查阅第一手文献。
计算渐进分数本是中国人的拿手好戏。祖冲之的“密率”355/113=[3;7,15,1],正是\pi的3阶渐进分数。

明室多有爱好音乐者。朱元璋的第十七子朱权 (1378-1448)6,史称宁献王,编撰了明代第一琴谱《神奇秘谱》。也正是在明代,欧洲进入了文艺复兴时期,利玛窦带来了大量西方乐器,并撰写了《西琴曲意》。朱载堉首创十二平均律,而巴赫创作平均律键盘曲集时,中国早已时移世易,到了雍正乾隆年间了。
世事白云苍狗,中西“古典”音乐的命运,竟如此之不同。而尽管有祖冲之、朱载堉的早期实践,最终建立连分数和最佳有理逼近理论的,毕竟还是西洋人。


  1. 相对的,贝多芬的钢琴奏鸣曲集则被誉为“新约”。 
  2. 这不太可能,除非有某种极端环境使得此种机能在进化上是经济的。对此作细致的想象是科幻小说家的事了,我愿意贡献出这个idea,供有兴趣的人作素材。 
  3. 相印成趣的是,俄国科学家经常做这种事,并不会觉得不好意思。 
  4. 即提出梅森素数的那位梅森。他和多位顶尖数学家保持通信,是当时欧洲数学界的信息流动中枢。 
  5. 另一个原因是我找不到精度达到25位小数的计算器! 
  6. “八大山人”朱耷是他的九世孙。 

John F. Nash, Jr. (1928-2015)

“呜呼,人和人的魂灵,是不相通的。”

这是John Nash的形象:他的公众知名度几乎完全基于A Beautiful Mind——一个数学家因为他的疯狂,而非他的理性,为世人所熟知。2010年冷泉港实验室授予Nash双螺旋奖章,理由是“Dr. Nash has used his influence as a public role model to become an active advocate for mental health issues”.

这也是John Nash的形象:提出了“Nash均衡”的概念,证明了Nash均衡定理,因此获得了1978年的von Neumann理论奖。1994年度的Nobel经济学奖是他一生的转折点。一夜之间,从未融入经济学界主流的人成为了众口交誉的“博弈论大师”。

John Nash还有一个形象:作为数学家,他对身边每个被誉为“天才”的人都抱有最强烈的模仿欲和竞争心(前辈如von Neumann和Wiener, 学弟如Milnor, etc.)若非如此,他很可能根本不会涉足博弈论。他最得意的2项工作——Nash嵌入定理和对Hilbert第19问题的研究——并未为他赢得期待中的那枚Fields奖章。1999年嵌入定理得到了Steele奖的“追封”,那已经是Nash“清醒”并成为诺奖得主之后的事了,距离论文发表超过40年。2015年的Abel奖是60年来整个数学界给与这个人的最高认可。
他死在了领奖回来的路上。

推荐3篇文章。
Nash-Moser反函数定理是嵌入定理的副产品,或许也是他最重要的数学遗产。迄今为止最好的综述来自Richard Hamilton:
Hamilton The inverse function theorem of Nash and Moser
Milnor曾与Nash并誉为“普林斯顿的双子星”。他对作为数学家的Nash给出了自己的评价:哪些工作是真正重要的,哪些工作又被夸大了。
Milnor A Nobel Prize for John Nash1
最后是纽约时报为Nash写的讣文。世人眼里的Nash,大抵如是。

Bob Dylan 2012年的专辑Tempest中有一首Roll on John,通常认为是献给John Lennon的挽歌。我把这首歌献给John Nash:
Shine your light
Move it on
You burn so bright
Roll on John


  1. 我曾在网上读过开源的全文,今天却没有搜到。 

水龍吟

愁來揖讓形骸:「賴君同我周旋久。」
前身北海,匏懸瓠落,今牛馬走。
影跡飄搖,蕭涼一鶴,那堪回首。
下揚州十載,鏘然醒覺,鼓更裡,人簾後。

卻憶膺公座上,笑呼尋俊朋清友。
論詩說劍,等閒推許,補天隻手。
江左沉酣,賭棋揮麝,識興亡否?
到而今痛悔,猶龍老子,是何雞狗!

楊炯好以古人姓名連用,號為「點鬼簿」。駱賓王好以數對,號為「算博士」。小子于一篇之內,驅牛馬鶴麝龍雞狗,宜乎自屬「動物園」,以解眾嘲。

戲為飲品「大葷君」作

DHJ

其一
涪陵崖腳錦城雲,紅岸清歌悄不聞。
攘往熙來成底事?山河付與大葷君。

其二
尊中黜外宜乎禮,秉憲修班諡曰文1
此去華胥應不遠,兆民同夢大葷君。

其三
師夷末技辱斯文,高築長牆書可焚。
卻問何如奧巴馬2?咸稱美甚大葷君!


  1. 諡法,修治班制曰文。「秉憲修班」,即「依法懲處腐敗分子」云云。 
  2. 人名,用拗句。 

Spectra of Modular Surfaces II

上篇:Spectra of Modular Surfaces I

考虑紧致无边Riemann流形M上的自由粒子运动,
(经典模型)作为等能面的单位切丛S(M)\to M,以及作为Hamilton流的测地流\mathcal{G}_t:S(M) \to S(M)
负曲率流形上的Hamilton流是经典混沌系统的典型例子(Hopf, Moser, Sinai, etc.)。
(量子模型)视\Delta为Schrödinger算子,我们得到一个量子混沌系统。
在量子混沌的领域中有大量基于数值实验的猜想有待解决,主要的技术手段是准经典分析(semi-classical analysis)。另一方面,由于\triangleHecke算子交换,算术流形上的量子混沌系统通常有强得多的代数刚性,在许多方面表现得更像是量子可积系统,因而得到了更多成果。
以下讨论将遵循soft vs. hard的二分(dichotomy):先对一般的Riemann流形(M,\triangle)做出陈述,之后承袭对模曲面(X,\triangle)的讨论,将其作为算术模型的特例加以比较。

Distribution of the Eigenvalues
定义N(\lambda)=\{j:\lambda_j\leq \lambda\},研究N(\lambda)的渐进行为是谱几何中的重要论题。
对于紧流形M^n,我们有经典的Weyl密度估计\displaystyle \frac{1}{\lambda}N(\lambda) \to \frac{V(B^n)}{(2\pi)^n}V(M,g)\lambda \to \inftyX的算术性在一定程度上“补偿”了非紧性,这使得Selberg能够利用Selberg迹公式证明同样类型的密度估计\displaystyle \frac{1}{\lambda}N(\lambda) \to \frac{1}{4\pi}V(X)\lambda \to \infty
另一个常见的考察对象是相邻特征值间距的分布。对于量子混沌系统,通常我们期望其相邻特征值的间距分布得足够随机,即满足某个Gauss系综(Gaussian ensemble),但算术量子混沌系统的情况有所不同。
具体地说,对于X(1)=\Gamma(1)\backslash \Bbb H,基于数值实验,我们有
(Cartier猜想) \triangle的所有大于0的(尖点)特征值都是单重的。
V(X(1))=\pi/3,故此时(\lambda_{i+1}-\lambda_i)/12的期望值为1. 在此归一化下,数值实验显示\triangle的相邻特征值间距满足指数分布:
(Steil猜想)\displaystyle \frac{\#\{i\leq N:(\lambda_{i+1}-\lambda_i)/12 \in[\alpha,\beta]\}}{N} \to \int_\alpha^\beta e^{-x}dxN \to \infty
最后是一点题外话。“算术对象服从量子统计”,此类规律通常有大量数值证据支持,却难以从理论上加以证明。很多时候我们甚至无法像上述例子一样,找到一个将物理与数论自然结合的理论框架。以下是2个例子:关于Riemann zeta函数的Montgomery-Odlyzko猜想,以及新近提出的关于椭圆曲线的BKLPR猜想

Quamtum Ergodicity
遍历性(ergodicity)是混沌系统的本质特征之一。量子系统的高能极限对应于h\to 0的准经典近似,我们有理由期待i \to \infty时特征函数f_i趋于X上的一致分布1。我们有2种方式将这一命题精确化:
考虑概率测度\mu_\psi=|\psi|^2dgS(M)上的微局部提升(microlocal lift)\nu_\psi,已知
(SCZ量子遍历定理2)若测地流\mathcal{G}_t:S(M) \to S(M)是遍历的,则\forall \psi\in C_0^\infty(S(M))\displaystyle \frac{1}{N(\lambda)}\sum_{\lambda_i \leq \lambda}|\nu_{f_i}(\psi)-\bar{\psi}|^2=o(1)\lambda \to \infty
Zelditch  Quantum ergodicity of C^{*} dynamical systems
我们称\nu_{f_i}的弱极限为量子极限。由Egorov定理,它是一个\mathcal{G}_t不变的概率测度。比SCZ量子遍历定理更强的,我们有
(量子唯一遍历性猜想,QUE)\nu_{f_i}有唯一的量子极限:S(M)上的Haar测度\nu
Rudnick, Sarnak  The behavior of eigenstates of arithmetic hyperbolic manifolds
已获证明的结果全部来自算术曲面:由于在算术动力系统方面的一系列工作,包括证明了紧算术曲面上的QUE,Lindenstrauss获得2010年的Fields奖。在此基础上,Soundararajan证明了非紧算术曲面上的QUE.
Lindenstrauss  Invariant measures and arithmetic quantum unique ergodicity
Soundararajan  Quantum Unique ergodicity for SL_2(\Bbb Z)\backslash \Bbb H
作为Maass形式理论的一部分,算术量子唯一遍历性猜想在全纯形式理论中有一个完全类似的陈述。此猜想已由Soundararajan和Holowinsky证明,相关消息可以参见AIM的专题报道
作为QUE的提出人之一,Sarnak简要总结了相关论题截止到09年9月的进展。


  1. 反之,对于可积系统,我们则期待i \to \infty时,f_i发生局域化(localization)。 
  2. SCZ指的是Shnirelman, Yves Colin de Verdière和Zelditch.