Drei Sätze von Hilbert Ⅰ


Hilbert发表于18901893的2篇讨论不变量理论的论文是交换代数的开山之作。这2篇论文包含了3条在多项式环研究中极为基本而重要的定理:Hilbert基定理(Basissatz),Hilbert零点定理(Nullstellensatz)以及Hilbert合系定理(Syzygiensatz)。我们希望结合历史来讨论这3条定理的内容及影响,特别是这3条定理的几何含义,借此考察古典代数几何的一些方面。

许多材料取自下面这本著作的第1章:

Eisenbud  Commutative algebra, with a view towards algebraic geometry

我们的第一个问题是:(含幺交换)环R上的多项式环R[X]保持R的哪些性质?注意,被R[X]保持的性质也将被多元多项式环R[X_1,X_2,\cdots,X_m]保持。

最简单的例子:(1)整环上的多项式环是整环。

一个稍复杂的例子可以追溯到所谓的Gauss引理:唯一分解整环R上的本原多项式之积fg仍是本原多项式。以FR的分式域。Gauss引理保证若fR[X]中不可约,则其在F[X]中不可约,而F[X]又是唯一分解整环,从而得到(2)唯一分解整环上的多项式环是唯一分解整环。

主理想整环上的多项式环不一定是主理想整环。然而作为弥补,我们有Hilbert基定理

(3)Noether环上的多项式环是Noether环。

回忆一下,Noether环指的是所有理想均有限生成的环。这显然推广了主理想环的概念。

Hilbert基定理给出多项式环的一个抽象模型:Noether环。下面来建立相应的代数几何图像。

经典代数几何的研究对象是多项式族f_i \in K[X_1,X_2,\cdots,X_n]的零点。以\mathbb{A}^nK上的n维仿射空间,f_i的零点在\mathbb{A}^n上定义了一个代数集。这些代数集构成Zariski拓扑的一族闭集基。K[X_1,X_2,\cdots,X_n]的理想与生成元f_i互相决定,上述构造给出理想\mathfrak{A}到代数集的映射V(\mathfrak{A})

Hilbert基定理保证K[X_1,X_2,\cdots,X_n]的理想均有限生成,换言之,我们可以要求多项式族f_i仅包含有限个多项式而不损失一般性。这一化简无疑是基本的。

理想的集合上有自然的代数运算:(1)集合论乘法\mathfrak{A}_1 \cap \mathfrak{A}_2 (集合论加法\mathfrak{A}_1 \cup \mathfrak{A}_2通常不是封闭运算);(2)代数乘法\mathfrak{A}_1\mathfrak{A}_2,代数加法\mathfrak{A}_1 +\mathfrak{A}_2,这使得理想成为一个交换半环。代数集在集合论运算下构成一个交换半环。不难验证V是一个“半环同态”:映“加法”为“乘法”,映“乘法”为“加法”。

理想半环上有一个幂等“算子”:对理想\mathfrak{A}取其\sqrt{\mathfrak{A}},其象称为根理想。V吸收根算子的作用:V(\sqrt{\mathfrak{A}})=V(\mathfrak{A}),因而对于古典代数几何而言,考虑根理想已经足够。

V(\mathfrak{A})无法分解为2个真子集之并当且仅当\mathfrak{A}为素理想,此时代数集称为(不可约)仿射簇。与Noether环相关的第2个有限性结论是:K[X_1,X_2,\cdots,X_n]中的根理想可以表示为有限多个素理想的交。在几何上的对应是:代数集可以分解为有限多个仿射簇之并。这一分解与算术基本定理的精神一致。

更一般的,我们有

(Lasker-Noether)Noether环中的理想可以表示为有限多个准素理想的交(准素分解)。

准素理想的根理想为素理想,故上述结论可以经由将根算子应用于准素分解式得到。

Hilbert基定理的历史意义在于:经典代数几何仅在常见的环/域(例如\mathbb{Z}\mathbb{C})上考察多项式环。Noether环的概念为抽象代数几何的建立奠定了基础。这方面的系统考察归功于Noether以及她领导的学派(van der Warden),还有深受Noether影响的Zariski和Weil等人。

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