椭圆复形与Atiyah-Bott不动点定理

我们多次讨论过与外微分形式相关的系列结果：(1)de Rham-Hodge理论；(2)Lefschetz不动点定理；(3)Poincaré–Hopf定理以及(4)Gauss-Bonnet-Chern定理。从Dirac丛和Dirac算子的观点考虑，我们要问这些结果的相应推广是什么？对于一般的椭圆算子，情况又如何？

作为模本，首先回顾(2)：光滑映射 $f:M \to M$ 下的不动点 $x \in M$ 称为非退化的，若 $\mathrm{det}(I-df(x)) \neq 0$ ，其指数 $l_f(x)$ 定义为 $\mathrm{sgn}\mathrm{det}(I-df(x))$ 。另一方面， $f$ 诱导 $H^i_{dR}(M)$ 的自同态 $f^i_*$ ，定义 $f$ 的Lefschetz数 $L(f)=\sum (-1)^i \mathrm{tr} f^i_*$

(Lefschetz不动点定理) $\displaystyle L(f)=\sum_x l_f(x)$

横截向量场在 $M$ 上定义了相流 $f^t$ ， $\displaystyle \mathrm{lim}_{t \to 0} f^t=I$ 。公式左端， $L(I)=\chi(M)$ ，而右端，相流的不动点恰是向量场的奇点：我们得到(3)的特例。这显示Lefschetz不动点定理不能描述“多重横截相交”，在这个方向上推广的结果往往冠以Lefschetz-Hopf之名。

回到最初的问题。在知道答案(4)Atiyah-Singer指标定理的情况下，Atiyah和Bott考虑了余下的推广：(1)在椭圆复形的概念下得到统一，而(2)给出著名的Atiyah-Bott不动点定理。

Atiyah, Bott A Lefschetz Fixed Point Formula for Elliptic Complexes： Ⅰ

椭圆复形指的是上链复形 $(\Gamma(E_i),D_i)$ ，要求 $D_i$ 是向量丛 $E_i$ 到 $E_{i+1}$ 的椭圆算子。满足 $T_{i+1}D_i=D_iT_i$ 的自同态 $T_i:\Gamma(E_i) \to \Gamma(E_i)$ 诱导 $H^i(\Gamma(E))$ 的自同态 $T_i^*$ 。由椭圆算子理论， $\mathrm{dim}H^i(\Gamma(E))<\infty$ ，于是我们可以定义 $T$ 的Lefschetz数 $L(T)=\sum (-1)^i \mathrm{tr} T_i^*$ 。

我们最感兴趣的仍是光滑映射 $f:M \to M$ 。给定丛同态 $\phi_i:f^*E_i \to E_i$ ，可取 $T_i$ 为 $\Gamma(\phi_i) \circ f_i^*$ 。注意在不动点 $x \in M$ 处， $\phi_i(x)$ 是一个线性映射。

(Atiyah-Bott不动点定理) $\displaystyle L(T)=\sum_x \frac{\sum_i (-1)^i\mathrm{tr}\phi_i(x)}{|\mathrm{det}(I-df(x))|}$

对于de Rham复形， $\phi_i$ 有自然选取 $\Lambda^i df$ ， $\mathrm{det}(I-df)=\sum_i (-1)^i \mathrm{tr} (\Lambda^i df)$ 给出经典的Lefschetz公式。

另一个经典例子是Dolbeault复形 $(\Gamma(A^{p,q}),\bar{\partial}_q)$ 。给定全纯映射 $f:M \to M$ ：

(1) $\sum_i (-1)^i \mathrm{tr}_\mathbb{R} (\Lambda^i df)=\mathrm{tr}_\mathbb{C}(\Lambda^p \partial f)\mathrm{det}_\mathbb{C}(I-\bar{\partial}f)$ ；

(2) $|\mathrm{det}_\mathbb{R}(I-df)|=\mathrm{det}_\mathbb{C}(I-\partial f)\mathrm{det}_\mathbb{C}(I-\bar{\partial} f)$ ；

(全纯Lefschetz不动点定理) $\displaystyle L(f,A^{p,*})=\sum_x \frac{\mathrm{tr}_\mathbb{C}(\Lambda^p \partial f)(x)}{\mathrm{det}_\mathbb{C}(I-\partial f(x))}$

$p=0$ 的情况特别简单： $\displaystyle L(f,A^{0,*})=\sum_x \frac{1}{\mathrm{det}_\mathbb{C}(I-\partial f(x))}$

上述结果不难推广到全纯向量丛 $E \otimes A^{p,q}$ 上。

Atiyah, Bott A Lefschetz Fixed Point Formula for Elliptic Complexes： Ⅱ. Applications

全纯Lefschetz不动点定理牵涉到一桩“公案”：1964年，志村五郎在Woods Hole会议上向Atiyah和Bott提及这个猜想，成为2人发展椭圆型不动点定理的最初推动力。志村的原意是推广Eichler对（一般域上的）代数曲线的自同态所做的工作，为此他甚至考虑了远为一般的代数簇间的对应。可以说，他与Atiyah-Bott各逞擅场。可惜，交流思想的结果并不愉快：事后志村对Bott不太提及他的贡献非常不满¹。

围绕Woods Hole不动点定理的历史与争议，Tu试图给出一个来自中方第三方的总结。三位当事人中，Bott去世已久，Atiyah用”very fair”评价Tu的文章，与之相对的，志村则拒绝为该文背书。

志村的心态很可玩味：一方面自甘淡泊，另一方面又非常在意主流数学界的“歧视”(例如与Serre关系恶劣)。Wiles证明了谷山-志村猜想后，他的评论极其简单却意味深长：“I told you so.” ↩

通往指标定理之路 Ⅳ

在开始讨论Hirzebruch-Riemann-Roch定理之前，我们列出标准的参考著作：

Hirzebruch Topological Methods in Algebraic Geometry

我们假定讨论的所有复代数簇都是非奇异的( $P^N$ 的子流形，代数流形)。

经典代数几何中有一个著名的结论：代数曲线 $X$ 的算术亏格等于几何亏格。稍加修饰，就得到Riemann-Roch定理：它是一个关于全纯线丛 $L \to X$ 的Euler示性数的公式。“算术亏格等于几何亏格”对应 $L$ 为平凡线丛的情形。

一般地，考虑代数流形 $X$ 及全纯向量丛 $E \to X$ ，我们有

(Hirzebruch-Riemann-Roch 定理) $\displaystyle \chi(E)=(\rm{ch}(E) \smallsmile \rm{td}(X))[X]$

F.Hirzebruch (1927- )

首先解释相关记号：

等式左边，Euler示性数 $\displaystyle \chi(E)=\sum (-1)^i H^i(X,E)$ 由 $E$ 系数的层上同调定义。从Atiyah-Singer指标定理的角度看，它是Dirac算子 $D=\sqrt{2}(\bar{\partial}+\bar{\partial}^*)$ 的指标。

等式右端，Chern类函子 $c_i$ 是形式函子 $x_i$ 的初等对称函数。利用乘法序列，我们可以进一步构造其他示性类。例如，完全Chern特征函子 $\mathrm{ch}=\sum \mathrm{ch}_i$ 由 $\sum e^{x_i}$ 给出，完全Todd类函子 $\mathrm{td}=\sum \mathrm{td}_i$ 由 $\prod x_i/(1-e^{-x_i})$ 给出。 $\mathrm{td}(TX)$ 通常缩略为 $\mathrm{td}(X)$ 。 $\mathrm{ch}(E)$ 与 $\mathrm{td}(X)$ 的杯积给出一个新的示性类，等式右端是它的示性数。

2个特例：(1)取 $E$ 为平凡线丛。公式左端给出Hirzebruch意义下的算术亏格，而右端退化为Todd示性数 $\mathrm{td}_n[M]$ ：这是高维的“算术亏格等于几何亏格”。

(2)代数曲线 $X$ 上的除子 $D$ 给出全纯线丛 $L(D) \to X$ 。此时公式的右端化为 $c_1[M]/2+c_1[L(D)]$ 。 $c_1[M]=2-2g$ ， $c_1[L(D)]=\mathrm{deg}(D)$ ：我们重新得到经典Riemann-Roch定理。

Hirzebruch本人的原始证明分成3步，利用了许多在当时非常“前卫”的结果。(1) $E$ 为平凡线丛：他自己的号差定理(基于Thom的协边理论)以及A. Borel关于复Lie群同调论的工作；(2) $E$ 为一般线丛：用小平邦彦和Spencer的结果“代数流形的Picard群同构于主除子群”来分析线丛的结构；(3) $E$ 为一般向量丛：他再次利用了A. Borel关于复Lie群同调论的工作。当然，他还受益于Serre：Riemann-Roch定理可以从层上同调和示性类的角度来理解和推广源于Serre的洞见。他在Topological Methods in Algebraic Geometry的前言里表达了对这些人的谢意：这是“孤木不成林”的最好说明。

20世纪中叶，数学见证了拓扑方法在几何中的全面渗透。在这一大潮中，煊赫一时的Hirzebruch-Riemann-Roch定理很快在2个方向上得到了深远推广：Grothendieck-Riemann-Roch定理和Atiyah-Singer指标定理。

Drei Sätze von Hilbert V

我们总结Hilbert多项式的一些基本性质，以此结束对drei Sätze von Hilbert的讨论。

齐次坐标环 $S(X)$ 的Hilbert多项式(简记为 $P_X$ )包含了射影簇 $X$ 的重要信息：尽管它依赖于 $X$ 嵌入射影空间的方式，但却可以从中提取出 $X$ 的双有理不变量。经由Hilbert多项式给出的这些不变量的抽象定义往往是最一般且最清晰的。

首先是 $P_X$ 的次数：它与 $X$ 的维数相关。事实上，假定 $X^r \subset P^n$ ，则(1) $P_X$ 将是一个 $r$ 次多项式。我们讨论过 $X$ 的维数的其他理解方式，例如：(2) $S(X)$ 的Krull维数；(3)有理函数域 $K(X)$ 在 $K$ 上的超越次数，等等。

下面这本著作包含对维数理论的一个紧凑的讨论：

Atiyah, MacDonald Introduction to Commutative Algebra

$X^r$ 的次数 $\mathrm{deg}X$ 由(1) $P_X$ 的首项系数乘以 $r!$ 给出。 $X$ 的次数另有2种不同的理解：(2)超曲面 $X^{n-1}$ 由主齐次理想 $(f)$ 确定， $\mathrm{deg} X$ 等于 $f$ 的次数；(3)几何上， $\mathrm{deg} X$ 可以用复代数簇的相交理论描述。处于“一般位置”的线性子空间 $L^{n-r} \subset P^n$ 与 $X^r$ 横截相交于有限个点， $\mathrm{deg} X$ 等于交点的个数。这个定义有一个著名的推广：

(Bezout定理)若射影簇 $X^r$ 与 $Y^s$ 横截相交， $X^r \cap Y^s=\cup_i W^{r+s-n}_i$ ，则 $\mathrm{deg} X \times \mathrm{deg} Y=\sum \mathrm{deg} W_i$ 。

上述3种理解中，(2)不够一般，而(3)的困难在于：在任意域 $K$ 上往往难以定义“横截” (更一般地，相交的重数)。澄清这一困难并不容易，甚至要反过来依赖于Hilbert多项式：这是Weil在Foundations of Algebraic Geometry一书中的主要贡献，称为Weil-Samuel理论。

从Kähler几何的角度看， $\mathrm{deg}X$ 还有一个非常有趣的理解方式：

(4)在Fubini-Study度量下， $\mathrm{deg}X=V(X^r)/V(L^r)$ ，其中 $L^r$ 是任意线性子空间， $V$ 代表 $2 r$ 维实体积。

上述关系联系了2个流形的基本类 $[X]$ 和 $[L]$ 。对于一般的紧流形 $X^r \subset P^n$ ，若 $[X]$ 在 $L^r$ 上的拉回为 $d[L]$ ，则定义 $\mathrm{deg}X=d$ 。这允许我们将代数流形刻画为一类极小流形： $\mathrm{deg}X \geq V(X^r)/V(L^r)$ ，等号成立当且仅当 $X$ 为代数流形。

感兴趣的读者不妨参阅

Mumford Algebraic Geometry I: Complex Projective Varieties

最后， $P_X$ 的常数项 $P_X(0)$ 是Hirzebruch意义下的 $X^r$ 的算术亏格(经典算术亏格定义为 $p_a(X)=(-1)^r (P_X(0)-1)$ )。 $P_X(0)$ 是 $X$ 的双有理不变量，这已非显然。更精确的，它等于 $X^r$ 的Todd示性数：这个结果是我们将要讨论的Hirzebruch-Riemann-Roch定理的基本推论。

Drei Sätze von Hilbert Ⅳ

早在19世纪，代数几何已应用了上同调的方法(尽管当时同调论远未成型)。例如，经典线性系统理论可以从层上同调论的角度理解。Hilbert合系定理可以、也应该在这个框架下理解。

拓扑空间 $X$ 上的“函数”可以视为某个交换环的层的截面，这诱导我们定义赋环空间 $(X,\mathcal{O}_X)$ 。经典的例子包括(1) $C^k$ 流形及其上的 $C^k$ 函数环；(2)解析簇及其上的解析函数环，或更一般的，解析空间；(3)代数簇及其坐标环，或更一般的，概型。

“函数-环”的类比可推广为“向量丛-模”的类比：(1)平凡丛对应(有限生成的)自由模；(2)向量丛是局部平凡的，它对应局部自由模；(3)为方便同调代数的应用，Serre提出了平坦模的概念。对于Noether局部环上的有限生成模，“自由”与“平坦”是等价的。

同样为了方便同调代数的应用，H.Cartan和Serre发展了凝聚层的概念。几何中考虑的层大多是凝聚层。对于凝聚上同调， $\mathrm{dim}H^q(X,\mathcal{F})<+\infty$ 。

层上同调的定义和计算通常有2种手段：Čech上同调和层的消解。层 $\mathcal{F}$ 的消解指的是正合列 $0 \to \mathcal{F} \to \mathcal{F}^{*}$ ， $\mathcal{F}^{*}=(\mathcal{F}^p,d^p)_{p \geq 0}$ 。这方面的标准参考书是

Godement Topologie Algébrique et Théorie des Faisceaux

$\mathcal{F}^{*}$ 的长度定义为 $n$ 的上确界，长度有限的消解称为有限消解。根据 $\mathcal{F}^{*}$ 的性质，消解又可分为自由消解，平坦消解，等等。

若 $H^q(X,\mathcal{F}^p)=0$ 对 $q \geq 1$ 成立，则称此消解为非循环消解。所有优层消解都是非循环的(基于单位分解)。另一方面，对于非循环消解，上链复形 $(\Gamma(X,\mathcal{F}^p),d_*^p)_{p \geq 0}$ 的上同调群将同构于(由Čech上同调定义的) $H^{*}(X,\mathcal{F})$ 。这个结果又称为抽象de Rham定理：考虑消解 $0 \to \mathbb{R} \to \Omega^{*}$ ，我们将得到de Rham定理。

非循环消解是实际应用中是方便的。但在概念上更令人满意的则是所谓的内射消解。主要的想法是将层上同调范畴化：此时截面函子是左正合函子，而层上同调可定义为相应的右导出函子。这是著名的“东北论文”的主题：

Grothendieck Sur quelques points d’algèbre homologique

分次环 $A=\oplus_{l \geq 0} A_l$ 上的分次 $A$ 模层 $\mathcal{F}$ 的分次自由消解指的是： $\mathcal{F}^p$ 是分次自由 $A$ 模层， $d^p$ 是次数为0的齐次层同态。对于多项式环上的有限生成模这一特例，我们有

(Hilbert合系定理)有限生成的分次 $K[X_0,\cdots,X_n]$ 模 $M$ 允许一个长度至多为 $n+1$ 的分次自由消解 $0 \to M \to M^{*}$ 。

合系这个名词源于天文学。数学上，它指的是“模的生成元之间的关系”，即 $A$ 模同态 $d_n$ 。

$M$ 的模本是射影簇 $X \subset P^n$ 上的齐次坐标环。合系定理结合抽象de Rham定理保证了 $X$ 的高阶上同调群消没，这无疑非常基本而重要。下面这个应用属于Hilbert本人：

对于有限生成的分次 $A$ 模 $M=\oplus_{m \geq 0} M_m$ ， $H_M(m)=\mathrm{rk}_{A_0}(M_m)$ 称为 $M$ 的Hilbert函数， $P_M(t)=\sum_{m\geq 0} H_M(m)t^m$ 称为 $M$ 的Poincaré级数。

仍考虑 $A=K[X_0,\cdots,X_n]$ 。简单的同调代数显示 $H_M(m)=\mathrm{dim}_K M_m$ 等于“Euler示性数” $\sum_{p \geq 0}(-1)^p H_{M^p}(m)$ (合系定理保证这是有限和)。

对于充分大的 $m_p$ ，自由模 $M^p$ 的Hilbert函数的取值重合于某个 $P_{M^p} \in \mathbb{Q}[z]$ 。从而对任意Hilbert函数 $H_M$ 我们都可以找到相应的Hilbert多项式 $P_M \in \mathbb{Q}[z]$ 使得对于充分大的整数 $P_M$ 和 $H_M$ 的取值重合。

Hilbert多项式是数值多项式：通常并非整系数却总是取整数值(不仅仅对于充分大的变量)。

Drei Sätze von Hilbert Ⅲ

在考察Hilbert合系定理之前，我们希望从局部与整体2个方面进一步完善已有的几何图像。

(1)正则点与奇点

Krull维数和超越次数都是整体定义的。然而维数实际上是一个局部概念。若考虑每点处切空间的维数，则情况将与流形不同：代数簇可能包含奇点，即切空间维数大于整体维数的点。

一个局部环刻画：给定Noether局部环 $A$ 和剩余域 $k$ ，切空间的维数 $\mathrm{dim}_k \mathfrak{m}/\mathfrak{m}^2$ 不小于 $A$ 的Krull维数。若等号成立，称 $A$ 为局部正则环：它对应正则点。反之，则为奇点。

奇点构成一个Zariski闭集，即若干(低维)奇异子簇的并。“挖去”奇点后，考虑在Zariski拓扑下开且稠密的伪仿射簇并没有“大”的损失。伪仿射簇是通常意义下的“流形”，有自然的流形等价的概念：双有理等价。另一种描述的方法是：双有理等价类与函数域 $C(X)$ 一一对应，它是基于函数域的分类。

对双有理等价类的研究构成代数几何的一个主要分支：双有理几何。

处处局部正则的Noether环 $A$ 称为正则环，它在几何上对应非奇异代数簇。一个简单的例子是Krull维数为1的正则整环：Dedekind整环。它是代数数论的主要研究对象。

代数几何的一个基本问题是奇点消解：是否总能在代数簇的双有理等价类中找到非奇异簇？若 $K$ 有特征0，广中平祐的一条著名定理保证这总是可能的。

(2)射影簇

利用 $\mathbb{C}^n$ 和“一般拓扑”局部覆盖复流形是研究整体几何的第一步。利用仿射空间和Zariski拓扑的类似构造在代数几何中同样重要。历史上最常用的整体模型是 $K$ 射影空间 $P^n$ 。

$P^n$ 定义为 $K^{n+1}$ 模去等价关系 $(a_0,\cdots,a_n) \sim (\lambda a_0,\cdots,\lambda a_n)$ ， $\lambda \in K^*$ 。满足 $a_i=0$ 的点构成一个“无穷远超平面”，记为 $H_i$ 。易见 $P^n-H_i$ 同构于 $K^n$ ，且所有 $P^n-H_i$ 共同构成 $P^n$ 的一个开覆盖。这赋予 $P^n$ 一个代数簇结构。

$P^n$ 的子簇 $X$ 称为射影簇。有2种描述方法：(1)局部上， $X \cap (P^n-H_i)$ 是( $K^n$ 中的)仿射簇。特别的，之前讨论过的仿射簇的所有局部性质都自动适用于射影簇：例如，奇点和正则点的定义；(2)整体上，我们可以考虑 $K[X_0,\cdots, X_n]$ 中的齐次多项式及齐次理想，由此定义的( $K^{n+1}$ 中的)仿射簇可以“良投射”到射影空间上从而给出一个射影簇。这是经典的观点。我们之前对仿射簇的讨论在加上“齐次”这一限制后可应用于现在的情况：例如，仿射坐标环 $A(X)$ 的类似物是齐次坐标环 $S(X)=K[X_0,\cdots, X_n]/I(X)$ ，此处 $I(X)$ 限制为齐次理想。

历史上射影几何一度发展得蔚为壮观。相当一部分古典结果已被吸收到对射影簇的研究中。事实上，它与我们的主题也有一点关系：Hilbert在完成了关于不变量理论的系列工作后，曾一度用射影几何的观点研究过平面几何的公理基础。他的一部主要著作Grundlagen der Geometrie (1899)是他在这方面工作的总结。

上述讨论射影簇的2种观点中，依赖于射影空间特性的(2)往往有其方便之处，但类比流形理论的(1)显然更利于一般化。利用仿射概形作开覆盖，Grothendieck定义了概形。从允许奇点的角度看，概型与(复)流形的类比还不是非常准确。与概型最类似的是所谓的解析空间。

最后，一点一般的评论：拓扑-光滑-解析-代数。至少就层论而言，拓扑范畴与光滑范畴是相近的(同样有优层的概念)，解析范畴与代数范畴是相近的(Serre, GAGA)。在Milnor的工作之后，拓扑范畴与光滑范畴的差异得到了大量研究：它们的差异事实上比我们想象得要大。对于解析-代数，相应的方向似乎尚未得到充分的发展。就这个意义上说，解析/代数几何确实比微分几何/拓扑要“难”。

Drei Sätze von Hilbert Ⅱ

Hilbert零点定理的源头仍然可以追溯到Gauss：代数学基本定理的一个等价表述是 $\mathbb{C}[X]$ 的素理想与 $\mathbb{C}$ 中的仿射簇一一对应。这在 $\mathbb{R}$ 上是不成立的：例如， $x^2+1$ 与 $x^2+2$ 在 $\mathbb{R}$ 上均没有零点(对应 $\emptyset$ )。

所有在代数集 $X$ 上取值为0的多项式构成理想 $I(X)$ 。Hilbert零点定理断言：

若 $K$ 是代数闭域，则 $K[X_1,X_2,\cdots,X_n]$ 的素理想 $\mathfrak{P}$ 满足 $\mathfrak{P}=I(V(\mathfrak{P}))$ 。或者更一般却等价的，任意理想 $\mathfrak{A}$ 满足 $\sqrt{\mathfrak{A}}=I(V(\mathfrak{A}))$ 。

几何上，零点定理给出根理想与代数集之间一个反转包含顺序的半环同构。

Hilbert基定理保证 $\mathfrak{A}$ 有限生成：取 $P_1,P_2,\cdots,P_m$ 为一组生成元。给定多项式 $R$ ，零点定理等价于如下二分选择：(1) $R \in \sqrt{\mathfrak{A}}$ ：存在多项式 $Q_i$ 和非负整数 $r$ 使得 $\sum P_i Q_i=R^r$ 成立；(2) $R \notin \sqrt{\mathfrak{A}}$ ：方程组 $P_i(x)=0$ ， $R(x)\neq 0$ 有解。

$R=1$ ，即所谓的弱零点定理，对应如下结论： $I(X)=(1)$ 当且仅当 $X=\emptyset$ 。

这种形式的零点定理在算法理论中很有用处。这里是一个基于算法精神的初等证明。

包含 $I(X)$ 的极大理想 $\mathfrak{M}_x$ 一一对应于 $x \in X$ ，即 $V(\mathfrak{A})=\cup V(\mathfrak{M}_x)$ 。称含幺交换环为Jacobson环，若任意素理想(从而任意根理想)均可表为极大理想的交。我们得到零点定理的第3种形式： $K[x_1,x_2,\cdots,x_n]$ 是Jacobson环。

更一般的，Bourbaki的如下结果将零点定理归入“ $R[X]$ 保持 $R$ 的性质”这一系列：(4)Jacobson环上的多元多项式环(乃至有限生成代数)是Jacobson环。

定义仿射坐标环 $A(X)=K[X_1,X_2,\cdots,X_n]/I(X)$ 。一个基本的问题是：有限生成的 $K$ 代数 $A$ 何时可实现为一个代数集的仿射坐标环？零点定理的第4种形式给出了回答：当且仅当 $A$ 不包含非平凡幂零元。这样的 $A$ 称为仿射环。

这个形式的零点定理可以做如下理解。考虑2个范畴：(1)代数集和代数集间的正则映射；(2)仿射环和仿射环间的同态。零点定理断言这2个范畴对偶等价。这构成了现代代数几何的基本哲学：利用范畴1中的几何直观研究范畴2/利用范畴2中的代数工具研究范畴1。

作为上述哲学一个简单例子，我们从仿射环中提取代数集的“维数”信息。

给定仿射环 $A(X)$ ，极大理想的集合 $\mathrm{Spec}_m(A)$ 在几何上对应 $X$ 中的“点”，素理想的集合 $\mathrm{Spec}(A)$ 则对应 $X$ 中的子簇。通常 $\mathrm{Spec}(A)$ 更为重要，因为在范畴论意义下它是自然的。

定义素理想的严格升链 $\mathfrak{P}_0 \subset \mathfrak{P}_1 \subset \cdots \subset \mathfrak{P}_n$ 的长度为 $n$ 。对于给定的 $\mathfrak{P}$ ，定义高度 $\mathrm{ht}(\mathfrak{P})$ 为所有以 $\mathfrak{P}$ 为极大元的严格升链的长度的上确界。定义交换环 $R$ 的Krull维数 $\mathrm{dim}(R)$ 为 $\mathrm{ht}(\mathfrak{P})$ 的上确界。

定义仿射簇 $X$ 上的维数为 $A(X)$ 的分式域 $K(X)$ (有理函数域)在 $K$ 上的超越次数。维数理论的一个基本结论是： $X$ 的维数等于 $A(X)$ 的Krull维数。

仿射环是一类相当特殊的交换环。Grothendieck将范畴2一般化并延拓了对偶等价关系。经由这一推广，新的范畴1将包含极其广泛的几何对象：仿射概形。

Drei Sätze von Hilbert Ⅰ

Hilbert发表于1890和1893的2篇讨论不变量理论的论文是交换代数的开山之作。这2篇论文包含了3条在多项式环研究中极为基本而重要的定理：Hilbert基定理(Basissatz)，Hilbert零点定理(Nullstellensatz)以及Hilbert合系定理(Syzygiensatz)。我们希望结合历史来讨论这3条定理的内容及影响，特别是这3条定理的几何含义，借此考察古典代数几何的一些方面。

许多材料取自下面这本著作的第1章：

Eisenbud Commutative algebra, with a view towards algebraic geometry

我们的第一个问题是：(含幺交换)环 $R$ 上的多项式环 $R[X]$ 保持 $R$ 的哪些性质？注意，被 $R[X]$ 保持的性质也将被多元多项式环 $R[X_1,X_2,\cdots,X_m]$ 保持。

最简单的例子：(1)整环上的多项式环是整环。

一个稍复杂的例子可以追溯到所谓的Gauss引理：唯一分解整环 $R$ 上的本原多项式之积 $fg$ 仍是本原多项式。以 $F$ 记 $R$ 的分式域。Gauss引理保证若 $f$ 在 $R[X]$ 中不可约，则其在 $F[X]$ 中不可约，而 $F[X]$ 又是唯一分解整环，从而得到(2)唯一分解整环上的多项式环是唯一分解整环。

主理想整环上的多项式环不一定是主理想整环。然而作为弥补，我们有Hilbert基定理：

(3)Noether环上的多项式环是Noether环。

回忆一下，Noether环指的是所有理想均有限生成的环。这显然推广了主理想环的概念。

Hilbert基定理给出多项式环的一个抽象模型：Noether环。下面来建立相应的代数几何图像。

经典代数几何的研究对象是多项式族 $f_i \in K[X_1,X_2,\cdots,X_n]$ 的零点。以 $\mathbb{A}^n$ 记 $K$ 上的 $n$ 维仿射空间， $f_i$ 的零点在 $\mathbb{A}^n$ 上定义了一个代数集。这些代数集构成Zariski拓扑的一族闭集基。 $K[X_1,X_2,\cdots,X_n]$ 的理想与生成元 $f_i$ 互相决定，上述构造给出理想 $\mathfrak{A}$ 到代数集的映射 $V(\mathfrak{A})$ 。

Hilbert基定理保证 $K[X_1,X_2,\cdots,X_n]$ 的理想均有限生成，换言之，我们可以要求多项式族 $f_i$ 仅包含有限个多项式而不损失一般性。这一化简无疑是基本的。

理想的集合上有自然的代数运算：(1)集合论乘法 $\mathfrak{A}_1 \cap \mathfrak{A}_2$ (集合论加法 $\mathfrak{A}_1 \cup \mathfrak{A}_2$ 通常不是封闭运算)；(2)代数乘法 $\mathfrak{A}_1\mathfrak{A}_2$ ，代数加法 $\mathfrak{A}_1 +\mathfrak{A}_2$ ，这使得理想成为一个交换半环。代数集在集合论运算下构成一个交换半环。不难验证 $V$ 是一个“半环同态”：映“加法”为“乘法”，映“乘法”为“加法”。

理想半环上有一个幂等“算子”：对理想 $\mathfrak{A}$ 取其根 $\sqrt{\mathfrak{A}}$ ，其象称为根理想。 $V$ 吸收根算子的作用： $V(\sqrt{\mathfrak{A}})=V(\mathfrak{A})$ ，因而对于古典代数几何而言，考虑根理想已经足够。

$V(\mathfrak{A})$ 无法分解为2个真子集之并当且仅当 $\mathfrak{A}$ 为素理想，此时代数集称为(不可约)仿射簇。与Noether环相关的第2个有限性结论是： $K[X_1,X_2,\cdots,X_n]$ 中的根理想可以表示为有限多个素理想的交。在几何上的对应是：代数集可以分解为有限多个仿射簇之并。这一分解与算术基本定理的精神一致。

更一般的，我们有

(Lasker-Noether)Noether环中的理想可以表示为有限多个准素理想的交(准素分解)。

准素理想的根理想为素理想，故上述结论可以经由将根算子应用于准素分解式得到。

Hilbert基定理的历史意义在于：经典代数几何仅在常见的环/域(例如 $\mathbb{Z}$ ， $\mathbb{C}$ )上考察多项式环。Noether环的概念为抽象代数几何的建立奠定了基础。这方面的系统考察归功于Noether以及她领导的学派(van der Warden)，还有深受Noether影响的Zariski和Weil等人。

小平邦彦与超越几何

关于小平邦彦(Kunihiko Kodaira)的生平事迹，台湾数学工作者颜一清写有小传《遊裡工夫獨造微》，动人至深。我希望讨论的是小平的数学工作。

小平邦彦最具影响力的工作主要集中在一般称为超越代数几何的领域。自创始以来，这一领域的执牛耳者大多是Göttingen一系(例如Riemann，Klein，Koebe和Weyl)，奠定现代理论基础的则是Hodge。

小平邦彦无疑受到Weyl的极大影响——他亦步亦趋地搞过积分方程和量子力学，最终沿着椭圆算子理论这一路径进入到Hodge理论的研究。除了德国学派的经典分析工具，他更迅速吸收了法国学派的最新代数成果——Cartan-Serre将层论应用于多复变函数论的工作。有趣的是，他也是促使Serre转向代数几何的关键人物。1954年，小平邦彦和Serre共同获得Fields奖，开启了此后20年代数几何的黄金年代。回过头看，Weyl的颁奖演说的确有先见之明：小平和Serre是超越几何和代数几何两大流派在那一辈中的代表人物。下一辈中的风云人物是Griffiths (小平长期合作者Spencer的学生)和Deligne (Serre挚友Grothendieck的学生)。

小平邦彦 (1915-1997)

回到具体的数学。从应Weyl邀约赴Princeton开始，小平的工作大致围绕着3个主题。

第1个主题是Hodge理论及其在Kähler几何(进而在复代数几何)中的应用。最好的参考书或许是

Griffiths, Harris Principles of Algebraic Geometry

第2阶段的主要工作是和Spencer合作建立了复结构的形变理论。

Kodaira Complex Manifolds and Deformation of Complex Structures

参模理论在“量子数学”中有基本的重要性，而形变理论提供了最重要的局部工具。

60年代之后，小平的兴趣转向紧复曲面的分类。他在这一阶段的工作仍有基本的重要性(例如K3曲面即以Kummer，Kähler和Kodaira命名)，影响更及于近代，例如4维微分流形的拓扑(Donaldson, Witten, etc.)，高维复代数簇的双有理分类(Mori)等等。一本标准读物是

Barth, Hulek, Peters, van de Ven Complex Compact Surfaces

我们从讨论小平在第一阶段的3个经典结果开始。

复流形 $(M,J)$ 上的实 $(1,1)$ 形式 $\alpha$ 称为正形式，若 $\forall X \in TM_x$ ， $\alpha(X,JX) \geq 0$ 。一个典型例子是Kähler流形上的Kähler形式 $\omega$ 。

以 $H^{p,q}(M,A)$ 记 $H^{p,q}(M) \cap H^{p+q}(M,A)$ 。紧Kähler流形 $M^n$ 上的所有全纯线丛构成Picard群 $\mathrm{Pic}(M)$ ，第一Chern类 $c_1$ 是 $\mathrm{Pic}(M)$ 到 $H^{1,1}(M,\Bbb R)$ 的同态。称全纯线丛 $L$ 为正的，若 $c_1(L)$ 是正形式(或等价地， $L$ 上存在Hermit度量使得相应的曲率形式 $(\sqrt{-1}/2\pi)\Theta$ 是正形式)。

(1)利用Hodge理论，小平证明了正全纯线丛的高阶层上同调群消没：

(Kodaira-Nakano消没定理) $H^q(M,\Omega^p(L))=0$ ， $p+q>n$ 。

注记：另有一种“vanishing theorems-消滅定理”的译法，似转译自日文文献。我们认为就中文的用语习惯而言，译为“消没定理”更为妥帖。

(2)称Kähler流形 $M$ 为Hodge流形，若Kähler形式 $\omega$ 落在整上同调类中。拓扑上，这等价于要求 $H^{1,1}(M,\mathbb{Z})$ 中至少有一个正元素。从Picard群的角度考虑，这又等价于要求 $M$ 上有某正全纯线丛 $L$ 。

$\Bbb CP^N$ (赋予Fubini-Study度量)是Hodge流形(其重言丛的对偶丛即是所需的正全纯线丛)。故其闭子流形都是Hodge流形。反过来，利用消没定理，小平证明了Hodge的一个猜想：

(Kodaira嵌入定理) $M$ 能嵌入某个复射影空间当且仅当 $M$ 为Hodge流形。

称全纯线丛 $L$ 为丰富线丛，若对于充分大的 $N$ ， $L^{\otimes N}$ 的截面足以给出 $M$ 到射影空间的嵌入。Kodaira嵌入定理又可以叙述为：正线丛是丰富线丛。

由周炜良定理，复射影空间的闭子流形必为代数流形，故嵌入定理实际上给出了代数流形的一个几何刻画。这是Kähler几何在50年代的一个主要成果。

嵌入定理推广了Riemann时代就已经清楚认识到的经典结果：所有1维复流形(Riemann面)都是代数曲线，且这高维不成立，例如高维复环面必须满足Riemann条件才能成为代数流形。

(3)熟知解析空间上的Weil除子群即为余维数为1的解析子簇的形式群。对于复流形，这与利用层论定义的Cartier除子群 $\mathrm{Div}(M)=H^0(M,\mathcal{M}^*/\mathcal{O}^*)$ 等价。简单的同调代数表明主除子群 $\mathrm{Div}(M)/(f)$ 到 $\mathrm{Pic}(M)$ 的典范映射是单同态。对于代数流形 $M$ ， $H^1(M,\mathcal{M}^{*})=0$ ，此时单同态 $\mathrm{Div}(M)/(f) \to\mathrm{Pic}(M)$ 成为一个同构。这是代数几何的一个基本结论。

Kähler几何基础

$G$ -manifolds

所谓几何结构，指的是(实)流形 $M^n$ 上的(二阶)张量场 $T$ 。若以 $G \subset GL_n(\Bbb R)$ 记保持 $T$ 的线性群，则通过结构群约化我们可赋予 $TM$ 以 $G$ 丛结构，此时我们称 $M$ 为 $G$ 流形。例如，可定向流形 $M^n$ 可视为 $GL_n^+(\Bbb R)$ 流形，Riemann流形 $(M^n,g)$ ( $g$ 为正定对称 $(0,2)$ 张量)可视为 $O_n$ 流形，殆辛流形 $(M^{2n},\omega)$ ( $\omega$ 为非退化的斜对称 $(0,2)$ 张量/2形式)可视为 $Sp_{2n}(\Bbb R)$ 流形，殆复流形 $(M^{2n},J)$ ( $J$ 为 $(1,1)$ 张量，满足 $J^2=-\mathrm{Id}$ )可视为 $GL_n(\Bbb C)$ 流形，等等。

熟知结构群约化 $GL_{n}(\Bbb R) \to O_{n}$ 没有拓扑障碍(后者是前者的极大紧子群故同伦等价)。

$G$ 结构是点态的。若我们进一步希望 $T$ 在每个邻域中均可标准化为“平坦”张量场，则通常需要附加一个可积性条件(特定张量 $F$ 的消没)。对于Riemann流形， $F$ 即Riemann曲率张量(Riemann定理)。对于殆复流形和殆辛流形， $F$ 分别对应Nijenhuis张量 $N_J$ (Newlander–Nirenberg定理)和 $d\omega$ (Darboux定理)，相应的平坦流形即复流形和辛流形。

几乎所有Riemann几何的研究都集中于非平坦流形的方面，殆复流形在复几何中的意义直到近代才被认识到，而几乎没有人关心(过于广泛的)殆辛流形，很大程度上这是由物理应用决定的。

Almost Hermitian Manifolds

称带有Riemann度量 $g$ 的殆复流形 $(M,J)$ 为殆Hermite流形，若 $g$ 是 $J$ 不变的。定义 $(1,1)$ 形式 $\omega(x,y)=g(Jx,y)$ 及殆Hermite度量 $h=g-i\omega$ ，不难看出 $\omega$ (从而 $h$ )是 $J$ 不变的。

我们也可以用带有2形式 $\omega$ 的殆复流形定义殆Hermite流形。事实上，殆Hermite流形即 $U_n$ 流形，而 $U_n$ 是 $O_{2n}$ (对应 $g$ )， $Sp_{2n}(\mathbb{R})$ (对应 $\omega$ )及 $GL_n(\mathbb{C})$ (对应 $J$ )这3者中任意2者的交，且是后两者的形变收缩核(故结构群约化 $GL_{n}(\Bbb C) \to U_{n}$ 和 $Sp_{2n}(\Bbb R) \to U_{n}$ 没有拓扑障碍)。

给定 $m$ 阶复向量丛 $\pi:E \to M$ ，(1)作为 $U_{m}$ 丛，可利用分类空间在 $E$ 上引入(整)Chern类；(2) $\bar{\partial}$ 作用在 $A^{p,q}(E)=E \otimes \Omega^{p,q}(M)$ 上。 $E$ 为全纯向量丛当且仅当 $\bar{\partial}^2=0$ ，此时得到Dolbeault复形 $(A^{p,q}(E),\bar{\partial})$ 及相应的上同调群(由Dolbeault定理，同构于 $H^q(M, \Omega(E)^p)$ ，其维数记为Hodge数 $h^{p,q}$ )。

Levi-Civita联络 $\nabla$ 可以描述为 $O_n$ 流形上(唯一的)无挠 $\mathfrak{0}_n$ 联络。一般的，几何 $G$ 结构指的是 $G$ 丛 $E \to M$ 以及 $E$ 上(唯一的)无挠 $\mathfrak{g}$ 联络。对于 $U_n$ 丛，此联络称为Chern联络，相应的 $\mathfrak{u}_n$ 曲率算子记为 $R_c$ ，相应的几何称为复几何。

Chern类和Dolbeault上同调群均有复几何表示：

(1)Chern-Weil理论：Chern类可以用 $R_c$ 表示。特别地， $c_1(E)=-\frac{1}{2\pi i}\mathrm{tr}(R_c)$ 。一个较详细的介绍可参见之前的讨论。

(2)Hodge理论： $h^{p,q}$ 等于 $E$ 上 $(p,q)$ 型调和微分形式空间的维数。一个较详细的介绍可参见之前的讨论。

Kähler manifolds

Kähler流形有多种不同的定义方式。最常见的一种是：称殆Hermite流形 $M^{2n}$ 为Kähler流形，若(A) $M$ 同时满足Darboux可积性条件和Newlander-Nirenberg可积性条件。

从平坦度量的角度看，Hermite流形成为Kähler流形的充分必要条件是(A’)在任意点附近均存在全纯坐标系使得 $h$ 与标准Hermite度量的差异至少为2阶项。产生这个2阶项的原因当然是因为Kähler流形通常不满足Riemann可积性。

熟知Kähler流形上2种Hodge理论“重合”。这带来大量丰富的结构，例如Hodge分解。一个较详细的介绍可参见之前的讨论。在Hodge分解下， $\omega$ 所处的上同调类落在 $H^{1,1}(M,\Bbb R)$ 中，称为Kähler流形 $M$ 的Kähler类。所有可能的Kähler类构成 $H^{1,1}(M,\Bbb R)$ 中的开圆锥，称为 $M$ 的Kähler锥。

基于酉群的3选2特性，我们也可以采用Riemann几何的观点：殆Hermite流形成为Kähler流形的充分必要条件是(B1) $\nabla J=0$ 或者(B2) $\nabla \omega=0$ 。

利用 $J$ 可以将许多Riemann几何中的概念“辛几何化”。例如，类比 $g \to \omega$ ，我们定义Ricci形式 $\rho(x,y)=\mathrm{Ric}(Jx,y)$ 。 $\rho$ 是一个闭 $(1,1)$ 形式， $M$ 是Einstein流形当且仅当 $\rho=k\omega$ 。

(B1)等价于更强的(C) $\nabla=\nabla_c$ 。它推出 $R=R_c$ ，从而由Chern-Weil理论， $\rho=2\pi c_1(M)$ 。

在Kähler流形上，Dolbeault上同调群和Chern类的关系由Hirzebruch-Riemann-Roch定理描述，它允许我们将Dolbeault复形的Euler示性数(视为Laplace-Beltrami算子的指标)用Chern数表出。

不难证明Kähler流形的子流形以及2个Kähler流形的积仍是Kähler流形，这提供了Kähler流形的一些典型例子：(1)标准 $\mathbb{C}^n$ ，从而任意复环面以及任意Stein流形；(2)任意Riemann面；(3)赋有Fubini-Study度量的复射影空间，从而任意复代数簇；(4)赋有Bergman度量的复球面 $B^n$ ；(5)K3曲面(萧荫堂)。一般地，已知紧复曲面容许Kähler度量的充分必要条件是 $b_1$ 为偶数(Lamari, 1999; 独立地，Buchdahl, 1999)。

Dirac算子简介

设 $\pi:E \to M$ 是Riemann流形上的向量丛，以下讨论Dirac算子的数学理论。

主符号为 $\xi^2$ 的椭圆算子 $\triangle:\Gamma(M,E) \to \Gamma(M, (T^*M)^2 \otimes E)$ 称为广义Laplace算子。能量算子 $H=p^2/2m+V(x)$ 是一个最简单的例子。假定 $E$ 有一个 $\mathbb{Z}_2$ 分次结构，满足 $D^2=\triangle$ 的算子 $D:\Gamma(M,E^\pm) \to \Gamma(M,E^\mp)$ 称为Dirac算子。

下面这个例子是最基本的： $E$ 称为Clifford丛/Dirac丛，若 $\forall x \in M$ ，纤维 $E_x$ 有一个Clifford代数/左Clifford模的结构，前者记为 $Cl_n(X)$ 。此时 $E$ 是一个伴随 $O(n)$ 丛，从而继承了与Clifford乘法相容的Levi-Civita联络： $\nabla(ab)=(\nabla a)b+a(\nabla b)$ 。定义Dirac算子 $D=e_k\nabla_k$ 。显然它与Clifford代数的自然 $\mathbb{Z}_2$ 分次结构相一致。

若 $M$ 是无边紧流形，则上述Dirac算子是一个自共轭椭圆算子。由椭圆算子的一般理论知 $\mathrm{ind}(D)=\mathrm{ind}(\triangle)$ 有限。特别重要的是 $\mathrm{ind}(D)$ 还有一个超对称解释：基于 $E$ 的 $\mathbb{Z}_2$ 分次结构， $D=\begin{pmatrix} 0&D^- \\ D^+&0 \end{pmatrix}$ ， $D^-=(D^+)^*$ ，从而 $\mathrm{ind}(D)$ 等于超核 $\mathrm{dim}(\mathrm{ker}(D^+))-\mathrm{dim}(\mathrm{ker}(D^-))$ 。

Dirac算子的数学重要性在于它是一系列经典算子的推广：

(1)“量子代数” $Cl(V)$ 同构于“经典代数” $\Lambda(V)=Cl(V,0)$ 。 $\mathbb{Z}_2$ 分次丛 $\Omega^{*}(M)$ 上有“经典”Dirac算子 $D=d+d^*$ ，对应的广义Laplace算子为Laplace-Beltrami算子。由de Rham-Hodge理论， $\mathrm{ind}(D)$ 将给出流形的Euler示性数 $\chi(M)$ 。

(2)现在假定 $M$ 是 $4k$ 维定向紧流形。定义复化丛 $\Omega^p(M) \otimes \mathbb{C}$ 上的复化Hodge星算子为 $(-1)^{k+p(p-1)/2}*$ 。这个算子的 $\pm 1$ 特征空间给出 $\Omega^{*}(M)$ 的另一个 $\mathbb{Z}_2$ 分次。基于复化Hodge星算子诱导的内积，定义 $D=d+d^*$ 。若 $p<2k$ ，Poincaré对偶保证 $D$ 的超核限制在 $H^p$ 和 $H^{4k-p}$ 上可成对消去，因而 $\mathrm{ind}(D)$ 将给出流形的号差。

(3)对Kähler流形 $M$ 上的全纯向量丛 $E$ ，构造Clifford模 $\Lambda(T^{0,1}M)^*\otimes E$ ，对应的Dirac算子为 $D=\sqrt{2}(\bar{\partial}+\bar{\partial}^*)$ 。由Hodge –Kodaira理论， $\mathrm{ind}(D)$ 将给出流形的全纯Euler示性数 $\chi(M,E)$ 。特别地，复射影簇是Kähler流形，上述讨论可应用于代数几何。

Atiyah-Singer证明了Dirac算子的指标定理，这是椭圆算子指标定理的最基本例子。在上述3种情况下，Dirac算子的指标定理将退化为(1)Gauss-Bonnet-Chern定理；(2)Hirzebruch号差定理；(3)(Kähler流形上的)Riemann-Roch-Hirzebruch定理。

此外一个很重要的例子是自旋流形上的Dirac算子(Atiyah-Singer算子)及其指标定理( $\hat{A}$ 亏格公式)。我们接下来将分别沿着Kähler几何和自旋几何这两个方向讨论Riemann-Roch-Hirzebruch定理和 $\hat{A}$ 亏格公式。

研究Dirac算子的数学分支又被称为Clifford分析。它当然推广了复分析，也推广了(从未成功过的)四元数分析。从这个意义上说，它完成了Atiyah的Jugendtraum。

附注：量子场论中常用Feynman斜杠记号 ${\not}\partial$ 来表示Dirac算子。Lawson和Michelsohn在Spin geometry一书中用类似符号表示Atiyah-Singer算子。我们认为这个记号在美学上不可忍受。今后将避免这个记号的使用。

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Fight with Infinity

Wir müssen wissen, wir werden wissen