Weil猜想漫谈 IX:转铅笔

我们开始讨论著名的[Deligne, 1974]:
Deligne La conjecture de Weil: I
这可以视为漫谈的分水岭。之前的章节所涉及的数学或多或少是经典的。从本章开始,我们将自由地引用各种现代的观点和结果。

标准猜想太难了。毕竟,即使限制到\Bbb C上,由于存在Hodge猜想这个巨大的阻碍,我们同样无法得到一般性的结果。Deligne的目标要现实得多:继续Grothendieck未竟的工作,将\Bbb C上已成熟的理论——即Lefschetz理论和Hodge理论——「移植」到一般域上。在Hodge理论方面,他的贡献是Hodge结构的一般理论1,以及混合Hodge结构的概念。另一方面,Lefschetz的所有拓扑结果几乎都源于对「铅笔」的研究,在证明强Lefschetz定理之前,似乎更应该将「铅笔」理论代数化:这是Deligne,Katz等人在SGA 7中处理的课题。

本章将处理复射影簇上的经典Picard-Lefschetz理论。请读者始终牢记:应该将这个理论视为Morse理论的全纯类比2

(A)
给定复代数流形X和全纯线丛L(等价的,除子类[D]\in Z^1_r(X)),以|L|L的截面空间的射影化P(H^0(X,L))|L|称为D的完整线性系统。1维子系统P^1 \subset |L|称为铅笔。
我们感兴趣的是射影簇X^d \subset P^NL是某丰富线丛(等价的,超平面除子类[W])。此时P^1 \subset (P^N)^{*}t\in P^1对应某个有理等价于W的有效除子X_t=H_t \cap X(作为L的某个截面的零点集),H_t=\alpha H_0+\beta H_\inftyt=\alpha/\beta.
假定以下「一般性」(generic) 条件成立:铅笔的轴A=\bigcap H_tX横截相交,或者等价的,铅笔的底零点集 (base locus)B=\bigcap X_t=A \cap XX中余维数2的光滑子簇。此时沿着B爆破射影簇X,我们得到双有理等价于X\tilde{X},容许纤维化\phi: \tilde{X} \to P^1\phi^{-1}(t)=X_tt \in P^1.
P^1 \subset |L|为Lefschetz铅笔,如果几乎所有X_t都是光滑的,奇异的X_t仅包含一个普通双重点作为奇点。对应的纤维化\phi称为Lefschetz纤维化:这就是我们要寻找的「全纯Morse函数」,是「一般性」的纤维化。

(B)
假定Lefschetz纤维化\phi有临界值集S=\{s_1,\cdots,s_M\}\infty \notin S. 在每个临界点附近使用全纯Morse引理将奇点标准化,不难证明:
t \in U=P^1/S\tilde{X}-X_\infty同伦等价于X_t粘贴上MB^d,粘贴的边界S^{d-1}称为消没球面,其在H^{d-1}(X_t,\Bbb Z)中的上同调类称为消没闭链。
过渡到上同调,嵌入j:X_t \to \tilde{X}-X_\infty诱导的同态j^{*}:H^i(\tilde{X}-X_\infty,\Bbb Z) \to H^i(X_t,\Bbb Z)i \leq d-2时是同构,在i=d-1时是单同态,余核由消没闭链生成。

(C)
让我们考虑这种情况下的单值群表示问题。可以从3个不同的角度理解这个对象3
(1) 拓扑:局部系统,即U上的局部常数束\mathcal{E}
(2) 表示论:\pi_1(U,t)-模\mathcal{E}_tt\in U
(3) 微分几何:装备有平坦联络的向量丛E
观点(2)和(3)的等价即著名的Riemann-Hilbert对应
例如,给定Lefschetz纤维化\phi高阶直接象R^i\phi_{*}\Bbb Q在局部是\Bbb Q-向量空间的常数束,\mathcal{E}_t=(R^i\phi_{*}\Bbb Q)_t=H^i(X_t,\Bbb Q)\pi_1(U,t)仅在H^{d-1}(X_t,\Bbb Q)上有非平凡的表示。取\alpha \in H^{d-1}(X_t,\Bbb Q),这个单值群表示可以写成:
(Picard-Lefschetz公式) T_k(\alpha)=\alpha + \epsilon_d (\alpha,\beta_k)\beta_k,生成元T_k \in \pi_1(U,t)对应临界点s_k \in S\beta_ks_k对应的消没闭链,\epsilon_d=\pm 1取决于d.
由此可以证明非常重要的:
(不可约定理) \pi_1(U,t)在消没闭链生成的子空间上的表示作用是不可约的。
d-1为奇数时,相交形式(\cdot,\cdot)是斜对称形式。由Picard-Lefschetz公式,\pi_1(U,t)的作用保持相交形式不变,因而是辛表示。
(Kazhdan-Margulis) \pi_1(U,t)的象在辛群Sp(H^{d-1}(X_t,\Bbb Q))中Zariski-稠密4
上述两条定理对单值群表示施加了很强的限制。

(D)
最后,Lefschetz纤维化\phi: \tilde{X} \to P^1允许我们用Leray谱序列计算H^i(\tilde{X},\Bbb Q)5:此时谱序列在E_2^{p,q}=H^p(P^1,R^q\phi_{*}\Bbb Q)处退化,且当q>2时,E_2^{p,q}=0,因而只需考虑H^2(P^1,R^{i-2}\phi_{*}\Bbb Q)H^1(P^1,R^{i-1}\phi_{*}\Bbb Q)H^0(P^1,R^i\phi_{*}\Bbb Q)这三项就可以了。

接下来,我们将考虑Deligne, etc.对Picard-Lefschetz理论的代数化。


  1. 我们仅提及最初的一步:Hodge滤过似乎是比Hodge分解更「基本」的概念。前者不但在Griffiths的形变理论中表现得更好,也和谱序列的语言(具体地说,Frölicher谱序列)结合得更好,从而允许到一般域的推广。这是代数Hodge理论的起点。
  2. Donaldson提出可以在辛几何中考虑Picard-Lefschetz理论的类比,这个思路允许Paul Seidel具体计算许多Fukaya范畴的例子——在某种程度上,这不并让人意外,因为Floer同调本就应该理解为圈空间上的Morse同调。我喜欢用这样的图景来叙述:复几何和辛几何是同一棵树上(镜像对称)的不同分支,伪全纯曲线和Picard-Lefschetz理论生长在比Floer同调和Fukaya范畴更加靠近根部的地方。
  3. 当前,这是一个炙手可热的领域。关键词包括但不限于:几何Langlands纲领,Higgs丛,Hitchin纤维化,基本引理,等等。跟Weil猜想联系更紧密的是特征p的情况,即Drinfeld和L.Lafforgue的工作。
  4. 在单值/Galois表示中,这是一个常见现象:几何起源的单值群/Galois群通常会有「最大可能」(as large as possible) 的表示。
  5. 事实上,这是Leray发明谱序列的初衷。
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月旦 XVI

For June, 2017

数论中充斥着各种有趣(或无趣)的小问题。5年前我曾经就这个话题写过两篇文章:《猜想,反例及随感》(主角是解决了某个「数论难题」而获得媒体报道的王骁威同学)和《数论问题的价值》
模仿Erdős,Conway也搞过一张悬赏清单:5个价值1000美元的问题中,有一个刚刚被解决。我就不在这里复述细节了,因为实在很简单,小学生就能弄懂。
在我看来,这个问题(和王骁威解决的「数论难题」一样)似乎属于《数论问题的价值》中提到的最后一类问题。

几个月前广中平祐声称已成功将奇点消解定理推广到了特征p的基域上。我本人并没有去念这篇文章,不过早些时候从专攻交换代数的朋友那里听到了偏向正面的评价。
Atiyah对S^6上没有复结构的「证明」过于潦草,无论验证还是挑错都很困难。广中的论文则写得一板一眼,合乎学术规范,因而更值得投入精力去审读。
作为代数几何研究中时刻用到的working hypothesis(我不知道有没有合适的中文翻译,日语里似乎叫「作業仮説」),奇点消解的重要性无疑远在「S^6上没有复结构」之上。我希望广中的证明是对的。
是的,老数学家都偏爱老问题。然而,年轻人似乎也不应该忘记,老问题才是测试新理论的最佳场所。在我看来,后Grothendieck时代层出不穷的「新理论」中,有很大一部分仅仅是为推广而推广,反映的是当代研究者普遍缺乏方向感这一事实。
或许我们应该把更多精力投入到未解决的老问题上去。

Gutiérrez-Romo, Zariski density of Rauzy-Veech groups: proof of the Zorich conjecture
Zorich’s conjecture on Zariski density of Rauzy-Veech groups (after Gutiérrez-Romo)

20世纪下半叶,科学的触角逐渐沿伸触碰到了意识问题——此前,这是哲学家的自留田。
意识问题或许是人类所能提出的最困难的问题了!即便是科学哲学方面的争论就足以令人眼花缭乱了:你相信物理主义(physicalism)还是二元论(dualism)?你在何种程度上是一个还原论者(reductionist)?你认为强人工智能有可能实现吗?自由意志又是否真的存在?你认为人类——作为一种有意识的生物——试图去理解意识本身,最终会陷入类似Gödel不完备定理的窘境吗?此刻科学还无力解决这些争论(有人认为永远都不可能解决),混乱的现状让我想起Jim Barksdale的一句名言:”If we have data, let’s look at data. If all we have are opinions, let’s go with mine.”
这个月读了John Horgan的The End of Science——标题有些耸人听闻,当然这也代表了一种opinion——整本书可以说是opinions的合集,你可以看到这个世界上最优秀的头脑在缺乏data时如何近乎顽固地捍卫自己的opinion,或者说belief,又或者说prejudice:从Freeman Dyson, Roger Penrose到Stephen Jay Gould,从Francis Crick, W.O.Wilson到Hyman Minsky,每个人对于意识、「人类」和未来的看法都截然不同!
我愿意在这里增添一个注脚:最近,在这个领域里爆发了一场小小的争论——关于意识形成的一种新理论(Erik Hoel,基于information theory)以及对这个新理论的拆解和批评(Scott Aaronson)。分歧是技术性的,但本质上反映的依然是哲学观点的歧异,后者决定了你选择哪几个要素作为核心来建立简化的(简化,太简化的!)意识模型。
前辈有云:选择研究课题时,应该冲到最混乱的地方去。我记得似乎这就是Weinberg选择粒子物理学的原因。在可见的将来,意识研究也会成为粒子物理学那样的显学吗?

可以写进本月《月旦》里的内容其实还有一些。但我选择在这里打住。
7月6日,《Weil猜想漫谈》见。

月旦 XV

For May, 2017

这个月我花了不少时间阅读da Vinci的手稿,部分出于对「创造」(作为一种思维过程)的好奇。
Université de Montpellier保存有Grothendieck生前留下的大约28000页数学文件。除去部分信件(涉及著作权问题),大约18000页文件(包括手稿、录音稿和印刷件)已被电子化并向全社会开放
对于著作权,Grothendieck看得很轻。但是否愿意发表这些文件,或者说「草稿」,则又是另一回事。坦白一点说吧:是我们这些俗人太过渴求这份智识遗产,以至于一方面故意无视这位圣人生前「禁止流通」的意愿,另一方面又默认了会得到宽容,从而心安理得地持续侵犯其身后的著作权利。
尽管如此,我想我个人还是能鼓起勇气说:愿您的在天之灵原谅,并继续指引我们向前!

MathOverflow上有一个非常有趣的问题:关于有限域上的单值化定理。或者更进一步,关于p-进域上的良约化曲线,考虑其单值化问题。其精神,自然还是来自Grothendieck的anabelian geometry。得益于望月新一的工作,这个领域在这两年得到了相当多的关注。

镜对称的新近进展大多来自辛几何的方向。不过凝聚束的导出范畴,作为一个有独立趣味的对象,始终不失其价值。对有志于从事现代复代数几何研究的人来说,John Calabrese新近的讲课笔记或许是一个不错的入门选择。在了解了导出范畴的基本概念后,可以马上用最简单的例子来增进我们的直觉:例如,考虑复Abel簇,以及Fourier变换的「范畴化」——Fourier–Mukai变换

Ricci流的话题,在经过世纪初的十年喧嚣后,已经逐渐冷却下来了。我对这方面研究现状的了解,仅仅到S.Brendle的differentiable sphere theorem为止。
作为一个对几何分析不怎么感兴趣的人,最近终于有机会学习了一点Ricci流的技术细节。觉得如果有机会给本科生讲一点Ricci流的话,大概会选择Nick Sheridan「小时候」写的综述,特别是里面关于curve-shortening flow的部分,是一个很不错的「引子」。
当然也拜读了Perelman的文章。中国有句古话,叫「行百里者半九十」。落到几何化猜想的证明上:我的感觉是Hamilton完成了前90%的工作,理应分享一半的功劳——如果不是因为那场不幸的优先权之争,很多人也不会产生顾忌,迟迟不敢讲出这个比较接近事实、在事后看来也确实非常明显的论断吧!
熵在各种意义上让我着迷。值得深思的下面这件事:统计力学的Maxwell-Boltzmann观点较亲近于Riemann几何,而Gibbs观点则利用了辛几何的语言。Perelman的\mathcal{F}\mathcal{W}泛函至少在形式上更接近Gibbs在Elementary Principles in Statistical Mechanics中提出的表述。是否有人考虑在纯辛几何框架下的相应概念呢?或者,再把视野放广一点——我们又回到了月旦 IX——是否有人考虑过如何将Legendre变换范畴化呢?
请注意,在「能量泛函的数学应用」方面,我们已经走得相当远了:Morse理论->Floer同调->Fukaya范畴

把Guerino Mazzola的The Topos of Music当「三上」读物来读,才不至于太失望。无法严肃地读,是因为无法赞同作者的方法论:依我看,用抽象数学去「解剖」音乐的尝试是不会成功的。
数学家往往高估了自己的能力。事实上我们能处理的仅仅是极度理想化的模型,现实的复杂性是任何数学理论都无力承受的。
von Neumann:”If people do not believe that mathematics is simple, it is only because they do not realize how complicated life is.”正言若反,这其实是最诚实的道白啊。

Question to you all out there: Suppose we go and modernize (no quotes) our physics program. What should we add? What should we take away? 
这个问题不容易回答。我还可以进一步地缩小提问的范围:现代物理教育需要哪些数学课程?比如说,群论是必须的吗?表示论呢?需要多少微分几何?还是说,应该花更多时间在编程学习和数值计算上?

一则花边新闻:法国新科总理Macron所创建的政党En Marche!提名2010年度的Fields奖得主Cédric Villani参选Essonne第5选区的议员。
2012年我在美国见到Villani,并以此为契机写了《Boltzmann方程,H定理和非平衡态统计力学》。我对他的聪明(还有自恃)印象很深,但实在没有想到,他在当了几年「科普明星」后会选择步入政界。
法国数学家有搞科普的传统:Poincaré正是凭借几本极受欢迎的科普著作才得以入选Académie française(此前他已无可争议地入选Académie des sciences). 同时,法国数学家也有当政客的传统:Lagrange是护宪元老会的成员。Laplace在Napoleon手下做过6个月内政部长,在Bourbon王朝复辟后又被封为侯爵。Paul Painlevé两度出任法国总理,应该是法国数学家中「行政级别」最高者——如果不考虑Napoleon皇帝本人也曾提出过一条初等几何定理的话!

最后,是一个(不知道算不算「备受期待」的)通知:
Weil猜想漫谈》将恢复连载。感谢大家的耐心等待。
下面这张图,姑且算是自勉(和自嘲)吧:
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月旦 XIV

For April, 2017

AMS: Open Math Notes
总的来说,质量还不错。希望有三:有更多数学家参与,覆盖更广阔的领域,以及讨论更深入更前沿的课题。早就应该有属于共享时代的Annals of Mathematics Studies了!

Hadamard Lectures 2017, IHÉS:
Peter Scholze, On the local Langlands conjectures for reductive groups over p-adic fields
我还没来得及看。读者之中想必会有人对Scholze在想些什么感兴趣吧。

在介绍Weil猜想时(抱歉!等各种状态都更稳定一些,我一定会完成这个连载),我们顺带介绍了Grothendieck的标准猜想D及其在万有上同调理论中的核心地位。Voevodsky的一项重要工作是在代数闭链的4种经典等价关系之外,引入了第5种等价关系:Z_1粉碎-幂零等价 (smash-nilpotence equivalent)于Z_2,若对充分大的n(Z_1-Z_2)^{\otimes n}有理等价于0.
粉碎-幂零等价弱于代数等价,但强于同调等价。推广标准猜想D,我们有
(Voevodsky幂零猜想) 粉碎-幂零等价与数值等价重合。
arXiv上有一篇新文章:
Ornaghi, Pertusi Voevodsky’s conjecture for cubic fourfolds and Gushel-Mukai fourfolds via noncommutative K3 surfaces
这当然是一个很特殊的例子,没有太大的参考价值。然而对于不太了解这方面工作的人而言,却可以由此知道一些新进展:比如2014年提出的Bernardara-Marcolli-Tabuada猜想,等等。
进入新领域并不难:找到最新的文章(或者文献综述),按图索骥,念掉里面提到的最重要的几篇论文,就可以开始自己动手做点事情了。

依然是导出几何。Orlov有一个很自然的猜想:导出等价的光滑射影簇有同构的(\Bbb Q系数) Chow动机。在月旦 XII中,我们提到了Huybrechts新近的结果:K3曲面(事实上,任意代数曲面)满足Orlov猜想。通过Kimura–O’Sullivan的「有限维Chow动机」,这个猜想可以和我们介绍过的Bloch-Beilinson猜想联系起来,共同构成导出几何的一个非常美妙的子领域:植根于古典的同调论和相交理论,却又导向最深刻的代数几何结果。

The Race to Quantum Technologies and Quantum Computers (Useful Links)
顾名思义。
最令我感到好奇的还是量子科技的「远景」——比如,人脑是否是一台量子计算机?量子纠缠会是最终解开意识之谜的钥匙吗?Fischer假设已经在这个方向上迈出了第一步——并不那么坚定的一步——未来还有太多的工作等待着我们。
在构成新理论的所有原料中,想象力或许是最重要的。

「对周期与共振的唯象研究已有上千年的历史」,这件事我很早之前就知道。然而直到最近我才真正意识到,最广意义上的「周期与共振」几乎出现在现象世界的每一个角落。例如,同居女性的月经周期有逐渐趋于一致的现象,而其中又有不少例子,是趋于一致后又逐渐背离;「经济周期」并没有先验的存在理由,毋宁说是各个生产部门的生产周期在几十年上百年的尺度上逐渐趋于共振;天文学中有著名的「轨道共振」现象:卫星的周期趋于有理比例,但最终未必会达到「潮汐锁定」的状态;等等。
我们手头并没有一个完备的数学理论来判断共振的终态是否在各种意义下稳定:遍历理论、KAM理论只能给出部分的回答。
我们的无知是惊人的。光对人类的理智有信心还不够:我们必须确保一个允许知识积累的社会环境,才能把理性的每一次进步都确确实实地转化为共同知识的增量。即使不是历史循环论者(又一个周期!),也有理由担心像中世纪那样的「失落年代」再次降临——在漫天火光中,书是唯一值得抢救的东西。

一定的危机感是必要的。在某种意义上,科学家的工作就是为社会「忧天」。「气候变化很危险!」「AI很危险!」「Trump大砍研究经费,这种想法很危险!」这些呼声中透露出孩子般的真诚(你也可以说是「幼稚」)。这种孩子气本身——而非观点的正误——是“great society”不可或缺的一部分。向所有可能性保持开放,把这当成是对未来的投资,有勇气和科学家们一起承担“trial and error”的风险——对商人来说,这样理解会不会容易一点?
以上,是对“March for Science”的感想。

很凑巧:上个月的月旦提到了Timothy John Berners-Lee爵士对互联网未来的忧虑。几天后,ACM就宣布授予他2016年度的Turing奖,“for inventing the World Wide Web, the first web browser, and the fundamental protocols and algorithms allowing the Web to scale”.
人类偶尔也会对奉行理想主义的同类展露温情的一面。但历史总是更加残酷。我这么说,是因为TimBL的忧虑也是我的忧虑,而在我看来,任何个人都已无力阻挡这个令人忧虑的未来成为现实。
我知道这种悲观或许是不理性的,但理性告诉我,这种不理性也是「工作」的一部分。

月旦 XIII

For March, 2017

Dennis Gaitsgory, Hirzebruch-Riemann-Roch as a categorical trace
高阶范畴论(higher category theory)有一点玄学的味道,但不是这个理论本身的过错。在Grothendieck身后亦步亦趋的当代数学家往往忘记了这位大师一生发展的所有抽象理论都是为了解决具体的问题,在我看来,这是将数学与形而上学区分开来的最终判据,也只有在意识到这一点之后,才可能真正理解这些抽象理论的illuminating之处。
HRR定理当然是经典(甚至不妨说「老旧」)的内容了,但这并不妨碍我们用新鲜的眼光去重新看待它!

Office Hours with a Geometric Group Theorist,Edited by Matt Clay & Dan Margalit
一本即将出版的新书。题材对我来说还算有趣,本博客的忠实读者(我吃惊地发现这个集合好像还不小!)可能会记得我在月旦X中提到过一本联系几何群论和计算理论的书。
总的来说,几何群论是那种并不完全「正统」,因而可以给聪明人提供足够刺激的学科。我呢,虽然顽愚,却很愿意交聪明的朋友,并享受和他们共度的时光。

热力学第三定律是一条特别的「定律」:它当然不是先验的,却也并不完全是经验的。它在整个热力学的理论体系中并不占据核心地位,比不上第一、第二定律,甚至「第零」定律。原因或许在于,这条定律有或强或弱的多种表述方式,较强的那些即使不是错误的,也足以让人疑惑。
最为人们所熟知的(弱)表述基于操作主义:不可能通过有限步操作/在有限的时间内将物体降温至绝对零度。Masanes & Oppenheim新近「证明」的也就是这个版本。
我倒觉得这件事的意义在别处。值得思考的一点是量子计算和操作主义有天然的亲缘性,或者说,我们还没有真正开始探索,更不要说理解物理操作过程的量子性。
不要指望科学哲学家提供什么帮助:他们对于经验世界的理解永远落后于物理学家。Kant的大厦构建在Newton的世界观之上,而不是相反。量子物理还没有迎来自己的Kant,也许永远不会有,但那也没什么。

Nature报道了正在四川稻城县海子山建设的高海拔宇宙线观测站 (LHAASO, Large High Altitude Air Shower Observatory)。
我不知道中美是否会进入「新冷战」。但两国在科技上竞争的趋势已经形成,或者说,通过资助大型科技项目来实现对美国的科技赶超,中国政府的这一企图已越来越明显。
历史告诉我们,科研人员的黄金年代正在到来,此时吟哦「国家不幸诗家幸」的人必定会显得不合时宜吧。

脑筋急转弯:NP in ZPP implies PH in ZPP.

Quantum Computing: Scott Aaronson on D-wave.

Peter Norvig, On Chomsky and the Two Cultures of Statistical Learning
读到这篇文章完全是在网上「冲浪」的偶然结果。我对语言处理毫无了解,感兴趣的是讨论「两种文化」的部分。在各类理论的构建中,”how?”和”why?”这两个问题最终会导致大相径庭的学术取向——这似乎是一种不断复现的现象。我还可以举出一些具体的例子,比如历史学、人类学之类。「但这里的空白太小了。」
在现代物理学的发展过程中,”how?”(Galilei-Newton传统)占据绝对的上风,「严格的功能主义」+「数学-统计方法」达成了无可匹敌的成就,成为其他学科竞相效法的模板,这些都是无可辩驳的事实。应用这套哲学,Norvig供职的Google也确实在语言处理、乃至更广阔的人工智能领域取得了惊人的成就。然而我也能同情Chomsky的立场,毕竟,对于人,我们总想知道,”why?”
我们最终能够知道吗?我们是否能像Hilbert那样勇敢地说出:”Wir müssen wissen, wir werden wissen”?

Bill & Melinda Gates Foundation宣布了自己的开放获取出版平台Gates Open Research.
这不是一件多么重要的事,却也从侧面折射出时代的风尚。我认为这种风气是好的。

Tim Berners-Lee: I invented the web. Here are three things we need to change to save it.
历史的讽刺在于左派总会被他们的理想背叛,或者说,理想的达成意味着左派的死亡,他们需要背叛来定义他们确实活着。
对于这些人(有「好人」,也有「坏人」,有Berners-Lee爵士那样的伟人,也有许许多多更加平凡的人),我惟有奉上我的敬意,还有同情。

月旦 XII

For January & February, 2017

Edge的年度问题:What scientific term or concept ought to be more widely known?
出色的回应很多,足够有心人看上好几天。我就不一一列举了。
我自己当然给不出什么正经回应。倒是在闲谈中戏仿过《论语》里的「孔鲤过庭」,博得朋友一笑:
曰:「学量子力学乎?」对曰:「未也。」「不学量子力学,无以知认识论。」退而学量子力学。曰:「学计算理论乎?」对曰:「未也。」「不学计算理论,无以知方法论。」退而学计算理论。闻斯二者。

Polymath 12关注的依旧是一个组合问题:Rota基猜想。和许多组合猜想一样,它的叙述非常、非常简单,只用到一点点线性代数。
通常我对组合问题的兴趣不大,不过也有例外。早在月旦 I中我们就曾提到,拟阵(matroid)这一概念虽然是组合的,却也容许一个代数几何诠释。近两年颇为热门的「组合(代数)几何」将复代数几何中的正定性定理、Lefschetz-Hodge理论等工具类比地应用于此类组合问题的研究,取得了不少成果。例如,组合几何版的强Lefschetz定理和Hodge-Riemann关系可以用来证明Rota的另一个关于拟阵的猜想:
Adiprasito, Huh, Katz  Hodge Theory for Combinatorial Geometries
我相信用类似的思路可以解决Rota基猜想。或者说只有这种解答才是「有趣」的。

Daniel Litt将我们的注意力引向Will Sawin的一篇文章,该文讨论了意大利代数几何学派遗留下来的一个经典问题:n点标记的、亏格g曲线的模空间的双有理几何。特征p的Severi猜想虽然被证否了,但我们还未得到一副足够完整的「全图」。

One-Sentence Theorem:导出等价的K3曲面的Chow动机同构。Cool!

形变量子化感兴趣的读者或许也会对这份讨论Poison几何的讲义感兴趣。

我和Y已有两年没有见面。今年春节重逢,照例讨论了许多数学问题,其中就包括Ramanujan-Petersson猜想和Selberg 1/4猜想。研究后者的进路之一是将其视为「算术流形的拓扑与几何」这个大纲领的一部分——这个纲领当然是非常迷人的!
受到Agol对拟Haken猜想的证明的鼓舞,算术拓扑学家开始考虑所谓的「拟凝聚上同调论」(virtual coherent cohomology)。这方面的研究还处于探索状态,但颇有可能在未来几年取得相当的进展。

我和Y合作的第一篇论文(美好的回忆!)用到了如下经典结果:虚二次域有类数1当且仅当其判别式d=-3,-4,-7,-8,-11,-19,-43,-67,-163
从「现代」的观点看,按类数分类虚二次域是一个「笨」纲领。Gauss时代的理想已经「落伍」了!然而,即使是出于对第一篇论文的怀念,我也很乐意看到这个纲领(在大型计算机的帮助下)得以实现。
一个较新的进度报告:我们已经得到了类数小于100的虚二次域全表
P.S. 碰巧的是,3月的Quanta Magazine刊载了一篇以Cohen-Lenstra heuristics(或者说「类数的统计学」)为主题的文章。 Bhargava是一个Gauss意义上的经典数论学家(不要忘记,同样是Gauss开创了「统计数论」),虽然在方法论上,他可能更接近Kronecker和他的“Jugendtraum”.

T. S. Eliot说”April is the cruelest month”,因为四月是属于”memory and desire”的季节。在那之前,”Winter kept us warm, covering / Earth in forgetful snow, feeding / A little life with dried tubers. ” 此刻,我们希望将悼念和敬意献给在这个冬天逝世的几位大师:

  • Kenneth Arrow (1921-2017):我们曾经讨论过著名的Arrow不可能定理。与其说这是一个经济学/社会学定理,倒不如这是一个「语言学」定理:我们所熟悉的「量化」并不足以囊括将经验世界数学化的一切努力。Arrow用这个关于序关系的定理开阔了我们的想象力。
  • Igor Shafarevich (И́горь Ростисла́вович Шафаре́вич, 1923-2017):苏俄时代的「三大佬」(Kolmogorov, I.M.Gelfand, Shafarevich) 终于都进入历史了。这三位的贡献既深且广,我不够资格来做总结。然而我会永远记得那些读Basic Notions of Algebra的夜晚!我能给数学系新生(以及某些有天分的高中生)的最好建议就是:想学一点「经典数学」吗?读Shafarevich的Number TheoryBasic Notions of Algebra,还有那两卷Basic Algebraic Geometry吧!
  • Bertram Kostant (1928-2017):Kostant培养了众多优秀的表示论专家。他最重要的工作大概是几何量子化中的预量子化过程(Kostant-Souriau公式)以及Hochschild同调论中的Hochschild–Kostant–Rosenberg定理。关于前者,我们在很多年前就有讨论的打算——可惜至今那篇post还躺在草稿堆里!
  • Ludvig Faddeev (Лю́двиг Дми́триевич Фадде́ев, 1934-2017):作为Leningrad数学物理学派的领袖,Faddeev关于Yang-Mills场的论著以及将量子逆散射方法应用于量子可积系统的研究使学界受益良多,可惜尚未有机会在本博客上作一讨论。我颇想就后者写一些posts. 然而,我知道,我在这方面的记录并不让人满意。(是的,这是自嘲。)

已经不是新闻了:围棋之后,德州扑克也已被AI攻陷
我们正在见证「机器学习算法革命」的第一波浪潮。值得补充的或许是问题的理论方面。除了1月Science上讨论德州扑克的最新文章外,我们还想特别提请读者注意一篇旧文章:Poker-like games with a bounded number of states are in P.

最后我们还是请出老朋友Scott Aaronson:他新写了一份讨论P v.s. NP的综述。有兴趣的朋友不妨一读。

月旦 XI

For December, 2016

第11期月旦,我们希望回顾一下已过去的2016年。就对未来的影响而言,我认为以下10件事值得更细致的讨论:

  1. AlphaGo和「机器学习革命」。AlphaGo的故事还没有结束:有传言说,现今的中国围棋第一人柯洁已开始使用Google提供的AlphaGo程序进行日常训练(这同时也是对AlphaGo稳定性的进一步测试——在与李世乭的五番棋大战中,程序曾经出现过一次明显的「崩溃」,直接导致了败局),并将在合适的时候代表人类再次挑战AlphaGo.
    技术影响生活。近年来,人类在机器学习领域取得的突破将在可见的未来影响到生活的方方面面。例如,新版的Google翻译已经全面采用了机器学习的模型,迪拜警方开始使用机器学习软件来预测犯罪(将Phillp K.Dick在科幻名作The Minority Report设想的场景化为现实!)。通过机器学习技术训练出的「机器人杀手」已在摩拳擦掌随时准备进入战场,以致联合国下辖的「特定常规武器公约」缔约方开始严肃考虑禁止此类机器人的应用
    历史一再证明,技术的复杂最终将为人的复杂所凌驾并同化。
  2. 中国科学界激辩超大型对撞机。在杨振宁先生打破沉默正式表态后,这场大辩论进入了高潮——同时也是阶段性的尾声。理由很简单:在中国,大型科技项目的命运往往完全取决于个别科学家对最高决策层的影响力。这是美国粒子物理学界寄望于中国的理由(他们厌倦了和国会——以及他们背后的「庸众」——打交道,企图「抄近道」)。讽刺的是,或许这也会成为这个项目最终「无疾而终」的理由:因为一句话打开的大门也可能因为一句话而关上。
    当然,超大型对撞机的命运并未获得正式宣判——在中国的体制下,可能永远也不会得到。我们所能做的,只有等待,等待,再等待。
  3. 量子卫星和量子通讯的未来。相比超大型对撞机,量子卫星项目的命运要好上很多,但依然要受到不确定性的左右。自成功发射之日起,对这个项目实用价值的质疑声就不绝于耳。基本的困难可以用一句话总结:量子通讯在理论上是不可窃听的,代价是它极其容易被破坏。事实上,窃听这一行为本身就构成对信息的破坏。
    难道就不能支持我们搞一些屠龙术的研究吗?科学家小声嚅嗫道。当然他们也只能小声嚅嗫。因为政府和公众的回答一定是:「不能!不能!不能!」
  4. 量子计算机的物理实现。同样是一个关于量子系统控制的问题,但难度要高出不少——有些人认为难到「不可能」的程度。公众过高估计了政府/军方对这个项目的兴趣。事实上,能够抵抗量子计算机的加密方案早就被设计出来了(最著名的是格点加密术),这种新技术对加密体系的冲击不会有某些科普文章所宣称的那样大。理论上,我们还不知道量子计算机是否能高效解决NP问题(尽管只需要一个NP-完全的例子!)。因此,对于「为何要制造量子计算机」的疑问,最好的回答可能还是:
    “Because it’s there.” (may well be an illusion, though!)
  5. 科学界反思他们与公共政治的关系。上述三个项目均涉及科学界与公共政治的关系。在国际政治史上,2016将是记录动荡的一页。面对「英国脱欧」和「Trump当选美国总统」这两件欧美公众政治生活中的大事,科学界同样无法视若无睹——更接近事实的描述可能是,今年,许多科学家表现出了前所未有的投入,而包括他们在内的知识精英和左派群体也遭遇了前所未有的排斥和挫败。
    科学家的社会责任是一个古老但常谈常新的论题。在欧美,交锋最为激烈的阵地是进化论和气候变化(后者是部分科学家反对Trump的原因)。在中国,则是转基因食品。我仅仅想谈一点,即某些科学家应该放下「启蒙」的傲慢。在捍卫真理的同时,他们也应该学着去了解人性。
    “Mit der Dummheit kämpfen Götter selbst vergebens”?不,我不相信。
  6. LIGO和引力波侦测。LIGO没能拿到今年的诺贝尔物理学奖,这出乎不少人的意料。我曾开玩笑说诺奖委员会对广义相对论的偏见是一个百年传统。Hawking或许会支持我的观点。
    引力波最终被侦测到,这代表了一个时代的终结。然而我们更感兴趣的是新时代的开始,是新技术,以及被重新唤起的、对实证宇宙学研究的热情,将如何重塑我们对宇宙的理解。我们已经在纸上耗费太多时间了!
  7. 「量子数学」的综合。弦论学家当然认为弦论是物理——而且是那个唯一正确的theory of everything. 找不到超对称让他们苦恼,但似乎还不足以从根本上动摇他们的信念。
    我认为弦论是数学,或者,借用Maldacena的妙语,string是”Solid Theoretical Research in Natural Geometric Structures”的缩写。它应该被视为Atiyah所提出的「量子数学」远景的一部分。当前我们有大量有趣的猜想、观点,也找到了一些(零星的)证明,但整个图景似乎还没有真正浮现。还有太多细节需要被梳理,被归纳,from bottom to top.
    我相信那将会是数学史上最庞大的一个「纲领」,是前所未有的大综合。我相信我们这一代人会找到它!尽管充分理解可能需要几代人,甚至十几代人的共同努力。
    我对自己说:「千里之行,始于足下!」
  8. 8维和24维的最密球堆积。回到确实的成果,我认为2016年最值得被记住的数学事件依然是解决了8维24维的最密球堆积问题——尽管两篇文章在技术上并不困难。模形式、Leech格点,往远处推,「魔群月光」、弦论……这依然是「量子数学」的一部分,而且是和物理关系并不那么密切的一部分(在和物理的交界处我们有「本影月光」,这是另一个有趣的课题)。理解「量子数学」需要两方面的共同努力:既要从物理汲取灵感,也要持续磨砺现有的技术,攻击那些经典的问题。
  9. p进Hodge理论的现状和未来。关于数论和算术几何,我能说的不多(不要因为《Weil猜想漫谈》而误会了我的背景。我的数论知识少得可怜)。但数论前沿的每一次进展,最终都会增进我们对这个物理世界的理解——我这样相信着。Atiyah和Wiles在这个问题上的观点歧异,我并非选择相信Atiyah,而是选择相信自己的直觉。
    奇怪的是。我的直觉总是和Atiyah一致。或许也不那么奇怪。
  10. 人类数学知识图谱」。最后,我用自己的一个小小梦想结束。如果有机会的话,我希望能和合适的人合作着手推进这个计划。
    于是今年的「月旦十事」构成了Ouroboros的形态:我们又从「十」回到了「一」。这让我感到满意。

新的一年,还请大家继续指教。

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