Cartan-Chern理论的简要总结 Ⅰ


光滑函数的微分d:C^{\infty}(M) \to C^{\infty}(M) \otimes \Gamma(T^{*}M)允许2个方向上的推广:协变微分(线性联络)和外微分

k阶向量丛\pi:E \to M上的Koszul联络提供了“粘合”纤维的方法,这允许我们将平凡丛M \times \mathbb{R}的截面(C^{\infty}(M))的微分推广为一般向量丛截面的微分:

D:\Gamma(TM) \otimes \Gamma(E) \to \Gamma(E)(方向导数)

或者,D:\Gamma(E) \to \Gamma(E) \otimes \Gamma(T^{*}M)(全微分)

以下视D为全微分。在局部坐标系中,D=d+AA是以k \times k矩阵\in \mathrm{End}(E)为系数的1-形式,称为联络形式,在规范场论中又称为规范势。

(伪)Riemann几何提供了一个最常见的例子:切丛上与(伪)Riemann度量相容的Levi-Civita联络。

从物理上看,速度向量的协变微分中除了加速度项(微分)外还出现了由Christoffel符号给出的“引力项”A。时空结构是引力的来源,这一想法是广义相对论的滥觞。

一般地,给定M上的向量丛E_1E_2及相应的联络D_1D_2E=E_1 \otimes E_2上的诱导联络D有如下自然定义:

D(s_1 \otimes s_2)=D_1 s_1 \otimes s_2+s_1 \otimes D_2 s_2

外微分推广微分的方式是利用上述定义将d延拓为d:\Omega^{*}(M) \to \Omega^{*+1}(M),其中\Omega^{k}(M)定义为C^{\infty}(M) \otimes \Gamma(\bigwedge^{k}(T^{*}M))

引入外代数这一结构的初衷是便于建立流形上的积分理论,Stokes公式是这个方向上的核心结果。但更重要的或许是d \circ d=0,这使得(C^{\infty}(M) \otimes \Omega^{*}(M),d)成为de Rham复形。由de Rham定理,这一复形给出M的奇异上同调的信息。

E \otimes \Omega^{*}(M)\Omega^{*}(E)。综合上述2方面将D延拓为外协变微分:

D:\Omega^{*}(E) \to \Omega^{*+1}(E)

规范势的出现使得D \circ D不再恒等于0。为衡量与“平坦”时空的差距,定义曲率形式:

F=D \circ D: \Omega^{0}(E) \to \Omega^{2}(E)

不难验证F=dA+A \wedge AF(s)=R(\cdot,\cdot)s,即F是Riemann曲率张量在一般向量丛上的推广。这一观察将曲率统一进外微分形式的框架内。

微分算子F同时也是“闭形式”。更确切地说,微分算子F的作用相当于与某个k \times k矩阵\in \mathrm{End}(E)为系数的2-形式(也记为F)作外积。仍以DD\Omega^{*}(\mathrm{End}(E))上的延拓,我们有:

(第二Bianchi恒等式)DF=0

这是Riemann几何中第二Bianchi恒等式的一个推广。

以上讨论与其说是几何,不如说是简单的张量代数。但正如陈省身所言,很多时候做几何就是在挑选适当的代数结构。

4 thoughts on “Cartan-Chern理论的简要总结 Ⅰ

  1. wang says:

    写得狠抽 功力不够 看起来费力

    想问几个问题

    为什么要有这么多不同的微分?协变微分和外微分还有个李导数。。。

    此三者本质有啥区别和联系?

    另外,这些微分对应的积分如何理解?

    多谢!

    • Lie导数可以看成”方向导数“:物理量(通常是张量)在某个方向上的变化率。外微分和Lie导数的关系密切(Cartan魔术公式)。外微分和物理的关系没有那么紧密,它的价值主要是抽象的:第一,微分形式(反对称张量)的积分概念和通常的”(有向)体积”概念是一致的,适合在流形(构型空间、相空间等等)上做积分的需要(Stokes公式);第二,de Rham理论反映了流形的拓扑性质。协变微分则符合广义相对论的需要:计入了时空的“弯曲”效应,因而在导数中出现了新项(带Christoffel的项)。将协变微分和抽象的外微分联合起来应用到纤维丛上,曲率作为反对称张量描述了场强,成为规范场论的理想框架(见中篇和下篇)。

      下面这篇小文章是杨振宁的自述,可以佐证这些“抽象”观念是重要的:
      http://faculty.math.tsinghua.edu.cn/~jzhou/Yang.htm

  2. wang says:

    外微分和Lie导数的关系密切(Cartan魔术公式) 多谢! 我去学习一下

    外微分是不是和积分关系密切?

    其他几个 跟积分有关系吗?

    另外,我不是批评抽象啊 我也是数学出身的 只是学得不到位 功力不够 读起来吃力 呵呵

    • 理论上任意张量场都可以定义适当意义下的积分,但结果可能不那么“好”:例如,对“1”积分得不到体积之类。

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