月旦 III

For April, 2016

April is the cruellest month,breeding
Lilacs out of the dead land, mixing
Memory and desire, stirring
Dull roots with spring rain.

数论和数学物理的交互作用一直以来都是我最感兴趣的话题。一个显赫的例子是几何Langlands纲领。新近发展起来的”Arithmetic Chern-Simons Theory”则是另一个例子。
Minhyong Kim, Arithmetic Chern-Simons Theory I
关于这篇文章的「背景」,我很难在D.Moskovich的基础上说出更多了(原因之一是他的information source包括Kim本人),因此推荐大家直接去读他的博文

本月在Seminar上了解到的一个新概念是量子微积分。这个名字容易引起混淆:由于近三四十年来数学家特别喜欢用「量子」为对象命名,在现代数学中至少有两个名为量子微积分(quantum calculus, or quantized calculus)的理论。
其中之一研究微分代数的量子形变,在不涉及级数时是一个纯代数理论。个人认为,比较合适的名字或许是直截了当的q-微积分/h-微积分。
这一理论初等到可以作为大一讨论班的材料,甚至,为程度较好的高中生所理解。
Kac, Cheung  Quantum Calculus (第二作者是第一作者在MIT新生讨论班上的学生)
事情当然也有较深入的一面。例如我们可以为微分代数加上额外的结构,成为Lie代数乃至泛包络代数。后者的q-量子形变,作为Hopf代数,有另一个容易引起误会的名字——量子群
第二个名为「量子微积分」的理论由Alain Connes创立,是非交换几何的一部分。这是另一个量子化理论——或许,应该被称为「上量子化」(coquantization)才对1
有鉴于非交换几何在研究无穷维模空间中的作用,量子微积分在Teichmüller理论中得到应用或许并不那么让人惊奇。感兴趣者可以参考下面这篇文章(Seminar所讨论的主要内容):
Nag, Sullivan  Teichmüller theory and the universal period mapping via quantum calculus and the H^{1/2} space on the circle

这个月在Seminar上了解到的另一个概念是超Kähler范畴。和Calabi-Yau流形不同,已知的超Kähler流形的例子相当少。发展一个基于同调代数的超Kähler几何理论,其原动力有二:一是尝试构造更多的例子,二是希望在超Kähler流形上测试某些关于CY流形的一般性猜想,例如Kontsevich的同调镜对称猜想
Roland Abuaf, Compact hyper-Kähler categories I : Theory
此外还有一句闲话。近些年越来越强烈的感想是:就影响的广度论,(范畴化的)同调代数理论或许是Grothendieck-Deligne最重要的遗产。

本月想推荐的notes是Fulton, Pandharipande  Notes on stable maps and quantum cohomology,内容包括Gromov-Witten不变量量子上同调以及(作为推论的)计数几何中的Kontsevich公式——虽然以一位Fields奖获得者命名,却包含一些高中生能够理解、也一定会感兴趣的简单推论。

我知道自己不会被轻易说服,通常也无意去改变他人。最省力的方式当然是高挂「免战牌」:「各自保留意见好了」,即所谓的agree to disagree.
所以当我初次了解到Aumann定理时,确实感到意外且好奇。这条定理大致是说,如果两个「诚实且理性」的人,经过充分交流后,各自了解了对方立论的论据,那么,即使他们对这些论据的可靠度评估不同,也必然会在结论的可靠度上达成一致,其间不存在任何求同存异的空间!
Aumann  Agreeing to Disagree
当然,在进一步了解了定理的数学表述后,我觉得这条定理的教谕意义在别处:人类通常不够「诚实」,也不具有Bayesian意义上的「理性」。人类甚至很可能不具有量化的「理性」——在讨论Arrow定理时,我已就功利主义的哲学基础表达过类似的观点。

Gil Kilai在AMS notice上发表了一篇讨论量子计算的科普文章,The Quantum Computer Puzzle简言之,他提出了一个关于量子噪音本性的dichotomy,其中的“悲观假设”将否决建设通用量子计算机 (universal quantum computer) 的可能性2

什么是「好的」科学哲学?我想我可以举出新近读到的一篇文章作为例子。
Mathias Frisch, Why things happen讨论了我们应该如何理解因果性。这个问题牵涉极广,单单因果性和相关性的关系3就值得大书特书。Frisch从事例出发,未陷入「玄学」的讨论,也不强作解人,试图「指导」科学——这些都是「科学哲学家」容易犯的毛病。文章虽然不长,更谈不上面面俱到,却堪称intriguing.
对这个话题有兴趣的人可以进一步参考Mathias Frisch的专著Causal Reasoning in Physics.

来自卢昌海兄的轶闻:《费曼与酒》。
我初读《讲义》第一卷是在初三。和卢兄相比,过早受到了第三章末尾的冲击,以致现在很难对其作出客观评价了4

arXiv的用户应该已经注意到该网站正在进行一次用户调查,以决定未来发展的方向。我认为每一个关心「学术开源化」的人都应该参与其中,贡献自己的意见和建议。It really matters.
此外,文献管理软件Zotero也在进行用户调查

下个月的「月旦」会稍微改变一下形式,尝试着讨论一两个我目下正在考虑的问题。
The summer is coming.


  1. 我们曾经讨论过量子化的问题。正则量子化,Weyl量子化和几何量子化或许应该称为「上量子化」,而形变量子化则是「量子化」,这样可以区分量子化实际发生的空间。 
  2. 此处有一个微妙的问题,即我们仍须区分各种「不可能」:在我们面前至少有实践上的不可能,物理原理上的不可能,以及数学/逻辑上的不可能。而且,从哲学的角度看,我们还不知道(也许永远不会知道)后两种「不可能」是不是同一的——我想,在谈论die beste aller möglichen Welten时,Leibniz大概默认了此处的非同一性吧。 
  3. 是的,这两个概念并不等同——这已经是cliché了——然而问题在于:我们能在此基础上说出更多吗? 
  4. 就像我现在很难客观评价《春晓》或者《静夜思》一样。 

月旦 II

For March, 2016

K.Soundararajan和R.L.Oliver发现相邻素数在同余类中的分布体现出某种非随机性,并提出可以用第一Hardy-Littlewood猜想孪生素数猜想的推广)解释这一现象:
Unexpected biases in the distribution of consecutive primes
这当然是一个很有趣的发现,但称之为「数论突破」就太过分了。之前我们曾提及Soundararajan在量子唯一遍历性猜想方面的工作,那显然重要得多。
我曾经写过一篇文章讨论如何评定数论问题(乃至数学问题)的价值。现在回头看,写得不好,有不少可以再议之处。

最密球堆积 (densest sphere packing) 是离散几何的核心论题之一。在3维,我们有古老的Kepler猜想(已被Hales用「穷举法」证明)1
此前已知在8维和24维,E_8Leech格点给出最密格点堆积 (densest lattice packing). 新近的突破是,Maryna Viazovska等人证明了在相应维数的球堆积中,E_8和Leech格点同样是最密的。
Viazovska  The sphere packing problem in dimension 8
Cohn, Kumar, Miller, Radchenko, Viazovska  The sphere packing problem in dimension 24
但凡注意到一位研究新星就去猜测他/她是否有可能得Fields奖,这太愚蠢了。为了显得稍稍聪明一点,我决定换一种表述方式:作为Zagier的学生,Viazovska继承了将模形式理论应用于数论、物理和离散几何等广阔领域的研究路数(代表人物是Soundararajan的导师——Peter Sarnak,以及Don Zagier)。在我看来,这个历史悠久的研究方向在当前依然promising.

给定\Bbb Q上的椭圆曲线E,Mazur的一个经典结果决定了其Mordell-Weil群可能具有的所有挠子群(仅有有限个)。这也是我们曾经讨论过的话题
几何挠猜想是上述结果在复函数域上的类比和推广:对于拟射影复曲线C上的Abel簇,其Mordell-Weil群可能具有的挠子群的阶数受控于某个只取决于C的亏格的常数。
B.Bakker和J.Tsimerman新近证明了此猜想对于具有实乘 (real multiplication) 的Abel簇成立。
反方向上,我们有所谓的Frey–Mazur猜想:对于p>17\Bbb Q上的椭圆曲线Ep-挠元诱导的Galois表示决定了E同源类
J.Tsimerman和B.Bakker证明了此猜想在复函数域上的类比成立。他们的证明有赖于双曲几何。或许现在应该考虑的问题是将相应的几何概念“算术化”以证明Frey–Mazur猜想。
将眼界再抬高一些,我相信对Langlands纲领的研究也应该这样进行:首先,在几何侧发展出强力的技巧,其灵感可能源于几何与理论物理的紧密联系;之后,将几何概念算术化——Ngô对基本引理的证明即遵循了这一思路。

我希望这能成为「月旦」的保留环节:以某条经典定理为主题,考察现代研究如何「消化」掉原本相对繁难或者芜杂的证明。继上个月的Bogomolov-Tian-Todorov定理之后,本月的主题是Borel-Weil-Bott定理。Jacob Lurie提供了一个相对单刀直入的证明

另一个有可能被固定下来的环节是推荐一些未出版发行但具有相当价值的Lecture Notes. 本月的推荐包含一系列读物,featuring 反常层 (perverse sheaf2,日译「偏屈層」3),D-模相交同调论。代数方面,我们有Gelfand, Manin Homological Algebra,或者该领域的决定性著作Kashiwara, Schapira Sheaves on Manifolds: With a Short History.
相交同调论方面,Kirwan, Woolf An Introduction to Intersection Homology Theory是标准的入门书,但我们想特别推荐的是MacPherson本人的讲义Intersection homology and perverse sheaves他试图用几何观点(Morse理论)来重构整个理论。我敢很自信地说,将这一观点严格化的努力将成为推动理论继续发展的新动力,值得后来人付出努力。

关于信息与概率:Maximum entropy from Bayes’ theorem

Quanta magazine访谈:Michael Atiyah’s Imaginative State of Mind
Atiyah is always intriguing.

Book Review: The Serre-Tate Correspondence
当年翻阅Serre-Grothendieck Correspondence时想到的闲话,不妨借此机会说一说:Serre之所以对Hurwitz深具认同感,是否也有部分原因在于他意识到Serre-Grothendieck的关系近似于半个世纪之前的Hurwitz-Hilbert?

Science发表了一篇关于Shor算法物理实现的论文Realisation of a scalable Shor algorithm. 关于此文,Scott Aaronson的评论可能值得一读。

观点:What sort of physics — if any — should be funded on the margin right now by someone trying to maximize positive impact for society, perhaps over the very long term?

关于轰动一时的小保方晴子STAP细胞论文造假事件,纽约客推出了一篇重磅稿件:
The Stress Test: Rivalries, intrigue, and fraud in the world of stem-cell research
或许我们可以借此机会,思考一下可以如何改进现代科研体制。也可以尝试着自我拷问:我们自以为坚不可摧的知识,有多少是建立在「绝对信任他人/权威/体制」的基础之上?

出乎绝大多数专业选手的意料,Google研发的围棋AI AlphaGo在本月的五番棋比赛中以4:1的比分击败韩国围棋国手李世乭,引发了关注围棋、AI甚至「人类前途」的热潮。
中文互联网上,个人认为较有价值的信息源包括:
(1)微信公众号「喆理围棋」。在国内所有围棋职业选手中,李喆六段对围棋AI的了解和分析最为深入。
(2)田渊栋在知乎上的问答和专栏。他在Facebook参与围棋AI DarkForest的研发,是具有过硬背景的专业人士。
(3)微信公众号「机器之心」致力于AI文化的传播。最大的看点可能在于比赛期间推出的系列独家访谈。

此时此刻,或许是时候重温这篇2010年的文章:The Chess Master and the Computer. 作者是前国际象棋世界冠军、当年被DeepBlue击败的Kasparov.
棋手常被置于运动员和戏子之间,是「巫医乐师百工之人」,然而在这篇文章中,Kasparov却体现出了超过一般知识分子的修养和眼界。

顺便一提,认为艺术领域将成为人类抵御AI「入侵」的最后阵地,这种想法可能既误解了人和AI的关系,也低估了AI的「创造力」。据新加坡《联合早报》讯,日本科研人员已研发出了会写小说的AI. 而就在前不久,Google通过展出AI创作的美术品(风格颇接近M.C.Escher)成功筹措到了84000美元以支持艺术。
AI与人类共生的时代或许真的快要到来了。

在本文的最后,让我们欣赏一首由AI模仿J.S.Bach风格创作的赋格曲。


  1. 项武义曾在这个问题上闹过一个大乌龙。这不在我们想讨论的范围内。 
  2. 一个经常被提及的冷笑话:Perverse sheaf is neither perverse nor a sheaf. 
  3. 中文术语「层」当从日语转译而来。吴文俊曾经批评过这个翻译:无论是法语原文Faisceau还是英语sheaf,都应该译成「束」才对。 

月旦 I

月旦评」语出《后汉书·卷六十八》:「初,劭與靖俱有高名,好共核論鄉黨人物,每月輒更其品題,故汝南俗有『月旦評』焉。」大抵是会聚一众名士,每月初一出题,品评天下人物。这在当时形成了一种风气,不独汝南为然。《世说新语·品藻》中就有庞统品评江左名士的记载。联想开去,可谈的不少,比如九品官人法,魏晋士族风气,等等。就此打住。

「在混沌中建立秩序」,这构成对我的生活的某种隐喻。与infinity的斗争是无所不在的,既包括数学上的「无穷大」,也包括更加深不可测的、人的本性。对我而言,这个博客曾是撬动一切的支点,在一次又一次的renormalization之后,是一个可以也应该回归的立脚处——如果迄今为止,我的世界果真的狭隘到允许Poincaré recurrence一次又一次出现的话。
这里让我想起我的失败,和「伟大」。

我现在觉得,一个博客应该记录最私人(因而也是有价值)的那些东西,即带有原创性的思考,无论那是多么的不完善。这样的记录,必将是稀少的。然而这不构成怠惰的理由。秩序必须建立在材料之上,而将材料规则地堆垒起来,至少赋予存在以实感。抱歉,我要再一次重复那个寓言:西西弗周而复始地推石上山。此处的悲剧感或许源于:超越石块之上的意义,并非他所追求的。

「月旦」,无非将”monthly links”换了一种古怪的中文说法。

For January & February, 2016

Great Internet Mersenne Prime Search发现了迄今为止已知的最大素数2^{74207281}-1.

Nonrationality of the generic cubic fourfold是领域中最重要的开问题之一,下面是两份介绍(Alexander KuznetsovBrendan Hassett)。Shen Mingmin(中科大-Columbia. P.S.谁能告知我他的中文名? 感谢Anonymous告知:沈明民)相信自己解决了这个问题。很遗憾,他的证明不对。

复代数几何中的正定性 (positivity)是分析方法可以大展拳脚的领域。这方面的经典结果,可以参看Lazarsfeld的总结性著作Positivity in Algebraic Geometry.
下面这篇文章引入了lef丛的概念,弱于ampleness,但强于semi-ampleness和bigness的组合:
Cataldo, Migliorini  The Hard Lefschetz Theorem and the topology of semismall maps
这个拓扑概念可以应用于某些组合问题的证明,参见此文

推荐Manetti关于复流形形变理论的讲义(微分分次Lie代数观点):
Manetti  Lectures on deformations of complex manifolds
这是Bogomolov-Tian-Todorov定理的代数证明的基础。

More for Alexander Grothendieck.

How to explain the Stacks Project at a birthday party?

可约化群介绍,相当于一篇”What is … reductive groups?”

推荐一本老书:George Mackey, Unitary Group Representations in Physics, Probability and Number Theory

John Baez的「科普性文章」通常都有念一念的价值,比如这一篇:Physics, Topology, Logic and Computation: A Rosetta Stone
Lectures on Tensor Categories and Modular Functors侧重于braided monoidal categories,很好地补充了Baez的文章,同时也是学习TQFT(拓扑量子场论)的标准书籍。

回望2015:组合数学,复杂度理论和算法

我为Donald Gillies ,Philosophical Theories of Probability写的书评《科学诠释学中的达尔文主义

数学发表『去出版社化』(或者说,去『商业化』 )的最新努力:Tim Gowers和他的在线期刊Discrete Analysis. 值得一提的是,陶哲轩决定将Erdős discrepancy problem的解答发表在这份新生期刊上,以示支持。

在Einstein作出预言的100年后,LIGO终于发现了引力波的踪迹。点击这里,「聆听」时空世界的振动。

ligo20160211a

(From: https://www.ligo.caltech.edu/image/ligo20160211a)

关于(传言已久的)中国将建设巨型对撞机的消息,Yau出了一本新书:From the Great Wall to the Great Collider:China and the Quest to Uncover the Inner Workings of the Universe中文版应该已经(或者马上要)出版了。
对非专业人士而言,《赛先生》上刊载的系列争鸣有一定的参考价值:
丘成桐  我为什么期望中国建设巨型对撞机
许岑珂  中国投巨资建设加速器,不应寄望于偶然发现
娄辛丑  巨型加速器“两步走”方案未寄望于偶然发现
唐靖宇  中国应该选择μ子对撞机吗?

关于量子非定域性 (non-locality),Bell-CHSH不等式Tsirelson上界,有一篇很重要的文章,第一次给出了一个等价于Tsirelson上界的物理原理,即所谓的statistical no-signaling principle:
Carmi, Moskovich  Statistics Limits Nonlocality
一个面向一般大众的介绍可以在这里找到。

荐书(实在太迟了,对不对?):Scott Aaronson, Quantum Computing since Democritus

3月,来自Google的深度学习程序AlphaGo将向世界围棋第一人(OK,“某种意义上的”)李世乭九段发起五番棋挑战,届时YouTube将直播比赛全程

3月份的月旦会更有条理,更个人化。此刻的我这样期望着。

Nicht-mehr-wollen und Nicht-mehr-schätzen und Nicht-mehr-schaffen! ach, daß diese große Müdigkeit mir stets ferne bleibe!

试译死亡赋格

Paul Celan的Todesfuge有很多译本,其中有不少像我一样,也是为了练习德语。
水平所限,请多指教。

死亡赋格 

清早的黑色牛奶我们喝它在晚上
我们喝它在中午在上午我们喝它在夜里
我们喝啊喝啊
我们在空中挖个坟墓那儿躺着不挤
有个人住在屋子里这人和群蛇游戏这人写下
这人写下当德意志的天色暗了你的黄金色头发玛格丽特
他写下这些且走出屋子且众星闪烁他唿哨唤来他的狗群
他唿哨唤上他的犹太人让在地里挖个坟墓
他命令我们即刻演奏而随之起舞

清早的黑色牛奶我们喝你在晚上
我们喝你在上午在中午我们喝你在夜里
我们喝啊喝啊
有个人住在屋子里这人和群蛇游戏这人写下
这人写下当德意志的天色暗了你的黄金色头发玛格丽特
你的灰烬色头发苏剌米忒我们在空中挖个坟墓那儿躺着不挤

他高喊在土里挖得更深些你们这群你们剩下的歌唱啊演奏啊
他抓起腰带上的铁块他挥舞他的双眼是蓝色的
铲子挖得更深些你们这群你们剩下的继续演奏而随之起舞

清早的黑色牛奶我们喝你在夜里
我们喝你在中午在早上我们喝你在晚上
我们喝啊喝啊
有个人住在屋子里你的黄金色头发玛格丽特
你的灰烬色头发苏剌米忒他和群蛇游戏
他高喊把死亡奏得更甜美些死亡是来自德意志的大师
他高喊把小提琴拉得更阴暗些那样你们会升腾空中如同烟气
那样你们会在云里有个坟墓那儿躺着不挤

清早的黑色牛奶我们喝你在夜里
我们喝你在中午死亡是来自德意志的大师
我们喝你在晚上在上午我们喝啊喝啊
死亡是来自德意志的大师他的独眼是蓝色的
他用铅弹射你他准确地射中你
有个人住在房子里你的黄金色头发玛格丽特
他放他的狗群扑倒我们他赠我们空中的坟墓
他和群蛇游戏且做梦死亡是来自德意志的大师

你的黄金色头发玛格丽特
你的灰烬色头发苏剌米忒

Schwarze Milch der Frühe wir trinken sie abends
wir trinken sie mittags und morgens wir trinken sie nachts
wir trinken und trinken
wir schaufeln ein Grab in den Lüften da liegt man nicht eng
Ein Mann wohnt im Haus der spielt mit den Schlangen der schreibt
der schreibt wenn es dunkelt nach Deutschland dein goldenes Haar Margarete
er schreibt es und tritt vor das Haus und es blitzen die Sterne er pfeift seine Rüden herbei
er pfeift seine Juden hervor läßt schaufeln ein Grab in der Erde
er befiehlt uns spielt auf nun zum Tanz

Schwarze Milch der Frühe wir trinken dich nachts
wir trinken dich morgens und mittags wir trinken dich abends
wir trinken und trinken
Ein Mann wohnt im Haus der spielt mit den Schlangen der schreibt
der schreibt wenn es dunkelt nach Deutschland dein goldenes Haar Margarete
Dein aschenes Haar Sulamith wir schaufeln ein Grab in den Lüften da liegt man nicht eng

Er ruft stecht tiefer ins Erdreich ihr einen ihr andern singet und spielt
er greift nach dem Eisen im Gurt er schwingts seine Augen sind blau
stecht tiefer die Spaten ihr einen ihr andern spielt weiter zum Tanz auf

Schwarze Milch der Frühe wir trinken dich nachts
wir trinken dich mittags und morgens wir trinken dich abends
wir trinken und trinken
ein Mann wohnt im Haus dein goldenes Haar Margarete
dein aschenes Haar Sulamith er spielt mit den Schlangen
Er ruft spielt süßer den Tod der Tod ist ein Meister aus Deutschland
er ruft streicht dunkler die Geigen dann steigt ihr als Rauch in die Luft
dann habt ihr ein Grab in den Wolken da liegt man nicht eng

Schwarze Milch der Frühe wir trinken dich nachts
wir trinken dich mittags der Tod ist ein Meister aus Deutschland
wir trinken dich abends und morgens wir trinken und trinken
der Tod ist ein Meister aus Deutschland sein Auge ist blau
er trifft dich mit bleierner Kugel er trifft dich genau
ein Mann wohnt im Haus dein goldenes Haar Margarete
er hetzt seine Rüden auf uns er schenkt uns ein Grab in der Luft
er spielt mit den Schlangen und träumet der Tod ist ein Meister aus Deutschland

dein goldenes Haar Margarete
dein aschenes Haar Sulamith

我秉持的原则是宁繁毋简,宁拙毋巧。
理由之一是汉语以音节少著称,德语则音节繁多。赋格反复移调的特性使得全诗的韵律不断错位、碰撞。汉语当然难以完全复现德语的语感。我希望通过填入更多的字使诗行显得致密,并尽量收紧各个分句的韵脚以增加碰撞的机会(但并不刻意追求「押韵的二人转」调调)。
有时故意采用笨重的直译,是相信策兰有深意存焉。比如”er schreibt es und tritt vor das Haus und es blitzen die Sterne”,两个”und”都严格对译出来——真正起作用的是第二个”und”,强调了主语的变换以突出「众星闪烁」这一插入的背景。
又比如”zum Tanz”,用了五个字,「而随之起舞」。”spielt zum Tanz”,囫囵吞枣地读,容易误解。细究过渡段,被强迫伴唱、伴奏的是犹太人,起舞者则是”er”,纳粹军官,不宜混为一谈。第二次移调,「和群蛇游戏」这个片断回归到原初的位置,spielt的宾语终于出现——”die Geigen”(小提琴)——埋藏的戏剧张力在这个场景中一并爆发出来:和群蛇游戏。在小提琴声中如蛇般狂乱舞动。在狂乱中喊出全篇最高亢的诗句: “der Tod ist ein Meister aus Deutschland.””Meister”是双关语:直接的理解显然是「主人」(对应「奴隶」),但「大师」有更为幽远的涵义。下面是一位好友的批评意见:

I would rather interpret the “Meister” here as 「大师」, since it’s stronger and reveals its ironic nature: Deutschland, the wonderland of glories featured by great people mastering in litteratures, music, etc., is now coming up with a new one—der Meister der Vernichtung.”Der Mann im Haus” could also be regarded as an embodiment of this absurdity—a man who loves arts and loves his beloved “goldenes Haar Margarete”, yet at the same time perversely enjoys tasting die Süße des Todes.

另一个「图穷匕见」的例子是”dem Eisen im Gurt”(腰带上的铁)。直到第三次移调,策兰才点出”bleierner Kugel”(铅弹),暗示读者这块铁是枪。不好太早说破,也不该随意引申。
翻译时特地突出了单复数,如「群蛇」「众星」「狗群」「双眼」。第三次移调,主语从纳粹军官变成了「死亡」这个怪物,”Augen”变成了”Auge”,于是我强调了「独眼」。
三次移调,前后照应而又微妙变化,这是全诗的精髓所在。
金发的Margarete是日耳曼女郎,多半是纳粹军官的情人。Sulamith则是暗示希伯来血缘的名字,用有点古怪的「苏剌米忒」来译,意在加强和「玛格丽特」的对比。”aschenes Haar”不是单纯的灰发,而是呈灰黑色、像灰烬一样的头发。黄金和灰烬,贵贱有别,这一对位关系构成了整首赋格的高潮和尾声。恰巧在汉语中,「黄」「灰」双声,「金」「烬」叠韵,又是另一种奇特的对偶 / 对位关系。

celan002

Paul Celan (1920-1970)

What is … Bitcoin?

标题自然是模仿AMS著名的”What is …”系列。

对极客来说,比特币 (Bitcoin) 已经不是什么新鲜事物了。可惜我不是他们中的一员,难免有些后知后觉。
对我来说,最值得关注的当然是这种加密货币 (Cryptocurrency) 的数学原理,其次是其作为一种经济学理论的实践1,再次是其作为左派构想的金融乌托邦的基础,最后才是其投资价值。
任何一个下载过比特币核心模块的人都能直观地感受到比特币社区经历的指数性成长——时间越近,交易记录积累的速度越快。在开始写这篇文章的时候,已运行了一昼夜的核心模块正在更新1年零32个月前的交易记录。
我给自己设定的目标是:在这些交易记录下载完成前,写好这篇文章。

Cryptographic Hash Function
什么是数字货币?一段信息。简单地,可以将哈希函数(hash function)理解成信息的数字化。一个哈希函数H被称为是加密 (Cryptographic)的,如果(在实践中)不可能仅通过其哈希值重建输入信息。一般认为其至少要满足以下4个要求:

  • 给定输入信息m,计算其哈希值h=H(m)是容易的;
  • 原像抗性:给定某哈希值h,找到某个m使得h=H(m)是不现实的(infeasible);
  • 第二类原像抗性:给定输入信息m_1,找到某个m_2使得H(m_1)=H(m_2)是不现实的;
  • 碰撞抗性:找到m_1m_2,使得H(m_1)=H(m_2)是不现实的——这比第二类原像抗性更强;

90年代以来,对加密哈希函数的要求不断提高。一度被广泛采用的MD5SHA-1均被证明不满足碰撞抗性2SHA-2SHA-3是目前较为安全的选择。

Digital Signature Algorithm
我们需要一种防伪措施防止哈希函数在传输中被篡改。常用的方法是所谓的数字签名算法(DSA, Digital Signature Algorithm)3.
我们曾经提及计算数论中著名的离散对数问题:给定有限交换群Gq阶元素g,以G_0g生成的循环子群,我们可以定义离散指数函数\exp_g: \Bbb Z/q \to G_0和离散对数函数\log_g: G_0 \to \Bbb Z/q。离散指数易于计算,计算离散对数则远为困难,DSA算法正是建立在这种难度差上:
(1) 取G=(\Bbb Z/p\Bbb Z)^{*}p为某大素数(通常要求至少有1024位),qp-1的素因子,g\in G为某q阶元素。(G,q,g)可以对所有用户公开。
(2) 取x \in \Bbb Z/q,令y=g^x,我们称这样的(x,y)为一对钥匙。y=\exp_g(x)容易计算的,可以公开,x=\log_g(y)留作用户个人的私钥,不破解x就难以伪造数字签名。
(3) 对每段信息m及其哈希值H(m)\in \Bbb Z/q,随机4生成一对钥匙(r_m,s_m). 令t_m=r_m^{-1}(H(m)+xs_m),若(s_m,t_m) \neq (0,0),即可取为m的公开数字签名。
哈希值h为未经篡改的原始哈希值H(m)的必要条件是其数字签名满足等式\displaystyle s_m=g^{ht_m^{-1}}y^{s_mt_m^{-1}}. (注意,此过程无需知道私钥x
将(1)中的有限交换群G取为某有限域上的椭圆曲线的加法群,即得到椭圆曲线数字签名算法(ECDSA, Elliptic Curve Digital Signature Algorithm). 相比DSA,其优点是公钥y(此时为椭圆曲线上的某个点)通常占用较小的比特值,便于计算。

“Let Nakamoto be!”5
点对点的数字货币交易通常是如何进行的呢?我们用下面这张流程图来说明:
Screen Shot 2015-10-20 at 10.55.32 AM
假定帐号C_1要转一笔钱给帐号C_2C_1合法获得这笔钱的信息记录在交易单T_1中。交易时,C_1须将C_2的公钥y_2(也即C_2的公开帐号)添加到交易单T_1的尾部,用自己的私钥x_1H(T_1|y_2)进行数字签名,构成新的交易单T_2=\{T_1|y_2|(s_1,t_1)\}。为确认交易由C_1发起而非他人伪造,只须用公钥y_1验证数字签名(s_1,t_1).
问题在于,C_1有可能用同一笔钱发起多次交易,造成重复花钱 (double spending).一个中心化的数字金融系统需要一个第三方监管机构——例如某家数字银行——来确保交易的公平进行:银行知道此种货币的全部交易历史,因而能推算每个帐号的余额。只有银行认定为真实有效的交易才被受理。这和现实中常见的银行数字货币系统并无本质差别。

2009年,一个化名中本聪(Satoshi Nakamoto) 6 的神秘人物提出了第一个去中心化的数字货币体系方案——比特币,并开始推动比特币社区的建设。这种新型数字货币的去中心化特性得到了极客的爆发性回应,在随后几年中发展为一股蔚为壮观的潮流。
Nakamoto Bitcoin: A Peer-to-Peer Electronic Cash System
阅读中本聪纲领的人每每惊叹于此人构想之细致成熟,在短短9页中已勾勒出比特币的方方面面。这是才能的明证。

A P2P Trade Network
在中本聪设计的去中心化交易网络中,由分布在整个网络上的无数节点来取代银行,确保公平交易。
每个节点都可以视为一家小银行:所有帐号之间的全部交易记录都对这些节点公开。也就是说,在每一次交易前,交易方都必须将交易单发送到全网,通知所有节点检查这份交易单的真实性和有效性。
每个节点都存有一份自有比特币以来自己认可的交易全史——不一定相同,也无需都是真的。中本聪巧妙地设计了一个类似于Feynman历史求和的方法,使得这些形形色色的私人历史最终聚拢到诚实节点书写的真实交易史7
首先,他改造了Adam Baker的Hashcash方案,为交易史的输写设置了准入门槛。其核心是一个工作量证明(POW, Proof-of-work)系统8:人们需要解决一个有相当计算量的问题来获取有效性认可。操作上,可以取某个目前足够安全的哈希函数H(比方说SHA-2系列中的SHA-256),信息m有效当且仅当H(m)小于某个指定值(称为难度目标)。寻找有效的m的唯一方法是逐一试验,验证m有效却轻而易举。
比特币交易史储存在由交易块(block)构成的块链(block chain)中。每个交易块b_i包含3部分信息:上一个被接受的交易块的哈希值H(b_{i-1}),接受b_{i-1}后某时间段内收集的所有交易单\{T_j\},以及一个随机生成的现时标志n_i (nonce). 所有接受了b_{i-1}的节点进行n_i的生成竞争,一旦某个节点完成工作量证明(找到某个n_i使H(b_i)小于难度目标),就立即将得到的b_i通告全网。
(诚实节点守则)收到b_i的诚实节点在验证了其中包含的所有交易单均真实有效后,应立即放弃n_i的生成,接受交易块b_i,将其哈希值写入下一个块b_{i+1},继续收集交易单,并进入n_{i+1}的生成竞争,如此循环往复……
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只要全网中诚实节点占据多数,储存诚实交易史的交易块链的更新速率就是压倒性的。换言之,在形形色色的交易链中,最长的那条储存了最真实的比特币交易全史。

A Mining Game
The meek shall inherit the Earth, but not its mineral rights. — J. Paul Getty
最长的交易块链耗费了最多的CPU时间和电力,因而也是最贵的。靠什么让这些诚实节点遵守规则并心甘情愿地持续工作呢?靠他们对共产主义的忠诚信仰吗?不,中本村为此设计了一个奖励机制,同时也解决了去中心化数字货币面临的另一个问题:在缺乏银行的情况下完成货币的发行。
中本聪将逐一试验现时标志的过程比喻成挖掘金矿。一个交易块得以写入最长块链,意味着挖出这个交易块的节点是诚实的,也为社区维护付出了相当的努力。为此它将得到一些“金子”作为奖赏——它有权添加一份交易单,指定自己为一定数额的比特币的收款人。所有诚实节点都将认可这份交易单。
由此也诞生了一个新职业——比特币矿工。矿工节点保持诚实,不仅仅是出于对社区的责任感,更是为了牟利!
系统通过调节难度目标的大小使最长块链的平均更新速率保持在10分钟左右。由于近年来参与者呈指数增长,每个矿工的直观感受当然是“挖矿越来越难了”。
中本聪本人不希望这种奖励机制是永久性的。模仿现实中的黄金,他为比特币设定了储量上限:2100万枚。系统以大约4年的时间作为“半衰期”调整挖矿奖励的额度:2009年挖到一个有效的块奖励50枚比特币,2012年11月28日后奖励值降到25枚。预计到2040年,所有比特币均会被挖出,届时比特币矿业也就彻底死亡了,对诚实节点的奖励将完全来自交易方提供的小额交易费。

A Close Look
我们来仔细考察一下这个系统。
(1) 安全:由于每个交易块中储存了上一个交易块的哈希值,篡改一份交易单必须同时篡改之后被接受的所有交易块。这要求重新完成这些交易块的工作量证明。不仅如此,为了超过诚实块链的更新速率,攻击者还必须拥有超过所有诚实节点总和的计算能力——这不太可能发生。即便真的存在满足条件的攻击者,对他来说比较合算的方案也依然是将这些计算能力投入挖矿竞争来牟利,而不是篡改自己的交易单来制造重复花钱的机会!
(2) 自由:节点的维护者可以随时退出维护。重新加入时,他只需下载最长块链中储存的交易单作为自己认可的私人历史(只要他是诚实的)。
(3) 隐私:每个帐号的交易记录都是透明的,但锁定帐号的所有人并不容易——毕竟,所有权完全系于私钥x上。再者,一个人可能同时拥有海量帐号。事实上,市面上的所有比特币钱包 (wallet) 都会为用户准备多个帐号以保障其隐私。在(4)中提及的“丢失私钥”的情况下,这一举措还能减少损失。
往深处讲,就不得不涉及一个我们无意谈论的话题——如何利用比特币洗钱。所以,到此为止。
(4) 失窃:比特币是绝对安全的——只要你不丢失自己的私钥。反过来,一旦丢失了私钥,情况比丢失了纸币更加糟糕——只要带有伪造数字签名的交易被认可,根据(3)中所述,理论上没有任何办法锁定窃贼的身份或者追回这些比特币。

A Loose End
对比特币背后数学原理的介绍到此为止。许多细节问题都可以在中本聪的原始论文中的找到,此处不赘。
我想附加两条评论:
一,应用中最有效的结果往往不是技术上最困难的。创意往往源于组合;
二,似乎很少有人讨论作为电子游戏的比特币。事实上,任何对现实场景的模拟都有游戏的成分在内,可以从游戏的角度去研究解读;
本文无意讨论比特币其他的侧面。因为,作者不懂电脑技术,没有经济学常识,对make big money兴致缺然,对社会的黑暗面更是懵然无知。支撑他的仅仅是好奇心而已。
他甚至称不上是一个比特币使用者或者节点维护者。因为在他敲下这行字的时候,比特币核心模块还剩下1年零24周的交易记录需要下载呢!


  1. 有鉴于统一发行的货币往往会因为政府「缺乏自制力」而陷入货币持续增发致使通货膨胀率居高不下的境地,Friedrich Hayek早在70年代末的著作The Denationalization of Money中就提出应当允许私人机构发行货币以形成通货地位的竞争。他认为币值最稳定的货币将在竞争中胜出。由于比特币的发行总量有其上限,在投机性波动趋于稳定后,可以预计其将保持良性的通货紧缩趋势。 
  2. 在此我们必须提及一位杰出的华人女密码学家——王小云。她是这方面研究的世界级领袖。 
  3. 事实上,数字签名也被广泛应用于其他电子信息的防伪,例如检测下载软件的真实性和完整性。另一件值得注意、但或许不是众所周知的事是Shor算法同样也允许量子计算机高效地解决离散对数问题。 
  4. 随机性至关重要:Sony在对PS3软件进行数字签名时一度使用了相同的钥匙,致使私钥x于2010年12月被黑客团队ail0verflow破解。 
  5. Pope有诗曰:Nature and Nature’s laws lay hid in night: God said, “Let Newton be!” and all was light. 
  6. 日本媒体通常翻译为中本哲史。 
  7. 另一个蔚为壮观的互联网现象——维基百科的「自我演化」——事实上也基于同样的原理:「历史求和」。Aaron Swartz指出,类似的制度设计可以用来决定更一般的”Truth”(当时他年仅17岁!)。 
  8. 工作量证明系统同样有相当广泛的应用价值:从遏止垃圾邮件和博客的垃圾评论到保证电子投票的公正性。 

律学补记

一、

J.S.巴赫的平均律键盘曲集 (Das Wohltemperierte Klavier,BWV 846–893)是西方古典音乐史上最重要的作品之一。彪罗 (Hans Guido Von Bülow) 曾称誉其为钢琴音乐文献中的“旧约”1
身为巴赫迷,平均律键盘曲集自然是我挚爱的一部作品。Glenn Gould充满个性的“现代演绎”或许是最著名的版本,不过这里我想向大家推荐Wanda Landowska用大键琴演奏的版本。这是更为“本真” (anthentic) 的演绎——虽然在古乐热消退的今天,这个词已不常作为褒义词使用了。

Book I:

Book II:

二、

上述讨论仅作引玉之用,今天的主角并非巴赫,而是“律学”,尤其是平均律与数学的关系。对此,鲜于中之学长的《律学小记》作了一个很精练的概述,是阅读本文的prerequisite。
就“小记”没有展开讨论的两个问题,我试图略加补裰,以成完璧,因而有了这篇“补记”。

三、

为何是“十二”平均律?十二平均律中,任何两个音的频率比都不是有理数,为何我们会听到和谐的旋律?《律学小记》中写到:
这其实是相互关联的两个问题。音乐的奇迹,律学的纠结,都在于此。其答案,一言以蔽之,就是如下约等式:
\displaystyle 2^{7/12} \sim \frac{3}{2}          (1)
我个人比较倾向于用以下约等式来解释这个事实:
\displaystyle \log_{2}(3)-\frac{19}{12}=0.001629\dots \sim \frac{2}{1200}         (2)
(2)是(1)的变体:以2为底取对数。这样表达的好处在于,可以直接看出“十二平均律的第八级音,2的7/12次方,与之(指自然泛音列的第二泛音)仅有2音分的差别(即五十分之一个半音)。这微小的差别基本无法为人耳所分辨。”
此外还有一个更重要的理由。(1)将12这个数字解释为数值上的巧合,(2)却允许我们将问题理论化:q平均律适用当且仅当存在有理数{p}/{q}\log_2(3)“足够接近”。
这是一个典型的丢番图逼近(Diophantine approximation)问题。为此我们作连分数展开:\log_2(3)=[1;1,1,2,2,3,1,5,23,\cdots]
3阶渐进分数8/5=[1;1,1,2]\log_2(3)差了18音分,已进入人耳可辨识的范围了。
4阶渐进分数19/12=[1;1,1,2,2],此即十二平均律。
19/12第一类最佳有理逼近:对于q<12,没有更接近\log_2(3){p}/{q}了。下一个有此性质的有理数是46/29,然后是5阶渐进分数65/41=[1;1,1,2,2,3],再之后是……
二十九平均律或者四十一平均律的精度更高,但显然太过繁琐,缺乏实用价值。但是,请想象一下这个带有科幻意味的场景吧:如果茫茫宇宙中存在某种智慧生物,其听觉分辨能力是人类的15000倍以上2,十二平均律将远不能满足它们的需求。此时一个具有巴赫级别想象力的大脑可以用六百六十五平均律写出多少极尽微妙之能事的曲子啊!

四、

《律学小记》中提到,世界上第一个提出十二平均律的人是明朝王室后裔朱载堉(1584年)。“凡是中国人发明的都要大肆宣扬”,对缺乏民族主义情结且囿于“温良恭俭让”的君子来说,这话颇不便宣之于口,更不用说践行了3。我倒没有这个顾忌,不妨多说两句。
首先是一份关于朱载堉首创十二平均律的资料,来自中文维基百科。
在应用中,十二平均律要求我们计算\sqrt[12]{2}=[1;16,1,4,2,7,1,1,2,2,7,\cdots]。这又是一个丢番图逼近问题。
部分历史学家相信,利玛窦在通信中将朱载堉计算出的1.059463告知梅森(Pere Marin Mersenne)4,遂致使十二平均律的知识西传。这终归是猜测,并没有实据。在此之前,伽利略的父亲Vincenzo Galilei算得2阶渐进分数18/17=[1;16,1]. 要得到1.059463,则至少要算到4阶渐进分数。中文维基百科称朱载堉算得25位小数,但没有用分数形式写出他算得的“新法密率”,故无从考究其是否为\sqrt[12]{2}的渐进分数5。有心人不妨去查阅第一手文献。
计算渐进分数本是中国人的拿手好戏。祖冲之的“密率”355/113=[3;7,15,1],正是\pi的3阶渐进分数。

明室多有爱好音乐者。朱元璋的第十七子朱权 (1378-1448)6,史称宁献王,编撰了明代第一琴谱《神奇秘谱》。也正是在明代,欧洲进入了文艺复兴时期,利玛窦带来了大量西方乐器,并撰写了《西琴曲意》。朱载堉首创十二平均律,而巴赫创作平均律键盘曲集时,中国早已时移世易,到了雍正乾隆年间了。
世事白云苍狗,中西“古典”音乐的命运,竟如此之不同。而尽管有祖冲之、朱载堉的早期实践,最终建立连分数和最佳有理逼近理论的,毕竟还是西洋人。


  1. 相对的,贝多芬的钢琴奏鸣曲集则被誉为“新约”。 
  2. 这不太可能,除非有某种极端环境使得此种机能在进化上是经济的。对此作细致的想象是科幻小说家的事了,我愿意贡献出这个idea,供有兴趣的人作素材。 
  3. 相印成趣的是,俄国科学家经常做这种事,并不会觉得不好意思。 
  4. 即提出梅森素数的那位梅森。他和多位顶尖数学家保持通信,是当时欧洲数学界的信息流动中枢。 
  5. 另一个原因是我找不到精度达到25位小数的计算器! 
  6. “八大山人”朱耷是他的九世孙。 

John F. Nash, Jr. (1928-2015)

“呜呼,人和人的魂灵,是不相通的。”

这是John Nash的形象:他的公众知名度几乎完全基于A Beautiful Mind——一个数学家因为他的疯狂,而非他的理性,为世人所熟知。2010年冷泉港实验室授予Nash双螺旋奖章,理由是“Dr. Nash has used his influence as a public role model to become an active advocate for mental health issues”.

这也是John Nash的形象:提出了“Nash均衡”的概念,证明了Nash均衡定理,因此获得了1978年的von Neumann理论奖。1994年度的Nobel经济学奖是他一生的转折点。一夜之间,从未融入经济学界主流的人成为了众口交誉的“博弈论大师”。

John Nash还有一个形象:作为数学家,他对身边每个被誉为“天才”的人都抱有最强烈的模仿欲和竞争心(前辈如von Neumann和Wiener, 学弟如Milnor, etc.)若非如此,他很可能根本不会涉足博弈论。他最得意的2项工作——Nash嵌入定理和对Hilbert第19问题的研究——并未为他赢得期待中的那枚Fields奖章。1999年嵌入定理得到了Steele奖的“追封”,那已经是Nash“清醒”并成为诺奖得主之后的事了,距离论文发表超过40年。2015年的Abel奖是60年来整个数学界给与这个人的最高认可。
他死在了领奖回来的路上。

推荐3篇文章。
Nash-Moser反函数定理是嵌入定理的副产品,或许也是他最重要的数学遗产。迄今为止最好的综述来自Richard Hamilton:
Hamilton The inverse function theorem of Nash and Moser
Milnor曾与Nash并誉为“普林斯顿的双子星”。他对作为数学家的Nash给出了自己的评价:哪些工作是真正重要的,哪些工作又被夸大了。
Milnor A Nobel Prize for John Nash1
最后是纽约时报为Nash写的讣文。世人眼里的Nash,大抵如是。

Bob Dylan 2012年的专辑Tempest中有一首Roll on John,通常认为是献给John Lennon的挽歌。我把这首歌献给John Nash:
Shine your light
Move it on
You burn so bright
Roll on John


  1. 我曾在网上读过开源的全文,今天却没有搜到。