水龍吟

愁來揖讓形骸:「賴君同我周旋久。」
前身北海,匏懸瓠落,今牛馬走。
影跡飄搖,蕭涼一鶴,那堪回首。
下揚州十載,鏘然醒覺,鼓更裡,人簾後。

轉憶膺公座上,每呼尋俊朋清友。
論詩說劍,無端閒卻,補天隻手。
江左沉酣,賭棋揮麝,識興亡否?
到而今痛悔,猶龍老子,是何雞狗!

楊炯好以古人姓名連用,號為「點鬼簿」。駱賓王好以數對,號為「算博士」。小子于一篇之內,驅牛馬鶴麝龍雞狗,宜乎自屬「動物園」,以解眾嘲。

戲為飲品「大葷君」作

DHJ

其一
涪陵崖腳錦城雲,紅岸清歌悄不聞。
攘往熙來成底事?山河付與大葷君。

其二
尊中黜外宜乎禮,秉憲修班諡曰文1
此去華胥應不遠,兆民同夢大葷君。

其三
師夷末技辱斯文,高築長牆書可焚。
卻問何如奧巴馬2?咸稱美甚大葷君!


  1. 諡法,修治班制曰文。「秉憲修班」,即「依法懲處腐敗分子」云云。 
  2. 人名,用拗句。 

Spectra of Modular Surfaces II

上篇:Spectra of Modular Surfaces I

考虑紧致无边Riemann流形M上的自由粒子运动,
(经典模型)作为等能面的单位切丛S(M)\to M,以及作为Hamilton流的测地流\mathcal{G}_t:S(M) \to S(M)
负曲率流形上的Hamilton流是经典混沌系统的典型例子(Hopf, Moser, Sinai, etc.)。
(量子模型)视\Delta为Schrödinger算子,我们得到一个量子混沌系统。
在量子混沌的领域中有大量基于数值实验的猜想有待解决,主要的技术手段是准经典分析(semi-classical analysis)。另一方面,由于\triangleHecke算子交换,算术流形上的量子混沌系统通常有强得多的代数刚性,在许多方面表现得更像是量子可积系统,因而得到了更多成果。
以下讨论将遵循soft vs. hard的二分(dichotomy):先对一般的Riemann流形(M,\triangle)做出陈述,之后承袭对模曲面(X,\triangle)的讨论,将其作为算术模型的特例加以比较。

Distribution of the Eigenvalues
定义N(\lambda)=\{j:\lambda_j\leq \lambda\},研究N(\lambda)的渐进行为是谱几何中的重要论题。
对于紧流形M^n,我们有经典的Weyl密度估计\displaystyle \frac{1}{\lambda}N(\lambda) \to \frac{V(B^n)}{(2\pi)^n}V(M,g)\lambda \to \inftyX的算术性在一定程度上“补偿”了非紧性,这使得Selberg能够利用Selberg迹公式证明同样类型的密度估计\displaystyle \frac{1}{\lambda}N(\lambda) \to \frac{1}{4\pi}V(X)\lambda \to \infty
另一个常见的考察对象是相邻特征值间距的分布。对于量子混沌系统,通常我们期望其相邻特征值的间距分布得足够随机,即满足某个Gauss系综(Gaussian ensemble),但算术量子混沌系统的情况有所不同。
具体地说,对于X(1)=\Gamma(1)\backslash \Bbb H,基于数值实验,我们有
(Cartier猜想) \triangle的所有大于0的(尖点)特征值都是单重的。
V(X(1))=\pi/3,故此时(\lambda_{i+1}-\lambda_i)/12的期望值为1. 在此归一化下,数值实验显示\triangle的相邻特征值间距满足指数分布:
(Steil猜想)\displaystyle \frac{\#\{i\leq N:(\lambda_{i+1}-\lambda_i)/12 \in[\alpha,\beta]\}}{N} \to \int_\alpha^\beta e^{-x}dxN \to \infty
最后是一点题外话。“算术对象服从量子统计”,此类规律通常有大量数值证据支持,却难以从理论上加以证明。很多时候我们甚至无法像上述例子一样,找到一个将物理与数论自然结合的理论框架。以下是2个例子:关于Riemann zeta函数的Montgomery-Odlyzko猜想,以及新近提出的关于椭圆曲线的BKLPR猜想

Quamtum Ergodicity
遍历性(ergodicity)是混沌系统的本质特征之一。量子系统的高能极限对应于h\to 0的准经典近似,我们有理由期待i \to \infty时特征函数f_i趋于X上的一致分布1。我们有2种方式将这一命题精确化:
考虑概率测度\mu_\psi=|\psi|^2dgS(M)上的微局部提升(microlocal lift)\nu_\psi,已知
(SCZ量子遍历定理2)若测地流\mathcal{G}_t:S(M) \to S(M)是遍历的,则\forall \psi\in C_0^\infty(S(M))\displaystyle \frac{1}{N(\lambda)}\sum_{\lambda_i \leq \lambda}|\nu_{f_i}(\psi)-\bar{\psi}|^2=o(1)\lambda \to \infty
Zelditch  Quantum ergodicity of C^{*} dynamical systems
我们称\nu_{f_i}的弱极限为量子极限。由Egorov定理,它是一个\mathcal{G}_t不变的概率测度。比SCZ量子遍历定理更强的,我们有
(量子唯一遍历性猜想,QUE)\nu_{f_i}有唯一的量子极限:S(M)上的Haar测度\nu
Rudnick, Sarnak  The behavior of eigenstates of arithmetic hyperbolic manifolds
已获证明的结果全部来自算术曲面:由于在算术动力系统方面的一系列工作,包括证明了紧算术曲面上的QUE,Lindenstrauss获得2010年的Fields奖。在此基础上,Soundararajan证明了非紧算术曲面上的QUE.
Lindenstrauss  Invariant measures and arithmetic quantum unique ergodicity
Soundararajan  Quantum Unique ergodicity for SL_2(\Bbb Z)\backslash \Bbb H
作为Maass形式理论的一部分,算术量子唯一遍历性猜想在全纯形式理论中有一个完全类似的陈述。此猜想已由Soundararajan和Holowinsky证明,相关消息可以参见AIM的专题报道
作为QUE的提出人之一,Sarnak简要总结了相关论题截止到09年9月的进展。


  1. 反之,对于可积系统,我们则期待i \to \infty时,f_i发生局域化(localization)。 
  2. SCZ指的是Shnirelman, Yves Colin de Verdière和Zelditch. 

水調歌頭·二零一四

二祖慧可問初祖達磨曰:「諸佛法印,可得聞乎?」
祖曰:「諸佛法印,匪從人得。」
可曰:「我心未寧,乞師與安。」
祖曰:「將心來,與汝安。」
可良久曰:「覓心了不可得。」
祖曰:「我與汝安心竟。」

久未逢明月,今夜復孤寒。
聊因世事相問,月影便團團:
「但喚青燈侍酒,莫許紅顏入夢,誰似汝痴頑!」
蹇步固宜矣,大笑轉蹣跚。

杯擲卻,歌唱徹,劍空彈。
從頭翻悔,將心來已得心安。
不執不然不可,無念無身無患,天地又何言?
且作中宵舞,俯仰即人間。

爱因斯坦的上帝,刘慈欣的上帝

「上帝深奥难测,却绝无恶意。」(Raffiniert ist der Herrgott, aber boshaft ist Er nicht.) 此处的「上帝」并非基督教的耶和华,而是泛神论意义上的大自然1。爱因斯坦谈论的是自然研究者的某种普遍信仰,这一点在诺伯特·维纳(Norbert Wiener)的《人有人的用处》(The Human Use of Human Beings)里阐述得很清楚:摩尼教认为「恶」是某种人格化的力量,在永恒的涨落中处心积虑地妨碍人达致「善」;圣奥古斯丁(St.Augustine)则将「恶」定义为「善」的缺失,仅仅是一种暂时的、局部的现象,可以通过人的努力从图景中消除。科学家相信,他们所面对的「恶魔」——物质世界在表面上呈现出的无秩序状态——是奥古斯丁式的而非摩尼教式的。自然可能拒绝被轻易解读,但祂不会主动欺骗人类2

在《三体》中,刘慈欣设想了一个「自然欺骗人类」的场景。世界上的所有粒子加速器同时发生紊乱,对于同样条件下的实验,它们拒绝给出相同的结果。最终读者被告知,这确实是来自上帝的恶意,不过仅仅是来自「地球三体组织」3的「上帝」——三体星人。或许是因为担心对读者造成太过剧烈的冲击,刘慈欣并未跨过科幻小说的底线:他没有尝试肢解科学本身。然而对于自己笔下的人物,刘慈欣就吝于施舍同情了。《三体》中许多物理学家因为信仰粉碎而自杀,他们的生死仅悬于作者这位「上帝」的寥寥一笔。

我回忆起自己的高中时代。在一篇名为《落星》的小说里,我构想了一个因为宇宙秩序崩溃而陷入疯狂的巫觋。我很清楚这个隐喻的指向。小说仅仅是容器,它真正记录下的是一个陷入巨大激情的少年人,不惜乞灵于怀疑主义甚至虚无主义,挣扎着为自己去魅的努力。在几年后的今天看来,这不过是以较为矜持的方式表达了某种自恋,现实从来也不曾屈从于我的想象。如果一个人围绕某种信仰去构建他的人生,或许他的人生不可能比这种信仰本身更坚固。然而,如果你不曾那样活过,你很可能会低估那种信仰的强度。现在我可以有把握地说,科学家不会为了某个图景的崩坏而发疯,或者上吊。这不是因为他们不够虔诚,恰恰相反,是因为他们对爱因斯坦的上帝深信不疑。

这是否足以回应刘慈欣的非难呢?本质上,有两种构建小说的方式:沿着人物的个性漂流,而将种种境遇理解为小说世界的切面,抑或事先布置好舞台场景,再将人物抛掷到幻想的竞技场中。刘慈欣感兴趣的是极端状况下人的选择,他假定一个不可克服的世界,先就人的本性得出了自己的答案,之后才去考虑人作为小说中的角色将如何行动。对刘慈欣的拒绝也因此区分出不同的层面。

最为直接的否定是:刘慈欣构筑的世界并非不可克服。科学基础的崩坏或许将导致绝对的不可知论,但刘慈欣放弃了哲学意义上的探索。从「智子」正式登场的那一刻起,故事从超越的世界滑落现实,完全接受「科技锁死」而不作抵抗的失败主义从此成为所有人物不可反抗的「思想烙印」,在这个设定的帮助下作者才得以顺利地布置好舞台。为此他也付出了代价:牺牲了人物的真实,至少是人物的自由。我们希望——或者奢望——对人类社会的呈现是巴尔扎克式的,包括了每一类人的肖像。在刘慈欣的舞台上,始终只有经过他遴选的同一类人在起舞。

即使接受一个不可克服的世界,反对者依然可以争辩说这个世界不可能是真实的,甚至不是接近真实的:「不能脱离『人类历史』去谈『人类本质』,将人逼迫到悬崖边上拷问是施虐癖的体现,结果将是对人性的扭曲而非揭露。这令人产生情感上的不适,也不会带来满意的道德推论。」「这种假设没有意义。」

然而刘慈欣可以坚持提问:「如果这个世界是真实的呢?」

在现实的层面上拒绝某个答案并不意味着取消了问题本身。允许幻想,就必须允许提问。当《约伯记》里的上帝在旋风中显现:「如果我坚持要试炼你呢?强辩的岂可与全能者争论么?」信仰爱因斯坦的上帝之人又将如何回答4

在我看来,这是文学最有趣的地方——文本会超越作者的意图,而映照出读者本身的形象。

我愿意提供我的答案。每个人本来就面临一种不可克服的命运:个体的消亡。在托尔斯泰的故事里,人类原本可以预知自己的死期,耶稣担心这会导致堕落,因而收回了这种能力。我不知道别人会怎么选择,但「我将在明天死去」「三体舰队将在四百年后到来」无法吓倒我。在有生的瞬间我将继续播种,并不指望看到收获。

在更大的时间尺度上,一切「意义」都是渺小的。在我所知的范围内,宇宙也有自己不可克服的命运:「热寂」(heat death)。将一切压缩到一个故事中,强迫读者直面太阳系的终结,并不能使之变得更加恐怖。我仍将有尊严地活下去,并坦然面对终点。

三体文明经历了一轮又一轮毁灭,西西弗的石头一次又一次滚落原地。即使在没有希望的世界里,绝望也不是绝对的。确实存在一种理智的悲观主义可以抗衡上帝的恶意:“We shall go down, but let it be in a manner to which we may look forward as worthy of our dignity.”5


  1. 由此看来,Raffiniert ist der Herrgott不妨译作「道心惟微」。 
  2. 一种down-to-earth的诠释是将其理解为科学方法论上的建议,再朴素一点,关于「如何聪明地做选择」,例如当实验结果不尽如人意的时候,坚持「自然不会出错,是我错了」,可以节省一半的时间。爱因斯坦喜欢在这个意义上谈论上帝,例如著名的“I, at any rate, am convinced that He is not playing at dice.”
    对此的批判性意见可以上溯到尼尔斯·玻尔(Niels Bohr): “Einstein, don’t tell God what to do.” 其核心论点是:对「微妙」与「恶意」的区分不可避免地带有人类先入为主的偏见。对爱因斯坦来说,基于概率诠释的量子理论是「恶意」的,一个宇称不守恒的世界大概也是,尽管绝大多数现代物理学家愿意将其作为自然的「微妙」加以接受。 
  3. 刘慈欣对「地球三体组织」的构想并非毫无依据:类似「地球解放阵线」(Earth Liberation Front)的组织是真实存在的。 
  4. 后现代的宇宙图景更加开放地拥抱各种可能性,当代的物理学家不惮于设想「上帝或许是促狭的」。下面将要谈到的「我的答案」同样基于某种后现代思想,即加缪(Camus)式的存在主义。两者的共同点在于背离了对世界的古典理解:「如果『上帝』不存在,或者不是善意的,秩序和道德依然是可能的。」即使因此我们必须放弃秩序和道德的必然性,或许还要牺牲演化稳定性。 
  5. Wiener, The Human Use of Human Beings: Cybernetics and Society 

Spectra of Modular Surfaces I

下篇:Spectra of Modular Surfaces II

几天前,某篇宣称证明了Pólya猜想论文(基本可以确定是一记“乌龙”)在我的朋友圈里引发了一些讨论。一种观点是:与20年来复几何、辛几何方面的新思想(例如Donaldson学派为解决同调镜对称猜想而发展的一系列工作)相比,诸如Pólya猜想一类的几何分析问题已经过时了。
必须承认,Pólya猜想在理论上并没有太多有趣的推论。就方法论而言,它固然是特征值估计技术的试金石,但迄今为止,在Li-Yau方法的基础上并没有本质的进步,何况几何分析学家真正感兴趣的也仅仅是第一特征值,整个higher theory还有待发展。
然而,冒着“越俎代庖”的风险,我还是想为谱几何的整体价值稍作辩护。
Laplace算子的谱理论不仅是几何的一部分,也是无穷维表示论的样本。我手头恰好有一个相对晚近的例子,涉及特征值估计技术在模形式理论中的应用,兼有数论和量子物理两方面的重要性。就精神而言,这是Langlands纲领(数论的,几何的,物理的)一部分,是镜对称的“远亲”。
我第一次了解到这方面的数学,是在阅读了P.Sarnak的Baltimore讲稿之后:
Sarnak  Spectra of Hyperbolic Surfaces

经典Maass形式理论的研究对象包括
(1)上半平面\Bbb H在赋予Poincaré度量后成为常曲率双曲Riemann面,面积测度\displaystyle dA=\frac{dx \wedge dy}{y^2},Laplace算子\Delta=-y^2(\partial_x^2+\partial_y^2)
(2)模群PSL(2,\Bbb Z)通过Möbius变换\displaystyle z\mapsto \frac{az+b}{cz+d}作用于\Bbb H,我们感兴趣的子群包括:
(2.1)N阶主同余子群\Gamma(N)=\{\gamma\in PSL(2,\Bbb Z):\gamma \equiv I \pmod{N}\}.模群本身记为\Gamma(1)
(2.2)同余子群\Gamma:对某个N\Gamma(N) \subset \Gamma. 满足上述条件的最小的N称为\Gamma的阶;
(2.3)N阶Hecke同余子群\Gamma_0(N)=\{\gamma\in PSL(2,\Bbb Z):c\equiv 0 \pmod{N}\}
(3)模曲面X=\Gamma\backslash \Bbb H是有限面积的非紧双曲Riemann面。可以通过加入若干个尖点(cusp)使其紧化。X是满足特定算术性质的椭圆曲线的模空间(moduli space),这是经典椭圆函数论的一部分;
(4)Maass形式:满足\Delta f_\lambda=\lambda f_\lambda的光滑函数f_\lambda:X \to \Bbb C
Selberg细致地研究了(\Delta,X)的谱:
Selberg   On the estimation of Fourier coefficients of modular forms
具体地说,有界复函数\displaystyle \mathcal{B}(X) \subset \mathcal{L}(X)=L^2(X,dA)\Delta作用下分裂为2个正交不变子空间:\mathcal{B}(X)=\mathcal{C}(X)\oplus \mathcal{E}(X)
\mathcal{C}(X)由尖点型(cuspidal)函数f构成:f在任意尖点处的Fourier展开均无常数项,或者等价的,在环绕任意尖点的极限圆(horocycle)上有周期(period)0。
自共轭紧算子\Delta|_{\mathcal{C}(X)}有离散谱0=\lambda_0<\lambda_1\leq\lambda_2\leq \cdots\lambda_i \to \infty
由谱定理,\mathcal{C}(X)\mathcal{L}(X)中的完备化\tilde{\mathcal{C}}(X)拥有一组完备正交基对应\Delta的谱分解。
f \in \mathcal{E}(X)是一类Eisenstein级数\Delta|_{\mathcal{E}(X)}仅在\lambda=0处有点态谱,此外有连续谱[\displaystyle \frac{1}{4},\infty). 因而,对于特征值\lambda>0,相应的特征函数f_{\lambda}将自动成为Maass尖点形式1
\lambda=\nu(1-\nu)f_\lambda有Fourier-Whittaker展开:
\displaystyle f_{\lambda}(z)=\sum_{n \neq 0}a(n)\sqrt{2\pi y}K_{\nu-\frac{1}{2}}(2\pi|n|y)e(nx)Bessel函数\displaystyle K_\nu(y)=\int_0^{+\infty}e^{-y \cosh t}\cosh(\nu t)dt
Iwaniec  Introduction to the Spectral Theory of Automorphic Forms

X的算术性体现在Hecke算子作用于\mathcal{L}(X):对于N阶同余子群\Gamma(n,N)=1,定义
\displaystyle (T_nf)(z)=\frac{1}{\sqrt{n}}\sum_{ad=n}\sum_{b=0}^{d-1}f(\frac{az+b}{d})
(1)T_n正规算子\Gamma=\Gamma(1)\Gamma_0(N)时是自共轭算子;
(2)\displaystyle T_mT_n=T_nT_m=\sum_{d|(m,n)}T_{mn/d^2}T_n\Delta=\Delta T_n
(3)\mathcal{C}(X)T_n的不变子空间;
若尖点形式f_\lambda同时是所有T_n的特征函数,则称其为Maass-Hecke特征形式2,在标准化a(1)=1下,我们有T_nf_\lambda=a(n)f_\lambda,\forall n. 考虑Hecke L-函数
\displaystyle L(s,f_\lambda)=\sum_{n=1}^{\infty}a(n)n^{-s}=\prod_p(1-a(p)p^{-s}+p^{-2s})^{-1}
(Ramanujan-Petersson猜想)|a(p)|\leq 2,或者,|a(n)|\leq\sigma_0(n)\sigma_0因子函数
Deligne对Weil猜想的证明可推出全纯尖点形式的Ramanujan-Petersson猜想。Maass尖点形式的Ramanujan-Petersson猜想迄今为止尚未得到证明。

回到对\Delta的讨论。我们将另辟新章讨论作为算术量子混沌系统的(X,\Delta)及其高能渐进。在低能端,数论学家感兴趣的主要是第一特征值估计:
(Selberg 1/4猜想)\displaystyle \lambda_1(X)\geq \frac{1}{4},即\Delta大于0的离散谱完全落在连续谱\displaystyle [\frac{1}{4},\infty)中。
(Selberg 1/4猜想,几何分析形式)\forall f\in C^\infty_0(X)满足\int_X fdA=0,梯度估计
\displaystyle \int_X |\nabla f|^2 dA \geq \frac{1}{4}\int_X|f|^2dA成立。
不难证明1/4是最优的:N \to \infty时,(\Delta,X(N))的尖点谱在[\displaystyle \frac{1}{4},\infty)中趋于稠密。事实上,对于不可约2维偶Galois表示\rho:\mathrm{Gal}(K/\Bbb Q) \to GL(2,\Bbb C),若相应的Artin L-函数L(s,\rho)是整函数(即满足Artin猜想),则通过Langlands对应原理,它给出X(N)上的Maass尖点形式f_{1/4}N\rho的导子。
对于X(1),通过简单的推理即可得到强得多的下界,例如3\pi^2/2 (Vignéras). 对于一般的X,Selberg证明了\lambda_1(X)\geq 3/16.

从Langlands哲学的角度看,Ramanujan-Petersson猜想和Selberg 1/4猜想是同一个猜想在不同的位(place)上的体现。我们简单地说明这一点。
G(\Bbb Q)=GL(2,\Bbb Q)G(\Bbb A)=GL(2,\Bbb A)Z(\Bbb A)G(\Bbb A)的中心。G(\Bbb A)上有平凡中心特征的尖点形式空间L_0^2(Z(\Bbb A)G(\Bbb Q)\backslash G(\Bbb A))\phi:G(\Bbb A) \to \Bbb C构成的Hilbert空间,\phi满足
(1)模性:\phi(\gamma g z)=\phi(g)\forall \gamma \in G(\Bbb Q),\forall z\in Z(\Bbb A)
(2)平方可积性:\displaystyle \int_{Z(\Bbb A)G(\Bbb Q)\backslash G(\Bbb A)}|\phi(g)|^2dg <\infty
(3)尖点性:\displaystyle \int_{\Bbb Q\backslash \Bbb A}\phi(\begin{pmatrix}1&&x \\ 0&&1\end{pmatrix}g)dx=0\forall g\in G(\Bbb A)
G(\Bbb A)L_0^2(Z(\Bbb A)G(\Bbb Q)\backslash G(\Bbb A))上的作用(\gamma f)(g)=f(g\gamma)给出G(\Bbb A)的酉表示,称为尖点表示(cuspidal representation),它可以分解为不可约可容许表示(admissible representation)的直和3
Maass-Hecke特征形式f可以唯一地提升为\phi_f\in L_0^2(Z(\Bbb A)G(\Bbb Q)\backslash G(\Bbb A)),记相应的不可约表示为\pi_f,我们考虑\pi_f在不同位上的分解\pi_f=\pi_\infty \otimes \prod \pi_p. 对于非Archimedean位p和Archimedean位\infty处的可容许表示,我们分别有Bernstein–Zelevinsky分类Langlands分类作为参考的“地标”:
(Ramanujan-Petersson猜想,表示论形式)\pi_p主级数表示(p,N)=1
Satake  Spherical functions and Ramanujan’s conjecture
(Selberg 1/4猜想,表示论形式)\pi_\infty是主级数表示;
Langlands提出上述2个猜想可以由GL(2)\to GL(m+1)的Langlands函子性猜想推出。这决定性地影响了对Selberg猜想的现代研究。
m=2(Gelbart-Jacquet),m=3(Kim-Shahidi)和m=4(Kim)的函子性已得到证明。最后一个结果给出当前的最佳下界记录: \displaystyle \lambda_1(X)\geq \frac{975}{4096}=0.238\dots


  1. 这个现象体现了某种算术刚性:对于一般的(generic)双曲曲面X,Phillips-Sarnak理论暗示至多有有限个特征值以尖点形式为特征函数。
    Phillips, Sarnak  On cusp forms for cofinite subgroups of PSL(2,\Bbb R) 
  2. 基于大量数值实验,Cartier猜想(\Delta,X(1))的所有正特征值都是单特征值。如果这个猜想成立,那么X(1)的所有Maass尖点形式都是Maass-Hecke特征形式。 
  3. Jacquet和Langlands对GL(2)证明了重数1定理:在上述分解中每个不可约可容许表示有重数1. 一般地,我们希望决定所有使重数1定理成立的可约群。
    Jacquet, Langlands  Automorphic forms on GL(2)