Weil猜想漫谈 II:数杏仁

Zähle die Mandeln,
zähle, was bitter war und dich wachhielt,
zähl mich dazu.

Paul Celan (1920-1970)

记曲线C上的\Bbb F_{q^n}-点集为C(\Bbb F_{q^n})N_n:=|C(\Bbb F_{q^n})|是我们感兴趣的「杏仁」个数。
我们希望说明上一章所定义的Z_C恰好包含了我们需要的所有信息1
\displaystyle \log Z_C(T)=\sum_{n \geq 1}\frac{N_n}{n}T^n
为此只需对\displaystyle Z_C(T)=\prod_{x \in C}(1-T^{\deg(x)})^{-1}的两边取对数,并注意到右端可以整理为
\displaystyle -\sum_{x \in C}\log(1-T^{\deg(x)})=\sum_{i=1}^{\infty}\sum_{x\in C}\frac{(T^i)^{\deg(x)}}{i}=\sum_{n \geq 1}\frac{N_n}{n}T^n
最后一个等式是因为\displaystyle N_n=\sum_{x\in C,\deg(x)|n}\deg(x).
\zeta_CN_n互相决定,这在方法论上令人满意:研究\zeta_C给出了数「杏仁」的统一途径。

在(A1)中令P_{2g}=(1-a_1 T)\cdots(1-a_{2g} T),则我们有显式
\displaystyle N_n=1+q^n-\sum_{i=1}^{2g}a_i^n
即便在不具体求解a_i(取决于曲线C)的情况下, 「Riemann猜想」(A3)也允许我们给出统一的估计:
(A3’,Hasse-Weil上界) \displaystyle |N_n-1-q^n|\leq 2g q^{n/2}
反过来,利用(A2),请读者自行证明:若(A3′)对\forall n成立,则可逆推出(A3)成立。

现在让我们回溯到现代数论初生的年代,寻找另一条数「杏仁」的线索。在对二次互反律的研究中,Gauss定义了所谓的二次Gauss和,并发现可以用它计算诸如ax^3-by^3=1ax^4-by^4=1y^2=ax^4-b等方程有多少个模p解。他甚至提出了类似Hasse-Weil上界的猜想以估计N_1
Gauss的工作为Jacobi所继承和推广。特别地,他定义了与Gauss和紧密相关的Jacobi和。一般的,选定有限域\Bbb F_q和加法特征\psi: \Bbb F_q \to \Bbb C^{*}. 熟知\Bbb F_q^{*}q-1阶循环群,故任意乘法特征\chi: \Bbb F_q^{*} \to \Bbb C^{*}均由「生成元-单位根」的对应关系完全决定。约定\chi(0)=0,我们定义
Gauss和\displaystyle G_q(\chi):=\sum \chi(r)\psi(r). 平凡特征的Gauss和为0,对于非平凡的\chi|G(\chi)|=q^{1/2}(Gauss定理)。
Jacobi和\displaystyle J_q(\chi_i,\chi_j):=\sum \chi_i(r)\chi_j(1-r).
Gauss和与Jacobi和分别是\Gamma函数Beta函数在有限域上的类比2。特别地,我们有G(\chi_i\chi_j)J(\chi_i,\chi_j)=G(\chi_i)G(\chi_j).
\chi=(\chi_0,\cdots,\chi_r),我们可以推广Jacobi和的定义如下:
\displaystyle J(\chi)=\prod_{i=0}^{r} G(\chi_i)/G(\prod_{i=0}^{r} \chi_i),若\chi_i\displaystyle \prod_{i=0}^{r} \chi_i均不平凡;
\displaystyle J(\chi)=\prod_{i=0}^{r} G(\chi_i)/q,若\chi_i均不平凡但\displaystyle \prod_{i=0}^{r} \chi_i平凡;

Helmut Hasse (1898-1979) 重拾起这条线索:他与Davenport合作,运用Gauss和与Jacobi和,对\Bbb F_q上形如a_0x_0^{n_0}+a_1x_1^{n_1}+a_2x_2^{n_2}=0的仿射曲面证明了估计
\displaystyle |N_1-q^2|\leq M (q-1)q^{1/2}
这是迈向高维的第一步。
Davenport, Hasse  Die Nullstellen der Kongruenzzetafunktionen in gewissen zyklischen Fällen

接下来,就轮到André Weil (1906-1998)登场了。让我们先来看著名的[Weil, 1949]:
Weil  Numbers of solutions of equations in finite fields
对于\Bbb F_q上形如a_0x_0^{n_0}+a_1x_1^{n_1}+\cdots+a_dx_d^{n_d}=0的超曲面,记g_i=(n_i,q-1). 考虑所有\chi=(\chi_0,\cdots,\chi_r),使得\chi_i不平凡,\chi_i^{g_i}平凡且\displaystyle \prod_{i=0}^{r} \chi_i平凡。我们记\displaystyle C(\chi)=\bar{\chi}_0(a_0)\cdots\bar{\chi}_r(a_d)J(\chi).
整理(并推广)Davenport, Hasse的工作,Weil证明了3
\displaystyle N_1=q^d+(q-1)\sum_\chi C(\chi)
由Gauss定理,|C(\chi)|=q^{(d-1)/2},从而有Hasse-Davenport型估计:\displaystyle |N_1-q^d|\leq M (q-1)q^{(d-1)/2}

到目前为止我们仅仅考察了N_1. 利用Gauss和的Hasse-Davenport提升关系,可以找到N_n的生成函数。通过在高维计算和观察具体的例子,Weil提出了著名的Weil猜想
给定定义在\Bbb F_q上的d维光滑射影簇XX(\Bbb F_{q^n})X上的\Bbb F_{q^n}-点集。令N_n:=|X(\Bbb F_{q^n})|并考虑生成函数\displaystyle \log Z_X(T):=\sum_{n \geq 1}\frac{N_n}{n}T^n
(W1-) Z_X \in \Bbb Q(T). 更精确的,\displaystyle Z_X(T)=\frac{P_1\cdots P_{2d-1}}{P_0\cdots P_{2d}},其中P_i \in \Bbb Z(T)P_0=1-TP_{2d}=1-q^d T
(W2-) 函数方程:\displaystyle Z_X(\frac{1}{q^d T})/Z_X(T)=\pm(q^{d/2}T)^{\chi}\chi \in \Bbb Z
(W3)「Riemann猜想」:P_i的零点有模q^{-i/2}i=0,1,\cdots,2d

和(A1-)(A2-)类似,(W1-)(W2-)也有更精细的表述。以Fermat超曲面X:a_0x_0^m+a_1x_1^m+\cdots+a_dx_d^m=0为例,Weil算得:
\displaystyle \sum_{n \geq 1}\frac{N_n}{n}T^n=\log(\frac{1}{(1-T)\cdots(1-q^{d-1}T)})+(-1)^d\log P(T)
\displaystyle \deg(P)=\sum_\chi 1\chi=(\chi_0,\cdots,\chi_r),使得\chi_i不平凡,\chi_i^m平凡且\displaystyle \prod_{i=0}^{r} \chi_i平凡。另一方面,Dolbeault告知Weil,如果将a_i提升回\Bbb Z上并考虑作为复代数簇的Fermat超曲面X,则X恰有Poincaré多项式1+T^2+\cdots+T^{2d-2}+\deg(P)T^d
参考(A1)(A2),Weil进一步猜想:
(W1)\deg(P_i)=b_i(X)
(W2)\chi为代数簇X的Euler示性数;
注意到我们并没有指明此处我们使用的是何种(上)同调论。这个问题非常微妙:事实上,是证明Weil猜想的关键所在。

最后我们想简要谈一谈「整体与局部」的问题。
对于定义在\Bbb Q上的光滑代数簇X,考虑其模p约化。对几乎所有p,约化都是的:给出定义在\Bbb F_p上的光滑代数簇X_p. 此时\displaystyle \zeta_{X_p}(s)=Z_{X_p}(p^{-s}):=\exp(\sum_{n \geq 1}\frac{N_n}{n}p^{-ns})称为局部\zeta函数。将这些局部\zeta函数相乘,我们得到一类整体\zeta函数,称为Hasse-Weil \zeta函数4。Riemann \zeta对应X为单点的情形。
Hasse-Weil \zeta / L 函数包含了大量数论信息。仅仅是对椭圆曲线定义的L_E(s)就涉及好几个艰深的数学定理/猜想(参见《有理域上的代数曲线》的最后几篇文章)。
(1) \Re s>3/2时,L_E(s)收敛:等价于(A3′)!
(2) L_E(s)可以解析延拓到全平面,有函数方程,满足「Riemann猜想」:必须借助Wiles,Taylor等人的模定理(谷山-志村猜想)证明。后者作为Langlands纲领的特例,是Wiles证明Fermat大定理的关键;
(3) L_E(s)s=1处的展开性状包含了E的结构信息:这是千禧七大难题之一的Birch和Swinnerton-Dyer猜想,迄今尚未得到证明5
对于高维代数簇X,时至今日,数学界仅仅完成了上面的(1),即Weil猜想的证明。
(2)中的解析延拓猜想和函数方程猜想通常被合称为Hasse-Weil猜想。现阶段我们对一般的X无能为力,所有成果几乎都源于在志村簇上建立Langlands对应的尝试。
最后,让我们也来猜想吧:我们这一代人能对于最一般的X找到类似(3)的精确陈述,提出可能的证明路径,并最终成功证明(哪怕是作为特例的BSD猜想)吗?


  1. 在本文的第一稿中,我们勾勒了一个潦草(因而不正确)的证明。感谢细心的读者Yuzhou Gu指出这一点。如果要作自我辩护的话——这当然是一个玩笑,在数学中没有错误值得辩护——我们非常愿意归咎于坏榜样Littlewood: “Professor Littlewood, when he makes use of an algebraic identity, always saves himself trouble of proving it; he maintains that an identity, if true, can be verified in a few lines by anybody obtuse enough to feel the need for verification.” (Dyson, 1944) 
  2. 考虑K=(\Bbb R,+,*),加法特征\psi(x)=e^{-x}. 若x>0,令乘法特征\chi(x)=x^z=e^{z\log x},否则令\chi(x)=0. 作为乘法群,\Bbb R_{+}有Haar度量dx/x,此时K上的「Gauss积分」和「Jacobi卷积」分别给出\Gamma函数和Beta函数。 
  3. Weil指出华罗庚与Vandiver于同一时期得到了本质相同的结果。华先生曾不止一次与名家「撞车」,最出名的可能是他在多复变函数论方面的工作:他对Siegel模形式的研究几乎与Siegel同时。 
  4. 注意此处我们故意忽略了坏约化(至多有限个)——这是问题中较微妙的部分,涉及Galois表示的问题。 
  5. 尽管通常被认为是余下六个问题中最有希望取得突破的一个。 

Weil猜想漫谈 Ⅰ:zeta种种

前言

《Weil猜想漫谈》是对《Riemann猜想漫谈》的致敬和补充。如果读者对Riemann \zeta函数的基本性质不甚了解,我建议在进行这个系列的阅读之前,先行补充相关的知识:可以从面向大众的科普《Riemann猜想漫谈》开始,也可以直接参考更专业的书籍。
此外我们假定读者对代数几何和代数拓扑有最基本的了解。简单地说,能形成关于「射影代数簇」和「同调群」的几何想象就可以了。我们的漫谈将会是「几何式的」:我们希望最终读者能「看」懂Deligne的证明,而无需深入到代数细节中去。这也符合「漫谈」的定义。对于希望彻底理解所有细节的读者,我们能给出的最好建议是直接阅读SGA系列中的4\displaystyle 4\frac{1}{2}5,还有7.
最后,如果读者对模形式理论有所了解,例如,读过A Course in Arithmetics的第7章,那将再好不过。
不过,上述所有要求都不是必要的。毋宁说我们真正要求的是一定的数学成熟度(maturity). 或者,退到更基本的层面,是足够强烈的好奇心加上足够多的时间投入。

可以说Weil猜想的故事有两个源头:一是Gauss,一是Riemann. 也可以说Weil猜想的故事只有一个源头:德国数论学派,或者,局限到一个地点,Göttingen.
我们选择从Riemann对\zeta函数的研究开始我们的漫谈。
熟知Riemann \zeta函数指的是定义在\Re{s}>1上的解析函数\displaystyle \zeta(s)=\sum_{n=1}^{\infty}n^{-s}.
这个函数在数论中占有核心地位,因为通过Euler展开式\displaystyle \zeta(s)=\prod_{p}(1-p^{-s})^{-1},可以利用它研究素数p的分布。
Riemann的贡献包括但不限于:
(R1) 给出了\zeta(s)在整个复平面上的解析延拓,延拓后的亚纯函数\zeta(s)仅在s=1处有单极点;
(R2) 发现\zeta(s)\zeta(1-s)的比值满足函数方程:
\displaystyle \zeta(s)/\zeta(1-s)=2\Gamma(1-s)(2\pi)^{s-1}\sin(\frac{\pi s}{2}),此处\GammaGamma函数。由此不难看出\zeta(s)有平凡零点s=-2nn=1,2,\cdots;
(R3) 提出了著名的Riemann猜想
\zeta(s)的所有非平凡零点都分布在函数方程的「对称轴」\Re{s}=1/2上;

Dedekind将上述想法推广到一般数域K上。定义K的Dedekind \zeta函数为\displaystyle \zeta_K(s)=\sum_{\frak{a}}N(\frak{a})^{-s}=\prod_{\frak{p}}(1-N(\frak{p})^{-s})^{-1}\frak{a}取遍O_K的非零理想,N(\frak{a})=|O_K/\frak{a}|\frak{p}取遍O_K的极大理想1
Hecke给出了\zeta_K(s)在整个复平面上的解析延拓,延拓后的亚纯函数\zeta_K(s)仅在s=1处有单极点。类似的,此时我们也有函数方程和「Riemann猜想」(通常称为扩展Riemann猜想,Extended Riemann hypothesis).

引导数论/算术几何发展的一条核心线索是数域和函数域的类比。在函数域上陈述的猜想往往更容易证明,因为此时我们可以应用几何想象力来辅助研究。这是早在19世纪后半叶就被广泛注意到的事实(Dedekind, Kronecker, etc.)。
Heinrich Kornblum (1890-1914) 首先考虑了Riemann \zeta函数在函数域上的类比。给定有限域\Bbb{F}_pF=\Bbb{F}_p(U),定义\displaystyle \zeta_F(s)=\prod_{h}(1-N(h)^{-s})^{-1}h取遍\Bbb{F}_p[U]中所有首一不可约多项式,N(h)=p^{\deg(h)}. 不难证明此时我们有显式\displaystyle \zeta_F(s)=(1-p^{1-s})^{-1}.
Kornblum还考虑了FL-函数,并证明了Dirichlet算术级数定理的类比2:对于互素的非零多项式a,b \in \Bbb{F}_p[U],存在无穷多个首一不可约多项式h使得h \equiv b \mod a. 读者可以自行尝试复现他的推理:模仿我们之前介绍过的Dirichlet定理的解析证明
在此,我们看到了函数域(几何)比数域(数论)「简单」的第一个重要迹象:函数域上的\zeta函数实际上是有理函数。

下一个进场的是同样来自Göttingen学派的代数大师Emil Artin (1898-1962). 1923年,模仿Dedekind,他考虑了函数域的有限扩张,特别是二次扩张。具体地说,给定特征p的有限域\Bbb{F}_qF_0=\Bbb{F}_q(U)F=F_0(V)V^2=P(U),此处P是没有重根的多项式。熟悉代数几何的读者可能已经发现,我们定义的F正是光滑仿射代数曲线C:=\{(v,u) \in \Bbb{F}_p^2:v^2=P(u)\}的函数域。老读者则可能会回想起这个博客早期有一系列题为《有理域上的代数曲线》的文章,讨论过\Bbb Q上类似方程的求解。
由此可以给出\zeta的几何定义。F的极大理想对应C上的闭点。定义\displaystyle \zeta_C(s)=\prod_{x \in C}(1-N(x)^{-s})^{-1}x取遍C上的闭点,N(x)=q^{\deg(x)}.
上述\zeta_C的定义可以不改一字地照搬到射影曲线上。以下我们仅考虑光滑射影曲线。
通过试验,Artin提出了如下猜想:
(A1-) \zeta_C可以写成Z_C(q^{-s})的形式,Z_C \in \Bbb{Q}(T);
(A2-) 函数方程:Z_C(1/qT)/Z_C(T)是一个有理函数;
(A3)「Riemann猜想」:Z(T)的所有零点都在「对称圆」|T|=q^{-1/2}上;

Kornblum研究的实际上是C=P_{\Bbb F_q}^1,或者说曲线亏格g=0的情况:\displaystyle \zeta_C(s)=(1-p^s)^{-1}\zeta_F(s),添上的一项对应\infty的贡献。此时\displaystyle Z_{P_{\Bbb F_q}^1}(T)=\frac{1}{(1-T)(1-qT)}. 这个简单的有理表达式让解析延拓、函数方程甚至「Riemann猜想」均成为平凡的!

1932年,Friedrich Karl Schmidt (1901-1977) 对于一般射影曲线证明了更精细的:
(A1) \displaystyle Z_{C}(T)=\frac{P_{2g}(T)}{(1-T)(1-qT)}2g次多项式P_{2g}\in \Bbb Z[T]g是曲线C的亏格。
(A2) Z_C(1/qT)/Z_C(T)=(qT^2)^{1-g};
几何比数论「简单」的第二个重要迹象于此显露:几何起源的\zeta函数包含了几何对象的拓扑信息。反过来,如果我们对于几何对象的拓扑有了足够的了解,不难想象这将极大地推动\zeta的研究。事实上,Schmidt的上述证明正是基于他一生中最重要的工作:建立了有限域上的光滑射影曲线的Riemann-Roch定理
自此,代数拓扑方面的研究成为Weil猜想研究的主轴。我们将在讨论Weil上同调论时回顾Schmidt的工作。

另一方面,Schmidt却未能给出(A3),即「Riemann猜想」的证明。几年后Hasse成功证明了g=1,即椭圆曲线的情况,一个一般性的证明要等到40年代Weil的登场。这是Weil猜想「史前史」的终点,也是Weil猜想的起点。


  1. 熟知Dedekind整环Knull维数1:所有非零素理想都是极大理想。这解释了记号\frak{p}
  2. Kornblum不幸于一战中战死。他关于Dirichlet定理的遗稿Uber die Primfunktionen in einer arithmetischen Progression经Landau之手于1919年发布。 

鶯啼序·丙申中秋即景

新涼忽催疾霈,溼中秋時節。
近十載,天上人間,差惯剎那圓缺。
煙波遠,吳山更遠,相思此夜偏輕齧。
動寒笙,輾轉低吟,客心吹徹。

憶昔長歌,汀葭盡處,亂嬌鶯彩蝶。
綠波裏、蕩漾鞦韆,流光飛舞笑靨。
怕斜陽、昏花醉眼,倩高燭、扶持垂睫。
漫呵來,筆底龍蛇,競填詩篋。

青春倏爾,紅袂才牽,柳下竟分訣。
待拾取、古都落葉,新界斷梗,被露霑霜,浸冷成鐵。
滄桑幾變,悲欣俯仰,愁城硉矹橫今古,縱蹉跎、咄咄書何屑。
鷗盟但在,關河醒夢飄搖,雙眸清炯難滅。

南窗奏雨,卷擁孤燈,照影形交疊。
念前世,曼殊隔海,一葦爭航,顛倒閻浮,有情皆孽。
痴兒卻道:「緣生緣盡,還如潮卷雲聚散,到明年、豈必無明月?
直須推倒金樽,獨自憑欄,聽風嗚咽。」

调查

从来没有尝试过在WordPress上run a poll. 想借目下这个机会,听听大家的反馈。调查的初衷如下:

在《月旦》之余,也希望恢复这个blog之前posting的模式,即选定某个主题,以一系列的文章,谈一些有意思的内容。过去几年,手头多少也积累了一些草稿,再结合目前的兴趣,初步拟定了以下3个方向。

其一是酉表示论。想在谈一谈这个理论的经典内容(附带一点几何表示论)。当然会包括表示论在量子物理和数论 (所谓“尖点哲学”,the philosophy of cusp forms) 中的应用。「物理-数论」的对偶是当下我最想理解的一件事。

其二是Weil猜想。卢昌海兄的《黎曼猜想漫谈》是一本很不错的科普书,但其中介绍Weil猜想的部分并不让我满意1。因而一直存了一个念头,即以半严谨半启发 (heuristic) 的方式来介绍一下Weil猜想,包括Grothendieck在平展上同调理论方面的奠基性工作,以及Deligne的「世纪大证明」。

其三是对偶和M理论,即所谓的「第二次超弦革命」的内容。这部分内容是最新的(大部分是最近20年的成果),与之相应,我的理解也是最浅的。没有十足的把握能写好,但不妨试一试。
d6b8e73e8abb4bb

好了,现在是投票时间2

投票截至10月1号下一期《月旦》发布。See you then.

9月25日:
有鉴于投票结果似乎有收敛的迹象,我自作主张,提早一星期结束了投票,以便为posting留出时间,不与下一期《月旦》冲突。恳请还没来得及参与的朋友原谅我小小的任性——下次请务必赶早:)

投票的结果,是前半程酉表示论一路领先,但Weil猜想后来居上。权衡后的决定,是两个系列都写,但会先完成(或者说发布)《Weil猜想漫谈》。

谢谢大家的参与。


  1. 卢兄本人似乎是满意的。只能说见仁见智。 
  2. WordPress默认使用Polldaddy插件进行投票,后者基于Java Script实现。如果看不到投票栏,请等待一段时间,或者更换浏览器。 

月旦 Ⅶ

For August, 2016

David Cox为环面簇(toric variety)写过不少介绍材料,最新的一份侧重于介绍这类代数簇在最小模型纲领(minimal model program)以及镜对称中扮演的”toy model”角色。

When is an algebraic geometer skillful enough? 这个问题的趣味正在于缺乏统一的标准!我们甚至可以问,Edward Witten的代数几何技术是否算得上”skillful enough”?(有人认为他的代数几何知识相当于一个中等水平的复代数几何学家。)Cumrun Vafa呢?(有人认为他只学到了导师Witten一半的代数几何知识——这当然是一个善意的玩笑。)
Pieter Belmans提供了一个代数几何知识的小测试:在0,1,2,3维,一个有志于成为skillful algebraic geometer的研究生应该了解某些特殊簇的特性,以及它们之间的关联1

John Baez的代数几何水平大概比不上Witten或者Vafa. Anyway, 这篇讨论「Abel簇刚性」的post或许会让某些读者感兴趣——尽管我不觉得这足以称为”miracles of algebraic geometry”.

Quanta Magazine就本影月光猜想 (umbral moonshine)采访了Miranda Cheng.

截至到8月10日,Polymath项目在MathOverflow上公开征集到了20个适宜作为项目提案的组合问题。某些读者或许会对这份清单感兴趣。

Weinberg的新书To Explain the World: The Discovery of Modern Science在短短一年间就有了中译本
我不知道大师为何要写这样一本书。缺乏originality的书写是多余的。收集材料并加以评论(就像我现在所做的那样),那是中学生就足以胜任的事。
从Felix Klein, André Weil到Vladimir Arnold再到Steven Weinberg,我们似乎在目睹数学史/科学史这种体裁的没落和sublimity的消失。

顺手记下一则轶闻。1958年6月1日Siegel写信给Weil,感慨道:

It is entirely clear to me what circumstances have led to the inexorable decline of mathematics from a very high level, within about 100 years, to its present nadir. The evil began with the ideas of Riemann, Dedekind and Cantor, through which the well-grounded spirit of Euler, Lagrange and Gauss was slowly eroded. Next the textbooks in the style of Hasse, Schreier, and van der Waerden, had further a detrimental effect upon the next generation of scholars. And finally the works of Bourbaki here provided the last fatal shove.

2016年8月16日1时40分,量子科学实验卫星「墨子号」于酒泉卫星发射中心搭载长征二号丁运载火箭发射升空。
在此祝贺潘建伟院士及其团队!
关于这颗卫星的意义,已经有不少讨论,甚至质疑。这是个一言难尽的话题,我们不拟做进一步的讨论。
倒是想说几句关于墨子的闲话。尊奉墨子为中国乃至世界光学研究的先驱,大抵因为《墨子》中收录的《经》《经说》两篇2,对成像原理有点到即止的论述。之后二千年,称得上进一步研究的,大概只有沈括《梦溪笔谈》中的一两条记录。我不知道后人该引以为荣,还是觉得不好意思。

中国要不要建设下一代高能对撞机?观察者网刊登了丘成桐和王孟源两位先生的辩论
Both wrote in a distasteful style.


  1. 基本相当于熟读Griffiths, Harris的水平——一个并不算高的要求。具体到专门的子领域,可以提出更高的要求,比方说:复代数曲线,一个合格的研究者至少应该熟读Arbarello, Cornalba, Griffiths, Harris; 复(代数)曲面,至少应该熟读Barth, Hulek, Peters, van de Ven , etc. 对此,我个人的意见基本反映在这份书单里。 
  2. 《经》和《经说》历来都是研究者感兴趣的篇目。因其文体最古,近乎格言。涉及内容既广,错讹又多,颇有难以索解之处。 

月旦 VI

For July, 2016

病了一个星期,因此耽搁了许多计划——也包括「月旦」。
幸运(?)的是,7月并没有特别值得一提的新闻。这次,让我们聊一些比较轻松的话题。

望月新一宣称证明了abc猜想——这已经是4年前的事了!当时我们曾趁热写过一篇小科普,在最初等的层面上介绍了这个著名猜想以及部分简单推论。
4年之后,数学界依然未能充分理解望月的证明。「谨慎的乐观」往往是「悲观」的近义词,理解了这一点,或许我们能更好地理解这篇发表在Nature上的文章:
Castelvecchi  Monumental proof to torment mathematicians for years to come
在某种意义上,望月新一的case可以拿来和韩春雨,以及更早的小保方晴子、黄禹锡对比。做这样的类比并非暗示四者皆伪:在学界尚未论定的情况下,此类暗示无疑是对望月新一和韩春雨的冒犯。我感兴趣的是更加形而上的话题:作为「共同知识」的科学是如何成型并被接受的呢?或者说,科学知识如何成为共同的,在对知识的理解和检验都越来越局限于有特殊资格的个人的今天?

弦论2016年年会正在清华大学召开。Speakers讨论的主题很松散,在我看来这不是一个好兆头。
问题依然在于:如果真的如同Witten所相信的那样,超弦理论是「21世纪的理论错误地落在了20世纪」,那么,我们就不可能「盲人摸象」,仅仅依靠20世纪的实验条件来揭露这个理论的全貌和真容。即使弦论的反对者也必须直面同样的难题:仅凭科学哲学亦无法彻底击杀超对称,有能力一锤定音的惟有实验。
于此,物理终结了,而技术、经济,乃至政治开始了。

卢昌海兄新开了一个专栏,主题是(再一次成为热点的)引力波。有广义相对论背景的读者,或许会对「以能量条件为线索介绍若干广义相对论专题的系列文章」更感兴趣。这是专栏《从奇点到虫洞》的内容(已出版成书)。

对量子复杂度理论感兴趣的读者可以关注下面这份notes:
Aaronson  The Complexity of Quantum States and Transformations: From Quantum Money to Black Holes
在这个领域的前沿有许多fancy的概念,只需很少的数学便可理解。

在病中读完了Stephen Wolfram的「大书」A New Kind of Science. Wolfram对「科学」这个词的认识是扭曲的。他更接近于一个博物学家 (Historia Naturalis),借助计算机这个工具收集并分类现象,其中某些或许会引发离散动力系统研究者的兴趣。然而没有深入的分析和洞察就不可能建立真正的「科学理论」——显然,这已非远离学界30年的「商人」Wolfram所能胜任。

月旦III中提及的arXiv用户调查已经有了结果。用户期待的新功能包括但不限于:

  • Consistent inclusion of information and links about the published versions of the papers.
  • More refined options for alerting, both email and RSS. Several respondents specifically requested email alerts for works by a particular author, and there was some interest in HTML-formatted email with live links.
  • Linking papers to each other via citations and actionable links in bibliographies.

8月份的「月旦」,一个预定的讨论内容是量子通讯——如果中国、也是全世界的第一颗量子卫星能够如期升空的话。

月旦 V

For June, 2016

Life goes on. 我却似乎有些懈怠了。近来情绪的波动是原因之一,另一个不足为人道的理由却是七月向来都会带给我一点压迫感——年纪又长了一岁,徒增星霜几度,而濩落无成,一年甚于一年的感慨。不过无论如何,六月的月旦都不该拖延到七月初的生日之后——「今年事,今年毕」嘛。

因而还是整理了一些或许值得分享的内容。Sorry for being late.

数论中有许多简单的「直觉」,证明起来却异常困难。一个出名的例子是所谓的Bateman-Horn猜想。E.Kowalski的这篇post提供了一个很有趣的几何图像。
注意到在解析数论中以Hardy-Littlewood命名的一系列密度猜想都可以在某种程度上归化为Bateman-Horn猜想,而在月旦 II中,我们介绍了一个新近的例子——可以视为Hardy-Littlewood猜想的「惊人」推论——这或许有助于我们认识到数学事实与「简单直觉」的距离有多么遥远!

本月在几何Langlands领域最值得关注的preprint无疑是
Ben-Zvi, Nadler Betti Geometric Langlands
我正在念这篇文章。下个月的月旦中,或许会花篇幅谈一谈。
Gaitsgory最新的2篇preprints (see here & here)也很值得关注,尤其是后一篇。不过相对于我的口味而言,他有时候太过“categorical”了。

我不敢说我了解和Kontsevich-Zorich上闭链相关的数学。模空间上的动力系统是一个非常有趣的领域,对此感兴趣的读者不妨关注Carlos Matheus的博客,尤其是他与Avila和Joccoz合作的新文章

本月想推荐一份新鲜出炉的算术几何notes:
The p-adic Hodge decomposition according to Beilinson

我对丘成桐的早年生活颇有一些了解。不过看到他写父亲的《那些年,父亲教导我的日子》,还是相当感动——让我回想起那篇以小平邦彦为主人公的《游里功夫独造微》,当年每读必定唏嘘。

纪录片《大海捞针:张益唐与孪生素数猜想》。
数学界的注意力已经迅速转移到其他领域的进步上面去了。而公众对张益唐的关注似乎有增无减。
像这样就挺好。

Quanta Magazine on Peter Scholze.
18年的「猜Fields奖」游戏似乎提前开锣了。

6月,两位已经获得Fields奖的数学家(是的,又是Gowers和Tao!)接连对公共事务发声:Gowers呼吁英国人选择留在EU——此后公投的结果已是众所周知。Tao则将枪口对准了美国总统候选人Donald Trump. 他的post引发了巨大的争议。
这让我想起von Neumann的隽语:

If people do not believe that mathematics is simple, it is only because they do not realize how complicated life is.

这句话可以有多重理解。

最后让我们回归到Bach, die Kunst der Fuge. 我找到了一些在外行(也就是说,一个识谱但不会弹琴的人)看来很直观的分析片段
If music be the food of love, play on1.


  1. 引这句话,是因为想到今年恰好也是莎翁的400年祭。三月份的时候,我将我的莎剧初体验献给了Henry IV, Part 1. 但愿所有的初体验都那样美好。
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