Kähler几何基础


G-manifolds

所谓几何结构,指的是(实)流形M^n上的(二阶)张量场T。若以G \subset GL_n(\Bbb R)记保持T的线性群,则通过结构群约化我们可赋予TMG丛结构,此时我们称MG流形。例如,可定向流形M^n可视为GL_n^+(\Bbb R)流形,Riemann流形(M^n,g)(g为正定对称(0,2)张量)可视为O_n流形,殆辛流形(M^{2n},\omega)(\omega为非退化的斜对称(0,2)张量/2形式)可视为Sp_{2n}(\Bbb R)流形,殆复流形(M^{2n},J)(J(1,1)张量,满足J^2=-\mathrm{Id})可视为GL_n(\Bbb C)流形,等等。

熟知结构群约化GL_{n}(\Bbb R) \to O_{n}没有拓扑障碍(后者是前者的极大紧子群故同伦等价)。

G结构是点态的。若我们进一步希望T在每个邻域中均可标准化为“平坦”张量场,则通常需要附加一个可积性条件(特定张量F的消没)。对于Riemann流形,F即Riemann曲率张量(Riemann定理)。对于殆复流形和殆辛流形,F分别对应Nijenhuis张量N_J(Newlander–Nirenberg定理)和d\omega(Darboux定理),相应的平坦流形即复流形和辛流形。

几乎所有Riemann几何的研究都集中于非平坦流形的方面,殆复流形在复几何中的意义直到近代才被认识到,而几乎没有人关心(过于广泛的)殆辛流形,很大程度上这是由物理应用决定的。

Almost Hermitian Manifolds

称带有Riemann度量g的殆复流形(M,J)为殆Hermite流形,若gJ不变的。定义(1,1)形式\omega(x,y)=g(Jx,y)及殆Hermite度量h=g-i\omega,不难看出\omega(从而h)是J不变的。

我们也可以用带有2形式\omega的殆复流形定义殆Hermite流形。事实上,殆Hermite流形即U_n流形,而U_nO_{2n}(对应g),Sp_{2n}(\mathbb{R})(对应\omega)及GL_n(\mathbb{C})(对应J)这3者中任意2者的交,且是后两者的形变收缩核(故结构群约化GL_{n}(\Bbb C) \to U_{n}Sp_{2n}(\Bbb R) \to U_{n}没有拓扑障碍)。

给定m阶复向量丛\pi:E \to M,(1)作为U_{m}丛,可利用分类空间E上引入(整)Chern类;(2)\bar{\partial}作用在A^{p,q}(E)=E \otimes \Omega^{p,q}(M)上。E为全纯向量丛当且仅当\bar{\partial}^2=0,此时得到Dolbeault复形(A^{p,q}(E),\bar{\partial})及相应的上同调群(由Dolbeault定理,同构于H^q(M, \Omega(E)^p),其维数记为Hodge数h^{p,q})。

Levi-Civita联络\nabla可以描述为O_n流形上(唯一的)无挠\mathfrak{0}_n联络。一般的,几何G结构指的是GE \to M以及E上(唯一的)无挠\mathfrak{g}联络。对于U_n丛,此联络称为Chern联络,相应的\mathfrak{u}_n曲率算子记为R_c,相应的几何称为复几何。

Chern类和Dolbeault上同调群均有复几何表示:

(1)Chern-Weil理论:Chern类可以用R_c表示。特别地,c_1(E)=-\frac{1}{2\pi i}\mathrm{tr}(R_c)。一个较详细的介绍可参见之前的讨论

(2)Hodge理论h^{p,q}等于E(p,q)型调和微分形式空间的维数。一个较详细的介绍可参见之前的讨论

Kähler manifolds

Kähler流形有多种不同的定义方式。最常见的一种是:称殆Hermite流形M^{2n}为Kähler流形,若(A)M同时满足Darboux可积性条件和Newlander-Nirenberg可积性条件。

从平坦度量的角度看,Hermite流形成为Kähler流形的充分必要条件是(A’)在任意点附近均存在全纯坐标系使得h与标准Hermite度量的差异至少为2阶项。产生这个2阶项的原因当然是因为Kähler流形通常不满足Riemann可积性。

熟知Kähler流形上2种Hodge理论“重合”。这带来大量丰富的结构,例如Hodge分解。一个较详细的介绍可参见之前的讨论。在Hodge分解下,\omega所处的上同调类落在H^{1,1}(M,\Bbb R)中,称为Kähler流形M的Kähler类。所有可能的Kähler类构成H^{1,1}(M,\Bbb R)中的开圆锥,称为M的Kähler锥。

基于酉群的3选2特性,我们也可以采用Riemann几何的观点:殆Hermite流形成为Kähler流形的充分必要条件是(B1)\nabla J=0或者(B2)\nabla \omega=0

利用J可以将许多Riemann几何中的概念“辛几何化”。例如,类比g \to \omega,我们定义Ricci形式\rho(x,y)=\mathrm{Ric}(Jx,y)\rho是一个闭(1,1)形式,MEinstein流形当且仅当\rho=k\omega

(B1)等价于更强的(C)\nabla=\nabla_c。它推出R=R_c,从而由Chern-Weil理论\rho=2\pi c_1(M)

在Kähler流形上,Dolbeault上同调群和Chern类的关系由Hirzebruch-Riemann-Roch定理描述,它允许我们将Dolbeault复形的Euler示性数(视为Laplace-Beltrami算子的指标)用Chern数表出。

不难证明Kähler流形的子流形以及2个Kähler流形的积仍是Kähler流形,这提供了Kähler流形的一些典型例子:(1)标准\mathbb{C}^n,从而任意复环面以及任意Stein流形;(2)任意Riemann面;(3)赋有Fubini-Study度量的复射影空间,从而任意复代数簇;(4)赋有Bergman度量的复球面B^n;(5)K3曲面(萧荫堂)。一般地,已知紧复曲面容许Kähler度量的充分必要条件是b_1为偶数(Lamari, 1999; 独立地,Buchdahl, 1999)。

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