Drei Sätze von Hilbert Ⅱ


Hilbert零点定理的源头仍然可以追溯到Gauss:代数学基本定理的一个等价表述是\mathbb{C}[X]的素理想与\mathbb{C}中的仿射簇一一对应。这在\mathbb{R}上是不成立的:例如,x^2+1x^2+2\mathbb{R}上均没有零点(对应\emptyset)。

所有在代数集X上取值为0的多项式构成理想I(X)Hilbert零点定理断言:

K是代数闭域,则K[X_1,X_2,\cdots,X_n]的素理想\mathfrak{P}满足\mathfrak{P}=I(V(\mathfrak{P}))。或者更一般却等价的,任意理想\mathfrak{A}满足\sqrt{\mathfrak{A}}=I(V(\mathfrak{A}))

几何上,零点定理给出根理想与代数集之间一个反转包含顺序的半环同构。

Hilbert基定理保证\mathfrak{A}有限生成:取P_1,P_2,\cdots,P_m为一组生成元。给定多项式R,零点定理等价于如下二分选择:(1)R \in \sqrt{\mathfrak{A}}:存在多项式Q_i和非负整数r使得\sum P_i Q_i=R^r成立;(2) R \notin \sqrt{\mathfrak{A}}:方程组P_i(x)=0R(x)\neq 0有解。

R=1,即所谓的弱零点定理,对应如下结论:I(X)=(1)当且仅当X=\emptyset

这种形式的零点定理在算法理论中很有用处。这里是一个基于算法精神的初等证明。

包含I(X)的极大理想\mathfrak{M}_x一一对应于x \in X,即V(\mathfrak{A})=\cup V(\mathfrak{M}_x)。称含幺交换环为Jacobson环,若任意素理想(从而任意根理想)均可表为极大理想的交。我们得到零点定理的第3种形式:K[x_1,x_2,\cdots,x_n]是Jacobson环。

更一般的,Bourbaki的如下结果将零点定理归入“R[X]保持R的性质”这一系列:(4)Jacobson环上的多元多项式环(乃至有限生成代数)是Jacobson环。

定义仿射坐标环A(X)=K[X_1,X_2,\cdots,X_n]/I(X)。一个基本的问题是:有限生成的K代数A何时可实现为一个代数集的仿射坐标环?零点定理的第4种形式给出了回答:当且仅当A不包含非平凡幂零元。这样的A称为仿射环。

这个形式的零点定理可以做如下理解。考虑2个范畴:(1)代数集和代数集间的正则映射;(2)仿射环和仿射环间的同态。零点定理断言这2个范畴对偶等价。这构成了现代代数几何的基本哲学:利用范畴1中的几何直观研究范畴2/利用范畴2中的代数工具研究范畴1。

作为上述哲学一个简单例子,我们从仿射环中提取代数集的“维数”信息。

给定仿射环A(X),极大理想的集合\mathrm{Spec}_m(A)在几何上对应X中的“点”,素理想的集合\mathrm{Spec}(A)则对应X中的子簇。通常\mathrm{Spec}(A)更为重要,因为在范畴论意义下它是自然的。

定义素理想的严格升链\mathfrak{P}_0 \subset \mathfrak{P}_1 \subset \cdots \subset \mathfrak{P}_n的长度为n。对于给定的\mathfrak{P},定义高度\mathrm{ht}(\mathfrak{P})为所有以\mathfrak{P}为极大元的严格升链的长度的上确界。定义交换环RKrull维数\mathrm{dim}(R)\mathrm{ht}(\mathfrak{P})的上确界。

定义仿射簇X上的维数为A(X)的分式域K(X)(有理函数域)在K上的超越次数。维数理论的一个基本结论是:X的维数等于A(X)的Krull维数。

仿射环是一类相当特殊的交换环。Grothendieck将范畴2一般化并延拓了对偶等价关系。经由这一推广,新的范畴1将包含极其广泛的几何对象:仿射概形

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