Drei Sätze von Hilbert Ⅲ


在考察Hilbert合系定理之前,我们希望从局部与整体2个方面进一步完善已有的几何图像。

(1)正则点与奇点

Krull维数和超越次数都是整体定义的。然而维数实际上是一个局部概念。若考虑每点处切空间的维数,则情况将与流形不同:代数簇可能包含奇点,即切空间维数大于整体维数的点。

一个局部环刻画:给定Noether局部环A剩余域k,切空间的维数\mathrm{dim}_k \mathfrak{m}/\mathfrak{m}^2 不小于A的Krull维数。若等号成立,称A局部正则环:它对应正则点。反之,则为奇点。

奇点构成一个Zariski闭集,即若干(低维)奇异子簇的并。“挖去”奇点后,考虑在Zariski拓扑下开且稠密的伪仿射簇并没有“大”的损失。伪仿射簇是通常意义下的“流形”,有自然的流形等价的概念:双有理等价。另一种描述的方法是:双有理等价类与函数域C(X)一一对应,它是基于函数域的分类。

对双有理等价类的研究构成代数几何的一个主要分支:双有理几何

处处局部正则的Noether环A称为正则环,它在几何上对应非奇异代数簇。一个简单的例子是Krull维数为1的正则整环:Dedekind整环。它是代数数论的主要研究对象。

代数几何的一个基本问题是奇点消解:是否总能在代数簇的双有理等价类中找到非奇异簇?若K有特征0,广中平祐的一条著名定理保证这总是可能的。

(2)射影簇

利用\mathbb{C}^n和“一般拓扑”局部覆盖复流形是研究整体几何的第一步。利用仿射空间和Zariski拓扑的类似构造在代数几何中同样重要。历史上最常用的整体模型是K射影空间P^n

P^n定义为K^{n+1}模去等价关系(a_0,\cdots,a_n) \sim (\lambda a_0,\cdots,\lambda a_n)\lambda \in K^*。满足a_i=0的点构成一个“无穷远超平面”,记为H_i。易见P^n-H_i同构于K^n,且所有P^n-H_i共同构成P^n的一个开覆盖。这赋予P^n一个代数簇结构。

P^n的子簇X称为射影簇。有2种描述方法:(1)局部上,X \cap (P^n-H_i)是(K^n中的)仿射簇。特别的,之前讨论过的仿射簇的所有局部性质都自动适用于射影簇:例如,奇点和正则点的定义;(2)整体上,我们可以考虑K[X_0,\cdots, X_n]中的齐次多项式及齐次理想,由此定义的(K^{n+1}中的)仿射簇可以“良投射”到射影空间上从而给出一个射影簇。这是经典的观点。我们之前对仿射簇的讨论在加上“齐次”这一限制后可应用于现在的情况:例如,仿射坐标环A(X)的类似物是齐次坐标环S(X)=K[X_0,\cdots, X_n]/I(X),此处I(X)限制为齐次理想。

历史上射影几何一度发展得蔚为壮观。相当一部分古典结果已被吸收到对射影簇的研究中。事实上,它与我们的主题也有一点关系:Hilbert在完成了关于不变量理论的系列工作后,曾一度用射影几何的观点研究过平面几何的公理基础。他的一部主要著作Grundlagen der Geometrie (1899)是他在这方面工作的总结。

上述讨论射影簇的2种观点中,依赖于射影空间特性的(2)往往有其方便之处,但类比流形理论的(1)显然更利于一般化。利用仿射概形作开覆盖,Grothendieck定义了概形。从允许奇点的角度看,概型与(复)流形的类比还不是非常准确。与概型最类似的是所谓的解析空间

最后,一点一般的评论:拓扑-光滑-解析-代数。至少就层论而言,拓扑范畴与光滑范畴是相近的(同样有优层的概念),解析范畴与代数范畴是相近的(Serre, GAGA)。在Milnor的工作之后,拓扑范畴与光滑范畴的差异得到了大量研究:它们的差异事实上比我们想象得要大。对于解析-代数,相应的方向似乎尚未得到充分的发展。就这个意义上说,解析/代数几何确实比微分几何/拓扑要“难”。

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